Escuela de algoritmos de aproximación
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- Gabriel Casado Ponce
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1 Escuela de algoritmos de aproximación Módulo 3: Algoritmos de aproximación para problemas de ruteo Francisco Javier Zaragoza Martínez Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Azcapotzalco ITAM, de septiembre de 20 Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 / 0
2 Contenido Gráficas y redes 2 Problemas elementales de redes 3 Problemas de cartero y T -joins Circuitos hamiltonianos Caminos hamiltonianos Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 2 / 0
3 Gráficas Gráficas, vértices y aristas Una gráfica G = (V, E) es una pareja ordenada de conjuntos de vértices y aristas. Todos los vértices y aristas de G deben ser distintos. Cada arista une a dos vértices. A veces una arista une a un vértice consigo mismo (lazo) o más de una arista une a los mismos vértices (paralelas). Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 3 / 0
4 Redes Redes A veces las aristas tienen costos c. En este caso, (G, c) es una red Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 / 0
5 Caminos y conexidad Camino Un camino es una secuencia de vértices en la que cada dos vértices consecutivos están unidos por una arista. Una gráfica es conexa si hay caminos entre cada pareja de vértices. Camino simple Un camino que no repite vértices se llama camino simple. Un camino simple que pasa por todos los vértices es hamiltoniano. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 / 0
6 Circuitos y ciclos Circuito Un camino que comienza y termina en el mismo vértice es un circuito. Ciclo Un circuito que no repite vértices es un ciclo. Un ciclo que pasa por todos los vértices es hamiltoniano. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 / 0
7 Bosques y árboles Árbol Una gráfica sin ciclos es un bosque. Un bosque conexo es un árbol. Un árbol que pasa por todos los vértices de una gráfica es abarcador. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 7 / 0
8 Contenido Gráficas y redes 2 Problemas elementales de redes 3 Problemas de cartero y T -joins Circuitos hamiltonianos Caminos hamiltonianos Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 8 / 0
9 Camino más corto Camino más corto Dada una red (G, c) y dos vértices u y v, se desea encontrar el camino que une a u y v con costo mínimo. Si c 0 esto se puede hacer en tiempo polinomial con el algoritmo de Dijkstra Si se desea encontrar el camino más corto entre todas las parejas de vértices u y v se puede usar el algoritmo de Floyd. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 9 / 0
10 Árbol abarcador de costo mínimo Árbol abarcador de costo mínimo Dada una red (G, c) con G conexa, se desea encontrar el árbol abarcador de costo mínimo. Esto se puede hacer en tiempo polinomial con el algoritmo de Kruskal o el algoritmo de Prim Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 0 / 0
11 Acoplamientos Acoplamiento Un acoplamiento es un conjunto de aristas que no comparten vértices. Acoplamiento perfecto Un acoplamiento es perfecto si usa todos los vértices. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 / 0
12 Problemas de acoplamientos Acoplamiento máximo Dada una gráfica G se desea un acoplamiento de máxima cardinalidad. Acoplamiento perfecto de costo mínimo Dada una red (G, c) se desea un acoplamiento perfecto de costo mínimo Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 2 / 0
13 Algoritmos para acoplamientos Acoplamiento máximo Si G es bipartita, se puede hacer en tiempo polinomial con el algoritmo de caminos aumentantes. En general, se puede hacer en tiempo polinomial con el algoritmo de Edmonds. Acoplamiento perfecto de costo mínimo Si G es bipartita, se puede hacer en tiempo polinomial con el algoritmo húngaro. En general, se puede hacer en tiempo polinomial con el algoritmo de Edmonds. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 3 / 0
14 Resumen de problemas y algoritmos Problemas y algoritmos Sea G = (V, E) una gráfica con n = V vértices. Problema Algoritmo Tiempo Camino más corto (de uno a todos) Dijkstra O(n 2 ) Camino más corto (todos contra todos) Floyd O(n 3 ) Árbol abarcador de costo mínimo Kruskal O(n 2 log n) Árbol abarcador de costo mínimo Prim O(n 2 ) Acoplamiento máximo (bipartita) Kuhn O(n 3 ) Acoplamiento máximo (general) Edmonds O(n ) Acoplamiento perfecto de costo mínimo (b) Kuhn O(n ) Acoplamiento perfecto de costo mínimo (g) Edmonds O(n ) Para varios de estos problemas hay algoritmos más rápidos. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 / 0
15 Contenido Gráficas y redes 2 Problemas elementales de redes 3 Problemas de cartero y T -joins Circuitos hamiltonianos Caminos hamiltonianos Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 / 0
16 Gráficas eulerianas Caminos y circuitos eulerianos Un camino que usa cada arista una vez es euleriano. De la misma manera, un circuito que usa cada arista una vez es euleriano Teorema (Euler y Hierholzer) Una gráfica conexa tiene un camino euleriano si y sólo si tiene cero o dos vértices de grado impar. Se puede encontrar en tiempo O( E ). Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 / 0
17 Problema de cartero Gráficas no eulerianas Si una gráfica conexa no tiene un circuito euleriano, entonces podemos duplicar algunas de sus aristas para que sí lo tenga: Problema de cartero Dada una red (G, c) con G conexa y c 0, se desea el costo mínimo de las aristas que hay que duplicar para obtener un circuito euleriano. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 7 / 0
18 T -joins Definición Sea G = (V, E) y T V con T par. Entonces J E es un T -join de G si los vértices de grado impar de H = (V, J) son exactamente los de T. Teorema Todo T -join de G es la unión disjunta de 2 T caminos simples disjuntos que unen vértices distintos de T y cero o más circuitos. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 8 / 0
19 Aplicaciones de T -joins Problema de cartero Si tomamos T como el conjunto de vértices de grado impar de G, entonces los T -joins de G son los conjuntos de aristas que, al duplicarlos, vuelven a G euleriana. Subgráficas eulerianas Si tomamos T como el conjunto vacío, entonces los T -joins de G son los conjuntos de aristas de las subgráficas de G con circuitos eulerianos. Caminos Si tomamos T como el conjunto {r, s}, entonces los T -joins de G son los conjuntos de aristas que forman un camino simple de r a s unión disjunta con cero o más circuitos. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 9 / 0
20 T -joins de costo mínimo Entrada y salida Sea G = (V, E) una gráfica conexa, T V con T par y c 0 costos en las aristas. Se desea un T -join J de G con costo mínimo c(j). Algoritmo El tiempo de ejecución es O(n ) con n = V. Para cada pareja u, v T encuentre un camino más corto de u a v, sea d u,v el costo de ese camino P u,v. 2 Sea H = (T, F ) una red completa con costos d 0 en sus aristas. 3 Encuentre un acoplamiento perfecto M de costo mínimo en (H, d). Sea J la diferencia simétrica de los conjuntos de aristas de los caminos P u,v tales que la arista uv M. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de / 0
21 Costos métricos Costos métricos Sea (G, c) una red con G completa y c 0. Diremos que los costos c son métricos si cumplen la desigualdad del triángulo, es decir, si c u,v c u,w + c w,v para cada tres vértices distintos u, v, w. T -joins con costos métricos La desigualdad del triángulo implica que para cada dos vértices distintos u, v y cualquier camino P de u a v se cumple que c u,v c(p). En otras palabras, si tenemos costos métricos entonces siempre existe un T -join de costo mínimo que es un acoplamiento. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 2 / 0
22 Ejemplos de costos métricos Distancia unitaria en una gráfica conexa Sea H = (V, F ). La red (G, c) con G completa en V y c u,v igual a la mínima longitud de un camino de u a v en H tiene costos métricos. Caminos más cortos Sea (H, c) una red con H conexa. La red (G, c) con G completa en V y c u,v igual al costo mínimo de un camino de u a v tiene costos métricos. Distancia euclideana Si V es un conjunto de puntos en el plano (espacio, etc.) euclideano. La red (G, c) con G completa en V y c u,v igual a la distancia euclideana de u a v tiene costos métricos. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de / 0
23 Contenido Gráficas y redes 2 Problemas elementales de redes 3 Problemas de cartero y T -joins Circuitos hamiltonianos Caminos hamiltonianos Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de / 0
24 Problema del ciclo hamiltoniano Ciclo hamiltoniano Un ciclo que pasa exactamente una vez por cada vértice de una gráfica. Problema NP completo Dada una gráfica G tiene un ciclo hamiltoniano? Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 2 / 0
25 Gráficas completas con costos Agente viajero Dada una gráfica completa G = (V, E) con costos en las aristas encontrar la longitud mínima de un ciclo hamiltoniano es NP duro, aunque es aproximable con garantía 3 2 si los costos son métricosa. a Christofides, Worst-case analysis of a new heuristic for the travelling salesman problem, TR 388, Carnegie-Mellon University, 97. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 2 / 0
26 Agente viajero con costos generales Agente viajero Dada una gráfica completa G = (V, E) con costos no negativos en las aristas, encontrar la longitud mínima de un ciclo hamiltoniano no se puede aproximar en tiempo polinomial (a menos que P=NP). Idea de la demostración Si se pudiera aproximar con cualquier garantía α = α( V ) entonces se podría resolver el problema del ciclo hamiltoniano en tiempo polinomial. Reducción Sea H = (V, F ) una gráfica cualquiera. Sea G = (V, E) una gráfica completa con costos en las aristas c e = si e F y c e = α V si e / F. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 2 / 0
27 Agente viajero con costos generales Observaciones sobre ciclos hamiltonianos Un ciclo hamiltoniano de G tiene costo V si sólo usa aristas de H y tiene costo α V + V en caso contrario. 2 Si H es hamiltoniana, el costo mínimo es V y si no lo es el costo mínimo es α V + V. Contradicción Si el supuesto algoritmo de aproximación existiera, entonces generaría un ciclo hamiltoniano de G de costo α V cuando H es hamiltoniana y de costo α V + V en caso contrario. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de / 0
28 Agente viajero con costos métricos Agente viajero métrico Dada una gráfica completa G = (V, E) con costos métricos en las aristas, encontrar la longitud mínima de un ciclo hamiltoniano se puede aproximar en tiempo polinomial con garantía 3 2. Costos métricos Si u, v, w V entonces c uv + c vw c uw. Simplificación Vamos a presentar un algoritmo de aproximación con garantía 2, que resulta de una simplificación del algoritmo de Christofides. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de / 0
29 Algoritmo simplificado Entrada G y c Construye un árbol abarcador S de costo mínimo en (G, c). 2 Duplica todas las aristas de S para obtener una gráfica 2S. 3 Encuentra un circuito euleriano C de 2S. Convierte C en un circuito hamiltoniano H de G saltando vértices. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de / 0
30 Propiedades de H H contiene un árbol abarcador c(s) c(h ) Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de / 0
31 Garantía de aproximación Demostración Sea H un circuito hamiltoniano de costo mínimo de (G, c). Como H contiene un árbol abarcador se tiene que c(s) c(h ). Por la condición métrica c(h) c(2s) y entonces se cumple que c(h ) c(h) c(2s) = 2c(S) 2c(H ). Christofides Se completa S a una gráfica euleriana de forma óptima. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 3 / 0
32 Algoritmo de Christofides Entrada G y c Construye un árbol abarcador S de costo mínimo en (G, c). 2 Sea T = {v V : v tiene grado impar en S}. 3 Sea J un T -join de costo mínimo en (G, c). Sea F el resultado de añadir las aristas de J a S. Encuentra un circuito euleriano C de F. Convierte C en un circuito hamiltoniano H de G saltando vértices. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de / 0
33 Propiedades de H H contiene dos T -joins disjuntos c(J) c(h ) Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de / 0
34 Garantía de aproximación Demostración Sea H un circuito hamiltoniano de costo mínimo de (G, c). Como H contiene un árbol abarcador se tiene que c(s) c(h ). Como H contiene dos T -joins disjuntos se tiene que c(j) 2 c(h ). Por la condición métrica c(h) c(f ) y entonces se cumple que c(h ) c(h) c(f ) = c(s) + c(j) 3 2 c(h ). Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 3 / 0
35 Contenido Gráficas y redes 2 Problemas elementales de redes 3 Problemas de cartero y T -joins Circuitos hamiltonianos Caminos hamiltonianos Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 3 / 0
36 Problema del camino hamiltoniano Camino hamiltoniano Un camino que pasa exactamente una vez por cada vértice de una gráfica. Problema NP completo Dada una gráfica G tiene un camino hamiltoniano? Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 3 / 0
37 Gráficas completas con costos Problema general Dada una gráfica completa G = (V, E) con costos en las aristas encontrar la longitud mínima de un camino hamiltoniano es NP duro. Tres casos k = 0 Ningún extremo especificado. k = Un extremo especificado. k = 2 Los dos extremos especificados. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de / 0
38 Modificación del algoritmo de Christofides Modificaciones requeridas Hoogeven presenta una modificación con estas características a : La unión de S y J debe tener exactamente dos vértices impares. 2 Los extremos especificados deben estar entre ellos. a Hoogeveen. Analysis of Christofides heuristic: Some paths are more difficult than cycles. Operations Research Letters 0, 29-29, 99. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de / 0
39 Algoritmo general de Hoogeveen Algoritmo de Hoogeveen Construye un árbol abarcador S de costo mínimo en (G, c). 2 Sea T el conjunto de vértices con paridad equivocada en S. 3 Sea J un T -join de costo mínimo en (G, c) + (2 k) vértices. Los 2 k vértices están unidos a cada vértice de G con aristas de costo cero, pero no están unidos entre sí. Sea F la unión de S y J: Cero o dos vértices de grado impar. El primer caso ocurre sólo si un extremo especificado pertenece a T y J lo deja expuesto: borre una arista arbitraria incidente a este vértice. Encuentra un camino euleriano P de F. Convierte P en un camino hamiltoniano H de G saltando vértices. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de / 0
40 Propiedades de H H es un árbol abarcador c(s) c(h ) Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 0 / 0
41 Ejemplo del algoritmo de Hoogeveen Ningún extremo especificado x z Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 / 0
42 Propiedades de H H contiene dos T -joins disjuntos c(J) c(h ) 2 z 2 x 3 Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 2 / 0
43 Garantía de aproximación Demostración Sea H un camino hamiltoniano de costo mínimo de (G, c). Como H es un árbol abarcador se tiene que c(s) c(h ). Como H contiene dos T -joins disjuntos se tiene que c(j) 2 c(h ). Por la condición métrica c(h) c(f ) y entonces se cumple que c(h ) c(h) c(f ) = c(s) + c(j) 3 2 c(h ). Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 3 / 0
44 Ejemplo del algoritmo de Hoogeveen Un extremo especificado (primer caso) x Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 / 0
45 Ejemplo del algoritmo de Hoogeveen Un extremo especificado (segundo caso) x Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 / 0
46 Garantía de aproximación Demostración Debemos probar que c(j) 2 c(h ). Sean s e i los extremos de H. Sea j el primer vértice en T después de s y sea k el último vértice en T. s j k i Caso : s / T Las aristas de H entre j y k forman dos T -joins disjuntos. Por lo tanto c(j) 2 c(h ) y c(h ) c(h) c(f ) = c(s) + c(j) 3 2 c(h ). x s j k i Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 / 0
47 Garantía de aproximación Caso 2: s T Las aristas de H entre s y k forman dos T -joins disjuntos J y J 2. Sea J el T -join que contiene las aristas entre s y j. x s j k i Si c(j ) c(j 2 ) entonces c(j) c(j ) 2 c(h ) y, saltando vértices, obtenemos un camino hamiltoniano con costo c(s) + c(j) 3 2 c(h ). Si c(j 2 ) c(j ) entonces la unión de S y J 2 es euleriana. Si borramos una arista incidente a s entonces, saltando vértices, obtenemos un camino hamiltoniano con costo c(s) + c(j 2 ) 3 2 c(h ). Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 7 / 0
48 Ejemplo del algoritmo de Hoogeveen Dos extremos especificados Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 8 / 0
49 Garantía de aproximación Teorema (Hoogeveen, 99) Con dos extremos especificados, H satisface c(h) 3 c(h ). Teorema (An, Kleinberg, Shmoys, 20) Existe un algoritmo de aproximación para el problema del camino hamiltoniano con dos extremos especificados y costos métricos con garantía de aproximación 2 ( + ).8. Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 9 / 0
50 Esto es todo por hoy Gracias! Posgrado en Optimización UAM Azcapotzalco Francisco Zaragoza (UAM Azcapotzalco) Algoritmos de aproximación de septiembre de 20 0 / 0
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