Particiones convexas en productos de grafos

Transcripción

1 Particiones convexas en productos de grafos Felipe Contreras Salinas DIM, Universidad de Chile Junio, 2016

2 Convexidad Definición Un conjunto S de vértices de un grafo es convexo si ningún (u, v)-camino mínimo tiene vértices fuera de S, para todo par de vértices u, v en S.

3 Convexidad Definición Un conjunto S de vértices de un grafo es convexo si ningún (u, v)-camino mínimo tiene vértices fuera de S, para todo par de vértices u, v en S.

4 Convexidad Definición Un conjunto S de vértices de un grafo es convexo si ningún (u, v)-camino mínimo tiene vértices fuera de S, para todo par de vértices u, v en S.

5 Particiones convexas p-particiónconvexa Entrada: Un grafo G Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

6 Particiones convexas p-particiónconvexa Entrada: Un grafo G Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos. NP-completo para grafos arbitrarios y p 2

7 Particiones convexas p-particiónconvexa Entrada: Un grafo G Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos. NP-completo para grafos arbitrarios y p 2 Cordados: O(1)

8 Particiones convexas p-particiónconvexa Entrada: Un grafo G Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos. NP-completo para grafos arbitrarios y p 2 Cordados: O(1) Cografos: O(n + m)

9 Particiones convexas p-particiónconvexa Entrada: Un grafo G Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos. NP-completo para grafos arbitrarios y p 2 Cordados: O(1) Cografos: O(n + m) Bipartitos: Polinomial

10 Particiones convexas p-particiónconvexa Entrada: Un grafo G Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos. NP-completo para grafos arbitrarios y p 2 Cordados: O(1) Cografos: O(n + m) Bipartitos: Polinomial Planares: O(n 7 ) para p = 2

11 Particiones convexas p-particiónconvexa Entrada: Un grafo G Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos. NP-completo para grafos arbitrarios y p 2 Cordados: O(1) Cografos: O(n + m) Bipartitos: Polinomial Planares: O(n 7 ) para p = 2 (?)

12 Producto Cartesiano Definición G 1 G2 está dado por V(G 1 G 2 ) = V(G 1 ) V(G 2 )

13 Producto Cartesiano Definición G 1 G2 está dado por V(G 1 G 2 ) = V(G 1 ) V(G 2 ) (u, x)(v, y) E(G 1 G 2 ) ssi uv E(G 1 ), x = y o u = v, xy E(G 2 )

14 Producto Cartesiano Definición G 1 G2 está dado por V(G 1 G 2 ) = V(G 1 ) V(G 2 ) (u, x)(v, y) E(G 1 G 2 ) ssi uv E(G 1 ), x = y o u = v, xy E(G 2 )

15 Métrica en el producto Definición Sean u, v V(G). Definimos el intervalo entre u y v como I G (u, v) = {w V(G): w está en un (u, v)-camino mínimo}

16 Métrica en el producto Lema Sean (u, x), (v, y) V(G 1 G 2 ). Entonces d((u, x), (v, y)) = d G1 (u, v) + d G2 (x, y)

17 Métrica en el producto Lema Sean (u, x), (v, y) V(G 1 G 2 ). Entonces Demostración. d((u, x), (v, y)) = d G1 (u, v) + d G2 (x, y) d((u, x), (v, y)) d G1 (u, v) + d G2 (x, y)

18 Métrica en el producto Lema Sean (u, x), (v, y) V(G 1 G 2 ). Entonces Demostración. d((u, x), (v, y)) = d G1 (u, v) + d G2 (x, y) d((u, x), (v, y)) d G1 (u, v) + d G2 (x, y)

19 Métrica en el producto Lema Sean (u, x), (v, y) V(G 1 G 2 ). Entonces d((u, x), (v, y)) = d G1 (u, v) + d G2 (x, y) Observación Sea P un camino mínimo en G 1 G 2. De este lema, tenemos que sus proyecciones en G 1 y G 2 son caminos mínimos.

20 Métrica en el producto Lema Sean a = (u, x), b = (v, y), c = (w, z) V(G 1 G 2 ). Entonces, b I(a, c) si y solo si v I G1 (u, w), y I G2 (x, z).

21 Métrica en el producto Lema Sean a = (u, x), b = (v, y), c = (w, z) V(G 1 G 2 ). Entonces, b I(a, c) si y solo si v I G1 (u, w), y I G2 (x, z). Demostración. ( ) Sea P (a, c)-camino mínimo que pasa por b. Entonces sus proyecciones cumplen lo pedido.

22 Métrica en el producto Lema Sean a = (u, x), b = (v, y), c = (w, z) V(G 1 G 2 ). Entonces, b I(a, c) si y solo si v I G1 (u, w), y I G2 (x, z). Demostración. ( ) urza pls

23 Métrica en el producto Lema Sean a = (u, x), b = (v, y), c = (w, z) V(G 1 G 2 ). Entonces, b I(a, c) si y solo si v I G1 (u, w), y I G2 (x, z). Observación Sea S convexo en G 1 G 2. De este lema, tenemos que sus proyecciones en G 1 y G 2 son convexas.

24 Convexidad en el producto Teorema Los conjuntos convexos de G 1 G 2 son de la forma S 1 S 2, donde S 1 y S 2 son convexos en G 1 y G 2, respectivamente.

25 Convexidad en el producto Teorema Los conjuntos convexos de G 1 G 2 son de la forma S 1 S 2, donde S 1 y S 2 son convexos en G 1 y G 2, respectivamente. Demostración. ( ) Del lema anterior, si S 1, S 2 convexos S 1 S 2 convexo.

26 Convexidad en el producto Teorema Los conjuntos convexos de G 1 G 2 son de la forma S 1 S 2, donde S 1 y S 2 son convexos en G 1 y G 2, respectivamente. Demostración. ( ) urza pls

27 Convexidad en el producto Teorema Los conjuntos convexos de G 1 G 2 son de la forma S 1 S 2, donde S 1 y S 2 son convexos en G 1 y G 2, respectivamente. Demostración. ( ) urza pls

28 Convexidad en el producto Teorema Los conjuntos convexos de G 1 G 2 son de la forma S 1 S 2, donde S 1 y S 2 son convexos en G 1 y G 2, respectivamente. Demostración. ( ) urza pls

29 Convexidad en el producto Teorema Los conjuntos convexos de G 1 G 2 son de la forma S 1 S 2, donde S 1 y S 2 son convexos en G 1 y G 2, respectivamente. Demostración. ( ) urza pls

30 Convexidad en el producto Teorema Los conjuntos convexos de G 1 G 2 son de la forma S 1 S 2, donde S 1 y S 2 son convexos en G 1 y G 2, respectivamente. Demostración. ( ) urza pls

31 Convexidad en el producto Teorema Sea G 2 de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, m [p]. Entonces G 1 G 2 tiene una t-partición convexa ssi G 1 tiene una q-partición convexa tal que t [q, pq].

32 Convexidad en el producto Teorema Sea G 2 de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, m [p]. Entonces G 1 G 2 tiene una t-partición convexa ssi G 1 tiene una q-partición convexa tal que t [q, pq]. Demostración. ( ) urza pls

33 Convexidad en el producto Teorema Sea G 2 de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, m [p]. Entonces G 1 G 2 tiene una t-partición convexa ssi G 1 tiene una q-partición convexa tal que t [q, pq]. Demostración. ( ) urza pls

34 Convexidad en el producto Teorema Sea G 2 de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, m [p]. Entonces G 1 G 2 tiene una t-partición convexa ssi G 1 tiene una q-partición convexa tal que t [q, pq]. Demostración. ( ) q < q : no hay r (q, q ) tq G 1 tiene r-pc, t (pq, q )

35 Convexidad en el producto Teorema Sea G 2 de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, m [p]. Entonces G 1 G 2 tiene una t-partición convexa ssi G 1 tiene una q-partición convexa tal que t [q, pq]. Demostración. ( ) q < q : no hay r (q, q ) tq G 1 tiene r-pc, t (pq, q )

36 Convexidad en el producto Teorema Sea G 2 de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, m [p]. Entonces G 1 G 2 tiene una t-partición convexa ssi G 1 tiene una q-partición convexa tal que t [q, pq]. Demostración. ( ) q < q : no hay r (q, q ) tq G 1 tiene r-pc, t (pq, q )

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