INAPROXIMABILIDAD. Curso: Algoritmos de aproximación Docente: Pablo Romero Estudiante: Daniel La Buonora Octubre de 2016

Transcripción

1 INAPROXIMABILIDAD Curso: Algoritmos de aproximación Docente: Pablo Romero Estudiante: Daniel La Buonora Octubre de 2016

2 Plan de la presentación - Definición de inaproximabilidad - Ejemplo con el problema general del viajante - Introducción al Max3Sat - PCP s - Inaproximabilidad de Max3sat - Inaproximabilidad de independent set

3 INAPROXIMABILIDAD

4 Qué es aproximabilidad? La teoría de la aproximabilidad es una extensión de la teoría de la complejidad. Esta se pregunta que volumen de recursos son necesarios para obtener la solución a un problema. (Generalmente cantidad de operaciones en el peor de los casos). Ahora nos preguntaremos, cuan cerca de la solución de un problema estaremos aplicando una cantidad acotada de recursos.

5 Qué es aproximabilidad? Definimos aproximabilidad como la propiedad de un algoritmo que a) corre en tiempo polinomial y b) existe un α menor que 1 tal que el resultado va a ser mayor que α por el valor óptimo (máximo en este caso y con las transformaciones adecuadas para mínimo). Definiremos inaproximabilidad como la propiedad de un problema de no poder obtener una solución que exceda α por el valor del óptimo.

6 El problema general del viajante Esta instancia está dada por una lista de vértices de un grafo x i (1 i n) y un conjunto de costos c ij El problema es encontrar una permutación de los vértices llamémosla x i1, x i2, x in Que pase una única vez por cada uno de los vértices y que haga mínimo k c ikjk + c i1in

7 Inaproximabilidad del problema del viajante A continuación se mostrará que no existe un algoritmo capaz de encontrar una solución aproximada a este problema en su versión general. Supongamos por el absurdo que tal algoritmo existe. Creemos un nuevo grafo G completo, que tenga los mismos vértices que G. Como costos entre los nodos i y j, pondremos 1 si el arco ij existe en G e y un valor arbitrario M muy grande si el arco no existe en G. Apliquemos nuestro algoritmo al nuevo problema y obtendremos un recorrido con un costo C. Si este costo C es igual a n (la cantidad de vértices), el algoritmo ha tomado arcos que pertenecen únicamente al grafo original que tenía entonces un circuito hamiltoniano. Si este costo C es mayor, nuestro grafo no tenía un circuito hamiltoniano ya que el mínimo tuvo que hacer uso de arcos artificiales del grafo G.

8 Conclusiones Suponiendo la existencia de un algoritmo de aproximación, hemos resuelto en tiempo polinomial el problema del circuito hamiltoniano que sabemos que es np completo. Esto es un absurdo a menos que P = NP. Muy a menudo el razonamiento consiste en reducir un problema que sabemos que es NP al problema que estamos estudiando. Este último solo puede tener solución si P = NP. Hay ciertos problemas entonces que no es posible resolver por medio de la aproximabilidad, por ejemplo los problemas de satisfacción.

9 SATISFACCIÓN

10 Problemas de satisfacción Los problemas SAT son un conjunto de problemas que se refieren a satisfacer frases lógicas. Nosotros nos referiremos en particular al Max 3 Sat. Tenemos una expresión booleana, en forma conjuntiva normal. Es un conjunto de frases que consisten en el OR de exactamente 3 literales. Cada literal es una de n variables lógicas o su negación. El problema Max 3 Sat consiste en encontrar una asignación a las variables X, Y,,Z que hagan máxima la cantidad de frases satisfechas. El teorema de Cook nos dice que el problema SAT es NP completo.

11 Ejemplo Consideremos el siguiente ejemplo: (X Ս Y Ս Z) (X Ս Y) (Y Ս Z) (Z Ս X) ( X Ս Y Ս Z) Notemos que no es 3Sat ya que sus tres frases centales tienen 2 literales cada una. Una asignación posible es X=Y=Z=True que satisface a todas menos la última. Existe una asignación que las satisfaga a todas? No, ya que para satisfacer las tres centrales, necesitamos que las tres variables tengan el mismo valor y si este es True, se satisface la primera pero no la última y si es False, se satisface la última pero no la primera.

12 Algoritmo de asignación aleatoria I Para cada una de las variables, asignar aleatoria e independientemente True o False con probabilidad ½. Teorema: El algoritmo aproxima a 7/8. Demostración: a. Definamos Z i = 1 si la i-ésima frase es satisfecha por la asignación b. Z i = 0 si no c. Z es su suma. E(Z) = j E(Z j ) = P(C j sea satisfecha) =7/8 m Corolario: Para cada problema Max3Sat, siempre existe por lo menos una asignación que satisface 7/8 de sus frases o más. Demostración: Una variable aleatoria toma alguna vez un valor mayor que su esperanza.

13 Algoritmo de Johnson Generar aleatoriamente asignaciones hasta encontrar una que satisfaga más de 7/8 de las frases. La garantía de aproximación la obtenemos si el algoritmo para, ya que se detiene cuando satisface más de 7/8 de las frases. Lema: La probabilidad de que una asignación aleatoria satisfaga más de 7/8 de las frases es 1/(8m). E(Z) = 7/8 m = 0 m j P j 0 7m/8 j p j + k 7m/8 m p j 7/8 m 1/8 + mp y de acá sacamos que p 1/(8m)

14 Duración del proceso Consideremos una serie de experimentos aleatorios con probabilidad p de triunfo y 1-p de fracaso. Nos preguntamos cuantos experimentos son necesarios para obtener el primer triunfo. La probabilidad de necesitar exactamente j es p(1-p) j-1 La esperanza de j es 1/p. En nuestro caso, la esperanza de la cantidad de extracciones necesarias es 8m

15 PROBABILISTIC CHECKABLE PROOF (PCP)

16 Complejidad En el contexto de complejidad, el reconocimiento de una frase se hace a través de una prueba w de largo w y una máquina de Turing que acepta en tiempo polinomial o rechaza o no se detiene nunca más en caso contrario. Nótese que el tiempo polinomial implica que w tiene largo polinomial también ya que si no no habría tiempo para leerla.

17 PCP s Los PCP, relajan esta definición de reconocimiento de la siguiente forma: La máquina de Turing dispone de un generador de números aleatorios que puede utilizar a su gusto según el problema. Accede solamente a algunos bits de la prueba que puede elegir a su gusto. Si la frase sometida es aceptable, existe una prueba en la que todos los conjuntos de r bits son aceptables. Si la frase no es aceptable, en ninguna prueba habrá más de la mitad de los conjuntos de r bits aceptables.

18 Ejemplo Un reconocedor clásico para un problema Sat, leerá una expresión E que contendrá alguna codificación del problema y una prueba que será una sucesión x de asignaciones para cada una de las variables. El trabajo del reconocedor será verificar que se cumpla cada una de las frases de E, lo que obviamente se puede hacer en tiempo polinómico. Al verificar la totalidad de las frases, la probabilidad de error es nula. Se admite que el rechazo sea implícito (la máquina puede no detenerse nunca).

19 Un reconocedor probabilístico, utilizará n (orden logarítmico de la cantidad de frases) bits aleatorios con los que identificará una de las frases de E. A partir de ella, identificará las asignaciones para las tres variables implicadas y verificará su satisfacción. Si la expresión se satisface en su totalidad, todos los grupos de 3 asignaciones satisfacerán la frase, por lo que será aceptada con probabilidad 1. Si la expresión no se satisface habrá k frases que no se satisfacen. El reconocedor se equivocará aceptando con probabilidad (m-k)/m.

20 Definición de los PCP s Una frase x ε L si existe una máquina de Turing que en tiempo polinómico, acepta x y una prueba w. Hace uso de r( x ) bits aleatorios y lee q ( x ) bits de la prueba w. Si x ε L, existe una prueba para la que la máquina acepta con probabilidad 1. Si x no pertenece a L, todas las pruebas son o rechazadas o aceptadas con probabilidad menor que ½.

21 Teorema PCP (I) Probaremos una versión liviana del PCP. PCP(log,poly) = NP Es obvio que NP es parte de PCP(0,n) ya que podemos ver el reconocedor clásico, como un reconocedor probabilístico que no hace uso de números aleatorios y lee toda la prueba.

22 Teorema PCP (II) Para probar que PCP(log,poly) es parte de NP, consideremos una expresión L y construyamos una prueba aceptable para un reconocedor clásico. Para eso, corramos todas las instancias de PCP (que tienen cardinalidad polinomial) e identifiquemos todos los bits (poly) leídos. Juntemos esto en una única prueba de tamaño polinomial. (2 r q)

23 Teorema fundamental PCP El teorema básico y realmente profundo de los PCPs es el siguiente: NP = PCP(log,1)

24 Max3Sat Demostraremos que existe un ε tal que aproximar el Max3Sat a menos de ε es un problema Np completo. El plan es: - A partir de un problema SAT (que sabemos que es NP completo), crear un problema Max3sat de solución conocida. - Comprobar que si podemos aproximar el Max3sat, también podemos reconocer el SAT lo que es un absurdo.

25 Consideremos una instancia de un problema SAT cualquiera. Como es NP completo, sabemos que tiene un PCP(log,n) con parámetros c y q. Esto significa que dada una instancia y una prueba, el reconocedor sacará qn c números aleatorios r i y por cada uno de ellos irá a la posición r i de la prueba de donde sacará q bits. Para cada uno de esos n c strings haremos una expresión que la acepte y con ella haremos un Max3Sat. (####) Si θ es reconocida todas las strings serán aceptadas y la respuesta del Max3sat debe ser 1. Si θ no es reconocida, es aceptada con probabilidad < ½, por lo que menos de n c /2 se cumplen.

26 Final. Si tenemos un algoritmo de aproximación con garantía α para el problema Max3Sat, dado un problema SAT podemos hacer la reducción descripta y correr el algoritmo de aproximación. Si nos da α o más significa que el óptimo está en 1, por lo que el SAT se satisface, mientras que si nos da menos, el SAT no se satisface. El absurdo esta en que hemos podido resolver el SAT en tiempo polinomial.

27 Independent set

28 Inaproximabilidad de independent set Teorema: No hay una aproximación α al problema independent set si α es menor que 7/8. Para demostrarlo haremos una reducción del problema SAT al independent set de la siguiente forma: Dado un problema 3 Sat con n variables y m frases Definamos por cada frase i, tres vértices vij correspondientes a cada literal. Definamos un arco entre cada uno de estos tres vértices. Definamos arcos adicionales entre vértices de distintas frases correspondientes a la misma variable negada.

29 El problema del independent set

30 Demostración (I) Supongamos que tenemos una solución válida para el independent set. Una solución para el 3Sat se obtiene asignando True a cada variable que esté en el independent set y False para cada variable que esté negada en el independent set. Una variable no puede estar de ambas formas en el independent set ya que si es así están conectadas. Si alguna variable no está en el independent set la asignamos arbitrariamente.

31 Demostración (II) Similarmente, si tenemos una solución al 3Sat, tomamos cada frase satisfecha y de ella tomamos un literal y lo ponemos en el independent set en forma natural o negada. Es claro que el tamaño del independent set será la cantidad de frases satisfechas en el 3Sat. Si esto es así y hemos resuelto el 3Sat con una garantía de 7/8 tendremos la misma garantía para independent set.