Prof.Juan Cabral - UTU Maldonado. Tablas de pertenencia

Transcripción

1 Tablas de pertenencia

2 TABLAS DE PERTENENCIA Una técnica para probar igualdades entre conjuntos es la tabla de pertenencia. Se observa que para los conjuntos A y B U, un elemento x U cumple exactamente una de la cuatro situaciones siguientes: a) x A, x B; b) x A, x B; c) x A, x B; d) x A, x B. Asignando el valor de verdad 1 (verdadero) si x A y 0 (falso) si x A quedan determinadas cuatro regiones en el Universal de acuerdo con la siguiente tabla:

3 REGIONES DEL UNIVERSAL x A x B Región 0 0 (1) 0 1 (2) 1 0 (3) 1 1 (4) U (1) A B (3) (4) (2)

4 Cuántas operaciones tenemos para dos conjuntos? Como son dos conjuntos tenemos 4 entradas posibles por lo que la cantidad de operaciones que se pueden definir son: 2 4 = 16 La tabla siguiente nos muestra las 16 operaciones posibles

5 Operaciones entre dos conjuntos: A B R E G I O N A B A B A B A-B B-A A B A B (A B) B (B-A) (A-B) A (A B) U U Complemento Unión de la Diferencia de la A B Diferencia Complemento Universal Diferencia Identidad Simétrica Complemento : Regiones de Simétrica la (2) la Diferencia: Unión (3) (4) Regiones Conjunto Regiones Intersección A B: A-B Región (1) vacío (1) (2) (4) (4) A B Regiones Región (2) (1) (3) (3) (4) Conjunto : B-A B : Regiones B: Región A: Regiones (1) (1) (1)(2) (2) (3) (2)(3) (2) (3)(4) (4) (B-A) (A-B):: Regiones (1) (2) (3) (4) A B A B (3) (4) (2) (1)

6 Unión Intersección y Complemento A B A B A B A A

7 Las tablas de pertenencia nos permiten verificar propiedades del álgebra de conjuntos: Por ejemplo: A (B C) = (A B) (A C) (Propiedad Distributiva de la intersección respecto de la unión)

8 La tabla de pertenencia nos queda:?= A (B C) (A B) (A C) Se verifica la propiedad

9 Aplicación: Representación de conjuntos en un computador Existen varias formas de representar conjuntos en una computadora. Una forma sería almacenar los elementos del conjunto de manera desordenada. Sin embargo si se hace de esta manera las operaciones para calcular la unión, intersección o diferencia serían demasiado costos en tiempo y recursos. Un método que simplificaría el cálculo es el siguiente: Consideremos un conjunto (arbitrariamente ordenado) U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y el conjunto A={ 1,3,5,6,7,9} incluido en él. Utilizando el concepto de pertenencia se podría sustituir el conjunto A por una cadena de bits de longitud igual al cardinal del Universal, de tal manera que si el elemento pertenece al conjunto A lo indicamos con 1 y si no pertenece con 0. Así el conjunto A quedaría representado mediante la cadena de bits con respecto al Universal: al universal le correspondería y al conjunto vacío la cadena

10 Operaciones con cadenas de bits: En un computador, las operaciones con bits se corresponden con los conectivos lógicos. Por ejemplo, los conectivos lógicos,, son las operaciones AND, OR, XOR. Las operaciones están bien definidas para cadenas de bits de la misma longitud, que usualmente, se separan de a cuatro para leerlas mejor. Sean las cadenas de bits y aplicando las operaciones con bits AND, OR y XOR nos resulta: AND OR XOR

11 Operaciones entre conjuntos utilizando cadena de bits: Volviendo al ejemplo anterior sean los conjuntos: U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A={ 1,3,5,6,7,9} y B{1,2,5,6,8,10} Hallar mediante cadenas de bits: A B, A B, A, B, A-B y B A Las cadenas que representan cada conjunto son: U: A: B: A B = ( ) = AND O sea que A B ={1,5,6} como era de esperarse A B= ( )= OR O sea que A B ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

12 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A={ 1,3,5,6,7,9} y B{1,2,5,6,8,10} Los complementos los obtenemos negando las cadenas de bits respectivas: A = ( ) = O sea A ={2,4,8,10} B =not ( ) = O sea B ={3,4,7,9} A-B = ( ) = O sea que A-B ={3,7,9} A B= ( ) = XOR O sea que A B ={2,3,7,8,9,10}

13 T/D: Realizar los ejercicios 1, 2 y 4 del Práctico 2 de Introducción a la Computación utilizando cadenas de bits.