MATEMÁTICAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

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1 COLEGIO COLOMBO BRITÁNICO Formación en la Libertad y para la Libertad MATEMÁTICAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS GRADO:6 O DOCENTE: Nubia E. Niño C. FECHA: 7 / 02 / 18 Guía Didáctica 1-3 Desempeño: * Realiza operaciones entre conjuntos de forma gráfica y analítica. APRENDE: Palabras Claves: unión de conjuntos, intersección de conjuntos, complemento de conjuntos, diferencia entre conjuntos. 1) Unión de conjuntos: Al realizar esta operación estamos conformando un nuevo conjunto, que se llama conjunto solución, que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estén uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita en el conjunto solución. Ejemplo: A B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} el elemento 2 que es común a los dos conjuntos SOLO se escribe 1 vez. Se define por comprensión o se denota como: A B = {x/x A x B} Ejemplo # 1: Dados: A = {3, 5, 7, 9} B = {1, 2, 3, 4, 5} C= {4, 5, 6, 7, 8} A B = {1, 2, 3, 4 5, 7, 9} Observe que el resultado A B contiene elementos repetidos {3, 5}, pero solo se escriben una vez.

2 A B C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Propiedades: a) A B = B A conmutativa b) (A B) C = A (B C) asociativa c) A = A d) A U = U 2) Intersección de conjuntos: Esta operación entre conjuntos conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta operación. Se define por comprensión o se denota como: A B = {x/x A x B} Por ejemplo si consideramos los conjuntos A, B y C mencionados en el ejemplo # 1, al operar; se obtiene: A B = {3, 5} B C = {4, 5} A B C = {5} Puesto que es el único elemento que está en los tres conjuntos. Propiedad asociativa: (A B) C Observe que en este ejemplo se está aplicando la propiedad asociativa para la operación de unión entre A y B y a su resultado hacer la intersección con C. (A B) C = {1, 2, 3, 4, 5, 7,9} {4, 5, 6, 7, 8} = {4, 5, 7} (A B) C = {4, 5, 7} Propiedades: a) A B = B A conmutativa b) (A B) C = A (B C) asociativa c) A (B C) = (A B) (A C) distributiva d) A (B C) = (A B) (A C) distributiva e) A = f) A U = A 3) Complemento de un conjunto: Se buscan todos los elementos que le hagan falta a un conjunto (A c = A ) para convertirse o ser el conjunto universal o referencial. Para hallar el complemento de un conjunto siempre nos deben dar el conjunto universal. El complemento de un conjunto A C o A, se define por comprensión o se denota así: A c = {x /x U x A}

3 4) Diferencia de conjuntos: Cuando se analiza la diferencia entre A y B (se simboliza como: A B), se obtiene como respuesta: el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y que no pertenecen al conjunto B. Se define por comprensión o se denota así: A B = {x /x A x B} Por ejemplo si consideramos los conjuntos A, B: Propiedades: a) Si A B A B= b) Si B A A B= B c (complemento de B con respecto a A} c) A = A d) A U = e) U A = A C La diferencia entre dos conjuntos no cumple la propiedad conmutativa. 5) Diferencia simétrica de conjuntos: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a la unión de A y B y no pertenecen a la intersección entre A y B; se simboliza: A B. 6) Resumen operaciones entre conjuntos: Unión: En un Diagrama de Venn, la unión de dos conjuntos A y B, dependiendo de cómo se relacionan entre ellos, se ve como sigue: Se define por comprensión o se denota como: A B = {x/x A x B}

4 Intersección: En un Diagrama de Venn, la intersección de dos conjuntos A y B, dependiendo de cómo se relacionan entre ellos, se ve como sigue: Se define por comprensión o se denota como: A B = {x/x A x B} Diferencia: En un Diagrama de Venn, la diferencia de A con B, dependiendo de cómo se relacionan los conjuntos, se ve como sigue: Se define por comprensión o se denota así: A B = {x /x A x B} Complemento: En un Diagrama de Venn, el complemento de un conjunto se ve como sigue: Se define por comprensión o se denota así: A c = {x /x U x A} Diferencia simétrica: En un Diagrama de Venn, la diferencia simétrica de F con B, se ve como sigue: APOYO - VÍDEOS RECOMENDADOS: Observa estos vídeos que te ayudarán a aprender y afianzar las operaciones entre conjuntos: Operaciones entre conjuntos: Operaciones entre conjuntos: Diagramas de Venn (Operaciones): Operaciones entre conjuntos: Operaciones entre conjuntos:

5 BREVE RESEÑA HISTÓRICA DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS ; (MINI PLAN LECTOR): Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos: Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos. Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos comunes de A y B. Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A. Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez. APLICACIÓN: NOTA Todo el taller se desarrolla en el cuaderno; mostrar proceso y dar claramente la(s) respuesta(s). Trabajar ordenadamente. Grado de dificultad: Los puntos # 10, # 13, # 14, # 17, # 18, # 19, #21 y # 25 tienen un grado de dificultad alto; los demás puntos tienen un grado de dificultad básico. ACTIVIDADES: 1) La unión entre dos conjuntos puede tener más elementos que los dos conjuntos?; sustentar la respuesta. 2) Observar los siguientes conjuntos; luego, determinar por extensión la unión de M G: G = {e, x, i, t, o} y M = {t, r, i, u, n, f, o} 3) En los diagramas de Venn que siguen, rayar A B:

6 4) Encuentre la intersección de A y B por extensión, y luego hacer un diagrama de Venn. A = {x / x N, x es un número mayor que 4 y menor que 8} B = {x / x N, x es un número positivo menor que 7} 5) Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}? 6) Si U = {letras de la palabra evaluación} y A = {vocal de la palabra internet}. Calcular el complemento de A. 7) Encontrar la diferencia de B A por extensión, luego hacer un diagrama de Venn A = {x / x N, x es un número mayor que 6 y menor que 10} B = {x / x N, x es un número N menor que 15} 8) Sean los conjuntos A = { 3, 2, 0, 2, 4}, B = { 4, 2, 1, 3, 4}, hallar las siguientes diferencias: a) A B b) B A 9) Escribir cada conjunto por extensión. Luego, determinar por extensión las diferencias simétricas propuestas: M = { x / x N, es un número par menor que 8} N = { x / x N, es un dígito par} W = { x /x N, es un dígito impar} K = { x / x N, es un número primo menor que 14} a) M N b) N K c) W N d) K W 10) Consideremos U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} como conjunto universal y A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} y C = {3,4,5,6}. Hallar: a) A B; b) C A; c) B C; d) (A B) C; e) B C; f) C A; g) B C ; h) A B 11) Leer la situación. Luego, responder la pregunta, utilizar diagrama de Venn para visualizar mejor el problema. Un club deportivo compró 60 maletines y encontró que estaban dañados. 16 solamente tenían el daño P 6 tenían los daños P, Q y R 10 tenían solo el daño Q 10 tenían los daños P y Q 31 tenían el daño P 27 tenían el daño Q Cuántos maletines tienen el daño R? 12) Sean los conjuntos U = {a, b, c, d, e, f, h, i} A = {a, c, g} B = {b, e, f} C = {a, b, e, g, i} Hallar: a) A C b) B C c) C B d) A (B C) e) C A 13) Dados los siguientes conjuntos, indique qué elementos corresponden a las siguientes operaciones: A = {aves} V = {seres vivos que vuelan} N = {seres vivos que nadan} a) A V b) A N c) (A V) N d) (V N) N e) V (A N)

7 14) Dibujar un diagrama de Venn para cada caso, sombrea la región que representa cada uno de los siguientes conjuntos con diferente color: 15) Observar el diagrama de Venn y determinar por extensión cada operación: a) C A b) B C c) B (A C) d) C A e) B C A a) B A b) C B c) B (A C) d) A C B e) C B 16) Observar el diagrama de Venn, luego, determinar por extensión la unión planteada y verificar o comprobar la igualdad: (A B) F = A (B F) 17) Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} es el conjunto universal y A = {1, 4, 7, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {2, 4, 6, 8}, definir por extensión los siguientes conjuntos: a) B C (C A) b) A (B C) C c) (A B) C C d) (A B) C e) (A B) (C B) 18) Dados los siguientes conjuntos, representar mediante un Diagrama de Venn la solución a cada operación de conjuntos y determinar por extensión cada conjunto solución. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} A = {4, 8, 10, 12} B = { 3, 6, 9, 12, 15} C = {1, 2, 3, 11, 12, 13} D = {1, 5, 6, 10, 11} E = {12, 13, 14, 15} a) (A B) C b) (D E) A c) E D d) (B C) C

8 19) En los diagramas de Venn que siguen, rayar o sombrear el resultado de las operaciones indicadas: (a) (b) 20) Observar el diagrama de Venn y determinar por extensión los elementos que corresponden a las siguientes operaciones: a) (B C) C b) (A C) C c) A B C d) C ( B A) e) A B f) (C B) C A 21) Leer la siguiente situación. Luego, con base en el diagrama de Venn responder. En la floristería El Pétalo se hacen ramos para el día de San Valentín con tres tipos de flores: rosas, claveles y astromelias. Algunos ramos se hacen con un solo tipo de flor, otros con dos tipos de flor, otros con los tres y en otros se utilizan otros tipos de flor. En el diagrama de Venn se representan las cantidades de ramos que se elaboraron para el día de San Valentín. a) Cuántos ramos en total se elaboraron para el día de San Valentín? b) Cuántos ramos tienen astromelias y claveles pero no rosas? c) Cuántos ramos tienen rosas o astromelias pero no claveles? d) Cuántos ramos tienen solamente rosas? e) Cuántos ramos tiene solamente claveles? 22) Se preguntó a 50 padres de alumnos sobre los deportes que practicaban, obteniéndose los siguientes resultados: 20 practican sólo fútbol, 12 practican fútbol y natación y 10 no practican ninguno de estos deportes. Con estos datos averigua el número de padres que practican natación, el número de ellos que sólo practican natación y el de los que practican alguno de dichos deportes. 23) A una prueba de ingreso a la Universidad se presentaron 100 alumnos, de los cuales 65 aprobaron el examen de Matemáticas, 25 el de Matemáticas y Física y 15 aprobaron sólo el de Física. Cuántos no aprobaron ninguno de los exámenes mencionados? 24) En una investigación realizada a un grupo de 100 personas, que estudiaban varios idiomas fueron los siguientes: Español 28, Alemán 30, Francés 42, español y Alemán 8, español y Francés 10, alemán y Francés 5 y los tres idiomas

9 3. (Utilizar diagrama de Venn para visualizar mejor el problema) a) Cuántos alumnos no estudiaban idiomas? b) Cuántos alumnos tenían como francés el único idioma de estudio? c) Cuántos alumnos estudiaban español y alemán, pero no francés? d) Cuántos alumnos estudiaban francés o español? 25) Escribir la operación que representa la parte sombreada en cada uno de los diagramas. a. b. c. d. APOYO ACTIVIDADES INTERACTIVAS (LÚDICAS): En estas páginas encontraras actividades interesantes (Interactivas) para el estudio de las operaciones entre conjuntos. Relaciones. Operaciones entre conjuntos: Operaciones entre conjuntos: Operaciones entre conjuntos: Fuentes Bibliográficas: Salazar Suárez, Francia. Hipertexto 6, Editorial Santillana, 2010 Rodríguez Sáenz, Benjamín. Matemáticas Prentice Hall 6, Editorial Pearson, Salgado Ramírez, Diana. Nuevas Matemáticas 6, Editorial Santillana 2007 Nubia Esmeralda Niño Cárdenas ml Imágenes de:

10 emplo.html Si tienes un porqué para vivir encontrarás casi Siempre el cómo Nietzsche