El problema de dominación Grundy para grafos block

Transcripción

1 El problema de dominación Grundy para grafos block Expositor: Carolina Lucía González Autores: Gabriela Argiroffo, Carolina Lucía González Universidad Nacional de Rosario 22 de septiembre de 2016

2 Definiciones Sea G = (V (G), E(G)) un grafo y v V (G).

3 Definiciones Sea G = (V (G), E(G)) un grafo y v V (G). La vecindad cerrada de v es N[v] = {u : vu E(G)} {v}

4 Definiciones Sea G = (V (G), E(G)) un grafo y v V (G). La vecindad cerrada de v es N[v] = {u : vu E(G)} {v} D V (G) es un conjunto dominante si D N[v] v V (G).

5 Definiciones Sea S = (v 1,..., v k ) una sucesión de vértices distintos de G.

6 Definiciones Sea S = (v 1,..., v k ) una sucesión de vértices distintos de G. S es una sucesión legal si N[v i ] i 1 j=1 N[v j ] i {2,..., k}

7 Definiciones Sea S = (v 1,..., v k ) una sucesión de vértices distintos de G. S es una sucesión legal si N[v i ] i 1 j=1 N[v j ] i {2,..., k} S es una sucesión legal dominante si S es legal y {v 1,..., v k } es un conjunto dominante.

8 Ejemplo de una sucesión legal dominante

9 Ejemplo de una sucesión legal dominante 1

10 Ejemplo de una sucesión legal dominante 2 1

11 Ejemplo de una sucesión legal dominante 2 3 1

12 Ejemplo de una sucesión legal dominante

13 Ejemplo de una sucesión legal dominante

14 Ejemplo de una sucesión legal dominante

15 El problema de dominación Grundy El número de dominación Grundy de G (γ gr (G)) es la máxima longitud de una sucesión legal dominante.

16 El problema de dominación Grundy El número de dominación Grundy de G (γ gr (G)) es la máxima longitud de una sucesión legal dominante. S es una sucesión dominante de Grundy si es legal dominante y de longitud máxima.

17 El problema de dominación Grundy El número de dominación Grundy de G (γ gr (G)) es la máxima longitud de una sucesión legal dominante. S es una sucesión dominante de Grundy si es legal dominante y de longitud máxima. De manera natural, se puede formular el siguiente problema de decisión asociado: Número de dominación Grundy (Gr-DOM) Instancia: G = (V, E), j N. Pregunta: γ gr (G) j?

18 Resultados preliminares Brešar et al. (2014, 2016):

19 Resultados preliminares Brešar et al. (2014, 2016): (Gr-DOM) es NP-completo incluso para grafos cordales [2].

20 Resultados preliminares Brešar et al. (2014, 2016): (Gr-DOM) es NP-completo incluso para grafos cordales [2]. Existen algoritmos lineales para grafos split, cografos, árboles [2] y grafos de intervalo [1].

21 Grafos block Un grafo block es un grafo en cual todas sus componentes biconexas son cliques.

22 Grafos block Un grafo block es un grafo en cual todas sus componentes biconexas son cliques. Por ejemplo:

23 Parámetros Definición Dados G = (V, E), v V y S = (v 1,..., v k ) sucesión legal, decimos que S satisface la propiedad

24 Parámetros Definición Dados G = (V, E), v V y S = (v 1,..., v k ) sucesión legal, decimos que S satisface la propiedad AS si v S

25 Parámetros Definición Dados G = (V, E), v V y S = (v 1,..., v k ) sucesión legal, decimos que S satisface la propiedad AS si v S F I si i / v = v i v i N[v i ] i 1 j=1 N[v j ]

26 Parámetros Definición Dados G = (V, E), v V y S = (v 1,..., v k ) sucesión legal, decimos que S satisface la propiedad AS si v S F I si i / v = v i v i N[v i ] F A si i / {v} = N[v i ] i 1 j=1 i 1 j=1 N[v j ] N[v j ]

27 Parámetros Definición Dados G = (V, E), v V y S = (v 1,..., v k ) sucesión legal, decimos que S satisface la propiedad AS si v S F I si i / v = v i v i N[v i ] F A si i / {v} = N[v i ] i 1 j=1 P si no satisface la propiedad P i 1 j=1 N[v j ] N[v j ]

28 Parámetros Definición Dadas P 1,..., P r propiedades que puede satisfacer una sucesión legal, notamos γ P 1,...,P r gr (G, v) al máximo cardinal de una sucesión legal que satisface las propiedades P 1,..., P r para el grafo G y el vértice v.

29 Parámetros En este caso, los parámetros que nos interesan son: γ AS gr γ F I gr γ F I,F A gr γ AS,F I gr γ AS,F A gr γ AS gr γ F I gr γ F I,F A gr γ F A gr γ AS,F A gr

30 Relaciones entre los parámetros Teorema Para todo grafo G y vértice v V (G): γ gr(g) = γgr AS (G, v) γgr F I,F A (G, v) γgr F I (G, v) γgr F A (G, v) = γgr AS,F A (G, v) γgr F I (G, v) γ F I,F A gr (G, v) 1 γ AS gr (G, v) γ AS,F I gr (G, v) γ F I gr (G, v) 1 γ AS,F A gr (G, v) γ gr(g) 1 γ F A gr (G, v) 1 γas gr (G, v) 1 γ gr(g) 2

31 Parámetros Observación: Si bien varios de los parámetros se encuentran acotados entre γ gr (G) y γ gr (G) 2, se pueden dar diversas combinaciones de estos valores.

32 Parámetros Observación: Si bien varios de los parámetros se encuentran acotados entre γ gr (G) y γ gr (G) 2, se pueden dar diversas combinaciones de estos valores. Por ejemplo: v 4 = γ gr(g) = γgr F I,F A (G, v) = γgr F I (G, v) = γgr F A (G, v) = γgr AS (G, v) = γgr AS,F I (G, v) = γgr AS,F A (G, v) = γgr F I (G, v) = γgr F I,F A (G, v)

33 Parámetros Observación: Si bien varios de los parámetros se encuentran acotados entre γ gr (G) y γ gr (G) 2, se pueden dar diversas combinaciones de estos valores. Por ejemplo: v 4 = γ gr(g) = γgr F I,F A (G, v) = γgr F I (G, v) = γgr AS,F I (G, v) 3 = γgr F A (G, v) = γgr AS (G, v) = γgr F I (G, v) = γgr F I,F A (G, v) 2 = γgr AS,F A (G, v)

34 El algoritmo Dado un grafo G con componentes biconexas C 1,..., C k, construimos el grafo T G de la siguiente manera:

35 El algoritmo Dado un grafo G con componentes biconexas C 1,..., C k, construimos el grafo T G de la siguiente manera: V (T G ) = V (G) {c 1,..., c k }

36 El algoritmo Dado un grafo G con componentes biconexas C 1,..., C k, construimos el grafo T G de la siguiente manera: V (T G ) = V (G) {c 1,..., c k } k E(T G ) = {vc i v C i } i=0

37 El algoritmo Dado un grafo G con componentes biconexas C 1,..., C k, construimos el grafo T G de la siguiente manera: V (T G ) = V (G) {c 1,..., c k } k E(T G ) = {vc i v C i } i=0 Se puede demostrar que T G es un árbol y puede ser obtenido en tiempo lineal.[3]

38 El algoritmo Marcamos como raíz de T G a un vértice cualquiera r V (G).

39 El algoritmo Marcamos como raíz de T G a un vértice cualquiera r V (G). Notamos con G x al subgrafo de G correspondiente al subárbol de T G con raíz en x.

40 El algoritmo Marcamos como raíz de T G a un vértice cualquiera r V (G). Notamos con G x al subgrafo de G correspondiente al subárbol de T G con raíz en x. Definimos dos funciones mutuamente recursivas f V y f C :

41 El algoritmo Marcamos como raíz de T G a un vértice cualquiera r V (G). Notamos con G x al subgrafo de G correspondiente al subárbol de T G con raíz en x. Definimos dos funciones mutuamente recursivas f V y f C : Si v V (G), f V (v) calcula γgr AS (G v, v), γgr AS (G v, v), γgr F I (G v, v), γgr F I (G v, v), γgr F I,F A (G v, v), γgr F I,F A (G v, v), γ AS,F I gr (G v, v), γgr F A (G v, v) y γgr AS,F A (G v, v).

42 El algoritmo Marcamos como raíz de T G a un vértice cualquiera r V (G). Notamos con G x al subgrafo de G correspondiente al subárbol de T G con raíz en x. Definimos dos funciones mutuamente recursivas f V y f C : Si v V (G), f V (v) calcula γgr AS (G v, v), γgr AS (G v, v), γgr F I (G v, v), γgr F I (G v, v), γgr F I,F A (G v, v), γgr F I,F A (G v, v), γ AS,F I gr (G v, v), γgr F A (G v, v) y γgr AS,F A (G v, v). Si c {c 1,..., c k } y v es el padre de c en T G, f C (c) calcula γgr AS (G c, v), γgr AS (G c, v), γgr F I (G c, v), γgr F I (G c, v), γgr F I,F A (G c, v), γgr F I,F A (G c, v), γgr AS,F I (G c, v), γgr F A (G c, v) y γ AS,F A gr (G c, v).

43 El algoritmo Algoritmo 1: f V Entrada: ( G, T G, v V (G) ) Salida: γgr AS (G v, v), γgr AS (G v, v),..., γgr AS,F A (G v, v) 1 C {c i v C i c i es hijo de v} 2 si C = entonces 3 devolver (1, 0,..., 0) 4 si no, si C = {c i } entonces 5 devolver f C (c i ) 6 en otro caso 7 para ( todo c C hacer ) 8 γgr AS (G c, v), γgr AS (G c, v),..., γgr AS,F A (G c, v) f C (c) γ F I,F A gr devolver I,F A (G v, v) máx γf gr (G a, v) + a C c C {a} ) gr (Gc, v) 1 ( γ F I ( ) γgr AS (G v, v), γgr AS (G v, v),..., γgr AS,F A (G v, v)

44 El algoritmo Algoritmo 2: f C Entrada: ( G, T G, c i {c 1,..., c k } ) Salida: γgr AS (Gc i, p), γas gr (Gc A i, p),..., γas,f gr (G ci, p), siendo p el padre de c i 1 p padre de c i 2 V {v v C i v es hijo de c i } 3 si C i es una clique entonces 4 para todo v V hacer ( 7 γ F I,F A gr 8... γ AS gr 9 devolver 10 en otro caso A (Gv, v), γas gr (Gv, v),..., γas,f gr (G v, v) (G ci, p) máx a V 1 + v V {a} ) f V (v) γgr F I,F A (G v, v) + γ F A ( ) γgr AS (Gc i, p), γas gr (Gc A i, p),..., γas,f gr (G ci, p) gr (G a, a)

45 El algoritmo Algoritmo 3: Número de dominación Grundy Entrada: Grafo G Salida: γ gr (G) 1 Construir T G y marcar su raíz r ( ) 2 γgr AS (G, r), γgr AS (G, r),..., γgr AS,F A (G, r) f V (r) 3 devolver γ AS gr (G, r)

46 Ejemplo T G G

47 Ejemplo T G G

48 Ejemplo T G G

49 Ejemplo T G G

50 Ejemplo T G G

51 Ejemplo T G G

52 Ejemplo T G G

53 Ejemplo T G G

54 Ejemplo T G G

55 Ejemplo T G G

56 Ejemplo T G G

57 Ejemplo T G G

58 Ejemplo T G G

59 Ejemplo T G G

60 Ejemplo T G G

61 Ejemplo T G G

62 Ejemplo T G G

63 Ejemplo T G G

64 Ejemplo T G G

65 Ejemplo T G G

66 Ejemplo T G G

67 Ejemplo T G G

68 Ejemplo T G G

69 Ejemplo T G G

70 Ejemplo T G G

71 Ejemplo T G G

72 Ejemplo T G G

73 Ejemplo T G G

74 Ejemplo T G G

75 Ejemplo T G G

76 Ejemplo T G G

77 Ejemplo T G G

78 Ejemplo T G G

79 Ejemplo T G G

80 Ejemplo T G G

81 Ejemplo T G G

82 Ejemplo T G G

83 Ejemplo T G G

84 Ejemplo T G G

85 Ejemplo T G G

86 Ejemplo T G G

87 Ejemplo T G G

88 Ejemplo T G G

89 Ejemplo T G G

90 Ejemplo T G G

91 Resultados Teorema Si G es un grafo block, el algoritmo calcula γ gr (G) en O( V (G) ).

92 Resultados Teorema Si G es un grafo block, el algoritmo calcula γ gr (G) en O( V (G) ). Corolario El problema (Gr-DOM) es lineal en grafos block.

93 Resultados Teorema Si G es un grafo block, el algoritmo calcula γ gr (G) en O( V (G) ). Corolario El problema (Gr-DOM) es lineal en grafos block. Observación El algoritmo se puede modificar de manera de obtener una sucesión dominante de Grundy en tiempo polinomial.

94 Trabajo futuro Determinar si es posible modificar el algoritmo de modo de obtener una sucesión dominante de Grundy en tiempo lineal. Extender el algoritmo a otros grafos donde las componentes biconexas sean, por ejemplo, bipartitos completos, ciclos u otra estructura.

95 Bibliografía [1] B. Bresar, T. Gologranc, and T. Kos. Dominating sequences under atomic changes with applications in Sierpinski and interval graphs. ArXiv e-prints, March [2] Boštjan Brešar, Tanja Gologranc, Martin Milanič, Douglas F. Rall, and Romeo Rizzi. Dominating sequences in graphs. Discrete Math., 336(C):22 36, December [3] D. West. Introduction to Graph Theory. Prentice Hall, 2008.

96 Muchas gracias!