OPTIMIZACIÓN EN GRAFOS Y EL PROBLEMA P=NP

Transcripción

1 OPTIMIZACIÓN EN GRAFOS Y EL PROBLEMA P=NP David Pérez-García Universidad Complutense de Madrid

2 EL PROBLEMA P=NP

3 P VS. NP 1. Es uno de los problemas del milenio. Un millón de dólares. 2. La clase P es la de aquellos problemas de decisión que se pueden resolver eficientemente en un ordenador, en el sen<do de que el coste en <empo crece de forma polinomial con los parámetros del problema. 3. La clase NP es la de aquellos problemas de decisión que se pueden verificar en <empo polinomial si a uno le dan el witness adecuado.

4 P VS. NP Ejemplo: Dados tres número enteros k>n>m (el tamaño del problema es el número de bits de k), decidir si nm=k está en P. Ejemplo: Dados dos número enteros n>m (el tamaño del problema es el número de bits de n), decidir si n <ene un factor primo menor que m está en NP pero se cree que no está en P (seguridad de RSA). Muchos problemas combinatorios (de grafos) son NP-hard, es decir, si se resuelven en <empo polinomial es que P=NP. Ejemplos: CHROMATIC NUMBER, MAXCUT, MAXCLIQUE, etc.

5 JUEGOS NO LOCALES (INTERACTIVE PROOF SYSTEMS)

6 Preguntas x,y con probabilidad π (x, y) Respuestas a,b V(a, b, x, y) { ganar,perder} JUEGO: G = { π,v} Tamaño(G)=nº preguntas posibles + nº respuestas posibles x y a b valor(g) = mayor probabilidad de ganar op<mizando entre las estrategias.

7 INAPROXIMABILIDAD EN JUEGOS NO LOCALES

8 TEOREMA PCP (ARORA ET AL. J. ACM 1998) Salvo que P=NP, no existe ningún algoritmo polinomial en el tamaño del juego n que permita decidir si el valor de un juego es =1 o 1 1 poly(n) (dada la promesa de que se verifica uno de los dos casos). 0 1

9 TEOREMA DE REPETICIÓN PARALELA (RAZ, SIAM J. COMP 1998) Dado un juego G, supongamos que Alice y Bob juegan m veces de forma simultánea (en paralelo) y se considera que ganan si y sólo si ganan todas las veces. Se esperaría que el valor de dicha repe<ción paralela sea valor(g) m. FALSO, pero casi cierto: Teorema de repe;ción paralela: El valor de la repe<ción paralela de G es para ciertas constantes ( 1 c 1 ( 1 valor(g) ) 3 ) c 2m c 1,c 2 <1 Ambos Teoremas (PCP y Repe<ción Paralela) están considerados dos de los principales resultados en teoría de la complejidad moderna.

10 COROLARIO (PCP + REPETICIÓN PARALELA) Salvo que P=NP, no existe ningún algoritmo polinomial en el tamaño del juego n que permita decidir si el valor de un juego es =1 o (dada la promesa de que se verifica uno de los dos casos). 1 poly(n) 0 1 De este corolario se deducen todos los resultados de inaproximabilidad en grafos.

11 UNIQUE GAME CONJECTURE (KHOT 2002) Salvo que P=NP, dados r,s>0, no existe ningún algoritmo polinomial en el tamaño del juego que permita decidir si el valor de un juego unique es >s o <r (dada la promesa de que se verifica uno de los dos casos). r s 0 1 Ha pasado a ser una conjetura central en Teoría de la Complejidad (Khot recibió el Nevalinna Prize en 2014 por esta conjetura).

12 INAPROXIMABILIDAD EN GRAFOS

13 INAPROXIMABILIDAD DE MAX-CLIQUE Teorema (Hastad, Acta Math. 1999): Salvo que P=NP, dado e>0 y un algoritmo polinomial para determinar el MAX-CLIQUE de un grafo, entonces existen grafos de n vér<ces tales que: MAX-CLIQUE output del algoritmo n1 e Nótese que MAX-CLIQUE es siempre menor o igual que n (!!)

14 INAPROXIMABILIDAD DE COLOREAR UN GRAFO Teorema (Lund-Yannakakis, Journal of ACM, 1994): Existe un e>0 tal que, salvo que P=NP, dado un algoritmo polinomial para determinar el CHROMATIC NUMBER de un grafo, entonces existen grafos de n vér<ces tales que: output del algoritmo CHROMATIC NUMBER ne Teorema (Khanna, Linial, Safra, 1994): Salvo que P=NP hay grafos que son 3 coloreables pero que no se pueden colorear (en <empo polinomial) ni siquiera con 4 colores.

15 EL PROBLEMA DE LOS CUATRO COLORES Problema (1852): Dado un grafo planar (un mapa), se puede colorear con cuatro colores? Solución (Apple, Hakken, Bull. AMS 1976): SI Demostración u<lizando un ordenador. CONTROVERSIA.

16 MAX-CUT = máximo, entre todas las formas de bicolorear un grafo, del número de aristas entre dis<ntos colores. Teorema (Hastad, J. ACM 2001): Salvo que P=NP, no existe ningún algoritmo polinomial que garan<ce siempre un valor tal que MAXCUT α MAXCUT

17 CONEXIÓN ENTRE JUEGOS Y GRAFOS: LABEL COVER

18 LABEL COVER Dado un grafo bipartito Un conjunto de colores ( V = U W, E) Σ Y un conjunto de configuraciones válidas para cada arista e = ( u, w) E, C : Σ Σ {valid, invalid} e Encontrar una coloración del grafo que maximice el número de aristas con una configuración válida

19 LABEL-COVER Colores Número de aristas válidas = 4 Solución a LABEL-COVER = 5

20 LABEL COVER JUEGOS NO LOCALES Dada una instancia de LABEL-COVER, definimos un juego no local como sigue: Preguntas = vértices (de U a Alice y de W a Bob) con probabilidad uniforme entre los pares que forman una arista (y 0 en el resto). Respuestas = colores. Ganan el juego si dan una coloración válida para la arista que se les pregunta. Valor del juego = Solución LABEL COVER número de aristas