Unidad 6. Gráficas Planares

Transcripción

1 Unidad 6. Gráficas Planares Una gráfica Planar es aquella que puede llegar a representarse en un plano de tal modo que no existe intersección de líneas excepto en los vértices. Una gráfica Plana es aquella que esta representada en un plano de modo que no existe intersección de líneas. Ejemplo: Gráficas representadas en forma plana y planar. Gráfica en forma planar Gráfica en forma plana Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 59

2 Gráfica en forma planar Gráfica en forma plana Nota: No todas las gráficas pueden ser planas o planares. En una gráfica plana se determinan regiones cuyos límites están formados por las líneas de la gráfica. Ejemplo: Cuente las regiones de las gráficas siguientes. Regiones Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 60

3 Teorema (Fórmula de Euler): En una gráfica conectada, simple con n vértices y e líneas existen R regiones y R=2-n+e. Ejemplo: Gráficas n e Regiones Contraejemplo: Gráficas n e Regiones Nota: No aplica el teorema por que la gráfica no es conectada. Teorema: Sea G una gráfica planar simple conectada con n vértices y e líneas e 3n-6 Ejemplo: La siguiente gráfica tiene 5 vértices entonces a lo más puede tener e 3(5)-6=9 Si agregamos más líneas a la gráfica o deja de ser simple o deja de ser plana. Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 61

4 Teorema: K3,3 y K5 son no planares Ejemplo: En las graficas podemos observar que al agregar la última línea forzosamente debemos cruzar alguna de las líneas por esto son no planares. Una subdivisión de una grafica G es la gráfica en la cuál se le ha agregado un vértice de grado dos en alguna de sus líneas. Ejemplo: Gráfica Original Gráfica con subdivisiones Teorema: Cualquier gráfica es no planar si y sólo si contiene a K3,3 o K5 o alguna subdivisión de ellas. Ejemplo: La gráfica es no planar por que es una subdivisión de K3,3 Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 62

5 Gráficas Coloreables El coloreado de gráficas consiste en asignar colores a los vértices, de modo que dos vértices que son adyacentes contengan colores distintos. Un n-coloreado de una gráfica es donde se utilizan tantos colores como vértices tiene la gráfica. Ejemplo: La grafica cumple con la condición de coloreado y se tiene y tantos colores como vértices entonces tenemos un n-coloreado. Teorema: Un n-coloreado siempre es posible y todas las gráficas completas Kn tiene un n- coloreado. Ejemplo: Las gráficas K4 y K5 utilizan 4 y 5 colores respectivamente Número Cromático. Sin embargo es más útil encontrar el mínimo número de colores necesarios para colorear una gráfica, a este número se le conoce como el número cromático y se denota como x(g). Teorema: Para cualquier gráfica el número cromático es menor o igual al grado del vértice de mayor grado más uno, esto es: Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 63

6 X(G) 1+Δ(G) Donde Δ(G) es el grado del vértice de mayor grado. Ejemplo: En los siguientes ejemplos se tiene el número cromático de las gráficas y se ve como se cumple el teorema. Coloreado de mapas. A un mapa siempre es posible asociarle una gráfica G cuyos vértices son las regiones y dos vértices son adyacentes si las regiones comparten frontera. La gráfica que se obtiene siempre es planar o plana. Ejemplo: Como podemos ver se obtuvo una gráfica del mapa y es plana. Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 64

7 Teorema (Conjetura de los cuatro colores): Cualquier gráfica planar o plana puede colorearse con tan solo 4 colores, esto es, el número cromático de una gráfica planar o plana es menor o igual a cuatro. X(G) 4 Ejemplo: Cómo se ve en el ejemplo las gráficas lineales tienen un número cromático de a lo más 4 Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 65