Capítulo 2 SECCIÓN DE FIGURAS PLANAS

Transcripción

1 Capítulo SECCIÓN DE FIGURAS PLANAS 1

2 .1. INTRODUCCIÓN Una figura plana, tiene todos sus puntos sobre un mismo plano. En la Figura 1, las rectas m y n se intersectan en un punto. En la Figura, r intersecta a la figura f en dos puntos y para la Figura 3, la intersección de s y la figura L, es de tres puntos. En todos los casos anteriores diremos que las figuras son secantes, se cortan en 1, ó 3 puntos respectivamente... LÍNEAS CONVEXAS Son aquellas que se intersectan con alguna recta, en un mximo de dos puntos. Ejemplos:.3. LÍNEAS NO CONVEXAS Si alguna recta secante determina sobre ellas, más de dos puntos de corte. La Geometría clásica, menciona estas figuras cóncavas. Ejemplos:

3 .4. OBSERVACIONES 1. Dos rectas contenidas en un mismo plano y que no se intersectan, reciben el nombre de paralelas. Ejemplo: m y q. En este caso, escribiremos: m q ( m es paralela a q ). A veces, suele decirse que las rectas se intersectan, para este caso, en el infinito.. Una recta y una circunferencia, pueden ser: Recta y circunferencia, tangentes entre sí. Recta y circunferencia, secantes entre sí. ( puntos de intersección). Nose Intersectan. (Cero puntos de intersección). 3. Veamos algunos gráficos de intersección entre un triángulo y una circunferencia: Por supuesto que, podrían hacerse otros gráficos para encontrar un número determinado de puntos: 1; ; 3; 4; 5 ó 6.

4 Notamos que, el mínimo número de puntos de intersección (diferente de cero), entre estas figuras, es uno y el máximo: Las fórmulas que damos a continuación, permiten encontrar el máximo número de puntos de intersección entre figuras del mismo tipo, así como entre dos grupos diferentes..5. MÁXIMO NÚMERO DE PUNTOS DE CORTE 1. Para n rectas secantes n(n 1) puntos. Así por ejemplo, 4 rectas se cortan como máximo, en: 4(3). Para n circunferencias secantes: n(n 1) puntos. = 6 puntos. 3 circunferencias secantes se cortan, como máximo, en 3() = 6 puntos. 3. Para n triángulos: 3n(n 1) puntos.

5 Si se tienen 10 triángulos, encontraremos como máximo: 3 10(9) = 70 punto de corte. 4. Para n cuadriláteros convexos: 4n(n 1) puntos. 5. n pentágonos convexos se cortan, como máximo, en: 5n(n 1) puntos. 6. En general, n polígonos convexos de L lados cada uno, se cortan como máximo, en Ln(n 1) puntos. Por ejemplo n polígonos de 11 lados cada uno (convexos) tienen como fórmula para el máximo número de puntos de corte: 11n(n 1). De modo que, 5 de estas figuras se cortarán en un máximo de: 11 5(4) = 0 puntos. Problema 1 En cuántos puntos se intersectan, como máximo, 10 icoságonos convexos? Resolución Un icoságono es el polígono de 0 lados. Luego, en la fórmula del (6), debemos reemplazar: L = 0 número de lados. n = 10 número de polígonos. Ln(n 1) = 0 10(9) = 1800 puntos Problema En cuántos puntos se intersectan, como máximo, 5 octógonos convexos? Resolución El octógono es un polígono de 8 lados. Entonces: L = 8 y n = 5. En la fórmula de (6): Ln(n 1) = 8 5(4) = 160 puntos 7. Dos polígonos convexos, de diferente número de lados, se intersectan, como máximo, en un número de puntos equivalente al doble del número de lados del menor. Por ejemplo:

6 1 triángulo y 1 cuadriátero: 1 cuadrilátero y 1 pentágono: 1 decágono (10 lados) y 1 octógono (8 lados), convexos, se cortan como máximo en: 8 = 16 puntos. 1 cuadrilátero y 1 circunferencia: Observación La circunferencia se considera como un polígono de infinitos lados. Por ejemplo. Calcular el máximo número de puntos de corte entre: a) Un triángulo y un pentágono convexo, es:. b) Un dodecágono convexo (1 lados) y un icoságono convexo (0 lados), es:. c) Un polígono convexo de 50 lados y una circunferencia, es:. 8. Para n figuras cualesquiera (convexas o no convexas), del mismo tipo, el máximo número de puntos de corte, es: kn(n 1)

7 Siendo k, el número máximo de puntos en que se cortan de dichas figuras. Por ejemplo: Encontremos la fórmula para calcular el máximo número de puntos de corte entre n elipses. Una elipse, es de la forma: Hallamos el valor de k graficando dos elipses, de modo que se tenga el número máximo de puntos de intersección entre ellas. Entonces para n elipses, la fórmula se obtiene al reemplazar este valor de k en la expresión anterior: 4n(n 1) n(n 1) puntos Ejemplo: Hallar una fórmula para calcular al máximo número de puntos de corte entre n figuras de la forma: Graficamos dos de dichas figuras a fin de obtener el valor de k:

8 Para n de estas figuras 9n(n 1) puntos, luego de reemplazar el valor de k en la fórmula de (8).

9 PROBLEMAS RESUELTOS Nota: Vamos a reemplazar el enunciado Máximo número de puntos de corte, por: MNPC. 1. Hallar el MNPC entre 10 rectas y 5 circunferencias, al cortarse todas estas figuras entre sí. El método de resolución consiste en contar por separados los puntos de corte: rectas solas, circunferencias solas y al final la combinación. El resultado se obtiene sumandos los parciales, Así: a) Las 10 rectas solas, se cortan como máximo, en: 10(9) = 45 b) Las 5 circunferencias: 5(4) = 0 puntos. c) Para el número de puntos entre rectas y circunferencias: Como cada recta corta a una circunferencia en puntos y son 5 circunferencias, entonces una recta corta a las 5 circunferencias en 5 = 10 puntos. Pero, son 10 rectas, entonces tendremos aquí: esto mismo, es: = 100 puntos

10 10 5 = 100 puntos Número de puntos entre una recta y una circunferencia Número de circunferencias Número de rectas Finalmente, sumando los resultados parciales de (a), (b) y (c): = 165 puntos. Hallar el MNPC entre 11 rectas secantes y 5 triángulos, al cortarse todas estas figuras entre sí. Veamos: a) Las 11 rectas, por sí solas: 11(10) = 55 puntos. b) Los 5 triángulos entre sí: 3 5(4) = 60 puntos. c) Las 11 rectas a los 5 triángulos:

11 11 5 = 100 puntos Número de puntos entre una recta y un triángulos Número de rectas Número de triángulos Luego, sumando los resultados (a), (b) y (c) : = 5 puntos. 3. Hallar el MNPC entre 1 rectas secantes, 15 circunferencias y 1 triángulos, al intersectarse todas estas figuras entre sí. El método es similar; evaluamos el máximo número de puntos de corte entre las rectas solas, las circunferencias entre sí, los triángulos por si solos y luego hacemos las combinaciones en grupos de dos. Así: a) Las 1 : 1(0) = 10 puntos b) Las 15 : 15(14) = 10 puntos c) Los 1 : 3 1(11) = 396 puntos d) 1 a 15 : 1 15 = 630 puntos Dos puntos

12 e) Las 1 a los 1 : 1 1 = 504 puntos Dos puntos f ) Las 15 a los = 1080 puntos Seis puntos El MNPC total lo obtenemos sumando los resultados parciales de (a) a (f): = 3030 puntos 4. Hallar el MNPC entre 1 triángulos y 10 cuadriláteros convexos, todos secantes entre sí.

13 Procedemos como antes: a) Los 1 triángulos se cortan como máximo, en 3 1(0) = 160 puntos. b) Los 10 cuadriláteros convexos: 4 10(9) = 360 puntos. c) Los 1 a los = 160 puntos 3 = 6 pts. Sumando lo obtenido en (a), (b) y (c): MNPC = = 880 puntos. 5. Hallar el MNPC entre 10 rectas paralelas, 5 rectas secantes y 6 triángulos, al intersectarse todas estas figuras entre sí. Tenemos: a) Las 10 rectas paralelas entre sí: cero puntos de corte. b) Las 5 rectas secantes por sí solas: 5(4) = 10 puntos

14 c) Los 6 : 3 6(5) = 90 puntos Ahora, en grupos de : d) 10 rectas paralelas y 5 secantes = 50 puntos Nros. de pts. entre una paralela y una secante Nros. de paralelas Nros. de secantes e) Las 10 rectas paralelas a los 6 triángulos: 10 6 = 10 puntos puntos paralelas triángulos f ) 5 rectas secantes y 6 triángulos:

15 5 6 = 60 puntos puntos secantes triángulos Sumando ahora, todos los resultados parciales: MNPC = MNPC = 330 puntos. 6. Si a un grupo de rectas de un plano, se le agrega una, el máximo número de puntos de corte se duplicaría. Hallar el número de rectas original. Si, inicialmente, hubieran n rectas, el número máximo de puntos de corte sería Al agregar una al grupo anterior (n + 1) rectas, éstas se cortan, en n(n + 1) puntos. n(n 1) puntos. (n + 1)(n + 1 1) Según enunciado, el segundo resultado debe ser el doble del primero. Luego, resolviendo esta sencilla ecuación: n = 3 rectas. 7. Si a un grupo de n rectas secantes se agrega una recta, el máximo número de puntos de corte aumentaría en 1. Hallar el valor de n. Como, al agregar una recta al grupo existente de n rectas, la nueva debe contar a cada una de las anteriores en un punto, entonces el MNPC se incrementará en n. Por lo tanto, n = Si a un grupo de n triángulos se le quita uno, el máximo número de puntos de corte disminuye en 18. Hallar n. Un triángulo corta a otro en 6 puntos, como máximo. Al extraer un triángulo al grupo de n, éste cortará a cada uno de los (n 1) restantes, en 6 puntos. Luego, 6(n 1) = 18 n = 4 9. Al duplicarse el número de rectas secantes, el máximo número de puntos de corte se quintuplica. Hallar el número inicial de rectas. n(n 1) Sean n el número inicial de rectas. Ellas determinan puntos.

16 Si se duplica el número de rectas, ahora tendremos n rectas que se cortan en Según el enunciado, este último resultado debe ser cinco veces el anterior. n(n 1) puntos. n(n 1) = 5 n(n 1), despejando n tenemos: n(n 1) 1 n(n 1) 1 n(n 1 1) n 1 = 5 = 5 = 5 4n = 5n 5 n(n 1) n(n 1) (n 1) 5n + 4n = 5 + n = 3 n = 3 / 1 / n 10. Si a un grupo de n polígonos convexos, de L lados cada uno, se agrega otro de la misma naturaleza y cantidad de lados, el máximo número de puntos que corta se duplica. Hallar n. Es fácil deducir que dos polígonos convexo de L lados cada uno se cortan como máximo en L puntos. Luego, el nuevo polígono corta al grupo de n, en Ln puntos. Como los n polígonos de L lados se cortan en Ln(n 1) puntos, según la fórmula, y al colocar el nuevo polígono, esta cantidad se duplica, entonces: Ln = Ln(n 1) = (n 1), donde n = Encontrar la cantidad de decágonos que se intersectan, sabiendo que al hacerlo determinan como máximo 650 puntos, en los cuales están también considerados los vértices. Sea n el número de decágonos. Luego: Número total de vértices: 10n Número máximo de puntos de intersección : 10n(n 1), donde 10n + 10n(n 1) = 650. n = 65 n = 5 1. Si a un conjunto de rectas secantes, se le agregase una cantidad igual de rectas, su número máximo de puntos de corte aumentaría en 330. Calcular cuántas rectas tiene el conjunto.

17 Si, inicialmente, hubieran n rectas, éstas se cortarían, en n(n 1) puntos. Al agregar otras n rectas al grupo anterior, habrán n rectas que se cortarían en puntos. n(n 1) Usando el dato numérico n(n 1) = n(n 1) En efecto, 3n n 660 = 0 (3n + 44)(n 15) = 0, de donde n = Se tiene n circunferencias secantes. Si se quitan dos circunferencias, al número máximo de puntos de corte disminuye en 30. Hallar n. Las n circunferencias secantes: n(n 1) puntos. Al quitar, las (n ) circunferencias restantes, se cortan en: (n ) [(n ) 1] puntos. Con el dato: n(n 1) 30 = (n ) [(n ) 1] Resolviendo, hallamos n = Encontrar el número máximo de puntos de corte que hay entre F decágonos convexos y F cuadriláteros convexos. { F decágonos convexos F Cuadriláteros convexos a) Los F decágonos (10 lados cada uno): 10F (F 1) b) Los F cuadriláteros: 4F (F 1) c) Los F decágonos con los F cuadriláteros.

18 Número de puntos de corte entre (Número de decágonos ) 1 decágono y 1 cuadrilátero Así ( 4) (F )(F ) = 8F ( ) Número de cuadriláteros Finalmente, sumanod los resultados parciales: 10F (F 1)+4F (F 1)+8F F (11F 7) puntos. 15. Hallar el máximo número de puntos de intersección de 10 cuadriláteros no convexos. Debemos usar la fórmula vista en el número (8) de la teoría, para encontrar el MNPC entre n cuadriláteros no convexos y aquí reemplazar el valor de n: MNP C = Kn(n 1) puntos K es el número máximo de puntos en que se cortan cuadriáteros no convexos. Para ello, tenemos el siguiente gráfico: K = 16 puntos Entonces, para n de estas figuras, la fórmula es: MNP C = puntos. Y si n = 10: MNP C = 8 10(9) = 70 puntos. 16n(n 1) MNP C = 8n(n 1) 16. Deducir una fórmula para encontrar el número total de puntos en que se cortan n circunferencias dispuestas como se indica:

19 El análisis lo hacemos incrementando cada vez, en uno, el número de circunferencias. Debemos relacionar el número de puntos con el número de circunferencias. Así: Número de circunferencias Número de puntos puntos ( 1) 4 puntos (3 1) 6 puntos (4 1) 8 puntos (5 1) 10 puntos (6 1). n circunferencias. (n 1) puntos (fórmula) 17. En la figura, las rectas L 1 y L son paralelas entre sí; sobre L 1 se toman m puntos y sobre L, n puntos. Hallar el máximo número de puntos de corte en que las rectas determinadas por los m puntos de L 1 y n puntos de L, cortan a la circunferencia.

20 Cada recta intersecta a la circunferencia, como máximo, en puntos. El número de rectas determinadas, lo obtenemos así: Un punto de L 1 con los N puntos de L determinan n rectas. Luego, los m puntos de L 1 con los n puntos de L, determinan m n rectas. Entonces, el número de puntos en que esta cantidad (m n) de rectas corta a la circunferencia, es: m n, como máximo. 18. Hallar MNPC entre n circunferencias, n rectas secantes y n triángulos, al cortarse todas estas figuras entre sí. n MNP C = n n circunferencias rectas triángulos a) Las n circunferencias: n(n 1) puntos. b) Las n rectas secantes: n(n 1) = n(n 1) c) Los n triángulos: 3n(n 1) puntos. d) n circunferencias a n rectas: n n = 4n punto. e) n circunferencias a n triángulos: 6 n n = 6n puntos. f ) n rectas a n triángulos: n n = 4n puntos. Sumamos los resultados parciales: efectuando, MNP C = 5n(4n 1) puntos.

21 19. Se muestran n circunferencias concéntricas y otras n circunferencias menores formando una argolla. El máximo número de puntos de corte, es: a) El número de puntos entre las circunferencias que forman la argolla se determina así: La argolla se obtiene al intersectar las circunferencias extremas ( puntos más): n circunferencias en esta posición: (n 1) puntos. Entonces, el número de puntos en la argolla será: (n 1) + = n puntos... (1). b) Cada circunferencia de la argolla corta a una de las concéntricas, en puntos. Así que, las n circunferencias de la argolla cortan a las n concéntricas, en: n n = n... () el número total de puntos de corte se obtiene sumando los resultados (1) y (): MNP C = n + n = n(n + 1) 0. Al número máximo de puntos de corte entre n polígonos convexos, de L lados cad auno, se le suma el máximo número de puntos de corte entre n polígonos de L lados cada uno, obteniéndose en total 630 puntos. Hallar L + n MNPC entre n polígonos de L lados es Ln(n 1). MNPC entre n polígonos de L lados es Ln(n 1). Según enunciado: Ln(n 1) + Ln(n 1) = 630 3Ln(n 1) = 630 Ln(n 1) = 10 En factores primos, 10 es Escrito este producto en forma que contenga dos factores consecutivos, para luego comparar con el primer miembro, tenemos: Ln(n 1) = De donde: L = 7 y n = 6 L + n = 13

22 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar el MNPC entre 11 circunferencias y 8 triángulos al intersectarse todas estas figuras entre sí. a) 76 b) 706 c) 806 d) 906 e) 78. Hallar el MNPC entre 6 cuadriláteros convexos, 11 pentágonos convexos y 1 ocógonos convexos, al intersectarse todas estas figuras entre sí. 7. n polígonos convexos de l lados cada uno se intersectan en 640 puntos, como máximo. Si quitamos un polígono, el número de puntos de intersección disminuye en 31. Hallar (l + n). a) 33 b) 40 c) 4 d) 46 e) Hallar el MNPC entre 5 elipses y 11 cuadriláteros no convexos. a) 7414 b) 7604 c) 6704 d) 4706 e) 7456 a) 1360 b) 160 c) 1460 d) 1560 e) Si a un grupo de n rectas secantes se agregan dos rectas, el máximo número de puntos de corte aumentaría en 15. Hallar n. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) N.A. 4. Hallar el número máximo de puntos que corte, entre 5 octógonos y 10 icoságonos, todos convexos. a) 670 b) 770 c) 760 d) 870 e) Encontrar el número máximo de puntos de corte que hay entre 3 polígonos convexos de k lados y 6 polígonos convexos de 3k lados cada uno. a) 10K b) 11K c) 1K d) 164K e) 174K 10. Luego de disponer 50 circunferencias y 0 rectas paralelas, como indica la figura siguiente, hallar el máximo número de puntos de corte. 5. Hallar el máximo número de puntos de corte entre 10 rectas secantes, 6 triángulos y 11 cuadriláteros convexos. a) 1311 b) 131 c) 113 d) 131 e) N.A. a) 098 b) 089 c) 090 d) 080 e) Calcular el máximo número de puntos de intersección de 10 rectas paralelas, 1 rectas ecantes y 16 circunferencias secantes rectas secantes, 8 circunferencias y 9 triángulos, se cortan como máximo, en: a) 1130 c) 316 e) 1098 a) 963 pts. c) 693 pts. e) N.A. b) 306 d) 746 b) 396 pts. d) 973 pts.

23 1. 5 ángulos y 8 circunferencias, se cortan como máximo, en: a) 60 b) 61 c) 6 d) 63 e) 64 a) 136 pts. b) 96 pts. c) 160 pts. d) 46 pts. e) 16 pts rectas paralelas, 6 secantes y 1 pentágonos se cortan como máximo en: a) 109 pts. b) 99 pts. c) 119 pts. d) 1309 pts. e) N.A. 14. Se tiene n triángulos secantes. si se quitan 3 triángulos, el número máximo de puntos de corte disminuye en 54. Hallar n. a) 10 b) 6 c) 7 d) 5 e) Hallar el máximo número de puntos de corte entre n elipses y n rectas, todas secantes. a) 4n(3n 1) b) n(n+) c) 4n(n 1) d) 3n(4n 1) e) 3n(4n + 1) 16. Hallar el máximo número de puntos de interseccion entre 5 octógonos y 6 decágonos convexos. a) 460 b) 480 c) 940 d) 840 e) N.A. 17. n rectas secantes, n cicunferencias y n triángulos, se cortan como máximo, en: a) n(9n 9) c) n(n 1) b) n (9n 9) d) n (9n 9) 18. Hallar el máximo número de puntos de corte de 5 rectas que tienen un punto común y 5 circunferencias que tienen un punto común. 19. Hallar el número máximo de puntos de corte, entre 10 rectas paralelas y 50 curcunferencias dispuestas así: a) 1980 b) 1890 c) 1098 d) 1690 e) N.A. 0. Hallar el número de puntos de corte entre 10 curcunferencias concéntricas y 0 rectas que pasan por el centro común. a) 400 b) 401 c) 00 d) 01 e) De un conjunto de 30 rectas, 18 son secantes, 8 son paralelas que tienen una determinada dirección y las 4 restantes son también paralelas pero tienen una dirección distintas a las anteriores. Hallar el máximo número de puntos de corte. a) 400 b) 401 c) 40 d) 403 e) 404. Se tiene un grupo de recta secantes, cuyo número se desea calcular sabiendo que si se tuviera rectas más, se obtendrían 18 puntos de corte más que si se tuviera una recta menos. a) b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 3. Existen varias rectas coplanares que determinan 9 puntos de corte como máximo. Si de

24 ellas son paralelas entre sí, hallar el número de rectas. a) 10 b) 9 c) 8 d) 5 e) 7 4. Si se tienen 5 grupos de 3 rectas paralelas entre sí cada una, hallar el máximo número de puntos de corte de las rectas. a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) Cuatro rectas secantes y tres circunferencias originan el mimo número de puntos de corte de n triángulos. Hallar n. a) 6 b) 8 c) 4 d) 7 e) 9 6. Hallar el máximo número de puntos de corte de cuatro grupos de triángulos de a 3, si los triángulos de cada grupo no se cortan entre sí, pero sons ecantes con los triángulos de los otros grupos. a) 360 b) 308 c) 70 d) 34 e) Hallar el máximo número de puntos de corte de 10 cuadriláteros convexos secantes y 0 circunferencias, que no se cortan entre sí. a) 1960 b) 1980 c) 1700 d) 140 e) Hallar el máximo número de puntos de corte de los siguientes grupos: cuatro cuadriláteros convexos, cinco pentágonos convexos. Los polígonos de cada grupo no se cortan entre ellos pero sí cortan a los polígonos del otro grupo. a) 160 b) 10 c) 150 d) 170 e) Hallar el máximo número de puntos de corte para 10 cuadriláteros convexos, 10 octógonos convexos y 10 icoságonos convexos. a) 700 b) 6080 c) 600 d) 700 e) Hallar el máximo número de puntos de corte para 30 triángulos que tienen un punto en común. a) 100 b) 176 c) 716 d) 160 e) Se tiene n triángulos y n cuadriláteros convexos. Si al máximo número de puntos de corte de los triángulos se aumenta el número total de lados de los triángulos, más el máximo número de puntos de corte de los cuadriláteros, más el número total de los ángulos de los cuadriláteros se obtiene Hallar n. a) 16 b) 18 c) 14 d) 1 e) 0 3. Cuál es el máximo número de puntos de corte de N cuadriláteros secantes y N triángulos secantes (polígonos convexos)? a) 1N b) N(13N 7) c) N(7n 6) d) N(N ) e) N(1N 5) 33. Cuál es el máximo número de puntos de corte para N circufnerencias secnates y N pentágonos convexos secantes? a) N(8N ) b) N(8n 1) c) N(8N 3) d) N(8N 5) e) N

25 34. Cuál es el máximo número de puntos de corte de N cuadriláteros convexos y N pentágonos convexos? a) N(17N 9) b) N(9N 4) c) N(7N 3) d) N(17N 8) e) 3N 35. En cuánto disminuye el máximo número de puntos de corte de 8 cuadriláteros secantes y 6 hexágonos secantes, si se quitan 3 cuadriláteros y 3 hexágonos (polígonos convexos). a) 40 b) 360 c) 45 d) 51 e) Si se anulan 3 rectas de un grupo que se están cortando, el máximo número de puntos de corte disminuirá en 57.? Cuántas rectas forman dicho grupo inicial? a) 31 b) 1 c) 19 d) 7 e) Hallar el máximo número de rectas que pasan por el máximo número de puntos de intersección de 15 rectas secantes. a) 5460 b) 5640 c) 4560 d) 560 e) Hallar el máximo número de puntos de corte de los siguientes grupos: cuatro hexágonos convexos, cinco decágonos convexos y seis octógonos convexos. Los polígonos de cada grupo no se cortan entre ellas pero sí con los polígonos de los otros grupos. a) 1000 b) 100 c) 1004 d) 1006 e) Hallar el máximo número de puntos de corte de n pentágonos, n octógonos y n decágonos (todos convexos). 40. Hallar el máximo número de puntos de corte para 30 triángulos que tienen puntos comunes. a) 70 b) 600 c) 76 d) 67 e) Hallar el máximo número de puntos de corte de 5 cuadriláteros cóncavos y 10 triángulos. a) 80 b) 830 c) 840 d) 850 e) Cuál es el máximo número de puntos de corte de 4 octógonos convexos secantes, 5 decágonos convexos secantes y 6 dodecágonos convexos secantes? a) 1960 b) 1690 c) 1980 d) 1890 e) Hallar el máximo número de puntos de corte para n polígonos convexos de n lados, que tienen puntos comunes. a) n(n 1) b) n(n 1) + c) n(n 1) + d) n + e) (n 1) Hallar el máximo número de puntos de corte de n grupos de n polígonos convexos de n lados, conociendo que los polígonos de cada grupo entre ellos no se cortan pero sí con los polígonos de los otros grupos. a) n (n 1) b) n 3 (n 1) c) n(n 1) d) n 4 (n 1) e) n (n + 1) 45. Hallar el máximo número de puntos de corte de n rectas secantes, n rectas paralelas y n circunferencias secantes. a) n (13n 3) d) n (7n 3) a) 1000 b) 100 c) 1004 d) 1006 e) 1008 b) n (11n ) c) n (9n 5) e) n (13n 1)