Pintar mapas, organizar fiestas... en el fondo, es sólo teoría de grafos
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- Adolfo Fuentes Peña
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1 Pintar mapas, organizar fiestas... en el fondo, es sólo teoría de grafos Grupo de Teoría de Grafos Departamento de Computación FCEyN - UBA Charla de Borrachos Noviembre 2004
2 Qué es un grafo? Un grafo está formado por un conjunto de vértices y un conjunto de aristas que unen pares de vértices. Es un objeto matemático abstracto pero se usa para modelar problemas reales.
3 Según el problema que uno quiera modelar, uno puede permitir aristas que unan un vértice con si mismo (pseudografo) o más de una arista que una el mismo par de vértices (multigrafo).
4 O también puede necesitar un hipergrafo, donde las aristas no involucran 2 vértices sino que son subconjuntos no vacíos de vértices (de cualquier cardinalidad).
5 Rutas argentinas Eligiendo novio... Cómo organizar una fiesta Rutas argentinas
6 Rutas argentinas Eligiendo novio... Cómo organizar una fiesta Rutas argentinas Si nos quedamos con el subgrafo inducido por Buenos Aires, Río Negro, La Pampa y Neuquén, podemos buscar ahi el camino mínimo entre Buenos Aires y Bariloche
7 Rutas argentinas Eligiendo novio... Cómo organizar una fiesta Eligiendo novio...
8 Rutas argentinas Eligiendo novio... Cómo organizar una fiesta Eligiendo novio...
9 Rutas argentinas Eligiendo novio... Cómo organizar una fiesta Eligiendo novio... G
10 Rutas argentinas Eligiendo novio... Cómo organizar una fiesta Eligiendo novio... G
11 Rutas argentinas Eligiendo novio... Cómo organizar una fiesta Eligiendo novio... G Lo que buscamos es un conjunto independiente máximo en el grafo G. El cardinal de ese conjunto se nota α(g).
12 Rutas argentinas Eligiendo novio... Cómo organizar una fiesta Cómo organizar una fiesta Queremos organizar varias reuniones invitando a cada una gente que se conozca entre si. Cuál es la mínima cantidad de reuniones? G
13 Rutas argentinas Eligiendo novio... Cómo organizar una fiesta Cómo organizar una fiesta Queremos organizar varias reuniones invitando a cada una gente que se conozca entre si. Cuál es la mínima cantidad de reuniones? G
14 Rutas argentinas Eligiendo novio... Cómo organizar una fiesta Cómo organizar una fiesta Queremos organizar varias reuniones invitando a cada una gente que se conozca entre si. Cuál es la mínima cantidad de reuniones? G Lo que buscamos es un cubrimiento de vértices por cliques mínimo en el grafo G. El cardinal de ese conjunto se nota k(g).
15 Rutas argentinas Eligiendo novio... Cómo organizar una fiesta Y quién se queda a lavar los platos?
16 Rutas argentinas Eligiendo novio... Cómo organizar una fiesta Y quién se queda a lavar los platos? Sería perfecto que en cada reunión haya uno de los candidatos a novio, que quiera hacer méritos y lave los platos... :) G
17 Rutas argentinas Eligiendo novio... Cómo organizar una fiesta Y quién se queda a lavar los platos? Sería perfecto que en cada reunión haya uno de los candidatos a novio, que quiera hacer méritos y lave los platos... :) G En otras palabras, que α(g) = k(g). Un grafo es perfecto si α(h) = k(h) para todo H subgrafo inducido de G.
18 Rutas argentinas Eligiendo novio... Cómo organizar una fiesta Pero no todo es perfecto en la vida... En este grafo, α(g) = 2 y k(g) = 3. G
19 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar Ahora, la verdadera historia...
20 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar Pintar mapas
21 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar Pintar mapas
22 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar Pintar mapas
23 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar 1852: carta de De Morgan a Hamilton (problema original: F & F Guthrie).
24 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar 1852: carta de De Morgan a Hamilton (problema original: F & F Guthrie). Respuesta de Hamilton: I am not likely to attempt your quaternion of colours very soon.
25 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar 1852: carta de De Morgan a Hamilton (problema original: F & F Guthrie). Respuesta de Hamilton: I am not likely to attempt your quaternion of colours very soon. 1879: Kempe publicó un artículo probando la conjetura de los 4 colores.
26 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar 1852: carta de De Morgan a Hamilton (problema original: F & F Guthrie). Respuesta de Hamilton: I am not likely to attempt your quaternion of colours very soon. 1879: Kempe publicó un artículo probando la conjetura de los 4 colores. 1890: Heawood detecta una falacia en la prueba de Kempe y prueba que vale para 5 colores.
27 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar 1852: carta de De Morgan a Hamilton (problema original: F & F Guthrie). Respuesta de Hamilton: I am not likely to attempt your quaternion of colours very soon. 1879: Kempe publicó un artículo probando la conjetura de los 4 colores. 1890: Heawood detecta una falacia en la prueba de Kempe y prueba que vale para 5 colores. 1976: demostración computacional de Appel, Haken y Koch.
28 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar 1852: carta de De Morgan a Hamilton (problema original: F & F Guthrie). Respuesta de Hamilton: I am not likely to attempt your quaternion of colours very soon. 1879: Kempe publicó un artículo probando la conjetura de los 4 colores. 1890: Heawood detecta una falacia en la prueba de Kempe y prueba que vale para 5 colores. 1976: demostración computacional de Appel, Haken y Koch. 1997: nueva prueba computacional pero mucho más sencilla (Robertson, Sanders, Seymour y Thomas).
29 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar 1852: carta de De Morgan a Hamilton (problema original: F & F Guthrie). Respuesta de Hamilton: I am not likely to attempt your quaternion of colours very soon. 1879: Kempe publicó un artículo probando la conjetura de los 4 colores. 1890: Heawood detecta una falacia en la prueba de Kempe y prueba que vale para 5 colores. 1976: demostración computacional de Appel, Haken y Koch. 1997: nueva prueba computacional pero mucho más sencilla (Robertson, Sanders, Seymour y Thomas). Lo que es fácil de demostrar es que en un grafo planar no hay cliques de 5 vértices, pero... no todos los grafos planares son perfectos.
30 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar 1960: Berge definió los grafos perfectos como aquellos tales que el tamaño de la clique máxima es igual al número cromático para el grafo y todos sus subgrafos inducidos.
31 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar 1960: Berge definió los grafos perfectos como aquellos tales que el tamaño de la clique máxima es igual al número cromático para el grafo y todos sus subgrafos inducidos. Conjetura Fuerte: los únicos grafos minimalmente imperfectos son los ciclos impares y sus complementos.
32 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar 1960: Berge definió los grafos perfectos como aquellos tales que el tamaño de la clique máxima es igual al número cromático para el grafo y todos sus subgrafos inducidos. Conjetura Fuerte: los únicos grafos minimalmente imperfectos son los ciclos impares y sus complementos. Conjetura Débil: un grafo es perfecto si y sólo si su complemento lo es.
33 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar 1960: Berge definió los grafos perfectos como aquellos tales que el tamaño de la clique máxima es igual al número cromático para el grafo y todos sus subgrafos inducidos. Conjetura Fuerte: los únicos grafos minimalmente imperfectos son los ciclos impares y sus complementos. Conjetura Débil: un grafo es perfecto si y sólo si su complemento lo es. La segunda propiedad es la que hace que las dos definiciones que dimos sean equivalentes.
34 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar 1960: Berge definió los grafos perfectos como aquellos tales que el tamaño de la clique máxima es igual al número cromático para el grafo y todos sus subgrafos inducidos. Conjetura Fuerte: los únicos grafos minimalmente imperfectos son los ciclos impares y sus complementos. Conjetura Débil: un grafo es perfecto si y sólo si su complemento lo es. La segunda propiedad es la que hace que las dos definiciones que dimos sean equivalentes. Clique máxima en el grafo = conjunto independiente máximo en el complemento.
35 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar 1960: Berge definió los grafos perfectos como aquellos tales que el tamaño de la clique máxima es igual al número cromático para el grafo y todos sus subgrafos inducidos. Conjetura Fuerte: los únicos grafos minimalmente imperfectos son los ciclos impares y sus complementos. Conjetura Débil: un grafo es perfecto si y sólo si su complemento lo es. La segunda propiedad es la que hace que las dos definiciones que dimos sean equivalentes. Clique máxima en el grafo = conjunto independiente máximo en el complemento. Coloreo mínimo en el grafo = cubrimiento mínimo por cliques en el complemento.
36 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar Un poco de telenovela : Lovász (y después Fulkerson) prueba la conjetura débil (Teorema de los ).
37 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar Un poco de telenovela : Lovász (y después Fulkerson) prueba la conjetura débil (Teorema de los ) : Mucha gente trabajó en la conjetura y en grafos perfectos (variantes, subclases, etc.).
38 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar Un poco de telenovela : Lovász (y después Fulkerson) prueba la conjetura débil (Teorema de los ) : Mucha gente trabajó en la conjetura y en grafos perfectos (variantes, subclases, etc.). Los cuatro problemas NP-completos involucrados en la definición son polinomiales en grafos perfectos (Chvátal, Grötschel, Lovász y Schrijver).
39 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar Un poco de telenovela : Lovász (y después Fulkerson) prueba la conjetura débil (Teorema de los ) : Mucha gente trabajó en la conjetura y en grafos perfectos (variantes, subclases, etc.). Los cuatro problemas NP-completos involucrados en la definición son polinomiales en grafos perfectos (Chvátal, Grötschel, Lovász y Schrijver). 2002: Chudnovsky, Robertson, Seymour y Thomas prueban la conjetura fuerte (El Teorema Fuerte de los ). En junio murió Berge.
40 Pintando mapas Otros dos teoremas duros de matar Un poco de telenovela : Lovász (y después Fulkerson) prueba la conjetura débil (Teorema de los ) : Mucha gente trabajó en la conjetura y en grafos perfectos (variantes, subclases, etc.). Los cuatro problemas NP-completos involucrados en la definición son polinomiales en grafos perfectos (Chvátal, Grötschel, Lovász y Schrijver). 2002: Chudnovsky, Robertson, Seymour y Thomas prueban la conjetura fuerte (El Teorema Fuerte de los ). En junio murió Berge. 2003: Chudnovsky, Cornuéjols, Liu, Seymour y Vušković demostraron que el reconocimiento es polinomial.
41 2000: Guruswami y Pandu Rangan definen los grafos clique-perfectos como aquellos tales que el cardinal de un cubrimiento de cliques por vértices mínimo es igual al cardinal de un conjunto de cliques independientes máximo. La definición es similar a la primera que vimos de grafos perfectos.
42 2000: Guruswami y Pandu Rangan definen los grafos clique-perfectos como aquellos tales que el cardinal de un cubrimiento de cliques por vértices mínimo es igual al cardinal de un conjunto de cliques independientes máximo. La definición es similar a la primera que vimos de grafos perfectos.
43 Grafos que NO SON clique-perfectos Lo que estamos tratando de hacer es caracterizarlos por subgrafos prohibidos, o sea, decir un grafo es c-p si y sólo si no contiene como subgrafo inducido a tal, tal y tal. Algunos grafos que no son: ciclos impares, anticiclos no multiplos de tres, soles impares, los soles generalizados... ciclo impar anticiclo no multiplo de 3 soles impares sol impar generalizado (Vikingo)
44 Grafos que SI SON clique-perfectos Grafos balanceados. Los problemas asociados a la definición son polinomiales en esa clase. Clases de grafos para las que tenemos probada la caracterización: Grafos cordales. Grafos sin diamantes. Grafos de ĺınea. Grafos HCH claw-free. diamante garra grafos de Hajös
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