Coloreo de vértices. Coloreo de Grafos. Cota superior para χ(g) Algoritmos y Estructuras de Datos III. Definiciones:

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1 Coloreo de vértices Definiciones: Coloreo de Grafos Algoritmos y Estructuras de Datos III Un coloreo de los vértices de un grafo G = (V, E) es una asignación f : V C, tal que f (v) f (u) (u, v) E. Para todo entero positvo k, un k-coloreo de G es un coloreo de los vértices de G que usa exactamente k colores. Un grafo G se dice k-coloreable si existe un k-coloreo de G. El número cromático de G, χ(g), es el menor número de colores necesarios para colorear los vértices de G. Un grafo G se dice k-cromático si χ(g) = k. Coloreo de vértices Cota superior para χ(g) Ejemplos: χ(k n ) = n. Si G es un grafo bipartito, entonces χ(g) = 2 si m > 0 y χ(g) = 1 en caso contrario. Si C 2k es un circuito simple par, entonces χ(c 2k ) = 2. Si C 2k+1 es un circuito simple impar, entonces χ(c 2k+1 ) = 3. Proposición. Si (G) es el grado máximo de G entonces χ(g) (G) + 1. Teorema (Brooks, 1941). Sea G un grafo conexo que no es un circuito impar ni un grafo completo. Entonces χ(g) (G). Existen grafos para los cuales χ(g) = (G)? Existen grafos para los cuales χ(g) < (G)? Cuán grande puede ser la diferencia entre estos dos parámetros?

2 Problema de los cuatro colores Algoritmos para coloreo de grafos Teorema (Heawood, 1890). Si G es un grafo planar, entonces χ(g) 5. Teorema de los 4 colores (Appel, Haken, 1976). Si G es un grafo planar, entonces χ(g) 4. Problema difícil, computacionalmente no resuelto. No se conocen algoritmos polinomiales para calcular χ(g) dado un grafo general G. Existen muchos enfoques algorítmicos para este problema: Heurísticas y metaheurísticas. Algoritmos basados en backtracking (por ejemplo: DSATUR, Brelaz, 1979). Algoritmos exactos basados en programación lineal entera. Algoritmo secuencial (S) Algoritmo secuencial (LFS) Algoritmo. Dado un orden v 1,..., v n de V, asignar en el paso i el menor color posible en N a v i, para i = 1,..., n. Es importante el orden entre los vértices? Definición. Si G i es el grafo inducido por v 1,..., v i, entonces u S (G, v 1, v 2,..., v n ) = 1 + máx 1 i n {d Gi (v i )}. Proposición. Si χ S (G) es el número de colores usado por el algoritmo secuencial para colorear G cuando los vértices son considerados en el orden v 1,..., v n, entonces χ(g) χ S (G) u S (G, v 1, v 2,..., v n ). Orden Largest First (LF): Los vértices son ordenados de mayor grado a menor grado, d(u 1 ) d(u 2 )... d(u n ). Proposición. Si u LF (G) = u S (G, u 1, u 2,..., u n ) donde u 1, u 2,..., u n están ordenados según LF. Entonces u LF (G) mín u S (G, v 1, v 2,..., v n ), donde el mínimo está tomado sobre todos los ordenes posibles, v 1,..., v n.

3 Algoritmo secuencial (SLS) Algoritmo secuencial - Cotas Orden Smallest Last (SL): 1. Poner como v n el vértice de mínimo grado de G. 2. Para i = n 1,..., 1 poner como v i el vértice de grado mínimo en el subgrafo de G inducido por V \ {v n, v n 1,..., v i+1 }. Definimos u SL (G) = 1 + máx 1 i n mín 1 j i {d G i (v j )} Se puede demostrar (ejercicio) que: χ SL (G) u SL (G). u SL (G) u LF (G). SLS colorea un grafo planar con 6 colores o menos. donde d Gi (v j ) es el grado del vértice v j en el grafo inducido por V \ {v n, v n 1,..., v i+1 }. Algoritmo secuencial con intercambio (SI) Algoritmo secuencial con bracktracking (exacto) Si existen p y q dos colores utilizados en el coloreo parcial, tal que en todas las componentes conexas de H pq los vértices adyacentes a v i tienen el mismo color, podemos intercambiar los colores p y q en las componentes de H pq con vértices adyacentes a v i con color p. De esta manera, obtendremos un coloreo parcial de G con el color p no utilizado en la vecindad de v i. Este procedimiento se llama (p, q)-intercambio. Hacemos una búsqueda exhaustiva. En el árbol de enumeración, cada vértice de nivel i corresponde a un coloreo de v 1,..., v i 1. Se avanza por las ramas coloreando los siguientes vértices hasta que ocurre alguna de las siguientes situaciones: 1. Se llegó a un vértice sin colores disponibles: se hace backtracking a partir de v i 1 (nodo anterior). 2. Se coloreó v n : se encontró un nuevo coloreo del grafo, actualizamos el mejor número de colores q y continuamos con backtracking. 3. Se llega a un coloreo parcial con más de q colores: este coloreo no será mejor que el actual, y hacemos backtracking.

4 Cotas inferiores para χ(g) Proposición. Si H es un subgrafo de G entonces χ(h) χ(g). Definición. Una clique es un subgrafo completo maximal de un grafo. El número clique de un grafo es el máximo número de vértices de una clique de G, y se denota por ω(g). Proposición. Para cualquier grafo G, χ(g) ω(g). Existen grafos para los cuales χ(g) > ω(g)? Cuán grande puede ser la diferencia entre estos dos parámetros? Qué pasa si χ(g) = ω(g)? Grafos de Mycielski (1955) Definición (por inducción): 1. M 1 = K 1 2. M 2 = K 2 3. Para i 2, M i+1 se construye a partir de M i de la siguiente forma: Si Mi tiene p vértices, v 1,..., v p, M i+1 tendrá 2p + 1 vértices, v 1,..., v p, u 1,..., u p, w, donde u i es copia de v i. El conjunto de aristas de Mi+1 tendrá todas las aristas de M i, las aristas uniendo u i con los vecinos de v i en M i y las aristas uniendo w con cada u i. Grafos de Mycielski v 2 M 4 M 3 v 2 u 2 M 2 v 1 v 2 v 1 u 1 v 1 u 1 u 3 v 3 w u 2 w u 5 u 4 v 5 v 4 Definición (Berge, 1961). Un grafo es perfecto si χ(h) = ω(h) para todo subgrafo inducido H de G. Cuál es el número cromático de M i? χ(m i ) = i Los grafos bipartitos son perfectos. Los grafos de intervalos son perfectos. Cuál es la clique máxima de M i? ω(m i ) = 2 Los grafos triangulados (que no contienen C k con k 4 como subgrafo inducido) son perfectos, etc.

5 Teorema de los grafos perfectos (Lova sz, 1972). Un grafo es perfecto si y so lo si su complemento es perfecto. Conjetura fuerte de los grafos perfectos (Berge, 1961). Un grafo es perfecto si y so lo si no tiene ciclos impares ni complementos de ciclos impares como subgrafos inducidos. Teorema (Gro tschel, Lova sz y Schrijver, 1981). Existe un algoritmo polinomial para determinar χ(g ) si G es perfecto. Coloreo de aristas Definiciones: I Un coloreo de las aristas de un grafo G es un asignacio n de colores a las mismas en la cual dos aristas que tienen un ve rtice en comu n no tengan el mismo color. I El ı ndice croma tico χ0 (G ) de un grafo G es el menor nu mero de colores con que se pueden colorear las aristas de un grafo. Teorema (Vizing, 1964). Para todo grafo G se verifica que Demostrado en 2002 por Chudnovsky, Robertson, Seymour y Thomas, y conocido como el teorema fuerte de los grafos perfectos. (G ) χ0 (G ) (G ) + 1.