Guía Semana 8 1. RESUMEN. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática

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1 1. RESUMEN FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Varias Variables 08-1 Guía Semana 8 Puntos críticos y optimización sin restricciones. Dada f : Ω Ê, los puntos x 0 Ω donde f es diferenciable y f(x 0 ) = 0 se llaman puntos críticos de f. Decimos que x 0 Ω es un mínimo local de f, si existe δ > 0 tal que B(x 0, δ) Ω y f(x 0 ) f(x) x B(x 0, δ), es decir f(x 0 ) = mín x B(x 0,δ) f(x). Similarmente, decimos que x 0 Ω es un máximo local de f, si es un mínimo local de f. Un mínimo o máximo local es estricto si las desigualdades correspondientes son estrictas para x x 0. Los máximos y mínimos locales de una función diferenciable son puntos críticos. Una matriz A de tamaño N N es semidefinida positiva si y definida positiva si h Ê N h T Ah 0 h Ê N \ {0} h T Ah > 0. De manera similar, decimos que A es (semi)definida negativa si la matriz A es (semi)definida positiva. Una matriz es definida (semidefinida) positiva si, y sólo si, todos sus valores propios son positivos (no-negativos). Optimalidad y segundo orden. Sea f : Ω Ê N Ê una función de clase C (Ω), Ω un abierto, y x 0 Ω un punto crítico de f. Entonces Si x 0 es un mínimo (resp. máximo) local de f entonces la matriz simétrica f (x 0 ) es semidefinida positiva (resp. negativa). Si f (x 0 ) es definida positiva (negativa), entonces x 0 es un mínimo (máximo) local estricto de f. Diremos en general, que para f : Ω Ê N Ê de clase C, un punto crítico x 0 es un punto silla, si todos los valores propios de f (x 0 ) son distintos de cero, y hay presentes valores propios positivos y negativos. Los vectores propios asociados a valores propios negativos corresponden a direcciones en las cuales la función baja a partir de x 0 (hacia ambos lados), mientras que en las direcciones complementarias sube. 1

2 . EJERCICIOS PROPUESTOS Optimización sin restricciones P1.- Sea f : Ê Ê, f(x, y) = (y 3x )(y x ) a) Muestre que el origen es un punto crítico. b) f tiene un mínimo local en (0, 0), a lo largo de cada recta que pasa por (0, 0), esto es, si g(t) = (at, bt), entonces (f g)(t) : Ê Ê tiene un mínimo local en 0 para cada (a, b) Ê. c) (0, 0) no es mínimo local de f. P.- Verifique que el punto (1, 1, 1) es crítico para la siguiente función: f(x, y, z) = x 4 + y 4 + z 4 4xyz y determine su naturaleza calculando los valores propios de la Matriz Hessiana. P3.- Encuentre y clasifique (si es posible) los puntos críticos de las siguientes funciones: 1. f(x, y) = x n+1 y + xy m+1 + xy con n, m Æ. V (x, y) = y senx P4.- Determine los puntos críticos de la siguiente función f(x, y, z) = y lnz + y z + x + y clasifíquelos según máximos, mínimos o puntos silla. P5.- Estudie los puntos críticos de la función f(x, y) = (x +3y )e 1 (x +y ) y clasifíquelos. P6.- Una curva C en el espacio está definida implícitamente por la intersección de las superficies: x + y = 1 (.1) x xy + y z = 1 (.) Hallar el o los puntos en C más cercanos al origen. Hint: Puede parametrizar C en coordenadas cilíndricas, es decir: x(θ) = cos(θ), y(θ) = sen(θ), z = z dada la ecuación (.1).

3 P7.- La gráfica de la función g(x, y) = 1/(xy), x, y > 0 define una superficie S en Ê 3. Hallar los puntos sobre S más cercanos al origen. P8.- Determine los puntos de la superficie de ecuación z xy = 1 que están a menor distancia del origen. P9.- Para este problema considere las definiciones del P11.-. Sea C Ê N convexo y f : C Ê: a) Pruebe que f es convexa ssi el conjunto epi(f) = {(x, y) Ê N+1 x C, y Ê y f(x)} (epigrafo de f) es convexo. Interprete geométricamente. b) Suponga C abierto convexo. Pruebe las siguientes equivalencias: Si f diferenciable. Entonces f es convexa ssi x, y C f(y) f(x)), y x 0. Si f es de clase C. Entonces es convexa ssi para todo x C Hf(x) es semidefinida positiva. c) Si f es convexa y tal que ínf x C f(x) Ê. Demustre que el conjunto de mínimos locales de f es convexo. Hint: Pruebe primero que f tiene el mismo valor sobre todos sus mínimos locales (si existen). 3. PROBLEMAS RESUELTOS P10.- Hallar los valores máximo y mínimo de la función f(x, y) = x +y x y + 1 en el disco D definido por x + y 1. Solución Para comenzar notemos que este problema tiene soluciones máximas y mínimas por el Teorema de Bolzano-Weierstrass, dado que f es una función continua, definida sobre D, que es un conjunto compacto. Ahora, para resolver este problema separamos según puntos en el interior y en la frontera: int(d) = B(0, 1): Para este caso, como se trata de un abierto, basta buscar los puntos críticos de f: f x = x 1 = 0, f y = y 1 = 0 3

4 Con lo cual (1/, 1/) es el único punto crítico, además el Hessiano de f es claramente semidefinido positivo en (1/, 1/) pues sus v.p. son: λ 1 = λ = > 0 y se deduce que es un mínimo local, con valor f(1/, 1/) = 1/. Fr(D) = {x + y = 1}: Parametrizamos la frontera por γ(t) = (sen(t), cos(t)) y estudiamos la función: t [0, π]; g(t) = (f γ)(t) = sen (t)+cos (t) sen(t) cos(t) = sen(t) cos(t) Las condiciones de primer orden entregan: g (t) = 0 cos(t) sen(t) = 0 t = π 4, 5π 4 Y estos ángulos representan los puntos de la frontera: γ( π 4 ) = (, ), γ(5π 4 ) = (, ). Recordamos también que los extremos de la parametrización (γ(0), γ(π) = (1, 0)) también son candidatos a óptimos. A continuación comparamos todos los candidatos a puntos extremos: f(, ) = f(, ) = + f(1, 0) = 1 Para finalizar, basta comparar todos los candidatos; lo que nos permite concluir que (1/, 1/) corresponde al punto de mínimo global, con un valor de 1/, y (, )corresponde al punto de máximo global con un valor de +. P11.- Un conjunto C Ê N se dice convexo ssi para todo par de puntos x 1, x C y para todo λ [0, 1] el punto x λ = (1 λ)x 1 + λx C. Dado un conjunto C convexo y una función f : C Ê, se dice que f es convexa ssi para todo par de puntos x 1, x C: f(x λ ) (1 λ)f(x 1 ) + λf(x ) λ [0, 1] a) Interprete geométricamente ambas definiciones. b) Suponga adicionalmente C abierto y f es diferenciable. Pruebe que f es convexa ssi f(x) + f(x), y x f(y) x, y C. c) Sea C abierto convexo y f convexa diferenciable. Pruebe que un punto x es mínimo global para f ssi es punto crítico. Solución 4

5 a) Conjunto Convexo: Es un conjunto tal que para todo par de puntos dados, el segmento de línea que los une está contenido en el conjunto. Esto tiene relación con que el conjunto no posee zonas huecas. Función Convexa: Es una función tal que para todo par de puntos en su dominio, el segmento de línea que une sus imagemes (en el grafo de f) pasa por sobre las imágenes de las evaluaciones en el segmento de línea que une ambos puntos (en el dominio). b) : Sean x, y C, definimos d = y x. Entonces utilizamos la definición de convexidad para x y y = x + d: f((1 λ)x + λ(x + d)) (1 λ)f(x) + λf(x + d) f(x + λd) f(x) λ(f(x + d) f(x)) f(x + λd) f(x) f(x + d) f(x) λ En este último paso es necesario que λ > 0. Finalmente, tomamos el límite con λ 0 obteniendo: f, d f(x + d) f(x) f(x) + f, y x f(y) : Sean x, y C, utilizamos la propiedad para λx + (1 λ)y y x: f(λx + (1 λ)y) + f(λx + (1 λ)y), (1 λ)(x y) f(x) y para λx + (1 λ)y e y: f(λx + (1 λ)y) + f(λx + (1 λ)y), λ(y x) f(y) Si multiplicamos la primera desigualdad por λ, la segunda por (1 λ) y sumamos, se obtiene: f(λx+(1 λ)y)+ f(λx+(1 λ)y), [λ(1 λ) (1 λ)λ] (x y) λf(x)+(1 λ)f(y) }{{} =0 Obteniendo la propiedad de convexidad: f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y) c) La implicancia es siempre cierta por la condición de primer orden para mínimos locales. Probemos entonces : Sea x tal que f(x) = 0 y sea y C cualquiera. Entonces por la parte anterior: f(x) + f(x), y x f(y) }{{} =0 Luego, f(x) f(y), con lo cual se concluye que x es mínimo global para f. 5