MATROIDES Y EL ALGORITMO VORAZ

Transcripción

1 MATROIDES Y EL ALGORITMO VORAZ Natalia Castro - 19 de octubre de 2016 Algoritmos de Aproximación IMERL - Facultad de Ingeniería - UdelaR

2 Edmonds loco-problem Edmonds se enfoca en algoritmos better than finite para problemas finitos, particularmente para loco problems (linear-objective combinatorial problems). Con esto, quiere decir problemas de optimización con una función objetivo lineal c.x sujeta a x H. El conjunto H, es una colección finita de vectores reales, que muchas veces serán a valores enteros o incluso 0-1. Edmonds loco-problem 2

3 Edmonds loco-problem En el 0-1 loco-problem, uno debe elegir un subconjunto de elementos de costo óptimo de un conjunto base E, de manera que el subconjunto elegido pertenezca a H. Edmonds plantea que la clase de locoproblems que le interesa resolver son aquellos que se denominan matroidales. En estos problemas matroidales, el algortimo voraz es un método de resolución simple y eficiente. Edmonds loco-problem 3

4 Algoritmo voraz Sabemos que dado un problema el algoritmo voraz elige en cada paso una solución óptima local. También sabemos que esa estrategia no siempre lleva a encontrar el óptimo global del problema. Es posible en algún contexto saber si utilizar un algoritmo voraz nos permitirá encontrar el óptimo global? Algoritmo voraz 4

5 Matroides y el algoritmo voraz Muchos problemas que pueden ser resueltos correctamente utilizando algoritmos voraces, pueden describirse utilizando Matroides. Los matroides son objetos combinatorios abstractos y fueron descriptos por primera vez en 1935 por H. Whitney como una generalización del concepto de independencia lineal de vectores. Matroides y el algoritmo voraz 5

6 Definición de Matroide Definición Un matroide es un par (E; I) tal que: E es un conjunto finito no vacío I P(E) es una familia no vacía de subconjuntos de E, llamados conjuntos independientes, tal que: (1) Si A I y B A entonces B I (2) Si A I, B I y A > B entonces existe algún e A B tal que B {e} I Definición de matroide 6

7 Elementos maximales en matroides Proposición Todos los subconjuntos independientes maximales de un matroide tienen el mismo cardinal. Notación: Sea M=(E; I) un matroide. Un conjunto independiente maximal se llama base de M y su cardinal se denomina rango, r(m). Un conjunto dependiente miminal se denomina circuito. Elementos maximales en matroides 7

8 Ejemplos de matroides (1) Matroide Lineal Sea A una matriz m x n. Sea E el conjunto de columnas de A. Definimos la familia I como los subconjuntos de columnas de A linealmente independientes. (2) Matroide Uniforme U n,k Sea E un conjunto finito con E =n. Dado k entero, definimos la familia I= {X E: X k}. Ejemplos de matroides 8

9 (3) Matroide Gráfico Ejemplos de matroides Sea G = (V, E) un grafo. Sea E el conjunto de aristas del grafo G y la familia I= {X E: X es un bosque}. Propiedad 1: Propiedad 2: Notar que si X es un bosque, su número de componentes conexas es k(v,x)= V - X. Sean X, Y I, con X > Y k(v,x) < k(v,y). Luego, existe una arista e X Y que conecta dos componentes conexas distintas de Y. Entonces Y {e} es un bosque. Ejemplos de matroides 9

10 (3) Matroide Gráfico Ejemplos de matroides Observación 1: Si G es conexo, las bases de este matroide son árboles recubridores de G. Observación 2: En este matroide los circuitos (dependiente minimal) se corresponden con los ciclos del grafo. Ejemplos de matroides 10

11 Ejemplos de matroides (4) Matroide co-gráfico Sea G = (V, E) un grafo. Sea E el conjunto de aristas del grafo G y la familia I= {X E: el subgrafo (V, E \ X) es conexo}. Propiedad 1: Propiedad 2: Sean X, Y I, con X > Y. Suponemos V =n Como X I (V, E \ X) es conexo E\ X n-1. Como X > Y E \ Y n Existe algún ciclo en (V, E\Y). Como ambos grafos son conexos, existe e X Y (perteneciente a un ciclo) tal que el grafo (V, E \Y {e}) es conexo. Ejemplos de matroides 11

12 Ejemplos de matroides (4) Matroide co-gráfico Observación 1: Una base de este matroide es el complemento de un árbol recubridor. Observación 2: Un circuito en este matroide es un conjunto minimal de aristas que desconecta el grafo. Ejemplos de matroides 12

13 Ejemplo que no es un matroide Sea G = (V,E) un grafo. Sea E el conjunto de aristas de G. Definimos: I= {X E: X es un emparejamiento en G} A ={(1,2),(3,4)} I B ={(2,3)} I Sin embargo, no existe elemento e A B tal que B {e} I Ejemplo que no es un matroide 13

14 Optimización en matroides Problema Dado un matroide M=(E; I) y una función de costos c:e R ( 0). Encontrar un conjunto independiente S de costo máximo, c(s)= c(e). e S Observación: Toda solución óptima de este problema será un conjunto independiente maximal, es decir, una base del matroide. Optimización en matroides 14

15 Optimización en matroides Algoritmo Voraz Paso 1: S = Paso 2: Ordenar E = {e 1, e 2,, e n } de forma que: c(e 1 ) c(e 2 ) c(e n ) Paso 3: For i = 1,, n, if S {e i } I, then S = S {e i } Paso 4: Return S Observación: Supongamos que podemos ver si un conjunto es independiente en tiempo f(n). Entonces este algoritmo corre en un tiempo O(n.log(n) + n.f(n)). Optimización en matroides 15

16 Optimización en matroides Teorema Sea M=(E; I) un sistema de independencia. M es un matroide Para cada función de costo c:e R ( 0) el Algoritmo Voraz devuelve un conjunto S I de costo máximo. Optimización en matroides 16

17 Demostración: Matroide Algoritmo Voraz Sea S={s 1, s 2,,s k } el conjunto independiente maximal calculado por el algoritmo voraz, entonces c(s 1 ) c(s 2 ) c(s k ). Por absurdo, supongamos que existe otro conjunto independiente maximal T={t 1, t 2,,t k } con c(t 1 ) c(t 2 ) c(t k ) talque c(t) > c(s). Sea j el primer índice talque c(t j ) > c(sj). Consideremos los conjuntos T j ={t 1, t 2,, t j } y S j-1 ={s 1, s 2,, s j-1 }. Por la propiedad de intercambio de matroides, existe algún elemento t r T j \ S j-1 talque S j-1 {t r } I. Como tenemos c(t r ) c(t j ) > c(sj), t r debería haber sido elegido en lugar de sj. Demostración 17

18 Demostración: Matroide Algoritmo Voraz Por absurdo, supongamos que existen X,Y I con X > Y tales que para todo e X \ Y tenemos que Y {e} I. Sea k = Y. Definimos una función de costo, c:e R ( 0) como sigue: k+2 si e Y c(e) = k+1 si e X \ Y 0 si e E \ (X Y) El algoritmo voraz elegirá todos los elementos de Y, ninguno de X \ Y y luego el resto. El costo será k.(k+2). Sin embargo, elegir X tiene costo por lo menos (k+1).(k+1)=(k+1) 2 > k.(k+2) Demostración 18

19 Resultado De lo anterior concluimos que tenemos de forma inmediata un algoritmo voraz que encontrará el óptimo para cualquier problema que pueda formularse como un matroide. Volviendo a los ejemplos que vimos al principio: Resultado 19

20 Ejemplos de optimización (1) Matroide Lineal Dada una matriz A, hallar el conjunto de vectores de costo máximo que generan el espacio de columnas de A. (2) Matroide Uniforme U n,k Dado un conjunto de n objetos con pesos, hallar los k elementos del conjunto que tienen mayor peso. Ejemplos de optimización 20

21 Ejemplos de optimización (3) Matroide Gráfico Dado un grafo con pesos en sus aristas, calcular su árbol recubridor de peso máximo (Maximum Spanning Tree). Observación: En este contexto el algoritmo voraz es mejor conocido como Algoritmo de Kruskal. Ejemplos de optimización 21

22 Ejemplos de optimización (4) Matroide co-gráfico Dado un grafo con pesos en sus aristas, encontrar el árbol recubridor de costo mínimo. (Minimum Spanning Tree) Ejemplos de optimización 22

23 Conclusiones Podemos decir que los matroides se caracterizan por ser el contexto donde el algoritmo voraz encuentra el óptimo. Los matroides son la estructura subyacente para muchos problemas de optimización combinatoria. El ejemplo más prominente de problema formulado con un matroide es el Optimum Spanning Tree. También algunos problemas de ordenamientos de tareas pueden ser formulados en términos de un matroide. Conclusiones 23

24 Generalizaciones El poder de los matroides es mucho mayor cuando se considera la intersección de familias de conjuntos independientes de dos matroides. ( Combinatorial Optimization, Michel X. Goemans, Massachusetts Institute of Technology, 2011) Limitaciones - Generalizaciones 24

25 Generalizaciones UN MATROIDE OPTIMUM SPANNING TREE ALGORITMO VORAZ INTERSECCION DE DOS MATROIDES BIPARTITE MATCHING ALGORITMO POLINOMIAL (EDMONDS) INTERSECCION DE TRES MATROIDES TRAVELLING SALESMAN PROBLEM NP-HARD ( Combinatorial Optimization, Michel X. Goemans, MIT, 2011) Generalizaciones 25

26 Limitaciones - Generalizaciones A su vez existen muchos tipos de algoritmos que pueden considerarse voraces pero no tienen relación con ninguna estructura matroidal. Un ejemplo es el Algoritmo de Dijkstra para encontrar el camino más corto en un grafo. Se definen estructuras más generales llamadas greedoids. ( Matroids, Will Johnson, Washington University, 2009) Limitaciones - Generalizaciones 26