The Traveling Salesperson Problem. D.Moshkovitz Complexity

Transcripción

1 The Traveling Salesperson Problem 1

2 La misión: La vuelta al mundo 2

3 El problema: El dinero que cuesta 1795$ 3

4 Introducción Objetivos: Estudiar el problema Traveling Salesperson Problem (TSP). Resumen: TSP: Definición formal y ejemplos TSPes NP-hard Algoritmo de aproximación para un caso especial Resultado negativo de aproximación para el caso general 4

5 TSP Entrada: un grafo no dirigido G=(V,E), con coste en las aristas (los costes son naturales). Problem: encontrar un circuito hamiltoniano de mínimo coste

6 Hay algoritmo polinómico para TSP? Algoritmo Voraz: elegir el nodo adyacente, de menor coste, que no haya sido elegido todavía 6

7 La estrategia voraz Falla

8 La estrategia voraz Falla

9 TSP es NP-hard El problema decisional correspondiente TSP(d): Entrada: un grafo no dirigido G=(V,E), con coste en las aristas y un número k. Problema: encontrar un circuito hamiltoniano cuyo coste es igual que k. 9

10 TSP es NP-hard Teorema: Circuito Hamiltoniano p TSP(d). Prueba: k= V 1 Circuito Hamiltoniano TSP 10

11 Qué más? Vamos a ver un algoritmo de aproximación para TSP, de radio 2, para funciones de coste que verifican una determinada propiedad. 11

12 La desigualdad triangular Definición: Diremos que la función de coste c verifica la desigualdad triangular, si u,v,w V : c(u,v)+c(v,w) c(u,w) 12

13 COR(B) Algoritmo de aproximación 1. Construye un Árbol de Expansión Mínimo (AEM) para G. 2. Devuelve el circuito resultante de recorrer el árbol en preorden. 13

14 Demostración y análisis El coste de un Circuito Hamiltoniano mínimo el coste de un AEM 14

15 Demostración y análisis El coste del recorrido en preorden es dos veces el coste del árbol 15

16 Demostración y análisis Gracias a la desigualdad triangular, el coste del Circuito Hamiltoniano no es peor 16

17 El radio de aproximación Circuito Hamiltoniano Mínino AEM Recorrido en preorden = ½ ½ Nuestro Circuito Hamiltoniano 17

18 COR(B) Qué ocurre en el caso general? Vamos a probar que TSP no puede ser aproximado por ningún radio ρ 1 viendo que si P NP, entonces no puede existir un algoritmo de aproximación eficiente para TSP. 18

19 TSP no puede ser aproximado eficientemente Teorema: Si P NP y ρ 1, no puedeexistir un algoritmo de aproximación eficiente para TSP Prueba: Por reducción al absurdo. Supongamos que existe un algoritmo de aproximación de radio ρ 1 para TSP Veamos que entonces el problema Circuito Hamiltoniano estaría en P 19

20 Cómo resolvemos Circuito Hamiltoniano? 1 1 ρ V +1 1 ρ V +1 Circuito Hamiltoniano 1 Entrada para el algoritmo de aproximación de TSP 20

21 Cómo resolvemos Circuito Hamiltoniano? Si el grafo de partida tiene un Circuito Hamiltoniano, el coste del circuito mínimo es V. Como tenemos un algoritmo de aproximación de radio ρ, éste debe devolver el Camino Hamiltoniano Si no fuera así, devolvería un circuito de coste, al menos (ρ V +1) + ( V -1) > ρ V y esto no puede ser porque el radio es ρ. 21

22 Cómo resolvemos Circuito Algoritmo Hamiltoniano? - Ejecutar el algoritmo de aproximación - Comprobar si el circuito devuelto es un Circuito Hamiltoniano - En caso afirmativo devolver SI - En caso negativo devolver NO Camino Hamiltoniano estaría en P!!! pero estamos suponiendo P NP 22

23 Resumen Hemos estudiado el Traveling Salesperson Problem (TSP). y hemos visto que es NP-hard. Sin embargo, cuando la función de coste verifica la desigualdad triangular, existe un algoritmo de aproximación de radio 2. 23

24 Resumen Para el caso general, hemos demostrado que probablemente no exista un algoritmo de aproximación eficiente para el TSP. Aún más, hemos mostrado un método general para probar que un problema de approximación es NP-Hard. 24