Conjuntos Parcialmente Ordenados y Reticulados. Matemática Discreta. Agustín G. Bonifacio UNSL. Conjuntos Parcialmente Ordenados y Reticulados

Transcripción

1 y UNSL y

2 y y Capítulo 4 del libro de B. Kolman, R. Busby y S. Ross. Definición Una relación R sobre un conjunto X es un orden orden parcial si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. El conjunto A con el orden parcial R se llama conjunto parcialmente ordenado (c.p.o.) y se escribe (A, R). Sea A una colección de subconjuntos de un cierto conjunto X. La relación de inclusión de conjuntos es un orden parcial en A, por lo cual (A, ) es un c.p.o.

3 y Sea Z + el conjunto de los enteros positivos. La relación (menor o igual) es un orden parcial sobre Z +, al igual que (mayor o igual). La relación < (menor) no es orden parcial, ya que no es reflexiva. Ejercicio Ver que si R es un orden parcial sobre A y R 1 es la relación inversa de R (esto es, ar 1 b bra), entonces R 1 es un orden parcial en A.

4 y Definición El c.p.o. (A,R 1 ) se llama dual del c.p.o. (A,R), y al orden parcial R 1 se le llama dual del orden parcial R. Notación En general, en vez de R escribiremos, y en vez de R 1 escribiremos. Definición Si (A, ) es un c.p.o, dos elementos a y b de A se dicen comparables si a b ó b a. Si cada par de elementos en un c.p.o. es comparable, se dice que A está linealmente ordenado (o totalmente ordenado) y que es un orden lineal (orden total o cadena).

5 y (Z +, ) está linealmente ordenado, pero (A, ) (del primer ejemplo), no. El siguiente teorema muestra cómo construir un c.p.o. a partir de otros c.p.o. Teorema 1 Sean (A, A ) y (B, B ) dos c.p.o. Definamos la relación A B en el conjunto A B de la siguiente manera: (a,b) A B (a,b ) si y sólo si a A a y b B b. Entonces (A B, A B ) es un c.p.o.

6 y Demostración: (a,b) A B (a,b ) si y sólo si a A a y b B b. Sea (a,b) A B. Por reflexividad de A, a A a. Por reflexividad de B, b B b. Entonces, por definición de A B, (a,b) A B (a,b). Por lo tanto, A B es reflexiva. Sean (a,b) y (a,b ) en A B. Supongamos que (a,b) A B (a,b ) y que (a,b ) A B (a,b). Por definición de A B tenemos que a A a y que a A a. Por antisimetría de A, a = a. Análogamente, como b B b y b B b, la antisimetría de B implica que b = b. Concluímos entonces que (a,b) = (a,b ), por lo que A B es antisimétrica. Sean (a,b),(a,b ) y (a,b ) en A B. Supongamos que (a,b) A B (a,b ) y que (a,b ) A B (a,b ). Por definición de A B, tenemos a A a y a A a, y por transitividad de A, llegamos a que a A a. Análogamente, como b B b y b b, por transitividad de B llegamos a que b B b. Concluímos entonces, por definición de A B, que (a,b) A B (a,b ), por lo que A B es transitiva.

7 y Observación Al orden parcial A B definido en el Teorema anterior se le llama orden parcial del producto. Definición Si (A, ) es un c.p.o., se escribe a < b si a b pero a b. Otro orden parcial útil que puede definirse en el producto cartesiano de dos c.p.o. es el orden lexicográfico. Definición Sean (A, A ) y (B, B ) dos c.p.o. El orden lexicográfico en A B, denotado por A B, se define de la siguiente manera: (a,b) A B (a,b ) a < A a ó (a = a y b B b ).

8 y Sean A = R y su orden usual. Entonces el plano R 2 puede ordenarse lexicográficamente. Aquí p 1 p 2, p 1 p 3 y p 2 p3.

9 y Sea S = {a,b,c,...,z} es alfabeto con el orden usual. Entonces S n es el conjunto de palabras de longitud n. El orden lexicográfico en S n da el orden de diccionario de las palabras. Teorema El digrafo de un orden parcial no tiene ciclos de longitud mayor que 1. Demostración: Supongamos que el digrafo asociado al orden parcial sobre A tiene un ciclo de longitud n 2. Entonces existen a 1,...,a n distintos en A tales que a 1 a 2, a 2 a 3,...,a n 1 a n, a n a 1. Por transitividad, a 1 a n. Como además a n a 1, por antisimetría a 1 = a n.

10 y Diagrama de Hasse Dado un c.p.o., borramos del digrafo asociado: 1 Los lazos implicados por la reflexividad, 2 Las aristas implicadas por la transitividad. Digrafo y diagrama de Hasse para (A, ) con A = {a,b,c} y a b c.

11 y Sean X = {a,b,c} y A = P(X). El diagrama de Hasse de A ordenado con es el siguiente:

12 y Observaciones 1 El diagrama de Hasse de un conjunto ordenado linealmente es una ĺınea vertical. 2 Si (A, ) es un c.p.o. y (A, ) es su dual, el diagrama de Hasse de (A, ) es el de (A, ) girado cabeza abajo. Dado un c.p.o. (A, ), a veces es necesario encontrar un orden lineal del conjunto A que extienda al orden parcial, en el sentido de que a b = a b. El proceso de construcción de un tal orden se denomina clasificación topológica.

13 y Existen muchas maneras de hacer una clasificación topológica. Para el siguiente c.p.o. existen (por lo menos) las siguientes dos: 1 a b c d e g f, 2 a c g b d e f.

14 y Definición Sea (A, ) un c.p.o. 1 Un elemento a A se llama elemento maximal de A si no existe un c A tal que a < c. 2 Un elemento b A se llama elemento minimal de A si no existe un c tal que c < b. Observación Si (A, ) es el dual de (A, ), a es maximal (minimal) de (A, ) si y sólo si a es minimal (maximal) de (A, ). 1 (R +, ), el 0 es minimal y no tiene maximales. 2 (Z, ) no tiene ni minimales ni maximales.

15 y Un c.p.o. con tres elementos maximales y tres elementos minimales.

16 y Teorema Sea (A, ) un c.p.o. finito. Entonces A tiene al menos un maximal y al menos un minimal. Demostración: Sea a A. Si a no es maximal, existe un a 1 A tal que a < a 1. Si a 1 no es maximal, existe un a 2 A tal que a 1 < a 2. Como A es finito este argumento no puede extenderse indefinidamente y, en el peor de los casos, obtendremos una cadena finita a < a 1 <... < a k 1 < a k que no podrá extenderse, por lo que a k es un elemento maximal de (A, ). Usando el mismo argumento podemos asegurar existencia de elemento maximal en el dual (A, ), por lo cual (A, ) tiene un elemento minimal.

17 y Definición Sea (A, ) un c.p.o. 1 Un elemento a A es un máximo de A si x a para todo x A. 2 Un elemento a A es un mínimo de A si a x para todo x A. 1 Sea X = {a,b,c} y A = P(X) ordenado por la inclusión de conjuntos,. Entonces el mínimo es y el máximo es X. 2 (Z, ) no tiene ni mínimo ni máximo. Teorema Un c.p.o. tiene a lo sumo un máximo y a lo sumo un mínimo. Demostración: Supongamos que a y b son máximos. Entonces a b y b a. Por antisimetría, a = b. La prueba para unicidad del mínimo es similar.

18 y Definición Sean (A, ) un c.p.o. y B A. 1 Un a A es cota superior de B si b a para todo b B. 2 Un a A es cota inferior de B si a b para todo b B. 3 Un a A es cota superior mínima de B (o supremo de B) si: (i) a es cota superior de B, y (ii) si a A es otra cota superior de B, entonces a a. 4 Un a A es cota inferior máxima de B (o ínfimo de B) si: (i) a es cota inferior de B, y (ii) si a A es otra cota inferior de B, entonces a a.

19 y B 1 = {a,b} No tiene cotas inferiores. Cotas superiores: c,d,e,f,g,h. sup(b 1 ) = c. No existe ínf(b 1 ). B 2 = {c,d,e} Cotas inferiores: a, b, c. Cotas superiores: f, g, h. No existe sup(b 2 ), ya que f y g no se pueden comparar. ínf(b 2 ) = c.

20 y Teorema Sea (A, ) un c.p.o. Todo B A tiene a lo sumo un supremo y a lo sumo un ínfimo. Demostración: Ejercicio (similar al de unicidad de máximo).

21 y Definición Un reticulado (o lattice) es un c.p.o. (A, ) en el cual cada subconjunto de dos elementos tiene ínfimo y supremo. Es decir, un reticulado es un (A,,, ) tal que para cualquier par a,b A tenemos: 1 a b ínf{a,b}, 2 a b sup{a,b}.

22 y Sea X un conjunto y A = P(X). Si definimos, para cada par de subconjuntos X 1 y X 2 del conjunto X el ínfimo y el supremo de la siguiente forma: 1 X 1 X 2 X 1 X 2, 2 X 1 X 2 X 1 X 2, entonces (A,,, ) es un reticulado.

23 y Con X = {a,b,c} tenemos el siguiente diagrama de Hasse:

24 y Definición Sean a,b N. Decimos que a divide a b, lo que denotamos a b, si existe un k N tal que b = a k. Sea D 6 = {1,2,3,6} el conjunto de los divisores de 6. El conjunto D 6 junto con la relación de divisibilidad forman un c.p.o. Si definimos el ínfimo entre dos elementos de D 6 como el máximo común divisor (MCD) entre ellos y el supremo como el mínimo común múltiplo (MCM) entre ellos, obtenemos el reticulado (D 6,,MCD,MCM). Su diagrama de Hasse es el siguiente:

25 y Cuáles de los siguientes diagramas corresponden a un reticulado? SÍ es un reticulado. NO es reticulado (falta f g). NO es reticulado (faltan d e,b c).

26 y Observación Sea (A, ) un c.p.o. y sea (A, ) su dual. Si (A,,, ) es un reticulado, entonces (A,,, ) con = y =, también es un reticulado. Teorema Si (A, A ) y (B, B ) son reticulados, entonces (A B, A B ) también es un reticulado.

27 y Teorema Si (A, A ) y (B, B ) son reticulados, entonces (A B, A B ) también es un reticulado. Demostración: Como (A, A ) es reticulado, tenemos definidos tanto el ínfimo A como el supremo A entre dos elementos cualesquiera de A. Análogamente, tenemos definidos tanto B como B en B. Tenemos entonces que definir, en base a estas operaciones, las operaciones de ínfimo y supremo en A B. Dados dos elementos cualesquiera (a,b),(a,b ) en A B, sean: 1 (a,b) A B (a,b ) (a A a,b B b ), 2 (a,b) A B (a,b ) (a A a,b B b ). Se deja como ejercicio verificar que estas definiciones, de hecho, se corresponden con los ínfimos y supremos de pares de elementos de A B con el orden producto.

28 y Definición Sea (A,,, ) un reticulado. Un subconjunto no vacío S de A es un subreticulado (o sublattice) si, para todo par a,b S se cumple que a b S y a b S. : Reticulado original. NO es subreticulado (falta a b = c). SÍ es subreticulado.

29 y Definición Sean (A,,, ) y (A,,, ) dos reticulados. Una función biyectiva f : A A es un isomorfismo de (A,,, ) en (A,,, ) si, para cualquier par a,b A, se tiene 1 f(a b) = f(a) f(b), y 2 f(a b) = f(a) f(b). Si f : A A es un isomorfismo, decimos que A y A son isomorfos. Observaciones Si A y A son isomorfos bajo el isomorfismo f : A A, entonces para todo par a,b A, a b f(a) f(b). Los diagramas de Hasse de dos reticulados isomorfos son idénticos.

30 y Consideremos el reticulado (D 6,,MCD,MCM) y el reticulado (P(X),,, ) donde X = {a,b}. La función f : D 6 P(X) definida por: f(1) =, f(2) = {a}, f(3) = {b}, f(6) = {a,b}, es un isomorfismo. Los diagramas de Hasse de D 6 y P(X) son equivalentes:

31 y Teorema Sea (A,,, ) un reticulado. Entonces, para todo par a,b A : 1 a b = b a b, 2 a b = a a b, 3 a b = b a b = a. Demostración: Veamos (1). (= ) Supongamos a b = b. Por definición de supremo, a a b. Como a b = b, se sigue que a b. ( =) Supongamos a b. Como además (por reflexividad) b b, tenemos que b es cota superior de a y b. Por ser a b cota superior mínima (supremo) y b cota superior, a b b. Por otro lado, a b es cota superior de b, por lo que b a b. Entonces, por antisimetría, al tener a b b y b a b, se deduce que a b = b. La parte (2) es similar a la parte (1). La parte (3) es consecuencia inmediata de (1) y (2).

32 y Teorema Sea (A,,, ) un reticulado y sean a,b y c elementos de A. Entonces valen las siguientes propiedades: 1 Idempotencia: a a = a y a a = a 2 Conmutatividad: a b = b a y a b = b a 3 Asociatividad: a (b c) = (a b) c y a (b c) = (a b) c 4 Absorción: a (a b) = a y a (a b) = a Demostración: Ejercicio. Observación Se sigue de la propiedad de asociatividad que a (b c) y (a b) c se pueden escribir simplemente como a b c. (Lo mismo ocurre para ). Más aún, se puede escribir sup{a 1,a 2,...,a n } = a 1 a 2... a n. (Lo mismo ocurre para el ínf).

33 y Definición Un reticulado (A,,, ) se dice acotado si tiene un elemento máximo I y un elemento mínimo 0. (Z +,,MCD,MCM) no es un reticulado acotado ya que, si bien tiene un elemento mínimo, el número 1, no tiene un elemento máximo. (Z, ) no es acotado ya que no posee ni mínimo ni máximo. Dado un conjunto X, si A = P(X) entonces (A,,, ) es acotado. Su elemento máximo es X y su elemento mínimo es.

34 y Observación Si (A,,, ) es un reticulado acotado, entonces para todo a A : 1 0 a I, 2 a 0 = 0, 3 a 0 = a, 4 a I = a, 5 a I = I. Teorema Sea (A,,, ) un reticulado finito, con A = {a 1,...,a n }. Entonces (A,,, ) es acotado. Demostración: El elemento máximo es a 1 a 2... a n y el elemento mínimo es a 1 a 2... a n.

35 y Definición Un reticulado (A,,, ) se dice distributivo si, para cualquier terna a,b,c de elementos de A se cumple que: 1 a (b c) = (a b) (a c), 2 a (b c) = (a b) (a c). Si (A,,, ) no es distributivo, se dice que es no distributivo. Dado un conjunto X no vacío, (P(X),,, ) es un reticulado distributivo, ya que la unión y la intersección de conjuntos satisfacen las leyes distributivas.

36 y Los siguientes reticulados son no distributivos: Pentágono N 5 d (b c) = d e = d (d b) (d c) = b a = b Diamante M3 b (c d) = b e = b (b c) (b d) = a a = a

37 y Teorema Un reticulado es no distributivo si y sólo si contiene un subreticulado isomorfo con uno de los reticulados del ejemplo anterior (N5 o M3). Demostración: Fuera del alcance de este curso.

38 y Definición Sea (A,,, ) un reticulado acotado con máximo I y mínimo 0, y sea a A. Un elemento a A se dice complemento de a si 1 a a = I, y 2 a a = 0. Observación Nótese que 0 = I y I = 0. Dado un conjunto X no vacío, (P(X),,, ) es tal que cada elemento tiene su complemento, el que viene dado por su conjunto complementario. Por ejemplo, sea X = {a,b,c}. Entonces, el complemento de {a} es {b,c}.

39 y El elemento c de los reticulados N5 y M3 tiene dos complementos, b y d. Teorema Sea (A,,, ) un reticulado acotado y distributivo. Si un complemento existe, entonces es único. Definición Un reticulado (A,,, ) acotado se dice complementado si cada elemento de A tiene un complemento.

40 y Dado un conjunto X no vacío, el reticulado (P(X),,, ) está complementado. Además, al ser el reticulado distributivo, los complementos son siempre únicos. Los reticulados no distributivos N 5 y M 3 están complementados. Sin embargo, algunos de sus elementos tienen más de un complemento.