Producto cartesiano y relaciones.

Transcripción

1 CAPÍTULO 1. Producto cartesiano y relaciones. Este primer capítulo trata sobre producto cartesiano y relaciones. Muchos subconjuntos del plano definen relaciones, las cuales tienen cada una distintas propiedades. Estas propiedades forman en la mente ideas que posteriormente se aplican en ingeniería, por ejemplo en programación y bases de datos.

2 SECCIÓN 1. Producto Cartesiano. En esta sección traemos, cuidadosamente seleccionado, un ejercicio sobre producto cartesiano. El problema comienza con una propiedad que, una vez que la interpretamos en la familiar recta real R, nos da una idea de cómo probarla en general y no sólo para subconjuntos de números reales. Finalmente, la demostración detallada en cada paso nos da una visión general de cómo se demuestran varias propiedades de distintos ejercicios. CONTENIDO. 1. Ejercicio sintetizador de producto cartesiano. 2. Ejemplo en R. 3. Demostración de las propiedades. 2

3 Enunciado. Sean A, B U dos conjuntos cualesquiera. Determinar si la igualdad Galería 1.1 : Producto Cartesiano (A B) (B A) = (A B) (B A) es correcta. En caso negativo dar un contraejemplo y en caso positivo demostrarla. Solución. Lo primero que tenemos que hacer es interpretar geométricamente cada miembro de la igualdad en un ejemplo que conozcamos. Una buena idea es pensar que A, B R. El gráfico siguiente nos muestra este caso. Interpretación geométrica del producto cartesiano para nuestro ejercicio en R 2 con A y B intervalos. El miembro de la izquierda resulta entonces todo lo graficado en color verde. Pero, es igual al miembro de la derecha? Vemos que no : el miembro de la derecha es, de los cuatro rectángulos, solamente el superior izquierdo A B y el inferior derecho B A. Por lo tanto la igualdad es incorrecta. Pero vayamos un poco más allá. Del gráfico parece que el miembro derecho está incluido en el izquierdo. Si queremos probar que este es el caso siempre, lo debemos demostrar. 3

4 Vamos a probar entonces que (A B) (B A) (A B) (B A). Para probar una inclusión de conjuntos debemos tomar un elemento del primero de ellos y mostrar que sí o sí este elemento pertenece al segundo. Sea entonces : (x, y) (A B) (B A) (x, y) A B (x, y) B A (x A y B) (x B y A) (x A y A) (x A y B) (x B y A) (x B y B) (x (A B) y A) ((x (A B) y B) x (A B) y (B A) (x, y) (A B) (B A). c.q.d. 4

5 SECCIÓN 1 Relaciones de equivalencia y de orden. En esta segunda sección resolvemos dos ejercicios importantes de los dos tipos de relaciones más importantes de la materia : las relaciones de equivalencia y las relaciones de orden. En el primero, interpretamos geométricamente la relación, con lo cual las clases y el conjunto cociente se hallan de una manera natural. En el segundo, ordenamos el conjunto con un método que se utiliza en otros lados de la materia. Estas ideas generales se aplican a muchos ejercicios de modo que su manejo completo es de gran ayuda en otros temas. CONTENIDO. 1. Relaciones de equivalencia. 2. Clases y conjunto cociente. 3. Relaciones de orden. 4. Elementos particulares de subconjuntos. 5

6 Enunciado. En R 2 definimos (x, y) (u, v) x 2 + y 2 = u 2 + v 2. Probar que es una relación de equivalencia, determinar las clases y el conjunto cociente que determina la misma. Solución. Recordemos que una relación de equivalencia es una relación que es simultáneamente reflexiva, simétrica y transitiva. Hagamos por ejemplo la demostración de la transitividad, dejando como ejercicio para el lector la demostración de la reflexividad y de la simetría. Debemos probar que (x, y) (u, v) (u, v) (r, s) (x, y) (r, s). Supongamos entonces que (x, y) (u, v) (u, v) (r, s) x 2 + y 2 = u 2 + v 2 u 2 + v 2 = r 2 + s 2 x 2 + y 2 = r 2 + s 2 (x, y) (r, s). Ahora bien, para calcular las clases debemos recordar la definición de ella. En un conjunto A donde hay definida una relación de equivalencia, si a A entonces se define la clase de a, que se denota cl(a) así: cl(a) = {x A : x a}. Pero en nuestro ejemplo A = R 2 por eso lo que en la definición es x ahora debe ser un elemento de R 2. Tiene entonces sentido calcular la clase de un elemento de R 2. Calculemos por ejemplo la clase del (3,4). cl(3,4) = {(x, y) R 2 : (x, y) (3,4)}. Esto implica que se debe cumplir que x 2 + y 2 = = 25 luego el conjunto cl(3,4) es igual a cl(3,4) = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 25} lo cual se representa geométricamente por una circunferencia de radio 5. Análogamente la clase del (12,5) se calcula así : cl(12,5) = {(x, y) R 2 : (x, y) (12,5)}. 6

7 Esto implica que se debe cumplir que x 2 + y 2 = = 169 Galería 1 : Las clases de la relación. luego el conjunto cl(12,5) es igual a cl(12,5) = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 169} lo cual se representa geométricamente por una circunferencia de radio 13. En general, vemos que la clase de un elemento (a, b) es el conjunto cl(a, b) = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = a 2 + b 2 } lo cual se representa geométricamente por una circunferencia de radio a 2 + b 2 con centro en el origen. Clases de equivalencia de los elementos (3,4) y (12,5). Para calcular el conjunto cociente, debemos hallar el conjunto de todas las clases de equivalencia, donde no debemos listar en dicho conjunto dos veces a una misma clase. De la gráfica anterior, vemos que un tal conjunto podría ser cualquier semirrecta con origen en (0,0). Luego, un posible conjunto es el conjunto de las clases de los números reales no negativos a pero nombrados en la forma (a,0), es decir R 2 / = {cl(a,0) : a R + 0 }. Podés ver una solución on-line explicada por un profesor cliqueando aquí. 7

8 Problema. Considere el subconjunto de números naturales ordenado por la divisibilidad siguiente : A = {2,3,4,9,28,36,45,180,252,1260}. Realizar el diagrama de Hasse correspondiente y luego, para el subconjunto B = {4,9,36,45,180} hallar c. inf(b), c. sup(b), inf(b), sup(b), min(b), max(b), minim(b), ma xim(b). Solución. Recordemos que en un conjunto finito donde hay definida una relación de orden se define el diagrama de Hasse como una figura de vértices y aristas donde se dibuja una arista del vértice a al vértice b si a está relacionado con b donde se entiende que todo elemento está relacionado con sí mismo y que no hace falta dibujar la arista si se puede llegar desde a hasta b pasando por uno o más vértices del conjuntos. En nuestro caso debemos concentrarnos en dibujar una arista desde a hasta b cuando a b. Diagrama de Hasse del conjunto A. El diagrama de Hasse queda entonces así : 8

9 Pasamos ahora a la segunda parte del ejercicio. Consideremos el subconjunto B = {4,9,36,45,180} de A. Entonces con este diagrama vemos que los elementos notables del subconjunto B = {4,9,36,45,180} son : c. inf(b) = c. sup(b) = {180,1260} inf(b) sup(b) = 180 min(b) max(b) = 180 minim(b) = {4,9} ma xim(b) = {180}. 9