FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS SÍLABO

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1 FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS SÍLABO 1. GENERALIDADES 1.1. Denominación de Asignatura : Introducción a la Matemática Discreta 1.2. Código : I Fecha de Aprobación : enero de Aplicado en el Periodo : Versión : Autor : CC-FIIS 1.7. Régimen de Estudio : Regular 1.8. Obligatorio/Electivo : Obligatorio (O) 1.9. Área Académica/Escuela : Ciencias Matemáticas Ingeniería de Sistemas Año Académico-Ciclo : 2011 III Ciclo Créditos : Total de horas semanales : Horas de Teoría : Horas Práctica/Laboratorio : Tipo de Evaluación : B Pre-requisitos : M200-M SUMILLA Inducción Matemática. Análisis combinatorio. Código BCD. Complemento a 2. Sumas y Restas de números enteros (positivos y negativos) usando el Complemento a 2. Codificación y Decodificación del bit de Paridad par. Aritmética Modular. Sistema Criptográfico con clave pública y clave privada RSA. Algebra de Boole. Grafos dirigidos. Grafos no-dirigidos. Trayectorias de Euler. Circuitos de Hamilton. Alg. De la fuerza bruta. Árboles dirigidos. Árboles n-arios. Árboles binarios. Recorridos de un árbol. Árboles no dirigidos. Árboles de expansión. Alg. De Prim y Kruskal. Alg. De la ruta más corta de Dijkstra. Código Pre-Fijo. Código de Huffman. Alfabeto. Máquinas de estados finitos. 3. OBJETIVOS 3.1. OBJETIVOS GENERALES El estudiante tendrá las herramientas necesarias para continuar los cursos en los cuales el presente curso sea considerado como requisito. Así mismo el estudiante estará en capacidad de manejar con eficiencia los conceptos de la Matemática Discreta en diversas áreas: Lógica. Inducción Matemática. Los números en relación de las aplicaciones modernas de la Criptografía en la seguridad de la información. Análisis combinatorio. La teoría de grafos y árboles los cuales servirá para el entendimiento y la utilización en los distintos tipos de sistemas, aplicaciones de software y búsqueda en árboles, optimización; circuitos digitales, Redes, Redes eléctricas, sistemas de Control. La Codificación y Decodificación Bit de paridad utilizados en telecomunicaciones para los procesos de transmisión digital. La Teoría de Máquinas de estado finito con aplicaciones prácticas OBJETIVOS ESPECÍFICOS Al finalizar el curso el estudiante estará en capacidad de entender, analizar y estudiar: Las técnicas de Criptografía utilizada en la seguridad de las comunicaciones El Álgebra de Boole y sus aplicaciones en los circuitos digitales. 1

2 Los principios de la teoría de grafos con aplicaciones del Problema del Agente viajero La teoría de árboles, búsqueda en árboles y optimización La teoría de Máquinas de estado finito La inducción matemática Las técnicas de conteo La Codificación y Decodificación del bit de Paridad par Códigos Prefijos y Código de Huffman para comprimir archivos. 4. LA METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA A fin de que el estudiante pueda participar activamente en el desarrollo del curso se plantea lo siguiente: 4.1. Medios. Las clases teóricas y prácticas se dictarán en el aula con participación de los alumnos. Además se incentivará a la investigación con la propuesta de trabajos dirigidos Materiales. Se utilizará semanalmente ejercicios de desarrollo y la bibliografía adecuada debidamente actualizada. 5. EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE: TIPO B Asignaturas teóricos-prácticos de aula y/o laboratorio El Promedio Final será: EP + 2EF + PP PF = 4 Donde: EP= Examen Parcial EF= Examen Final PP= Promedio de Prácticas El número de prácticas es 5 (cinco). Se elimina la nota más baja de las cinco notas obtenidas. El promedio de prácticas de las Asignaturas tipo B se determina en función de las prácticas desarrolladas en las horas asignadas para este fin. La programación de estas prácticas debe comprender: 2 prácticas de Aula antes del Examen Parcial 3 prácticas de Aula antes del examen Final Entonces, el promedio de Práctica será: 4 Pi = 1 PP = i 4 2

3 6. UNIDADES Y CONTENIDOS TEMATICOS POR SESIÓN 6.1. PROGRAMA SEMANAL (CLASES) SEMANA HORAS TEMA 1 05 Primer Principio de la Inducción Matemática. Análisis combinatorio. Principios fundamentales de conteo: Las reglas de la suma y del producto. Permutación Permutaciones de n elementos tomados de r en r. Permutaciones con repetición. Permutación Circular. Combinación. Números Combinatorios. Binomio de Newton. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA 3 05 Aritmética Modular. Sistema Criptográfico con clave pública y clave privada RSA Resumen de Sistemas de Numeración. Conversión para números enteros entre las bases 10, 2, 8 y 16. Sumas y restas en las bases 2, 8 y 16. 1ra. Práctica calificada 5 05 Código BCD. Complemento a 2 en base 2. Sumas y Restas de números enteros (positivos y negativos) usando el Complemento a 2. Codificación y Decodificación del bit de Paridad par. Casos en los cuales se puede detectar el error y casos en los cuales no se puede detectar el error. Morris Mano, Ronald Tocci Johnsonbaugh Morris Mano, Ronald Tocci 6 05 Definición general de un Algebra de Boole. Axiomas. El Álgebra de Boole aplicado al conjunto {0,1}: La lógica binaria y las operaciones Booleanas. Suma, Producto y Complemento. Expresión Booleana. El Dual de una expresión Booleana. Propiedades del Álgebra de Boole. Compuertas lógicas: Compuertas OR, AND, NOT, NAND, NOR, XOR (Or Exclusivo), XNOR (Nor Exclusivo). Circuito Combinatorio. Tablas de verdad de las Compuertas lógicas. Propiedad: El OR EXCLUSIVO es asociativo. Morris Mano, Ronald Tocci 3

4 7 05 Funciones Booleanas. Minitérmino. Simplificación algebraica de funciones Booleanas. 2da. Práctica calificada 8 05 Simplificación de funciones Booleanas usando Mapas de Karnaugh de 2 y 3 variables. Kenneth Charles Wright Ross- R.B Repaso EXAMEN PARCIAL Grafos Dirigidos: Grado Interno y Externo de un Vértice. Trayectoria. Longitud de una, Grimaldi trayectoria. Trayectoria abierta. Trayectoria cerrada (Circuito ó Ciclo). Trayectoria Simple (Trayectoria en donde no se repite ningún vértice a excepción del primero y el último que pueden ser iguales). Grafos dirigidos conexos. Grafos no dirigidos. Definición G= (V, A, f). V: Conjunto de vértices, A: Conjunto de aristas, f: La función que asigna a cada arista un par de vértices. Lazo. Aristas paralelas. Grado de un vértice. Trayectorias: Abierta, Cerrada y Simple. Longitud de una trayectoria Subgrafos. Grafos Conexos y Disconexos. Puente. Componentes de una gráfica. Gráfica Discreta. Gráfica Completa y Gráfica Lineal. Matriz de adyacencia A de un grafo. 3ra. Práctica calificada Teorema sobre la interpretación de A n y las trayectorias de longitud n. Circuitos de Euler. Teoremas de Euler para grafos conexos no dirigidos y para grafos conexos dirigidos: Condiciones necesarias y suficientes para que exista una trayectoria abierta de Euler y para que exista una trayectoria cerrada de Euler Circuitos de Hamilton: Algoritmo de la Fuerza Bruta para grafos conexos no dirigidos. El problema del agente viajero para un grafo no dirigido completo de 4 y de 5 vértices. Teorema de la condición suficiente para que haya circuitos de Hamilton: Si el grado de cada vértice es mayor ó igual a la mitad del número de vértices entonces existe una trayectoria cerrada de Hamilton. 4ta. Práctica calificada 4

5 15 05 Árboles dirigidos. Raíz de un árbol, hijos, hojas, nivel, Altura de un árbol. Sub Árbol. Árboles n-arios. Árboles binarios. Recorridos de un árbol. Recorridos Pre- Orden y Post-Orden. Notación Infija, Polaca y Polaca inversa. Árboles no dirigidos. Árboles de expansión de un grafo no dirigido conexo. Determinación de un árbol de expansión mediante el método de búsqueda a lo ancho. La ruta más corta para ir de un vértice a otro en un grafo conexo sin pesos Algoritmo para la ruta más corta de Dijkstra. 5ta. Práctica calificada Árboles con peso. Árboles de expansión mínimos: Algoritmo de Robert Prim y Algoritmo Joseph Kruskal. Códigos Prefijos y Código de Huffman para comprimir archivos Alfabeto. Cadena. Longitud. Concatenación. Prefijo. Sufijo. Subcadena. Máquinas de estados finitos. M = (S, I, O, v, w), S: conjunto de estados internos, I: Alfabeto de entrada, O: Alfabeto de salida, v: Función siguiente estado, w: Función de salida. Diagrama de estados. Aplicaciones de Máquinas de Estados finitos: Máquina expendedora de refrescos, Sumador binario EXAMEN FINAL EXAMEN SUSTITUTORIO Grimaldi Grimaldi 5

6 7. BIBLIOGRAFIA 7.1 ROSEN, KENETH. : Discrete mathematics and its applications. Editorial Mc Graw Hill Higher Education ROSEN, KENETH. : Handbook of discrete and combinatorial mathematics. Editorial CRC Press GRIMALDI, RALPH. : Matemática discreta y combinatoria. 3ª edición. Editorial Addison Wesley Longman. Pearson JOHNSONBAUGH, : Matemáticas discretas. 5ª edición. Editorial RICHARD. Prentice Hall. Pearson TREMBLAY/ : Matemáticas discretas. 3ª edición. Editorial Addison GROSSMAN. 7.6 KOLMAN / BUSBY / CUTLER / ROSS. Wesley Longman. Pearson : Estructuras de matemáticas discretas para la computación. Editorial Prentice Hall. Pearson MORRIS MANO : Fundamentos de Diseño lógico para Computadoras. Prentice Hall, ISBN: , 3rd Edition, RONALD TOCCI : Sistemas Digitales. Prentice Hall Hispanoamérica, SA págs. 6