Curso: Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística. Modelos de Inventarios, Parte 3

Transcripción

1 Curso: Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística. Modelos de Inventarios, Parte 3 Departamento de Investigación Operativa Instituto de Computación, Facultad de Ingeniería Universidad de la República, Montevideo, Uruguay dictado semestre

2 Contenido: (cap. 8 libro referencia) 1. Modelo de tamaño económico de lote con demandas variables - modelo de Wagner-Whitin 2. Modelo con restricciones de capacidad 3. Modelos multi-producto (vistos clase pasada) 4. Modelos con fijación de precios Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 1

3 Modelo de Wagner-Whitin (repaso) Hipótesis: se debe planificar una secuencia de lotes de pedidos (o lotes de producción) en un horizonte de planificación de T períodos unitarios. En cada período, hay una única decisión a tomar: el tamaño del pedido o del lote de producción. Demanda en el período t conocida, d t ítems. Al ordenar un producto, se incurre un costo c $por unidad de producto, y un costo fijo K $(es decir, si se coloca un pedido de y unidades, el costo es cy + Kδ(y), con δ(y) = 1 si y > 0, y 0 si no. Costos de inventario lineales, h $/(ítem.unidad de tiempo). Inventario inicial cero, I 0 = 0. Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 2

4 Tiempo de entrega cero, L = 0. Horizonte de planificación T conocido y discretizado (i.e, 0 t T, con t y T enteros). Las órdenes y la demanda se realizan (ocurren) al comienzo de cada período. El costo de inventario se aplica a la cantidad disponible al final del período. Variables de decisión: tamaño del lote a ordenar en cada período, y t 0, tamaño del inventario al final de cada período, I t 0. Objetivo: cuanto ordenar en cada período para atender la demanda (sin admitir ruptura de inventario o entregas retrasadas, backlogging ), y minimizar los costos totales (suma de costos de pedidos y costos de inventario). Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 3

5 Formulación de programación matemática T Problema WW: min Kδ(y t ) + cy t + hi t (1) t=1 s.a. I t = I t 1 + y t d t, t = 1,..., T (2) I 0 = 0; (3) I t, y t 0, t = 1,..., T. (4) Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 4

6 Algoritmo de W-W para resolver el modelo Construcción auxiliar: red acíclica, nodos V = {1,..., T + 1}, arcos (i, j) para todo j > i, de largo l ij = costo asociado con realizar un pedido en i para satisfacer la demanda hasta el período j 1. j 1 l ij = K + h (k i)d k. k=i El largo del camino más corto del nodo 1 al nodo T + 1 es el costo mínimo de resolver las demandas de 1 a T. La poĺıtica óptima (pensada como los momentos de re-orden) está dada por los nodos que pertenecen a ese camino, y las cantidades pedidas se calculan fácilmente a partir de las aristas del camino. Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 5

7 Modelos con determinación de precios (pricing) Supongamos que extendemos el problema W-W, permitiendo que en cada período se fije (v. de decisión) un precio p t, y que la demanda en cada período sea una función (continua) del precio, d t (p t ). El objetivo es encontrar la secuencia de cantidades a comprar y t y precios a fijar p t para maximizar el beneficio en el horizonte de planificación de T períodos. Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 6

8 Modelos con determinación de precios (pricing) Formulación: max T p t d t (p t ) C(d 1 (p 1 ), d 2 (p 2 ),..., d T (p T )) (5) t=1 s.a. p t [p l, p u ], t = 1,..., T. (6) donde C(d 1 (p 1 ), d 2 (p 2 ),..., d T (p T )) es el costo mínimo de inventario y de aprovisionamiento sobre el horizonte para un plan de precios p, es decir la función objetivo del problema W-W cuando los valores (d 1, d 2,..., d T ) son sustituidos por (d 1 (p 1 ), d 2 (p 2 ),..., d T (p T )). Notar que en este caso se debe tener en cuenta los costos variables de compra. Para desarrollar un algoritmo eficiente, hay que tener en cuenta que cualquier poĺıtica óptima de reaprovisionamiento cumplirá la propiedad de inventario cero. Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 7

9 En particular, si i y j son dos períodos consecutivos de reaprovisionamiento en un plan óptimo, la propiedad de inventario cero implica que la demanda en el período t, i < t < j, será cubierta únicamente por el pedido realizado en el período i, y por lo tanto el costo marginal unitario de satisfacer la demanda del período t está dada por c + (t i)h. Por lo tanto, el precio óptimo para el período t en ese intervalo puede ser derivado, independientemente de los otros precios, resolviendo el problema v it = max p t d t (p t ) (c + (t i)h)d t (p t ) (7) s.a. p t [p l, p u ], t = 1,..., T. (8) donde la función objetivo es el beneficio del período t, teniendo en cuenta el costo marginal de satisfacer la demanda en el período. Es posible adaptar el algoritmo de W-W para este caso. Se construye el Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 8

10 mismo grafo acíclico, pero los pesos l ij están dados por l ij = K j 1 que corresponde al opuesto del máximo beneficio obtenido al satisfacer las demandas desde i hasta j 1 con una única orden en el período i. Con esta modificación, el largo del camino más corto de 1 a T + 1 es el valor óptimo del problema global (y del camino se puede reconstruir la poĺıtica). El costo computacional de esta estrategia consiste en resolver T 2 problemas de optimización de una única variable, y un camino más corto(de O(T 2 )). t=i v it Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 9

11 Inventarios y precios con demanda estocástica En la actualidad, se busca modelar en más detalle la interacción entre demanda y precio. La demanda es una variable aleatoria, pero depende del precio fijado. Veremos el modelo más simple, de un único producto y un único período. Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 10

12 Modelos de demanda Basados en Economía : modelo de comportamiento de un consumidor con toma racional de decisiones. Sea [p, p] las cotas para el precio posible de un producto. Propiedades (hipótesis) usuales sobre la demanda D(p) (determinística): D(p) es continua en p. D(p) es estrictamente decreciente en p, y por lo tanto existe inversa D 1 (d). D(p) [0, ]. el rédito (o ingresos), R(d) = D 1 (d)d, es cóncavo en d (retornos decrecientes). Demanda estocástica, denotada D(p, ɛ), función de precio p y ruido aleatorio ɛ. Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 11

13 Hipótesis: D(p, ɛ) = αd(p) + β, con D(p) satisfaciendo propiedades anteriores, y ɛ = (α, β), α v.a. no negativa, E(α) = 1, β v.a. arbitraria con E(β) = 0. Hipótesis impĺıcita: demandas no negativas (implica algunas restricciones en α y β). Casos especiales: función de demanda aditiva, D(p, ɛ) = D(p) + β; función de demanda multiplicativa, D(p, ɛ) = αd(p). Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 12

14 Modelo estocástico de un único período Vendedor (neutral a riesgo) tiene que decidir nivel de inventario y precio de venta de un único producto. Demanda estocástica, dependiente del precio de venta (suponiendo cumple las hipótesis vistas antes). Se debe ordenar el producto y fijar el precio antes de que se efectivice la demanda. Parámetros: costo de reposición c (demanda insatisfecha se cubre con un pedido de emergencia); h(x) costo de inventario para x positivo, y costo de reposición de emergencia para x negativo. Beneficio para un precio p y stock y (v. de decisión): v(y, p) = E(pD(p, ɛ)) cy E(h(y D(p, ɛ))). Beneficio para una demanda esperada d y stock y (v. de decisión), Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 13

15 cuando hay correspondencia biunívoca entre p y d: φ(y, d) = R(d) cy E(h(y αd β)). Objetivo del vendedor max φ(y, d) (9) s.a. y 0, d [d, d]. (10) Donde d = D 1 (p) y d = D 1 ( p) son las cotas de demanda φ(y, d) es cóncavo en ambas variables, y por lo tanto es posible resolver (numéricamente) de manera eficiente el problema. Propiedad: si el rédito R(d) es estrictamente cóncavo en la demanda esperada d, el precio óptimo de venta en el caso de demanda aditiva es Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 14

16 idéntico al caso de demanda determinística; y es siempre menor o igual que el precio óptimo de venta para el caso de demanda multiplicativa. Intuición: varianza de la demanda del caso aditivo es independiente del precio de venta; varianza de la demanda del caso multiplicativo decrece con el precio de venta (entonces el vendedor tenderá a aumentar el precio para disminuir la variabilidad). Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 15

17 Ejercicios entrega 1 (fecha entrega: 25 de setiembre) Ejercicio 1.1 (ej 7.2 libro referencia): Sea el modelo de tamaño de lote económico con horizonte infinito y demanda determinística D items por unidad de tiempo. Cuando el nivel de inventario es cero, se comienza a producir un lote de tamaño Q, a una velocidad de P items por unidad de tiempo, P D. El costo de setup es K $, y el costo de inventario es h $ por ítem por unidad de tiempo. Cada vez que la producción comienza a una velocidad de P items/unidad de tiempo, hay un costo αp, con α > 0. a) cuál es la tasa óptima de producción? b) Supongamos que por restricciones tecnológicas, P debe satisfacer 2D P 3D. Cuál es la tasa óptima de producción y el tamaño óptimo de lote? Ejercicio 1.2 (ej 7.5 libro referencia): Considere la poĺıtica de potencias de 2 discutida en clase (sección 7.3 del libro). Discuta la posibilidad de Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 16

18 generar una poĺıtica potencias de 3. Calcule la efectividad (en términos de desempeño de peor caso) de la mejor poĺıtica de potencias de 3. Ejercicio 1.3 a) Programar en glpk (o similar) el modelo de Wagner-Within (único producto, T períodos discretos, demandas distintas por período; objetivo, cubrir completamente las demandas minimizando costos totales de compra e inventario). b) Resolver numéricamente el caso siguiente: T = 5, d t = t, 1 t T, c = 3, h = 1, K = 20. c) (obligatorio para estudiantes de IComputación, opcional puntos extra para I.Producción) Programar el método de resolución basado en caminos más cortos en un grafo (se pueden utilizar bibliotecas de grafos). Ejercicio 1.4 (ej 8.2 libro referencia): Considere la heurística de Silver-Meal (para el mismo problema anterior), y construya un ejemplo donde la poĺıtica da una solución sub-óptima. (Sean d 1,..., d n las Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 17

19 demandas en un horizonte de n períodos; sea C(T ) el costo de setup e inventario bajo la condición que la orden actual cubre los próximos T períodos. Entonces C(1) = K, C(2) = 1/2(K + hd 2 ), C(3) = 1/3(K + hd 2 + 2hd 3 ), etc. La heurística de Silver-Meal indica calcular los C hasta que C(i) > C(i 1), y en ese caso ordenar en el período 1 para cubrir la demanda por los primeros i 1 períodos. Luego se reinicia en el período i.) Curso Teoría, Algoritmos y Aplicaciones de Gestión Logística - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República (Uruguay) 18