Simulación y Optimización de Procesos Químicos. Titulación: Ingeniería Química. 5º Curso Optimización

Transcripción

1 Simulación Optimización de Procesos Químicos Titulación: Ingeniería Química. 5º Curso Optimización MILP, MINLP (Mixed Integer (Non) Linear Programming). Octubre de 009.

2 Optimización Discreta Programación Lineal de con variables discretas (MILP) min s. a. Z x 0, Algoritmos = c T Ax + B b x R x + a n, T 0 { 0,} I. Enumeración Ramificación Acotamiento (Land, Doig 960; Danin 965) Idea Básica: Partición sucesiva del espacio entero para eliminar regiones. Se lleva a cabo una búsqueda en árbol, donde cada nodo es un LP. II. Convexificación Planos de corte (Gomor 958; Crowder col, 983; Balas col. 993) Idea Básica: resolver una serie de subproblemas LP añadiendo cada vez desigualdades válidas que corten soluciones previas. Ramificación Acotamiento ampliamente utilizado Integración de los métodos : RAMIFICACIÓN Y CORTE

3 No funciona en MILP Enumeración exhaustiva sólo válida para problemas pequeños 5. Variables binarias 3 combinaciones enteras 0 Variables binarias 04 combinaciones enteras 50 Variables binarias 0 5 combinaciones enteras 00. Variables binarias 0 30 combinaciones enteras 000. Variables binarias combinaciones enteras 0 40 Escala de tiempo (Microsegundos) Microsegundos desde el Big Bang (Unos trece mil setecientos millones de años) Microsegundos en un día 0

4 No funciona en MILP Relajación Redondeo Optimo entero Optimo entero Optimo relajado Optimo relajado Redondeo: no-factible Redondeo: factible NO-FACTIBLE SUB-OPTIMO!

5 No funciona en MILP Reformulación del problema como no lineal: min : Z = + s. a. + { }, 0, Reemplazar { 0,} ( ) ( ) Utilizando el código CONOPT: Punto Inicial: Resultado = 0; = 0 no factible = 0.5; = 0.5 = 0; = ; Z = Sub-óptimo Solución optima: = ; = 0; Z =

6 Ramificación Acotamiento Particionamiento del espacio entero a través de una árbol binario Nodo l = 0 = Nodo raíz (relajación LP) 3 = 0 = 0 = = 0 = Nodo 3 = 0 3 = 0 3 = 0 3 = 3 = 3 = 3 = Nota: 5 nodos para 3 = 8 combinaciones 0- Nodo descendiente del nodo l

7 Ramificación Acotamiento = 0 = Nodo raíz (relajación LP) = 0 = = 0 = 3 = 0 3 = 0 Nodo l 3 = 0 3 = 0 3 = 3 = 3 = 3 = Nodo Sea el nodo un nodo descendiente del nodo l

8 Ramificación Acotamiento Dado que el nodo es descendiente del nodo l.- Si LP l es NO-FACTIBLE entonces LP es NO-FACTIBLE min s. a. Z x 0, = c T Ax + B x R x + a n b, T 0 { 0,}.- Si LP es FACTIBLE entonces Z l Z Incremento monótono de función objetivo Z l : LIMITE INFERIOR 3.- Si LP es una solución ENTERA Z Z * Z : LIMITE SUPERIOR Reglas de eliminación de nodos Nodo no factible Límite inferior supera límite superior

9 Ramificación Acotamiento Para utilizar un algoritmo de R. A. ha dos decisiones que tomar:. Qué variable se selecciona para ramificar en cada nodo. Qué nodo, entre los abiertos, es el siguiente en la enumeración Reglas de ramificación: Selección de variable.- Fijar prioridades en la variables para ramificación.- Seleccionar para ramificar aquella variable, entre las binarias, con un valor más cercano a Coste Penalizado (Driebnec, 966)

10 Ramificación Acotamiento Reglas de ramificación: Selección del nodo a ramificar.- Búsqueda en profundidad: Continuar siempre hacia delante en la rama seleccionada, sólo volver hacia atrás cuando no se pueda continuar. Continuar siempre por la rama abierta más cercana al punto de retorno..- Búsqueda en anchura: Continuar siempre por el nodo de mejor valor de función objetivo. En la práctica, cuando se trabaja con variables binarias, se utiliza dicotomía (siempre e prueba el valor =0 e = de la variable a ramificar) búsqueda en profundidad. Aunque los solvers modernos utilizan estrategias complejas de ramificación.

11 Ejemplo MILP (DFS) z =5.8 [0.,, 0] = =0 z=6.5 3 [, 0.5, 0] z=6 = =0 3 = z=9 9 [,,0] 8 z= [0, 0.75, ] no factible = =0 min z = x + s. a. x 0; x , 8 z=8 7 Óptimo [0,, ] 6 no factible, = 0, [0,, 0.333] 3 =0 4 no factible

12 Ejemplo MILP (BFS) z =5.8 [0.,, 0] = =0 z=6.5 3 [, 0.5, 0] z=6 = =0 3 = z=9 7 [,,0] 7 z= [0, 0.75, ] no factible = =0 min z = x + s. a. x 0; x , 8 z=8 9 Óptimo [0,, ] 8 no factible, = 0, [0,, 0.333] 3 =0 4 no factible

13 Ejemplo ( ) min z = { } s. a i z =.9 [, 0.55, 0,, ] 4 0, i =,,3, 4,5 z =3.5 [, 0, 0.5,, 0] z = [0.64, 0,,, ] z = [0.64, 0,,, ] z = [, 0, 0,, 0] no-factible 6 z = [0,, 0.4,, ] Nodo con valor maor que cota superior. No es necesario continuar por esta rama Cota superior OPTIMO Nodo con valor maor que cota superior. No es necesario continuar por esta rama

14 Ejemplo 3 (DFS) z = [no-factible] z =.35 z = ,, 0,, ] [0,, 0.4,, 0] 5 [no-factible] z = [0,, 0,, 0] Cota superior [, 0.55, 0,, ] z = [, 0, 0.5,, 0] z = [0.64, 0,,, ] Nodo con valor maor que cota superior. No es necesario continuar por esta rama z =3.6 9 [, 0, 0,, ] Cota superior OPTIMO

15 Algunas consideraciones importantes La dificultad para resolver un M ILP está relacionada con:. Tamaño del GAP de relajación. Nº de variables 0-3. Nº de restricciones. Sin embargo esto es específico de cada problema. Un problema con 0 variables binarias podría ser mucho más difícil de resolver que otro con 000. El correcto modelado del problema, es para los MILP de crucial importancia. Algunas mejoras en los algoritmos de Ramificación Acotamiento:. Reducción de coeficiente. Eliminar restricciones redundantes 3. Añadir desigualdades lógicas (aunque estrictamente no sean necesarias) 4. Estrechar los límites de las variables 5. Estrategias de ramificación especiales para algunas restricciones (o variables ej SOS) 6. Etc

16 Reducción de coeficiente Considere la siguiente restricción a b a > 0 { 0,} j j j j j Si a > b reemplazar a por b: b + a j j b a j > 0 j { 0,} j Ejemplo: + () + () 0 () ()

17 Correcto modelado relaciones lógicas Ejemplo: Una restricción habitual Si el conjunto de restricciones lineales no es único Entonces. Cuál es la mejor opción? Si la tarea Yi se lleva a cabo en cualquier período i=..n entonces seleccionar la unidad Z. Intuitivamente se pueden escribir conjuntos de restricciones algebraicas válidas A- B- n i= i n z z i i =,,..., n Una única desigualdad Conjunto de n desigualdades Considerese el caso con i= z z z ( + ) A B

18 Caso A ( + ) z Región factible z Punto no entero Punto no entero

19 Caso B z z Región factible z

20 Conjuntos de ordenación especial SOS Considere la siguiente restricción = En lugar de la regla habitual de ramificación : i I i Se divide I en dos subconjuntos iguales I e I Se ramifica sobre la dicotomía: = 0 = 0 i i I i I i = = = = 0 + = = 0 7 = 0 8 = 0 5 = 0 6 = 0 3 = 0 4 = 0 = 0 = 0

21 MINLP Programación No-Lineal de con variables discretas (MINLP) Algoritmos min : f ( x, s. a. h( x, g( x, ) ) = 0 ) 0 x X R { 0,} p n Ramificación Acotamiento Ravindran Gupta 985; Leffer Fletcher 00 Ramificación corte: Stuubs Mehrota 999 Descomposición de Benders Generalizada Geofrion, 97 Aproximaciones Exteriores Duran Grossmann 986; Yuan col 988; Fletcher Leffer 994 LP/NLP Ramificación Acotamiento Quesada Grossmann 99 Plano de Corte Extendido Westerlund Petersen 995

22 MINLP Ramificación Acotamiento Enumeración en árbol Cada nodo es un NLP- LB min : Z = f ( x, ) s. a g ( x, ) 0 j x X, 0 0 i I i i I i FL FU Ventaja: Formulación sencilla, sólo requiere problemas de tipo NLP- Inconveniente: Potencialmente sería necesario resolver muchos NLPs Convergencia global: sólo necesita que cada NLP- alcance su óptimo global

23 MINLP Los diferentes algoritmos se pueden derivar por la combinación de diferentes subproblemas a) NLP Relajado (relajación de alguna binaria). Límite inferior LB min : Z = f ( x, ) s. a g ( x, ) 0 j x X, 0 0 i I i i I i FL FU (NLP-R) b) NLP Variables binarias fijas. Límite Superior U min : Z = f ( x, ) s. a g ( x, ) 0 j x X (NLP-) c) NLP De Factibilidad para una fija. min : u s. a g ( x, ) u j x X, u R (NLP-F) Minimización de la norma infinito del vector de no-factibilidades

24 MINLP Problema Maestro (Duran Grossmann, 986) M-MILP min : Z L = α T x x s. a. α f ( x, ) + f ( x, ) =... K T x x g j ( x, ) + g j ( x, ) 0 j J Notas: a) El punto (x, ) = K se obtiene normalmente de NLP- b) Las linealizaciones se acumulan en cada iteración c) Produce una secuencia no-decreciente de límites inferiores

25 MINLP Función objetivo convexa Región factible convexa f(x) x x x x x x x Subestimación de la función objetivo Sobreestimación de la región factible

26 MINLP Algoritmo de las aproximaciones exteriores (implementado en GAMS como DICOPT) NLP-R MILP-M Problema relajado. Binarias relajadas a continuas entre 0 Cota Inferior: Valores de para NLP- Función objetivo = Z M Corte Binario NLP- NLP- Factible No NLP-F ( fijas) Cota Superior. Posible Solución. Nueva linealización en x óptima Z* = mejor cota superior Problema de factibilidad Sí No Z M > Z* Sí Fin

27 MINLP Extensión a problemas con restricciones de igualdad: La única modificación necesaria es a nivel del problema MASTER min : Z L = α T x x s. a. α f ( x, ) + f ( x, ) T x x g j ( x, ) + g j ( x, ) 0 j J T x x sign( λi ) hi ( x, ) 0 i I =... K Relajación de la igualdad en desigualdad utilizando el signo del multiplicador de Lagrange

28 Códigos comerciales para MINLP DICOPT++ (GAMS) Viswanathan Grossmann (990) Aproximaciones exteriores AOA (AIMSS) Aproximaciones exteriores MINLP (AMPL) Fletcher Laffer (999) Ramificación acotamiento α-ecp Westerlund Petersson (996) Plano de corte extendido (también bajo GAMS) MINOPT Scheweiger Floudas (998) Descomposición de Benders BARON Sahinidis col (998) Optimización global (también bajo GAMS) SBB (GAMS) Ramificación acotamiento simple.

29 Sistemas de modelado Programación Matemática GAMS (Meeraus col, 997) AMPL (Fourer col, 995) AIMSS (Bisschop col, 000). Sistemas de modelado algebraico: Modelos basados en ecuaciones. Capacidad de indexado. Permite plantear problemas grandes con poco esfuerzo 3. Diferenciación automática. El usuario no tiene que proporcionar información de derivadas. 4. Conexión automática don diferentes códigos (sin cambiar la formulación del modelo) diferentes tipos de modelos (LP, MILP, NLP, MINLP )