PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Transcripción

1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN ELISA SCHAEFFER Programa de Posgrado en Ingeniería de Sistemas (PISIS) INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

2 PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN Dada una situación interesante del mundo real y un objetivo, la optimización es el proceso de determinar la mejor configuración posible de la situación con respeto al objetivo. En esta clase, construiremos un modelo matemático de la situación junto con una función objetivo y determinaremos cuáles deberían ser las salidas del modelo para que el valor de la función objetivo sea el mejor posible.

3 MEJOR POSIBLE? 1. Maximización: cuando un crecimiento del valor de la función objetivo es deseable, o sea, cuando estamos optimizando ganancias. 2. Minimización: cuando una disminución del valor de la función objetivo es deseable, o sea, cuando estamos optimizando costos.

4 MINIMIZAR VS. MAXIMIZAR? mín X f( ) máx X ( f( )) Es un asunto de elección propia cómo cada uno prefiere modelar su objetivo, con mín o con máx. Típicamente los gastos no pueden ser menores que cero, pero las ganancias no suelen estar limitadas por arriba explícitamente.

5 OPTIMIZACIÓN MULTICRITERIO Existen situaciones donde hay más que un sólo objetivo. Por ejemplo, se puede querer minimizar el número de empleados y maximizar la cantidad de producción y la calidad del producto, las tres cosas al mismo tiempo. Una posibilidad es convertir alguno de los objetivos en una restricción suave que se puede romper por añadir dos variables auxiliares s + y s y optimizar las desviaciones. También se puede suavizar varios objetivos simultáneamente. Otra opción es utilizar coeficientes M i en los diferentes objetivos en la formación de una función objetivo como una combinación lineal de los objetivos particulares.

6 PROGRAMAS Si el problema se puede modelar como un sistema de ecuaciones con una función objetivo (o en el caso general, varias funciones objetivos), se llama un programa. El proceso de formulación y resolución de programas se llama programación. (No confundirse con la programación de computadoras en lenguages de programación. Es otra cosa totalmente.)

7 CLASIFICACIÓN DE PROGRAMAS Se clasifican los problemas de optimización según las propiedades matemáticas de la forma de las funciones involucradas, es decir, la forma de la función objetiva y/o las restricciones, y los tipos de variables que se necesitan. En términos generales, las clases son: 1. Programas lineales 2. Programas enteras 3. Programas enteras mixtas 4. Programas no lineales

8 PROGRAMACIÓN LINEAL Optimización de una función objetivo lineal sujeto a unas restricciones lineales. Existen métodos eficientes de resolución computacional automática. Muy útiles en varios campos de aplicación. Las matemáticas involucradas no son demasiado complicadas. PL es uno de los enfoques de la clase. Importante de aprender bien.

9 PROGRAMACIÓN ENTERA (MIXTA) Hay casos donde por lo menos algunas variables no pueden tener otros valores que enteros, es decir, x i Z. Si tal restricción aplica en todas las variables, se trata de programación entera. Si algunos tienen x j R y otros x i Z, es programación entera mixta. Se pueden aprovechar herramientas de programación lineal en la resolución de programas enteras (mixtas), pero de una manera más complicada. Volveremos a PE en un par de meses; también es importante.

10 PROGRAMACIÓN NO LINEAL Aunque los problemas de programación lineal son muy comunes y cubren un amplio rango de aplicaciones, en la vida real uno se tiene que enfrentar con cierta frecuencia a otro tipo de problemas que no son lineales. Cuando el conjunto de restricciones, la función objetivo o ambos son no lineales, se trata de programación no lineal. PNL queda fuera del alcance del curso.

11 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Programas no lineales típicamente se resuelven con análisis matemático directamente (que suele ser difícil) o por aplicar métodos de programación lineal con trucos como approximación con funciones de segmentos localmente lineales (ingl. piecewise linear), o ramificar-acotar con cotas de approximaciones lineales. Existen condiciones necesarias que dictan cuando una solución de un problema no lineal es óptima. Se llaman condiciones Karush-Kuhn-Tucker (KKT) y utilizan multiplicadores Lagrange (es decir, matemáticas de un poco más allá).

12 A CONTINUACIÓN... Aplicaciones de optimización: las usos que tienen las técnicas de optimización en el mundo real.