Contenidos. Actividades Estocásticas Tipos de Modelos Métodos Numéricos Optimización Programación Lineal Aplicaciones con Solver Excel

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2 Contenidos Modelación de Sistemas Actividades Estocásticas Tipos de Modelos Métodos Numéricos Optimización Programación Lineal Aplicaciones con Solver Excel

3 Modelación de Sistemas Sistema: Conjunto de objetos unidos por interacciones o interdependencias. Puede ser estático o dinámico (según como lo queramos analizar.) Sistemas Dinámicos: Las interacciones producen cambios en el tiempo en el (estado del) sistema. (Los cambios pueden ser continuos o discretos.) Ejemplos: avión con piloto automático; industria de ensamblaje de autos. Sistemas Estáticos: Sólo nos interesa el estado de equilibrio. Por ej., edificio, puente, relación suministro-demanda-precio de un commodity. Componentes de un sistema: entidades, atributos y actividades. Ejemplos de sistemas (dinámicos): Sistema Entidades Atributos Actividades Tráfico Autos Velocidad, Distancia Viajar Banco Clientes Saldo, Crédito Depositar Comunicaciones Mensajes Largo, Prioridad Transmitir Super Mercado Clientes Lista de Compras Check-out

4 Modelación de Sistemas Estado del Sistema: Descripción de las entidades, atributos y actividades en un instante dado de tiempo. Entorno del Sistema: Dependerá de los objetivos del estudio. Los cambios en el entorno afectan al sistema y vice-versa. Se pueden tener actividades endógenas (sistema) y/o exógenas (entorno). Sistema Cerrado: no tiene actividades exógenas. Sistema Abierto: tiene actividades exógenas. Actividades Determinísticas: el resultado depende completamente de la entrada al sistema. Actividades Estocásticas: el resultado varía aleatoriamente entre varios posibles resultados. Aleatorio = Estocástico Actividad = Proceso

5 Actividades Estocásticas El Resultado Aleatorio (de una actividad endógena) generalmente se puede medir/describir en base a una distribución de probabilidad. Por ejemplo: al lanzar un dado honesto, la probabilidad de obtener un as es 1/6, la de un (1 o 2) es 2/6, la de un (1, 2 o 3) es 3/6, etc. Si la ocurrencia de la actividad es aleatoria, entones ella será exógena. Una actividad verdaderamente estocástica no tiene una explicación conocida para su aleatoriedad. Sin embargo, muchas veces modelamos (aproximamos) en forma estocástica una actividad que sería muy compleja (o poco productivo) de describir en detalle. Entonces hablamos de pseudo-estocástico o pseudo-aleatorio. Además, la recolección de datos para crear un modelo casi siempre involucra un cierto grado de incertidumbre por los errores/limitaciones de la experimentación o por la necesidad de muestreo.

6 Modelación de Sistemas Experimentar: Para estudiar un sistema a veces es posible experimentar con él. (Muchas veces hay limitaciones y se hace pseudo-experimentación.) Modelar: Cuando no es posible experimentar (por ej: aún no se construye el sistema; o es un sistema económico) podemos construir un modelo con el cual intentamos predecir su futuro comportamiento. Un modelo es una representación simplificada (supuestos) del sistema real. Otra alternativa es la de construir un prototipo y experimentar con él. Definición de Modelo: Conjunto de información resumida de un sistema para estudiarlo/evaluarlo. Se compone de: - estructura (frontera-entorno, entidades, atributos, actividades). - datos (valores de atributos y relaciones de las actividades).

7 Tipos de Modelos Estáticos Físicos Dinámicos Modelos Estáticos Numéricos Analíticos Monte-Carlo Muchos otros (Simplex, Optim. no lineal, etc.) Matemáticos Analíticos Dinámicos Simulación Numéricos Otros

8 Algunos Ejemplos de Métodos (Modelos) Numéricos Multiplicación de matrices: C = A * B con A(m x n) y B(n x s) Método de Gauss-Jordan para solución de sistemas de ecuaciones lineales. Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: paso 1 Método de Newton-Raphson para obtener las raíces reales de una función. Método de Bairstow para obtener las raíces de polinomios. Método de Lagrange para interpolación binomial.

9 Optimización Problemas prácticos para resolver con métodos de optimización. Tenemos una fábrica de ropa para colegios: pantalones, camisas, calcetines, chalecos, chaquetas. Tenemos recursos limitados, Qué cantidad producimos de cada tipo de ropa? Cuánto producimos para cada colegio? Fabricamos computadores en tres plantas-países distintos. Para enfrentar las ventas Cuánto tenemos que fabricar en cada planta considerando diversas demandas por computadores? Tenemos una cartera de 20 proyectos para realizar en los próximos 3 años, pero los recursos no alcanzan para hacerlos todos. Qué proyectos escogemos para realizar? Cómo invierto mis ahorros, considerando por ejemplo: acciones de alto riesgo, depósitos a plazo, fondos mutuos, compra de propiedades, etc.? Queremos poner precio a nuestros productos, asumiendo distintas situaciones de demanda y restricciones de costos. En todas estas situaciones queremos tomar decisiones en base a un resultado óptimo: por ejemplo, maximizar las ganancias o minimizar las pérdidas.

10 Optimización Programación Lineal Podemos construir un modelo matemático para representar una situación de asignación óptima de recursos limitados. Si dicho modelo se puede expresar como un sistema de desigualdades lineales (dadas por las restricciones de recursos) y una función objetivo (lineal) que se desea maximizar o minimizar, entonces se trata de un problema de programación lineal. La función objetivo generalmente representa costos o utilidades. El propósito de la programación lineal es de encontrar una solución óptima (máximo o mínimo) que satisfaga las restricciones. El método numérico más utilizado para la programación lineal: el método SIMPLEX de Dantzig.

11 Optimización - Programación Lineal El modelo debe ser determinístico (parámetros con valores constantes). Las variables no deben tomar valores negativos. El único objetivo es el de maximizar o minimizar. La función objetivo generalmente representa costos o utilidades. Las variables deben ser divisibles (pueden tomar valores fraccionarios). Función objetivo: Restricciones: Las restricciones pueden ser,, =

12 Optimización con SOLVER de EXCEL Si las ecuaciones del modelo no son lineales (función objetivo y/o sus restricciones), entonces tenemos un problema de programación no-lineal. El programa SOLVER de EXCEL nos permite resolver problemas de programación lineal y no-lineal, continua y entera. Con SOLVER (en EXCEL) tenemos que definir: La función objetivo Las variables Las restricciones

13 Veamos un ejemplo con SOLVER: Modelemos el caso de una fabrica de ropa para colegio, la cual fabrica 6 productos distintos. Conocemos: El costo para fabricar cada producto. La cantidad de mano de obra y de materia prima para cada producto. La demanda máxima (estimada) para cada producto. El precio de venta (fijo) para cada producto. Objetivo: determinar la mejor mezcla de productos para maximizar la rentabilidad en el período analizado. Restricciones: No podemos usar más de los recursos totales (mano de obra y materiales) disponibles. Hay un límite en la demanda para cada producto y no queremos producir más allá de ese límite.