Preferencias particulares: Sustitutos perfectos

Transcripción

1 Gasolina Terpel (galón) Preferencias particulares: Sustitutos perfectos 4 3 La TMS es constante Gasolina Biomax (galón)

2 Complementos Perfectos Zapato del Pie Izquierdo Zapato del Pie Derecho

3 Maximización de la Utilidad Todos queremos ser felices, es decir, consumir lo que nos genere una mayor utilidad. Pero estamos limitados, no tenemos ingresos infinitos. Individuos tienen una restricción de presupuesto, determinada por el ingreso disponible Individuos maximizan su función de utilidad sujetos a la restricción de presupuesto.

4 Solución al problema del consumidor Existe una solución óptima (eficiente) Tangencia entre la restricción de presupuesto y la curva de indiferencia de mayor nivel de utilidad posible Pendiente de la curva de indiferencia = pendiente de la restricción de presupuesto Tres formas de entender la solución Intuitiva Gráfica Numérica y matemática

5 Restriccion de presupuesto P x X PY y I Cantidad de Y/semana Y max Ingreso B No es comprable A Comprable Cantidad de X/semana 0 X max

6 Mas sobre la ecuación de presupuesto El individuo gasta todo su ingreso en comprar X,Y Podemos reescribir la ecuación como Y en función de X Vemos entonces que si el individuo se gasta todo en Y, deberá comprar (I/P Y ) unidades de Y. La pendiente, (-P X /P Y ) representa el costo de oportunidad de X expresado en unidades de Y que se dejaron de consumir. P Y X X P P X Y P Y X Y I P $ / UnidadX $ / UnidadY Y I

7 Y/semana Qué podemos decir de los puntos A,B,C,D? C Ingreso Optimizando el consumo D En A y C se obtiene el mismo nivel de utilidad A y C son factibles porque están dentro del presupuesto D produce mas utilidad, pero está fuera del presupuesto B es mejor que A y C y es factible A B 0 U 1 U 2 U 3 B es la solución óptima al problema! X/semana

8 Cantidades de Y Combinación óptima de consumo, sujeta a una restricción de presupuesto Tangencia entre la restricción de presupuesto y la curva de indiferencia de mayor utilidad posible TMST xy UM UM x y P P x y Cantidades de X

9 Condiciones para un óptimo La regla de tangencia es necesaria pero no suficiente al menos para asumir que la TMS esta disminuyendo Si la TMS esta disminuyendo, la curva de indiferencia es estrictamente convexa Si TMS no disminuye, entonces se deben chequear las CSO para asegurar la existencia de un máximo Qué es curva de indiferencia convexa?

10 Convexidad Un conjunto de puntos es convexo si para cualquier par de puntos unidos por una línea, el segmento es contenido completamente en el segmento. Cantidad Y El supuesto de disminución de la TMS, supone que todas las combinaciones de X y Y que son preferidas a x* y y*, forman un conjunto convexo. y* U 1 x* Cantidad X

11 Convexidad Si la CI es convexa, la combinación (x 1 + x 2 )/2, (y 1 + y 2 )/2 debería ser preferida a (x 1,y 1 ) o (x 2,y 2 ) Cantidad Y Esto significa que las canastas bien balanceadas son preferidas a las canastas que están fuertemente cargadas más hacia un producto en particular (y 1 + y 2 )/2 y 1 y 2 U 1 x 1 (x 1 + x 2 )/2 x 2 Cantidad X

12 Condiciones para un óptimo CSO para un máximo La regla de tangencia es solo una condición necesaria no suficiente Cantidad y Necesitamos que la TMS vaya disminuyendo B Existe una tangencia en A, pero el individuo puede alcanzar en B un mayor nivel de utilidad A U1 U2 Cantidad x

13 Soluciones de esquina En algunas situaciones, los individuos maximizan su utilidad consumiendo de un único bien. Cantidad y U1 U2 U3 En A, no es tangente a la restricción de presupuesto La utilidad es maximizada en el punto A A Cantidad x 13

14 Cantidades de Y El punto de consumo óptimo de este consumidor es U 0 U 1 P Y X X P Y I C B A Cantidades de X

15 La misma restricción presupuestal y diferentes gustos Y U 0 U 1 U 2 U U U U 2 U 1 U 0 Ingreso X 16 20

16 Galones Biomax Zapatos izq Moscas No todas las preferencias son iguales (a) Un bien que no sirve (b) Un mal económico U 1 U 2 U 3 U 1 U 2 Ingreso U 3 E 0 10 Comida E 0 10 Comida (c) Substituto perfecto (d) Complemento perfecto E 2 E U 3 U 2 U 1 U 2 U 3 U 1 0 Galones Terpel 0 2 Zapatos Der

17 n bienes El objetivo del individuo es maximizar sujeto a la restricción U = U(x 1,x 2,,x n ) I = p 1 x 1 + p 2 x p n x n Se especifica la ecuación a maximizar llamada Lagrangeano: L = U(x 1,x 2,,x n ) + (I - p 1 x 1 - p 2 x p n x n )

18 CPO n bienes L = U(x 1,x 2,,x n ) + (I - p 1 x 1 - p 2 x p n x n ) Las CPO para un máximo son: L/x 1 = U/x 1 - p 1 = 0 L/x 2 = U/x 2 - p 2 = 0 L/x n = U/x n - p n = 0 L/ = I - p 1 x 1 - p 2 x p n x n = 0

19 Implicaciones de las CPO Para cualquier par de bienes, j i j i p p x U x U / / Esto implica que en el óptimo del consumidor: j i j i p p x x T ) por MS ( / / / / p p x U x U x L x L

20 Interpretación del multiplicador de Langrange Del problema de optimización (con dos bienes) tenemos U / p UMg P i 1 x i U p 1 / x 2 2

21 Interpretación del multiplicador de Langrange Diferenciamos totalmente la función de utilidad U(X,Y) respecto al ingreso du di UM dx dy X, Y UM X Y di Y di X, Reemplazamos UMg P i i tenemos du di P X P X dx dx P di P dy di y Y dy di

22 Interpretación del multiplicador de Langrange Por otro lado, el ingreso al repartirse en dos bienes es igual a di P X dx P dy Y Reemplazamos en: du di P X dx P dy di y Y obtenemos que la utilidad marginal del ingreso es igual al multiplicador de Lagrange UM I

23 Demanda de los Individuos Función de demanda: expresa la cantidad demandada de un bien en función de su precio, el precio del otro bien en cuestión, el ingreso y las preferencias Demanda de X=X(P x, P y, I; preferencias)

24 Un ejemplo La función de utilidad tipo Cobb-Douglas se expresa como: U(x,y) = x y (1- ) Especificando el lagrangeano: Las CPO son: L = x y (1- ) + (I - p x x - p y y) L/x = x -1 y (1- ) - p x = 0 L/y = (1- )x y (1- )-1 - p y = 0 L/ = I - p x x - p y y = 0

25 Las CPO implican: Ordenando: y/(1-)x = p x /p y p y y = ((1- )/)p x x = [(1- )/]p x x Sustituyendo en la restricción de ingreso: I = p x x + [(1- )/]p x x = (1/)p x x

26 Resolviendo para x obtenemos: I x* Resolviendo para y obtenemos: p x p y I y* 1 El individuo asigna un porcentaje de su ingreso para gastar en x y (1- ) de su ingreso para gastar en el bien y

27 Minimización del Gasto Problema espejo al de maximización de la utilidad Se asigna el ingreso de tal manera que se obtiene un nivel de utilidad dado con el mínimo gasto posible Es decir, se reversa tanto la función objetivo (max. utilidad) como la restricción

28 Minimización del gasto En este caso, la solución al problema dual es el punto A El nivel de gasto E2 es apenas suficiente para alcanzar U1 Qy El nivel de gasto E3 permite alcanzar U1 pero no es el gasto mínimo necesario para alcanzarla A El nivel de gasto E1 es muy bajo para alcanzar U1 U1 Qx

29 Minimización del gasto El problema del individuo es elegir x 1,x 2,,x n para minimizar Gasto total = E = p 1 x 1 + p 2 x p n x n sujeto a la restricción U 1 = U(x 1,x 2,,x n ) Las cantidades óptimas de x 1,x 2,,x n dependen de los precios y del nivel de utilidad que se quiera obtener

30 Función de Gasto La función de gasto representa el mínimo gasto necesario para alcanzar un nivel de utilidad dado un conjunto particular del precios Mínimo gasto = E(p 1,p 2,,p n,u) La función de gasto y la función de utilidad indirecta están relacionadas inversamente Ambas dependen de los precios de mercado pero con diferentes restricciones

31 El problema dual Problema Primal Problema Dual MaxU q ( q) s. a. m pq Min pqs. a. U U( q) q Solucionando Demanda Marshalliana q ~ ( p, m ) Sustituyendo Solucionando Demanda Hicksiana q ( p, U ) Sustituyendo Función de Utilidad Indirecta Función de Mínimo Gasto V ( p, m) e ( p, U ) Identidad de Roy Lema de Sheppard V ( p, m) V ( p, m) p m q~ ( p, m) e( p, U ) p q( p, U ) Figura 31: Dualidad en la Teoría del Consumidor