INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA

Transcripción

1 INVESTIGACION DE OPERACIONES PROGRAMACION LINEAL ENTERA 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera. 2. Aplicaciones de las variables binarias (0-1) 1

2 1. Tipos de Modelo de Programación Lineal Entera Programación lineal entera o programación con enteros son modelos de programación matemática que presentan condiciones que estipulan que algunas o todas las variables de decisión deben tener valores enteros. Aplicaciones: 1. Número de empleados a contratar. 2. Cantidad de máquinas necesarias para la producción 3. Número de viajes a realizar. 4. Cantidad de piezas a producir 5. Cantidad de locales a instalar 2

3 Los modelos de Programación Lineal Entera (PLE) se resuelven de manera distinta que los modelos de Programación Lineal (PL). Los algoritmos que resuelven los modelos lineales enteros no entregan resultados de análisis de sensibilidad.

4 Clasificación de los modelos de PLE: Modelo Completamente entero (PEP) Tipos de Variables de Decisión Todas son enteras Mixto (PLEM) Algunas, pero no todas son enteras Binaria (PLBI) Todas son binarias (0 ó 1) 4

5 Consideraciones generales: Si un modelo de enteros se resuelve como un modelo lineal simple, la solución óptima puede ser no entera. Al aproximar a valores enteros se puede obtener: Soluciones no-factibles Soluciones factibles pero no óptimas Soluciones óptimas. 5

6 Modelo entero puro (PEP) Minimizar 6X 1 + 5X 2 + 4X 3 Sujeto a 108X X X X X X 3 83 X 1, X 2, X 3 enteros 8

7 Programación lineal entera-mixta (PLEM) Minimizar 6X 1 + 5X 2 + 4X 3 Sujeto a 108X X X X X X 3 83 X 1, X 2, X 3 0 ; X 1 y X 2 enteros. 9

8 Programación Lineal Binaria Min 24X X X X X X X X X 33 Sujeto a X 11 +X 12 +X 13 1 X 21 +X 22 +X 23 1 X 31 +X 32 +X 33 1 X 11 +X 21 +X 31 = 1 X 12 +X 22 +X 32 = 1 X 13 +X 23 +X 33 = 1 X ij = 0,1 10

9 PROBLEMA CON VARIABLES ENTERAS El Cafetín es una nueva cadena de restaurantes de comida rápida que está planificando posicionarse en Lima y ofrecer productos de alta calidad, pero considera que su principal atracción será el diseño de sus locales. Los locales se ubicarán en el centro de Lima y en otros distritos. Los primeros se construirán de forma que parecerán el interior de un contenedor (container), mientras que los locales ubicados en otros distritos, se construirán al interior de verdaderos contenedores. La compañía dispone de S/. 2.7 millones para su expansión, desea abrir al menos 2 restaurantes en el centro de la ciudad y cuenta con 19 postulantes a administradores calificados para el puesto. Adicionalmente considere lo siguiente: Valores por Restaurante en el Restaurante fuera del restaurante centro de Lima centro de Lima Inversión (S/.) Ganancia (S/.) N de administradores 1 3 El gerente general desea saber cuántos restaurantes podría abrir para maximizar la ganancia neta semanal. 11

10 La solución real del problema es: F = 87/16 = 5.44, C = 43/16 = 2.69, Z = US$ Entonces, Por qué no redondear simplemente los valores la solución real? Posibles resultados del redondeo: Los puntos pueden ser no-factibles Los puntos pueden ser factibles pero no-óptimos Los puntos pueden ser factibles y óptimos Veamos los puntos F = 6, C = 3 qué sucede? 12

11 Nota: Imponer restricción de enteros agrega dos restricciones al problema: F entero y C entero. El valor de la función objetivo NO puede mejorar. En un problema de maximización esto significa que el valor de la función objetivo disminuirá o en el mejor de los casos será el mismo que el valor óptimo del problema de programación lineal en el dominio de los reales. La solución entera del problema es: F = 4, C = 3, Z = US$

12 APLICACIONES DE LA PLE a) Variables binarias Problema de Inversiones. Una empresa está pensando invertir en cuatro proyectos diferentes, cada proyecto se finaliza a lo más en 3 años. Los flujos de caja requeridos en cada año junto con el Valor Presente Neto de cada proyecto, concluidos los años de ejecución, y las disponibilidades de recursos financieros se resumen en la siguiente tabla: 14

13 Proy 1 Proy 2 Proy 3 Proy 4 Disp. Recursos Año Año Año V.P.N Se requiere determinar en cuáles proyectos se recomienda invertir de modo de conseguir el mayor V.P.N. de la inversión.

14 Variables de decisión: Función objetivo: 1 si se invierte en el proyecto i Xi = con i= 1, 2, 3, 4 0 si no se invierte en el proyecto i Max 35x x x x 4 Restricciones (tres alternativas): 1 Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período Año 1: 10x 1 + 8x 2 + 6x x 4 + s 1 = 30 Año 2: 8x x 2 + 4x 3 + s 2 = 15 + s 1 Año 3: 18x x s 2 x i {0,1} i = 1,2,3,4

15 2 Sin invertir el dinero no utilizado en un período, pero utilizando el retorno de los proyectos concluidos: Año 1: 10x 1 + 8x 2 + 6x x 4 30 Año 2: 8x x 2 + 4x x 4 Año 3: 18x x x 2 X i {0,1} i = 1,2,3,4 3 Reinvirtiendo dinero no utilizado en un período y retorno de proyectos concluidos: Año 1: 10x 1 + 8x 2 + 6x x 4 + s 1 = 30 Año 2: 8x x 2 + 4x 3 + s s x 4 Año 3: 18x x s x 2 X i {0,1} i = 1,2,3,4

16 Otras restricciones del problema: Se debe invertir en al menos 1 de los 3 primeros proyectos: x 1 + x 2 + x 3 1 Si invierto en el proyecto i se debe invertir en el proyecto j: Ejemplo: x i x j No se puede ejecutar el proyecto 2 a menos que el proyecto 3 sea ejecutado: x 2 x 3

17 Otras restricciones del problema: Se puede invertir en el proyecto i o en el proyecto j, pero no en ambos: x i + x j 1 No se puede invertir en más de dos proyectos: x i + x 2 + x 3 + x 4 2

18 Si se invierte en el proyecto i y en el proyecto j, entonces se debe invertir en el proyecto k: x i + x j 1 + x k Si se invierte en el proyecto i o en el proyecto j, entonces se debe invertir en el proyecto k: x i + x j 2x k Si se invierte en el proyecto i no se debe invertir en el proyecto j: x i 1 - x j

19 IMPORTANTE: En los problemas de programación lineal entera no es posible realizar el análisis de sensibilidad. Cualquier cambio en los coeficientes de la función objetivo o en los coeficientes del lado derecho implicará que se deba resolver el problema nuevamente. 24

20 2. El problema de asignación Los problemas de asignación típicos implican asignar trabajos a máquinas, agentes a tareas, personal de ventas a territorios de ventas, contratos a licitadores, etc. Característica: Un agente se asigna a una y sólo una tarea. 25

21 Ejemplo: Consideremos la empresa Publiciux que acaba de recibir solicitudes para estudios de investigación de mercado de tres clientes nuevos. La compañía enfrenta el reto de asignar un líder de proyecto (agente) a cada cliente (tarea). En la actualidad tres individuos no tienen otros compromisos y están disponibles para las asignaciones de líder del proyecto. Sin embargo, la administración de Publiciux se da cuenta de que el tiempo requerido para completar cada estudio dependerá de la experiencia y capacidad del líder del proyecto asignado. Los tres proyectos tienen casi la misma prioridad y la administración desea asignar líderes de proyecto para minimizar la cantidad de días requeridos para completar los tres proyectos. 26

22 Si sólo se va a asignar un líder a un cliente, qué asignaciones deberían hacerse? Las alternativas y los tiempos estimados (en días) para completar el proyecto se muestran en la siguiente tabla: Líder del proyecto. Cliente 1 Cliente 2 Cliente Asterix Obelix Druida

23 Como en el problema transporte usamos variables de decisión con doble subíndice: X 11 : Representará la asignación del líder del proyecto 1 al cliente 1 X 12 : Representará la asignación del líder del proyecto 1 al cliente 2 X 13 : Representará la asignación del líder del proyecto 1 al cliente 3 X ij : Representará la asignación del líder del proyecto i al cliente j Definimos las variables de decisión para el problema de asignación de Publiciux de la siguiente manera: X ij : 1 si el líder del proyecto i se asigna al cliente j, 0 en otro caso 28

24 En el siguiente modelo de red se puede apreciar la variable y el tiempo que emplearía en el caso de que su valor sea 1: 1 1 Asterix X 11, 10 Cliente Obelix X 22, 18 Cliente Druida X 33, 3 Cliente

25 Lo que se desea es minimizar los tiempos de ejecución de los tres proyectos, luego la función objetivo será: Min z = 10 x x x x x x x x x 33 s.a.: x 11 + x 12 + x 13 =1 x 21 + x 22 + x 23 =1 x 31 + x 32 + x 33 =1 Asignación de Asterix Asignación de Obelix Asignación de Druida x 11 + x 21 + x 31 =1 Cliente 1 x 12 + x 22 + x 32 =1 Cliente 2 x 13 + x 23 + x 33 =1 Cliente 3 30

26 La solución del POM a este problema es la siguiente: (untitled) Solution X11 X12 X13 X21 X22 X23 X31 X32 X33 RHS Dual Minimize Asignación de Asterix = 1-7 Asignación de Obelix = 1-5 Asignación de Druida = 1-3 Cliente = 1-3 Cliente = 1-8 Cliente = 1 0 Solution->

27 Esto quiere decir que : Asterix se asignará al cliente 2, Obelix se asignará al cliente 3 y Druida se asignará al cliente 1. El tiempo total en que esta asignación cumplirá con los tres clientes es de 26 días 1 1 Asterix Cliente Obelix Cliente Druida Cliente

28 Ejemplo de distribución de presupuesto La empresa MNG dispone de US$ para invertir en cuatro posibles alternativas, buscando maximizar el Valor Actual Neto de todas las inversiones juntas, de acuerdo con el cuadro siguiente: Alternativa Monto de inversión VAN (US$) requerido (US$) A B C D La gerencia general ha dispuesto que se invierta como máximo en tres alternativas. Si se invierte en la alternativa 2 no se podrá invertir en la alternativa 4. Si se invierte en la alternativa 2, también tendrá que invertir en la 1.

29 Problema de alquiler (Costo fijo) Una empresa dedicada a la comercialización de gaseosas, tiene a su disposición 3 depósitos que puede alquilar para almacenar sus productos. Los almacenes están ubicados en Lima, Trujillo y Arequipa y se distribuyen en Piura, Lima y Arequipa. En el cuadro siguiente se indica el costo por viaje (por camión) expresado en soles Cuántos camiones deberá enviar desde cada almacén a cada punto de venta? ALMACENES DISTRIBUIDORAS Piura Lima Arequipa Capacidad mensual (camiones) Trujillo Lima Arequipa Demanda mensual 120 (camiones)

30 Supongamos ahora que utilizar un almacén implica pagar un costo de alquiler mensual. En Trujillo el importe es de 2500 soles; en Lima es de cinco mil soles y en Arequipa es de 3500 soles. Actualice el modelo. 36