Programación Entera TIPOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN EN ENTEROS. Comparación entre la programación lineal y la de enteros

Transcripción

1 Comparación entre la programación lineal y la de enteros Programación Entera M. En C. Eduardo Bustos Farías En programación lineal, el algoritmo símplex siempre encuentra el óptimo global debido a que el supuesto de proporcionalidad garantiza que no existen óptimos locales. Sin embargo, en la programación entera, existen con frecuencia numerosos óptimos locales que deben considerarse al buscar el óptimo global Comparación entre la programación lineal y la de enteros La facilidad para resolver los problemas de programación lineal se debe a que el método símplex permite pivotear hasta que se alcanza la solución óptima global. Una vez alcanzado este punto óptimo, cualquier pivoteo adicional produce siempre una solu-ción con un valor objetivo menos deseable. Por otra parte, no existe ningún procedimien-to comparable al método símplex para resolver problemas de programación en enteros. Para un problema de PE, por lo general es necesario buscar entre las soluciones óptimas locales la que pueda ser la solución óptima global, y el proceso de búsqueda puede requerir una gran cantidad de tiempo y esfuerzo. TIPOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN EN ENTEROS 3 4 Problemas generales de programación en enteros (1) problemas generales de programación en enteros; (2) problemas binarios o 0-1 de programación en enteros, y (3) problemas mixtos de programación en enteros. Las variables de los problemas generales de programación en enteros deben asumir valores enteros. Las variables enteras pueden tener cotas superiores e inferiores pero no están, restringidas a un subconjunto específico de valores y, por lo general, no existe una estructura especial para el problema. Las variables deben asumir valores enteros. En general, cualquier problema de programación lineal que requiera que sus variables asuman valores discretos es un problema general de programación en enteros

2 Problemas binarios de programación en enteros Los problemas binarios o 0-1 de programación en enteros tienen variables que sólo pueden tomar valores 0 o 1. Al tener variables 0-1, en esencia se está planteando el modelo para situaciones del tipo todo o nada o hacerlo o no hacerlo. Esta clase de problemas es muy importante debido a que las situaciones todo o nada son muy comunes en áreas como presupuestos de capital, selección de ubicaciones y programación cronológica. Problemas mixtos de programación en enteros Los problemas en los que se requiere que algunas, pero no todas las variables, sean enteras, se denominan problema mixtos de programación en enteros. Estos problemas permiten la combinación de variables enteras y continuas. Las variables enteras pueden ser variables enteras generales o variables enteras binarias, dependiendo de la situación que se representa Programación Entera / Mixta Los problemas de programación con enteros se formulan de la misma manera que los problemas de programación lineal, pero agregando la condición de que al menos alguna de las variables de decisión debe tomar valores enteros. Una variable de decisión binaria sólo puede tomar valores 0 o 1. Una variable entera puede tomar cualquier valor, en tanto éste sea entero. 10 Factores a considerar al incluír variables de decisión enteras en un problema. El procedimiento de resolución es bastante más trabajoso que el método Simplex. Se pierde la posibilidad de contar con información sobre el costo de oportunidad de los recursos y el costo de sustitución de las actividades. EJEMPLO CROSS COUNTRY AIRLlNES Debido a una escasez de gasolina, la demanda de boletos de la Cross Country Airlines ha aumentado mucho en los últimos meses. La demanda ha crecido tanto que ahora la aerolínea está analizando la posibilidad de adquirir varios aviones nuevos. Existen tres tipos de aviones de entre los cuales se pueden elegir el DC-33, el Boeing 797 y el Lockheed Bi-Star. En la tabla se muestran el costo, capacidad y tiempo requerido de mantenimiento mensual para cada tipo. La Cross Country desea adquirir los nuevos aviones al mínimo costo posible, sujeta a los requerimientos de capacidad y mantenimiento. Los nuevos aviones deben transportar un total combinado de cuando menos 3,400 pasajeros y deben tener un tiempo combinado total de mantenimiento que no exceda las 250 horas mensuales. Se complica aún más la decisión de qué aviones adquirir porque sólo existen disponibles para su compra cinco aviones Bi-Star

3 PLANTEAMIENTO Este problema es muy similar a uno de programación lineal, excepto porque las variables deben asumir valores enteros. No hay forma de comprar una fracción de avión o de diferir la compra a otro periodo para evitar el requerimiento de enteros. En este caso, debe comprarse a la vez un número entero de aviones. Por ello, tenemos un problema de programación en enteros. Para plantear el problema, sean x1 = número de DC-33 que se compran x2 = número de B- 797 que se compran x3 = número de Bi-Star que se compran Dado que nuestro objetivo es minimizar el costo total de adquisición, la función objetivo es MINIMIZAR: Z = 10x x2 12x3 Los requerimientos de capacidad y tiempo de mantenimiento por mes pueden plantearse de la siguiente manera: REQUERIMIENTO DE CAPACIDAD: 350x, + 450x x TIEMPO DE MANTENIMIENTO: 25x + 15x2 + 15x Además, debe incluirse la disponibilidad del Bi- Star en el modelo: x3 5 Por último, están las condiciones de no negatividad y los requerimientos de enteros: x1, x2, x3 0 y enteros En conjunto, el problema puede plantearse como:

4 Este es un ejemplo de problema general de programación en enteros, puesto que existen sólo variables enteras y éstas no se restringen a 0 o 1. PROCEDIMIENTOS DE SOLUCIÓN PROCEDIMIENTOS DE SOLUCIÓN Métodos gráficos 1. Métodos gráficos 2. Redondeo de la solución óptima de programación lineal 3. Enumeración completa 4. Planos de corte 5. Ramificación y acotamiento Los métodos gráficos pueden ser de cierta utilidad para resolver problemas con dos varia-bles enteras. Al igual que con la programación lineal, resolver un problema de programación entera, en forma gráfica, implica un proceso de cuatro pasos. Los primeros tres pasos son idénticos a los que se utilizaron para la programación lineal, pero el cuarto es distinto. Estas etapas son: 1. Plantear el problema en forma matemática. 2. Graficar o "trazar", las restricciones. 3. Graficar la función objetivo. 4. Encontrar los valores de las variables de los puntos de celosía que tienen la más alta utilidad EJEMPLO Este cuarto paso requiere que se mueva la función objetivo hacia el exterior hasta encontrar el punto de celosía que tenga la mayor utilidad y que también sea factible en términos de PL. Ya no sólo buscamos los vértices de la región factible de PL; debemos considerar también los puntos de celosía que se encuentran dentro de la región factible de PL

5 En la figura se ha trazado la restricción para este problema y se han dibujado tres líneas rectas (dentro de cada una de las cuales cualquier punto representa la misma utilidad) con valores de 9, 12 Y 15, respectivamente. Se muestran también los puntos de celosía para el problema. En esta figura, puede verse que la solución óptima de PL ocurre en el vértice que tiene como coordenadas x1 = 0 y x2 = 2.5, y que arroja un valor de Z = También puede apreciarse que la línea de utilidades que tiene un valor de Z = 12 pasa a través del punto de celosía x1 = 4, x2 = 0 (punto I). Dado que esta es la línea de 150- utilidades más alta que pasa a través de un punto de celosía, la solución óptima de programación en enteros debe ser x1= 4, x2 = 0 con Z = 12. En esta figura, se marcaron los puntos enteros con un signo + y/o se dan sus coordenadas. Con frecuencia se denomina a estos puntos puntos de celosía. Observe que el punto de celosía (0, 3) no es factible, puesto que no cae dentro de la región factible de PL (el área sombreada en la figura). De manera similar, todos los puntos que son factibles para la programación lineal pero que no son puntos de celosía tampoco son factibles para PE. Por ello, para que un punto sea factible en PE, debe satisfacer las restricciones de programación lineal y ser un punto de celosía Sin embargo, revisando la lista anterior de puntos de celosía factibles, encontramos que la solución óptima de programación en enteros no se encuentra cerca de la solución óptima de PL. De hecho, la solución óptima de PE se presenta en el punto de celosía (4, 0), que tiene un valor para Z de 12. SOLUCIÓN CON WINQSB POR EL MÉTODO SIMPLEX VARIABLES CONTINUAS POR EL MÉTODO SIMPLEX VARIABLES CONTINUAS

6 31 Redondeo de la solución óptima de programación lineal El término redondeo, cuando se aplica a problemas de programación en enteros se refiere a utilizar la parte entera de una solución de programación lineal como solución para el problema de programación en enteros. El método usual es intentar seguir en la región factible haciendo un redondeo hacia el número inferior, en el caso de problemas de maximización, y haciendo un redondeo hacia el número superior, para problemas de minimización. Aunque el redondeo es un procedimiento muy común para resolver problemas prácticos de programación en enteros, en ciertos casos puede conducir a dificultades. 32 En primer lugar, habrá casos en los que la solución redondeada de PL no sea óptima para el problema específico de programación. Por ejemplo, considere el problema que se comentó antes. En ese problema, cuya gráfica aparece en la figura, la solución óptima de PL ocurrió en x2 = 2.5 Y x1= 0. Si redondeamos al número inferior para continuar en la región factible, encontramos como solución x2 = 2 y x1= 0, con un valor objetivo de 10. Sin embargo, la solución óptima fue x1 = 4 y x2 = 0, que tiene un valor de la función objetivo de 12. En ese ejemplo, aunque fue posible encontrar una solución factible mediante redondeo, la solución tuvo un valor objetivo inferior al de la solución óptima. Existen también casos en los que la solución redondeada no es óptima y ni siquiera factible. 33 Considere la situación que se ilustra en la figura. En este problema de programación en enteros, se pretende maximizar la función objetivo. La solución óptima de PL se encuentra en el punto A de la gráfica. Sin embargo, el punto A no es una solución entera, por lo que debe buscarse la verdadera solución óptima de PE. Si se redondea la solución óptima de PL hacia el número inferior, encontramos el punto B o el punto C. Ambos son puntos de celosía pero ninguno es factible; por ello, en este caso, el redondeo conduce a soluciones no factibles. La solución óptima de PE se encuentra en el punto D. Éste puede ser un ejemplo de los problemas que pueden ocurrir cuando se utiliza el redondeo, pero demuestra que es necesario tener cuidado cuando se hace esto. 34 Enumeración completa El uso de una enumeración completa o total de todos los puntos de celosía, como en el ejemplo de junto, no es práctico porque produce muchos problemas. El número de valores que deben enumerarse puede crecer mucho con bastante rapidez. Por ejemplo, si un problema de programación en enteros tiene 100 variables, cada una de ellas está restringida a tomar valores 0 o 1 (problema al que por lo general se le denomina binario o 0-1), entonces existen 2100 posibles puntos de celosía que deben enumerarse. Esto es demasiado para que el procedimiento de solución de la enumeración completa sea práctico. En este caso, los puntos A hasta I satisfacen este criterio, tal como se muestra en la tabla (también aparece el valor de la función objetivo para cada punto factible). La solución óptima de PL se encuentra en el punto (0, 2.5) que tiene un valor de Z de Métodos del plano de corte Uno de los primeros métodos teóricos para encontrar la solución óptima global, propuesto por Gomory en 1958, se denomina método del plano de corte. En este método, el procedimiento busca la solución óptima de PE cortando en forma sucesiva parte de la región factible continua (de PL). El proceso se continúa hasta que la solución óptima de PL para el problema reducido es entera. Esta es entonces la solución óptima de PE

7 Para ilustrar gráficamente la forma en que esto funciona, considere de nuevo el problema. Dado que la solución óptima de PL no es entera, se añade una nueva restricción que corta la solución óptima de PL. No es necesario revisar la forma en que se genera esta nueva restricción, excepto decir que excluye la antigua solución de PL al mismo tiempo que no excluye punto alguno de celosía. Si se recorta una parte suficiente de la región x1=2 y x2=2.5, entonces la nueva solución de PL se convierte en el punto I en (4,0). En forma gráfica, se muestra el resultado en la figura, en la que la restricción del plano de corte elimina lo suficiente de la antigua región factible para ocasionar que la nueva solución óptima de PL ocurra en un punto de celosía (I); y el punto I es la solución óptima de PE En este ejemplo, el método del plano de corte parece funcionar bien. Por desgracia, la experiencia con los planos de corte ha mostrado que es bastante frecuente que se requieran muchas restricciones adicionales (es decir, muchos cortes adicionales) para producir una solución que sea completamente entera en los problemas reducidos de PL. Resolución de problemas enteros por el método de Ramificar y Cortar En un problema con enteros existe un número finito de soluciones posibles (no todas son factibles) que pueden representarse mediante un diagrama de árbol. No hace falta enumerar todas las soluciones posibles si se pueden eliminar ramas dominadas. Una rama puede eliminarse si puede demostrarse que no contiene una solución factible que sea mejor que una ya obtenida Pasos en el método de Ramificar y Cortar 1. Comenzar: resolver el problema como si fuera un problema ordinario de PL (relajación de enteros). La solución obtenida se toma como cota máxima y base para el procedimiento de búsqueda de una solución factible. 2. Ramificar: a partir de la solución de PL designar una variable como entera y seleccionar, a partir de los posibles valores enteros que pueda tomar, una rama para investigarla. 42 Ramificar y Cortar (cont.) 3. Limitar: encontrar un límite para el problema definido por la rama seleccionada. El límite está dado por el valor de la mejor solución factible de enteros encontrada hasta el momento, y domina a todos los otros posibles resultados de una rama. 7

8 Ramificar y Cortar (cont.) 4. Comparar: comparar la solución obtenida en la rama con el límite de referencia vigente. Si el valor de la solución es menor que el límite vigente, se elimina de consideración toda la nueva rama. Se continúa con las ramas que no hayan sido evaluadas aún. Si el valor de la solución es mejor que el límite vigente y si la solución es entera (factible), entonces se convierte en el nuevo límite de referencia. Se examinan las ramas que aún no se han considerado en relación al nuevo límite. Si el valor de la solución es mayor que el límite vigente, pero la solución no es entera (factible) deben explorarse las ramificaciones de nivel inferior en la misma rama. Ramificar y Cortar (cont.) 5. Terminar: quedarse con la mejor solución factible obtenida una vez examinadas todas las ramificaciones Métodos de ramificación y cortar Los métodos de plano de corte utilizan restricciones adicionales para excluir las soluciones no enteras de PL. En contraste, los métodos de ramificación y acotación (sugeridos originalmente por Land y Doig en 1960) pretenden hacer lo mismo a través de una estrategia de divide y vencerás. Esto implica dividir la región factible en segmentos de tal manera que la solución anterior de PL que no era entera no se incluya en la nueva región factible. Dividir la región factible en segmentos da como resultado problemas adicionales que deben resolverse; pero dado que las regiones factibles de nuestros nuevos subproblemas son menores que la región factible del problema principal, el proceso de solución al nivel del subproblema debe ser más simple. El proceso de dividir y subdividir continúa hasta que puede demostrarse que ninguno de los subproblemas tiene una solución óptima que sea mejor que una solución entera calculada con anterioridad. 46 Existen cuatro posibles resultados para cada subproblema. 1. Si un problema no es factible, no se le investiga más. 2. Si la solución de PL para el problema es entera, se registra ésta como la posible mejor solución y no se investiga más el problema. 3. Si la solución de PL es peor que alguna solución entera que ya se conoce, entonces no se investiga más el problema. 4. Si la solución de PL es fraccionaria pero mejor que cualquier solución entera que se conoce hasta ese momento, se divide la región factible para ese subproblema de manera que se excluya una parte de la solución. Se continúa este problema hasta que no existen subproblemas que deban investigarse. Para ilustrar en forma gráfica el procedimiento de ramificación y acotación utilizaremos una variación del ejemplo original. Conservaremos la función objetivo pero cambiaremos la restricción. El problema nuevo (modificado) es 47 Para este problema, la solución óptima de PL sigue siendo la misma (x1 = 0 y x2 = 2.5 y Z = 12.5). Para excluir la solución no entera necesitamos dividir la región factible para que x2=2.5 ya no sea factible. Hacemos esto planteando dos subproblemas. Uno de ellos tendrá la restricción adicional x2 3, y el otro tendrá la restricción adicional x2 2. Denominamos a estos subproblemas P1 y P2, y compararemos sus soluciones de PL con la solución que ya conocemos de PE calculada mediante redondeo (es decir, x2 = 2, x1 = 2 y Z = 10). 48 En la figura se muestra en forma gráfica el resultado de crear los subproblemas añadiendo estas dos restricciones. Observe que el subproblema P1 no es factible puesto que si x2 3, no es posible que. La solución óptima de PL para P2 se encuentra en x1 = 0.6 y x2 = 2 para alcanzar un valor de 12. Dado que la solución óptima del problema P2 es al mismo tiempo fraccionaria y mejor que mejor solución conocida de programación entera (a la que denominaremos conocida), tenemos el resultado que se comentó antes. Entonces, repetimos el proceso de subdivisión sobre el problema P2 para generar otros dos problemas nuevo P3 y P4; 8

9 49 En estos dos subproblemas hemos excluido el valor fraccionario de x1 con las dos nuevas restricciones que se añadieron a P2. El resultado se muestra en la gráfica de la figura. Para P3, las restricciones x1 0 y x1 0 se convierten en x1 = 0. Entonces, la solución óptima ocurre en (0,2) que es la solución entera que se encontró mediante redondeo. Este es el resultado (2) que se comentó antes. Para P4, la solución óptima ocurre en (1, 1.75), que es fraccionaria, por lo que es necesario continuar subdividiendo P4 para excluir el valor fraccionario de x2. Esta subdivisión conduce a P5 y P6; 50 En P5, las dos restricciones x2 2 y x2 2 se reducen a la simple restricción x2 = 2; en P6, x2 2 resulta redundante por la nueva restricción x2 1. Los problemas se han resuelto en forma gráfica en la figura. En esta figura, se observa que la combinación de las restricciones x1 1 y x2 = 2 no es factible para PL, por lo que puede descartarse el subproblema P5. Para la P6, la solución óptima ocurre en (2,1). Dado que la solución óptima de P6 ocurre en un punto de celosía, no es necesario seguir investigando P6. También, dado que el valor de la función objetivo de (2,1) es 11, que es más alto que el valor entero que encontramos antes (10), se tiene una nueva solución actualizada. Finalmente, y dado que ya no hay más subproblemas que sea necesario investigar, se encuentra que la solución entera actualizada es óptima. El proceso de ramificación y acotación puede mostrarse en un diagrama para ilustrar la ramificación que se lleva a cabo. En la figura se realiza esto para el ejemplo. El nombre ramificación y acotación proviene de la división del problema (ramificación) en subproblemas y del uso de la PL para resolver los subproblemas con el objeto de determinar cuál es la mejor solución (no necesariamente entera) para cada subproblema (la cota). SOLUCIÓN CON WINQSB

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