Composición de Aplicaciones. (c) 2012 Leandro Marin

Transcripción

1 Composición de Aplicaciones (c) 0 Leandro Marin

2 . Aplicaciones Lineales y Matrices Una aplicación lineal f entre dos espacios vectoriales V y W es una forma de asignar a cada vector v V un vector f(v) W cumpliendo las siguientes condiciones: () Para todo u, v V se tiene que f(u+ v)= f(u)+ f(v) () Para todo v V y todoλ, f(λv)=λf(v). Dicho de otra forma, puesto que las operaciones básicas de un espacio vectorial son la suma de vectores y el producto por escalares, para que f sea una aplicación lineal, debe respetar ambas operaciones. Para definir una aplicación lineal, en realidad basta con dar los valores de f(v i ) para unos vectores A={v, v,, v n } que sean base de V. Si conocemos estos valores y v es un vector cualquiera de V, podremos deducir cuanto vale f(v) utilizando la linealidad, porque v se tiene que poner de forma única comoλ v +λ v + +λ n v n y por lo tanto f(v)=λ f(v )+λ f(v )+ +λ n f(v n ) Por otro lado, si disponemos de una base B ={w, w,, w m } de W, podríamos escribir cada uno de los vectores f(v j ) como combinación lineal de los vectores w i, con lo que podríamos encontrar valores a i j K tales que f(v ) = a w + a w + + a m w m f(v ) = a w + a w + + a m w m f(v n ) = a n w + a n w + + a mn w m Estos coeficientes se representan en forma de matriz poniendo los coeficientes que nos determinan los f(v j ) como columnas de la matriz. Es decir, la matriz de f con respecto a estas bases es a a a n a a a n Å AB (f)=... a a a n

3 Cuando tomamos las bases canónicas en ambos espacios, el cálculo es inmediato. Vamos a verlo con un ejemplo: Supongamos que tenemos una aplicación lineal f : 3. Para definirla tenemos que dar, para cada vector(x, x, x 3 ) 3 el valor de f(x, x, x 3 ). Como f(x, x, x 3 ) tiene que tener dos coordenadas (por ser un vector de ) tendremos que dar las fórmulas para las dos coordenadas, que llamaremos f (x, x, x 3 ) y f (x, x, x 3 ). Las fórmulas podrían ser por ejemplo f (x, x, x 3 ) = x + x x 3 f (x, x, x 3 ) = x + x 3 Vamos a calcular la matriz de f con respecto a las bases canónicas de los dos espacios. En nuestro ejemplo V= 3 y w=. Los vectores de la base de V que vamos a tomar son los de la base canónica, en este caso v =(, 0, 0), v =(0,, 0) y v 3 =(0, 0, ). Los vectores de la base de W también van a ser la canónica w =(, 0) y w =(0, ). f (v )= f (, 0, 0)= f (v )= f (, 0, 0)=0 f(v )= f (v )w + f (v )w = w + 0 w f (v )= f (0,, 0)= f (v )= f (0,, 0)= f(v )= f (v )w + f (v )w = w + w f (v 3 )= f (0, 0, )= f (v 3 )= f (0, 0, )= f(v 3 )= f (v 3 )w + f (v 3 )w = w + w Aplicando las fórmulas, la matriz resultante es: 0

4 Cuando estamos en este caso especial, la inspección directa de las ecuaciones nos puede proporcionar los coeficientes de la matriz, puesto que si nos fijamos, los coeficientes de la matriz son los mismos que nos definen las ecuaciones en el mismo orden: f (x, x, x 3 ) = x + x x 3 f (x, x, x 3 ) = x + x 3. Composición de Aplicaciones Sean g : V V y f : V V 3 dos aplicaciones lineales, dado un vector v V podemos llevarlo a V 3 dando dos pasos, primero lo llevamos a V con g y luego lo llevamos a V con f, de esta forma obtenemos f(g(v)) V 3. Esta asignación es lo que se conoce como composición de las aplicaciones lineales f g : V V 3. Para calcular la matriz de la composición de las aplicaciones necesitamos fijar las bases en cada uno de los espacios con las que representamos las matrices. Supongamos que tomamos una base B del espacio V, una base B del espacio V y una base B 3 del espacio V 3. Fijadas estas bases tenemos las matrices de g con respecto a las bases B y B, que denotemos Å B B (g) y la de f con respecto a las bases B y B 3, que denotamos Å B B 3 (f). f g g f V V V 3 Å B B 3 (f g)=å B B 3 (f)å B B (g) B B Å B B B (g) Å 3 B B 3 (f) La matriz de la composición de aplicaciones es precisamente el producto de las matrices de las aplicaciones que se componen. Å B B 3 (f g)=å B B 3 (f)å B B (g) Esta fórmula es muy fácil de recordar si tenemos en mente el diagrama anterior.

5 3. Ejercicios Resueltos. Ejercicio. Calcula la composición de las siguientes apliacioneslineales viendo cuales son las composiciones posibles: f (x, x, x 3 ) = x + x x 3 f (x, x, x 3 ) = x + x 3 g (y, y, y 3, y 4 ) = y + y 3 g (y, y, y 3, y 4 ) = y y 3 g 3 (y, y, y 3, y 4 ) = y + y + y 3 Lo primero que vamos a hacer es poner las aplicaciones en forma matricial: La matriz de la aplicación f : 3 es 0 la matriz de g : 4 3 es La composición f g : 3 3 es = La composición g f no se puede hacer. Ejercicio. Calcula la composición de las siguientes apliaciones 5 - lineales viendo cuales son las composiciones posibles: f (x, x, x 3 ) = 3 x + x + x 3 f (x, x, x 3 ) = x + 3 x 3

6 g (y, y, y 3, y 4 ) = 3 y + 3 y + y 4 g (y, y, y 3, y 4 ) = y + 3 y + 4 y 3 + y 4 g 3 (y, y, y 3, y 4 ) = 3 y + 4 y + y 3 + y 4 Lo primero que vamos a hacer es poner las aplicaciones en forma matricial: La matriz de la aplicación f : es la matriz de g : es La composición f g : es = La composición g f no se puede hacer. Ejercicio. Calcula la composición de las siguientes apliaciones 3- lineales viendo cuales son las composiciones posibles: f (x, x, x 3 ) = a x + x + (a + a+ ) x 3 f (x, x, x 3 ) = (a + ) x + (a + ) x + (a + a+ ) x 3 g (y, y, y 3, y 4 ) = (a + a) y + y + (a + a+ ) y 3 + (a+ ) y 4 g (y, y, y 3, y 4 ) = (a + ) y + (a+ ) y 3 + (a + a) y 4 g 3 (y, y, y 3, y 4 ) = a y + a y + a y 3 + (a + a+ ) y 4 Lo primero que vamos a hacer es poner las aplicaciones en forma matricial: La matriz de la aplicación f : es a a + a+ a + a + a + a+

7 la matriz de g : es a + a a + a+ a+ a + 0 a+ a + a a a a a + a+ La composición f g : es a a a + a a + a+ a+ + a+ a + a + a a + 0 a+ a + a + a+ a a a a + a+ = a+ a + a+ a+ a+ a + 0 a + a+ a La composición g f no se puede hacer.