5.- Óptica de Fourier. Procesamiento óptico de imágenes.

Transcripción

1 5.- Óptica de Fourier. Procesamiento óptico de imágenes. 1. Material. Banco óptico. Láser de He-Ne. Objetivo de microscopio de f'=5 mm. Dos lentes convergentes, ambas de f'=300 m. Pantalla opaca, soporte para pantalla. Diapositivas y portadiapositivas de plástico. Máscaras de filtrado (cuchillas, rendijas simples y orificios circulares). Red de difracción de 100 líneas/mm. 2. Objetivos. a) Comprobación de las propiedades de transformación óptica de las lentes mediante la construcción de un procesador óptico. b) Realización de un filtrado óptico de paso-banda para la supresión de las barras horizontales o verticales de una cuadrícula. Filtrado óptico de diversas transparencias. c) Realización del multiplexado óptico de una señal. 3. Teoría Frecuencias espaciales. En óptica la variación en el espacio (Figura 1) puede estudiarse en función de las frecuencias espaciales (f x, f y ), expresadas usualmente en mm 1, que indican la rapidez con la que un objeto o imagen varía espacialmente. Como ocurre en el caso de muchas señales periódicas temporales, muchas figuras formadas por elementos que se repiten espacialmente están formadas por un armónico fundamental y armónicos de orden superior. Un ejemplo de un objeto con un bajo contenido espectral es una red de difracción (Figura 2). En comparación con una red puramente sinusoidal, en la que sólo aparece el armónico fundamental, en el caso de una red binaria la separación de la sinusoidalidad se traduce en la aparición en su espectro de armónicos de orden superior. La formalización rigurosa de esta descripción de los objetos en el dominio frecuencial es matemáticamente compleja y tiene su base en el Teorema de Fourier, cuyo Figura 1. Objeto espacialmente periódico. Figura 2. Representación espacial vs. espectral.

2 enunciado nos dice que cualquier función periódica puede ser expresada como una serie de funciones armónicas de frecuencias múltiplos enteros del frecuencia fundamental. La descomposición de una figura periódica en sus armónicos se denomina análisis de Fourier. Este análisis determina la amplitud y la fase con que cada armónico contribuye a la formación de la figura periódica. Este proceso puede ser invertido: si una figura sinusoidal de una cierta frecuencia fundamental se combina con los armónicos de frecuencias múltiplos enteros de ésta con amplitud y fase apropiadas, se puede obtener una figura periódica determinada. Este proceso se denomina síntesis de Fourier. En esta práctica estudiaremos el proceso de formación de imagen a través de una lente como constituido por dos etapas: análisis de Fourier seguido de síntesis de Fourier Formación de imagen. Una lente forma la transformada de Fourier bidimensional de un objeto iluminado (señal óptica) coherentemente (luz láser) en el plano conjugado de la fuente que ilumina dicho objeto (el plano en el que se formaría la imagen de la fuente), el denominado plano de Fourier. En el caso particular de que este objeto sea iluminado con luz colimada (de rayos paralelos, es decir, la fuente de iluminación está situada en el infinito) este plano es el plano focal imagen de dicha lente. La luz en el plano de Fourier se dispone de forma que la frecuencia espacial aumenta con el radio, de manera que si el objeto tiene bajas frecuencias espaciales, la luz en el plano de Fourier aparece concentrada en los máximos de intensidad centrales, mientras que cuando las frecuencias del objeto son altas se refuerzan los máximos lejanos. Esto permite manipular el espectro espacial del objeto y realizar, por lo tanto, diversas operaciones con la información contenida en el mismo modificando el contenido de la imagen de una forma predecible. El proceso de modificar una imagen cambiando sus frecuencias espaciales se denomina filtrado espacial, siendo ésta una de las principales herramientas del procesado óptico de la información. Para realizar el filtrado espacial debe situarse una transparencia con una cierta función de transmisión en el plano de Fourier. Generalmente esta transparencia es de transmisividad variable (cada punto de la misma presenta una diferente absorción de la luz que incide sobre ella), aunque también puede ser de espesor óptico variable, es decir, puede hacer variar la fase de cada punto del frente de onda que le llega. En cualquier caso el contenido espectral de la imagen I(f x, f y ) será igual al producto del espectro del objeto O(f x, f y ) y la función de transmisión del filtro T(f x, f y ): I( f, f ) T( f, f ) O( f, f ) [1] x y x y x y o alternativamente, la amplitud compleja de la imagen i(x, y) es el resultado de convolucionar (en dos dimensiones) la transformada inversa de Fourier de la función de transmisión t(x, y) y la amplitud del propio objeto o(x, y): ixy (, ) t( x, y) oxy (, ) [2] siendo la intensidad en la pantalla de observación el cuadrado del módulo de [2].

3 4. Experimentos. Prácticas de Física Avanzada. Curso Montaje de un procesador óptico básico. La figura 3 representa una configuración convencional de un sistema óptico para el procesado de información. El haz de luz emitido por un láser se focaliza en un punto Figura 3. Procesador óptico. mediante una lente convergente de corta distancia focal (objetivo de microscopio). Otra lente, L 1, de distancia focal f 1 ' (utilizaremos la lente de f 1 '=300 mm) se coloca en una posición tal que su foco objeto coincida con el foco de la lente anterior, de este modo obtenemos un haz colimado. Una segunda lente L 2 (utilizaremos la lente de f 2 '=300 mm) vuelve a focalizar el haz, siendo su plano focal imagen el plano de Fourier. La información a procesar consiste normalmente en una transparencia fotográfica T colocada en una posición tal que L 2 forme una imagen real de la misma que pueda ser observada sobre una pantalla P. En la figura 3 se ha representado esta transparencia a una distancia 2f 2 de L 2, con lo que su imagen se forma en el espacio imagen a una distancia también 2f 2, con una relación de aumento 1:1, si se quiere tener una relación mayor basta con acercar más la transparencia a la lente L 2 y alejar la pantalla P. La máscara o filtro F está situado en el plano de Fourier y es el elemento que permitirá manipular la señal en el dominio de frecuencias. Para montar el procesador en el laboratorio procederá como sigue: a) Monte el láser en el extremo del banco óptico (no olvide apoyar su soporte delantero en un jinetillo sin tornillo frontal) y alinee, grosso modo, el haz con el banco. Sitúe el banco en el extremo izquierdo de la mesa para poder disponer de la mayor distancia de trabajo posible. b) Monte el objetivo de microscopio (O) en un jinetillo con tornillo frontal con cabeza de plástico. Sitúe lo más próximo posible al láser, con el tornillo frontal hacia la parte libre del banco, y sobre una división de centímetro para que sea fácil leer su posición. Fije el jinetillo al banco. c) Coloque el objetivo de microscopio de manera que el haz divergente quede centrado. Recuerde que para subir y bajar el haz ha de actuar sobre la altura del objetivo y para desplazarlo lateralmente ha de girar ligeramente el láser. d) Monte una lente de f' = +300 mm en la parte trasera de un soporte de plástico y el portadiapositivas de plástico en la parte delantera del mismo soporte. Esta será la lente colimadora (L 1 ) y justo delante de ella, en el portadiapositivas, colocaremos el objeto (diapositiva) que vayamos a trasformar (T). e) Monte el soporte con la lente y el portadiapositivas en un jinetillo sin tornillo frontal y situelo en el banco a unos 30 cm = 300 mm del objetivo de microscopio. Ajuste esta distancia hasta conseguir colimar el haz. Una vez lograda la colimación, fije el jinetillo al banco. f) Si es necesario, retoque el alineamiento del haz desplazando el objetivo de microscopio y girando el láser como en el apartado c).

4 g) Sitúe el banco adicional de 1 m que se le proporcionará a continuación del que viene con el equipo de óptica y que ha estado utilizando hasta el momento. h) Sitúe en el extremo derecho de la mesa una pantalla blanca (cuartilla de papel) montada en el soporte de pantallas (plano inclinado). Esta será la pantalla en la que observaremos la imagen final (P) que resulta del procesamiento óptico. i) Monte en el portadiapositivas (T) la red binaria cuadriculada con figura. L 1 O j) Monte otra lente de f' = +300 mm en la parte trasera de un soporte de plástico éste en un jinetillo sin tornillo frontal. Esta será la lente transformadora (L 2 ). k) Coloque la lente transformadora a unos 55 cm = 550 mm < mm de la diapositiva, de esta manera conseguirá un aumento lateral mayor que la unidad y ello le permitirá observar los detalles de la imagen final con una cierta comodidad. Ajuste su posición hasta ver en la pantalla una imagen bien enfocada de la diapositiva (cuando la figura esté ya enfocada acérquese a la pantalla para comprobar que la red cuadriculada está tambien enfocada; si observa desde una distancia grande, el speckle no le dejará ver los detalles). Una vez logrado el enfoque, fije el jinetillo al banco. l) Si es necesario, retoque el alineamiento del haz desplazando el objetivo de microscopio y girando el láser como en el apartado c). m) Monte el portarendijas de aluminio en un jinetillo con tornillo frontal con cabeza de plástico. Sitúelo en el banco adicional a unos 30 cm = 300 mm de la lente transformadora (esta es la posición en que teóricamente tendría que estar el plano de Fourier). Monte en este portarrendijas la diapositiva con la pantalla difusora opaca cuasilambertiana. T

5 P L 2 L 1 T O n) Ajuste la posición del portarrendijas hasta que vea bien enfocado el patrón de puntos brillantes que constituye la transformada de Fourier de la red binaria cuadriculada. Cuando lo consiga habrá localizado el plano de Fourier (F), fije el jinetillo del portarrendijas en esta posición. ñ) El procesador óptico está listo para ser utilizado. F O L1 T L 2

6 4.2. Observación de las transformadas de Fourier de objetos sencillos obtenidas ópticamente. Situaremos en la posición T de la figura 3 transparencias con redes de líneas paralelas, verticales (RV) y horizontales (RH), binarias y sinusoidales respectivamente. Observaremos sus espectros de potencia espaciales (transformadas de Fourier) colocando una pantalla en el plano focal de L 2 (posición F). Relacionaremos las orientaciones de las redes de líneas con las de sus espectros y, atendiendo a la distribución de éstos, razonaremos en que grado se parecen o no las transparencias a una red sinusoidal, qué redes tienen las líneas más proximas entre sí (mayor frecuencia espacial) y cuales más alejadas, etc. Situaremos en la posición T las redes anteriores cruzadas por pares (binaria RV con binaria RH, sinusoidal RV con sinusoidal RH, binaria RV con sinusoidal RH, sinusoidal RV con binaria RH), para tener así una colección de redes cuadriculadas de líneas oscuras sobre fondo claro, y las redes cuadriculadas binaria (RC) y sinusoidal (R ). Observaremos los seis espectros resultantes e intentaremos explicarlos haciendo uso de las propiedades de las transformadas de Fourier. Repetiremos el experimento con una red cuadriculada de líneas claras sobre fondo obscuro (R+), interpretaremos nuevamente el espectro y lo compararemos con el anterior Filtrado de barras verticales/horizontales de un cuadrícula. Como objeto utilizaremos una transparencia consistente en una red cuadriculada sinusoidal (R o R+, es indiferente). Situándola en la posición T de la figura 3 observaremos su transformada en el plano de Fourier. También observaremos la imagen de dicho objeto sobre la pantalla P, retirando la diapositiva con la pantalla opaca. Situando filtros adecuados (rendijas simples o pares de cuchillas) en el portarrendijas del plano de Fourier (F) obstaculizaremos los armónicos horizontales, dejando pasar únicamente los verticales centrales. Observaremos que la imagen en la pantalla consiste ahora en una serie de barras horizontales, las verticales no aparecen. Así mismo obstaculizando los armónicos verticales, dejando pasar únicamente los horizontales centrales observaremos que la imagen es una serie de barras horizontales. Una vez comprendido el proceso de filtrado en estos patrones geométricos sencillos, se realizarán filtrados ópticos mediante rendijas simples, pares de cuchillas u orificios circulares en otras transparencias más complejas como la «red cuadriculada binaria con figura» o la «diapositiva con figuras en negativo».

7 4.3. Multiplexado óptico. Emplearemos ahora como objeto la transparencia con la «figura binaria en positivo» de pequeño tamaño. Colocaremos esta transparencia en la posición T de la figura 3. En el plano de Fourier F colocaremos una red de difracción de 100 líneas por milímetro. Observaremos como sobre la pantalla P aparece la figura replicada. Comprobaremos que la distancia entre estos caracteres aumenta al colocar una red más tupida (300 líneas por milímetro). Observaremos qué sucede cuando la red de difracción se gira o se desplaza. Red de Difracción P F L 2