ANÁLISIS MEDIANTE VARIABLES DE ESTADO DE UN FILTRO ACTIVO DE POTENCIA DE CONEXIÓN SERIE

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1 ANÁLISIS MEDIANTE VARIABLES DE ESTADO DE UN FILTRO ACTIVO DE POTENCIA DE CONEXIÓN SERIE S. P. Litrán, P. Salmerón, R. S. Herrera Departamento de Ingeniería Eléctrica y Térmica Escuela Politécnica Superior, Uniersidad de Huela Ctra. de Palos de la Frontera s/n 289, Palos de la Frontera Teléfono: , Fax: salador@uhu.es, patricio@uhu.es, reyes.sanchez@die.uhu.es Resumen Los filtros actios de conexión serie o APF serie, son sistemas de compensación estática basados en un conertidor electrónico PWM (Pulse Width Modulation). El uso sistemático de APFs serie en los sistemas de potencia permiten eliminar los armónicos causados por las denominadas cargas armónicas del tipo fuente de tensión. Para alcanzar este objetio de compensación se han propuesto hasta el momento distintas estrategias de control. No obstante, el establecimiento de cada una de las propuestas ha estado basada más en el análisis de circuitos eléctricos equialentes y en los resultados obtenidos en ensayos de laboratorios de simulación y/o experimentación que en el análisis formal de su estructura de control. En este trabajo, se ha obtenido el modelo de estado del sistema completo y a partir de sus ecuaciones de estado se ha analizado el comportamiento del conjunto para cada una de las estrategias de compensación. Como consecuencia este análisis ha permitido establecer unas reglas de diseño respecto a la estrategia de control resultante. Finalmente se presenta un caso práctico cuyos resultados ilustran el método propuesto. Palabras Clae: armónicos, filtro actio serie, ecuaciones de estado. INTRODUCCIÓN La distorsión armónica ha sido un problema que ha estado presente desde los comienzos de la ingeniería eléctrica, si bien, cobra mayor significado en las últimas décadas, debido a la proliferación de cargas electrónicas de comportamiento, en general, no lineal, []. Para eliminar la distorsión armónica de un sistema eléctrico de potencia se ha enido trabajando en los últimos años en el uso de los filtros actios de potencia, APF. Un APF es un sistema de compensación estático basado en un conertidor electrónico PWM (Pulse Width Modulation) que puede conectarse en paralelo o en serie con la carga. Su uso en los sistemas de potencia ha permitido cancelar los armónicos de corriente de las denominadas cargas armónicas de tipo fuente de corriente. En ese caso se trata de un APF shunt que se conecta en paralelo con la carga y opera como una fuente de corriente controlada. Este tipo de APF ha sido el de aplicación tradicional y el que ha sido estudiado en mayor profundidad. Cuando el APF se requiere para cancelar los armónicos de tensión causados por las denominadas cargas productoras de armónicos del tipo fuente de tensión, como es el caso de los conertidores de frecuencia, fuentes de potencia conmutadas o UPSs (Uninterruptible Power Supply) entre otras, de uso cada ez más extendido, es posible recurrir al APF de conexión serie. No obstante, su correcto funcionamiento iene determinado por el enfoque de control que se adopte para la determinación de la tensión armónica de referencia. Principalmente se han utilizado tres tipos de estrategias de compensación. Originariamente, una primera donde la tensión de referencia para el control del filtro serie se obtiene generando una forma de onda proporcional a los armónicos de la intensidad de fuente. Posteriormente, se ha propuesto una estrategia donde la tensión del filtro es igual al alor de los armónicos de la tensión de carga con signo contrario. Más recientemente, se ha propuesto una estrategia híbrida que combina las dos anteriores. Desde un punto de ista práctico, la última de ellas aglutina las entajas de las anteriores y supera sus inconenientes, [5-8]. Ciertamente, el estudio y puesta en práctica de los APFs en el ámbito de la tecnología electrónica, en general, ha utilizado como metodología el análisis de circuitos eléctricos equialentes y el análisis de los resultados obtenidos mediante distintos tipos de test en entornos de simulación y/o experimentación. Pocas eces las propuestas de control han enido

2 precedidas por un estudio basado en técnicas de sistemas de control. Este trabajo se centra en el análisis de las estrategias de control para filtros actios de potencia trifásico de conexión serie, APF serie. Se ha encontrado el modelo de estado del sistema y en base a esa descripción se ha realizado un análisis respecto de las estrategias de compensación anteriormente referidas. El recorrido realizado ha permitido conocer el comportamiento dinámico del sistema así como los márgenes de estabilidad para cada situación. Como consecuencia de ello se ha podido efectuar una elección adecuada de los parámetros de diseño final. Por último, el comportamiento del sistema se ha contrastado mediante la simulación de un caso práctico en el entorno Matlab-Simulink 2 FILTROS ACTIVOS SERIE. ESTRATEGIAS DE COMPENSACIÓN Para las cargas tipo armónicos de tensión la topología con filtro actio que se utiliza para la eliminación de los armónicos de la tensión de carga, es la mostrada en la figura. L s representa la inductancia interna de la fuente de tensión. En el lado dc del inersor se han conectado dos fuentes de alor constante, y en su salida un filtro para la eliminación de las componentes de alta frecuencia compuesto por una inductancia L R y un condensador C R. Los transformadores que se representan tiene la misión de acoplar el equipo de compensación al sistema. armónico que la tensión en el lado de la carga pero de signo contrario. - Estrategia de control mediante la detección de la intensidad de fuente, que consiste en generar una tensión proporcional a los armónicos de la intensidad de fuente. - Estrategia híbrida donde el APF genera una tensión que combina las dos estrategias preias Estas estrategias serán analizadas en el presente trabajo, proponiendo la más adecuada para la eliminación de armónicos de tensión procedentes de cargas distorsionadoras. Un análisis preio de las diferentes propuestas de compensación puede ser obtenido analizando el sistema en régimen estacionario mediante su circuito monofásico equialente. Para esta presentación preia se utilizará el modelo de circuito que se muestra en la figura 2. Este modelo está definido para armónicos diferentes del fundamental, donde se considera que la tensión de fuente está libre de armónicos y que los únicos armónicos de tensión presentes en el sistema son los producidos por la carga, la cual ha sido modelada por una fuente de tensión de alor V LH. En la figura 2, Z S representa la impedancia de la fuente a la frecuencia del armónico H y el filtro actio se modela mediante una fuente controlada que generará la tensión adecuada para la estrategia elegida. Desde el punto de ista ideal la carga se modela mediante una fuente de tensión sinusoidal de frecuencia la del armónico para el que se desea realizar el análisis. I SH Z S V CCH V CH V LH i S + C - i L L S L R C R Figura 2. Circuito monofásico equialente para armónicos diferente del fundamental 2. CONTROL MEDIANTE LA DETECCIÓN DE LA TENSIÓN DE CARGA V dc V dc Figura. Esquema de conexión de un filtro actio serie Los filtros actios de conexión serie son controlados mediante tres estrategias diferentes de compensación: - Estrategia de control mediante la detección de la tensión de carga, con la finalidad de que el APF genere una tensión con el mismo contenido Esta estrategia pretende que el filtro actio genere una tensión igual a los armónicos de tensión de la carga de signo contrario. Esto es, = () CH LH Con esta estrategia para un armónico de orden H la tensión en el punto de acoplo común, PCC, es nula, con lo que si el objetio que se pretende alcanzar es que no existan armónicos en el PCC, a la ista del

3 circuito de la figura 2, se logra el objetio de compensación. No obstante, la detección de los armónicos de la tensión de carga depende en general de la sensibilidad de la instrumentación, así, la tensión que genera el APF para esta estrategia de compensación se puede expresar mediante la expresión = k LH (2) Donde k representa la relación entre el alor de la señal captada por el circuito de control y el alor de los armónicos de la tensión de carga. De forma genérica, k mostrará una dependencia con la frecuencia que aquí en una primera aproximación se considera constante. Según esto la tensión en el punto de conexión de la red endrá dado para un armónico cualquiera h H por la expresión V CCh = V k ) (3) Lh ( Según la expresión (3), cuando k =, en el punto de conexión común no existirá distorsión debido a la carga. Esto representa una condición de idealidad que ciertamente sería un objetio práctico imposible de alcanzar. 2.2 CONTROL MEDIANTE LA DETECCIÓN DE LA INTENSIDAD DE FUENTE Según esta estrategia de compensación la tensión generada por el filtro es proporcional a los armónicos de la intensidad de fuente, esto es = k (4) CH i SH Donde k es una constante de proporcionalidad. El filtro actio se comporta como una resistencia, de alor cero a la frecuencia fundamental y de alor k ohmios para las distintas frecuencias de la red. La tensión en el punto de conexión común para el armónico de orden h endrá dada por la expresión V ZSh = V (5) CCh Lh ( Z + k) Sh Cuando k=, la tensión será nula. Sin embargo, desde el punto de ista práctico esta constante debe ser finita. La elección de una alor adecuado de k es una cuestión no resuelta, ya que por un lado no puede ser muy grande para asegurar la estabilidad del sistema y por otro cuanto mayor sea su alor mejor característica de filtrado presentará. El punto fuerte de este tipo de control se basa en la realimentación de la corriente de fuente con lo que se actúa directamente sobre los armónicos de esa ariable de estado. Sin embargo, su punto débil se debe a la dificultad de fijar el alor de k, para lo que se ha de tener en cuenta que la ganancia sea lo más pequeña posible a las frecuencias armónicas presentes en el sistema, pero por otro lado, su alor estará limitado, ya que puede desestabilizar el sistema. 2.3 CONTROL HÍBRIDO Por último se considera la estrategia de compensación híbrida. Con esta estrategia la tensión generada por el filtro actio combina las dos estrategias anteriores, con lo que la tensión que debe generar el filtro actio es CH = k i k (6) SH La tensión en el punto de conexión a la red endrá dado por la expresión V CCH LH S ( k ) VLH ( Z + k) Z = (7) S El análisis de la expresión (7) permite deducir que es posible cancelar los armónicos de la tensión en el PCC con mayor facilidad que según las dos estrategias anteriores. En efecto, la presencia simultánea en el numerador del factor (-k ) y en el denominador (Z S +k) reducen, por un lado, la influencia del error en la detección de las tensiones armónicas de la carga, y por otro, permiten la utilización de un alor de k más pequeño. Un análisis del circuito eléctrico equialente de la figura 2 demuestra la superioridad de la segunda estrategia respecto de las dos primeras. Sin embargo, el análisis efectuado es un análisis cualitatio que sólo puede serir de referencia para un análisis de mayor formalidad en el marco de la teoría de control. En la siguiente sección se aborda esta cuestión. 3 ANÁLISIS MEDIANTE VARIABLES DE ESTADO Para la representación del sistema mediante ariables de estado se utilizará el circuito mostrado en la figura 3, el cual representa el modelo monofásico de la red de la figura, para cualquier armónico de orden h H distinto del fundamental, [2]. Los elementos que aparecen en la figura 3 son: R s, L s : resistencia e inductancia de fuente.

4 i s R s C R, L R : capacidad e inductancia del filtro para la eliminación de componentes de alta frecuencia debido a la conmutación PWM del conertidor. R R : resistencia que modela las pérdidas en el filtro actio, filtro pasio y transformador de acoplamiento. V L : tensión en los terminales de la carga no lineal L s L R CC Este sistema está caracterizado mediante una ecuación de estado de la forma x& = A x + B y = C x + D Donde el ector de estados es u + B 2 u + D 2 [ i i ] T S R C R i R + C - R R Figura 3. Modelo monofásico del circuito C L L (8) x = (9) La matriz A del sistema endrá dada por Rs Ls Ls Ls RR A = () L L L R R R C C B es el ector de alor T B = () L R Y por último el ector B 2 queda definido de la forma, B 2 = (2) L s Como ariable de salida se ha tomado la tensión en el punto de conexión común, CC, así la matriz C es u T V L [ ] Y finalmente D =[] y D 2 =[] C = (3) A continuación se analizarán cada una de las estrategias de compensación según el modelo de estado (8) Cuando se aplica la primera de las estrategias de control propuestas, la tensión u tomará el alor dado por la expresión (2), con lo que la ecuación de estado del sistema queda en la forma ( B2 B ) L x& = A x + (4) El modelo de estado representado por la ecuación (4) pone de manifiesto que la primera de las estrategias de compensación no modifica la dinámica del sistema original, esto es, no se en alterados la situación de los polos del sistema. Respecto de la tensión del PCC, el control por detección de los armónicos de la tensión de carga es un control en lazo abierto, de ahí que no interfiera en la estabilidad. Además, sus características de compensación sólo dependen de la sensibilidad de la instrumentación encargada de la detección de los armónicos de carga y la precisión del control PWM del conertidor de potencia; en esta estrategia no influye la ganancia de control k. Si bien esta característica puede significar una entaja. Realmente al tratarse de un control en lazo abierto adolece de los defectos propios de esta situación. Cuando se adopta la segunda de las estrategias, la señal de control u iene dada por u = k i S (5) En forma matricial se puede expresar de la forma u = K x (6) Donde la matriz K aquí adopta la forma La ecuación de estado es [ k ] K = (7) ( A + B K ) x B2 L x & = + (8) Este control modifica la matriz del sistema al realimentarlo por medio de una de sus ariables de estado realizándose un control por realimentación de estado.

5 La tercera estrategia combina las dos anteriores. En esta ocasión el modelo de estado iene caracterizado por la expresión ( A + B K ) x + ( B2 B ) L x& = (9) Ahora la nuea matriz del sistema toma la misma forma que el modelo correspondiente a la estrategia de detección de los armónicos de intensidad de fuente, y los armónicos de la tensión de carga interienen en la misma forma que la primera de la estrategia de compensación. El modelo presentado por la ecuación (9) es ciertamente una combinación de las estrategias preias. Si se aplica la primera estrategia de control se obtiene el mapa de polos y ceros que se muestra en la figura 5. Como se anticipó en el análisis preio, esta estrategia no modifica la matriz del sistema, por lo que los polos estarán situados en el mismo lugar que en el caso anterior. No ocurre lo mismo con los ceros, ya que si se pretende eliminar los armónicos en el lado de fuente será necesaria una baja ganancia a las frecuencias armónicas de interés. Estas frecuencias son las que incluye los armónicos más significatios. Para una carga no lineal típica se encuentran por debajo de 35 rad/s. En el diagrama de bode se obsera cómo la ganancia aría desde -72 db a bajas frecuencias, hasta -4 db a 35 rad/s. 4 APLICACIÓN A UN CASO PRÁCTICO Para erificar el comportamiento de las distintas estrategias se ha considerado el circuito de la figura, con los alores de los elementos indicados en la tabla. A continuación se realizará el análisis de estabilidad y el diseño del control a partir del modelo de estado presentado en la sección 3. Para los alores de la tabla, cuando la señal de control u es nula, el sistema tiene una ganancia a baja frecuencia de -6 db, con tres polos y tres ceros, situados según se muestra en la figura 4. Tabla. Valores de los elementos pasios L s R s L R R R C R. mh Ω 5 mh Ω 5 µf Pole-Zero Map.5 x i ο Ceros Polos i -+997i i Figura 4. Mapa de polos y ceros y diagrama de Bode, cuando la señal de control es nula En la segunda de las estrategias, la señal de control es proporcional a los armónicos de la corriente de fuente. Para la determinación de la constante de proporcionalidad se ha tenido en cuenta en primer lugar el criterio de la ganancia, es decir, que la ganancia en decibelios de la tensión en el PCC y la tensión de carga a las frecuencias armónicas de la tensión de fuente sea suficientemente pequeña. En este caso la ganancia K se fija en -4 db. El polinomio característico del sistema iene dado en función de k por la expresión ϕ( A) = det s I A = s +.5 x i i Figura 5. Mapa de polos y ceros y diagrama de Bode, cuando u=- L 3 Pole-Zero Map s 6 5 ( k) s k (2) Si tenemos en cuenta los alores de los ceros y la ganancia del sistema original, el alor de k que se obtiene es de k=98. En el diagrama de Bode que se muestra en la figura 6 se puede obserar que se cumple el objetio de -4 db de ganancia, sin embargo este alor de k inestabiliza el sistema, como se muestra en el mapa de polos y ceros, al tener un par de polos en el semiplano derecho.

6 Pole-Zero Map 2 x i Pole-Zero Map i --997i i x i i --997i i Figura 6. Mapa de polos y ceros y diagrama de Bode, cuando u=98 i s Para conocer cuál es el alor de k máximo que inestabiliza el sistema se aplica el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, al polinomio característico del sistema. El método muestra que se produce un cambio de signo cuando k=59. Para este alor, se obtienen dos polos complejos situados sobre el eje imaginario. Un alor de k por debajo nos asegurará la estabilidad, sin embargo se procurará situar los polos alejados del origen, de esa manera se reducirá el riesgo de inestabilidad. Otro aspecto que se ha tenido en cuenta al fijar la constante k es la elocidad de respuesta del sistema. Como solución se adopta un alor de k=4, con lo que los polos del sistema serán los mostrados en la figura 7. El sistema es estable, y la ganancia a bajas frecuencias es del orden de -32 db, aumentando hasta -25 db a una frecuencia de 35 rad/s. La estrategia híbrida corresponde al modelo de estado representado en la ecuación (9) y por lo tanto, los ceros coincidirán con aquellos correspondientes a la primera estrategia y los polos son los mismos que la segunda estrategia de compensación. El análisis resultante se presenta en la figura 8. Con la estrategia combinada se obtienen los resultados que se muestran en la figura 8, para un alor de k=4. Los polos son los mismos que en la segunda de las estrategias, siendo los ceros los obtenidos con la primera de ellas. En lo que respecta a la ganancia En el rango de frecuencia que estamos estudiando, disminuye, reducción que es más significatia a bajas frecuencias hasta -98 db. Esto permite disminuir la constante k y con ello la señal de control a generar. Si se fija k en, la ganancia a baja frecuencia disminuye hasta -8 db La primera estrategia es la que principalmente elimina los armónicos presentes en la salida. Con la segunda lo que se consigue es modificar la dinámica del sistema, y actuar sobre los errores en la generación de la tensión del filtro por parte de la primera. Con el control híbrido, alores más pequeños de k permiten lograr el objetio propuesto, eitando problemas de inestabilidad en el sistema. Figura 7. Mapa de polos y ceros y diagrama de Bode, cuando u=4 i s Pole-Zero Map.5 x i i Figura 8. Mapa de polos y ceros y diagrama de Bode, cuando u=4 i s - L Las tres estrategias se han aplicado, a niel de simulación, a un sistema trifásico, para ello, se ha utilizado Simulink y la librería SymPowerSystem de la simulación de sistemas eléctricos. Como carga del tipo HVS se han conectado tres rectificadores monofásicos con una capacidad de µf y una resistencia de 5 Ω en el lado dc. El resto de los parámetros son los mostrados en la tabla. En la figura 9 se muestra la forma de onda de la tensión en el punto de conexión a la red cuando el filtro actio no está conectado. La tasa de distorsión armónica (THD) de esta señal es de.7%. Los armónicos presentes son los impares, siendo los más significatios los de orden 3, 5, 7 y 9.

7 Time (s) Figura 9. Tensión en el punto de conexión cuando el filtro actio está desconectado Cuando se conecta el filtro actio la primera de las estrategias disminuye el contenido armónico de la tensión en el lado de fuente. La figura muestra la forma de onda. El THD se reduce hasta el 3.83% Time (s) Cuando se aplica la segunda de las estrategias con k=4, se obtiene para la tensión en el lado de fuente la forma de onda que se muestra en la figura. El THD en este caso es de.82%. Esta disminución es debida a que a altas frecuencias la ganancia es menor con esta estrategia que con la anterior. Para la estrategia híbrida se ha disminuido el alor de la constante k hasta, obteniéndose como resultado la respuesta mostrada en la figura 2. El THD obtenido es de.67%, alor inferior a la última de las estrategias con una constante k mucho menor Figura. Tensión en el punto de conexión cuando la estrategia de control es u=- L Time (s) Figura. Tensión en el punto de conexión cuando la estrategia de control es u=4i S Time (s) Figura 2. Tensión en el punto de conexión cuando la estrategia de control es u=i S - L 5 CONCLUSIONES Los armónicos generados por las cargas denominadas cargas productoras de armónicos del tipo fuente de tensión pueden ser compensadas por filtros actios de potencia de conexión serie. No obstante, sus características de funcionamiento dependen decisiamente del tipo de enfoque de compensación que se adopta para generar la tensión de referencia. En este artículo, inicialmente se han analizado desde el punto de ista eléctrico tres tipos de estrategias de compensación: detección de la tensión de carga, detección de la intensidad de fuente y control híbrido. El análisis eléctrico eidenció la superioridad del enfoque de control híbrido respecto de las dos estrategias preias. Si embargo, una aproximación de este tipo no permite conocer ningún aspecto sobre la estabilidad del sistema y no establece ningún criterio para la elección de los parámetros de diseño. Aquí se ha encontrado el modelo de estado de un sistema compensado mediante filtro actio serie y a partir de él se han analizado los tres tipos de estrategias de compensación. En el marco del espacio de estado se ha establecido la participación de las dos estrategias de compensación constituyentes en el control híbrido, y a partir de ahí se ha analizado el comportamiento dinámico del sistema y la elección de los parámetros de diseño. Finalmente, se han presentado los resultados de un caso práctico que ha permitido erificar la alidez del esquema propuesto. Agradecimientos Este trabajo está incluido en el proyecto una nuea técnica para reducir la distorsión armónica en instalaciones eléctricas mediante equipos de compensación actio, DPI24-35, financiado por la Comisión Interministerial de Ciencia y Tecnología CICYT del Ministerio de Ciencia y Tecnología de España.

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