Transformada de Laplace Descripción de un transformador

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Transformada de Laplace Descripción de un transformador"

Arturo Serrano Palma
hace 6 años
Vistas:

1 Transformada de Laplace Descripción de un transformador Néstor Jorge Dietrich Estudiante de Ingeniería en Computación Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina Marzo 2013 Resumen: En este informe se explicara el funcionamiento de un transformador y su aplicación para la distribución de energía eléctrica. La Transformada de Laplace es utilizada para reducir las ecuaciones diferenciales que surgen en el estudio de un modelo circuital que describe la distribución de energía eléctrica a unas pocas ecuaciones algebraicas sencillas. Palabras clave: transformador, transformada de Laplace, energía eléctrica. I. INTRODUCCIÓN El transformador es un dispositivo que permite modificar potencia eléctrica de corriente alterna con un determinado valor de tensión y corriente en otra potencia de casi el mismo valor pero, generalmente con distintos valores de tensión y corriente. Cuando se requiere transportar energía eléctrica, desde los centros de generación (Centrales eléctricas) a los centros de consumo, se eleva la tensión y se efectúa la transmisión mediante líneas aéreas o subterráneas con menor corriente, ya que la potencia en ambos lados del trasformador es prácticamente igual, lo cual reduce las pérdidas de transmisión. En la etapa de distribución se reduce la tensión a los valores normales mediante los transformadores adecuados. Debido a la resistencia de los conductores, conviene transportar la energía eléctrica a tensiones elevadas, lo que origina la necesidad de reducir nuevamente dichas tensiones para adaptarlas a las de utilización. La mayoría de los dispositivos electrónicos en hogares hacen uso de transformadores reductores conectados a las fuentes de poder de equipos de audio, video y computación. Los circuitos y sistemas lineales requieren del planteo y solución de sistemas de ecuaciones integro-diferenciales. La resolución de estas ecuaciones en el dominio del tiempo es un procedimiento sino complicado, al menos bastante tedioso, y por ello en su lugar se usan los métodos transformados. La principal ventaja es que el sistema de ecuaciones integro-diferenciales se transforma en un sistema de ecuaciones algebraicas que admiten un tratamiento más directo y elegante para obtener su solución. En un curso de análisis y diseño de circuitos eléctricos se ven la aplicación de transformaciones usadas en redes y sistemas lineales, conocida el tipo de excitación (señal senoidal, periódica o cualquier tipo), un tipo de transformación (Fasorial, Serie de Fourier, Transformada de Fourier o Transformada de Laplace) otorga un tipo de respuesta (parte estacionaria de la respuesta o la respuesta completa según el interés del análisis). La transformada de Laplace posibilita obtener la respuesta completa ante cualquier tipo de excitación. II. TRANSFORMADA DE LAPLACE. Sea f: R + R, es decir una función real definida para t 0, en un caso más general, una función compleja de variable real, f: R + C, f(t) = f r (t) + i f i (t), entonces, se define a la transformada de Laplace de f(t) y se representa con el símbolo L{f(t)} a la integral L st { f ( t)} = F( s) = f ( t) e dt 0 Si la integral existe, f(t) que es una función del tiempo se transforma en F(s) que es una función de la variable compleja s. Las ecuaciones diferenciales que describen a un circuito o sistema se transforman en ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia compleja lo que permite aplicar las herramientas del algebra lineal para encontrar y analizar las soluciones. Normalmente se consultan tablas que contienen los pares transformados más usuales y se aplican propiedades..

2 III. LEY DE LENZ-FARADAY. ACOPLAMIENTO INDUCTIVO. Sea Φ m el flujo magnético que atraviesa un circuito. La ley de Lenz-Faraday establece que si el flujo se modifica de cualquier modo, existe una fem (fuerza electro-motriz) en el circuito dada por. El flujo puede variarse de muchas formas, por ejemplo en el transformador la corriente que produce el flujo se hace variar, es decir, se emplean corrientes variables en el tiempo. Existe acoplamiento entre dos o más elementos bitermínales cuando la tensión o corriente de uno de los elementos es influenciada por las variables eléctricas de otros. El acoplamiento inductivo es el más común, dados dos inductores acoplados, a las inductancias de cada elemento en particular sin considerar el acoplamiento L 11 y L 22, se las denomina propias y los flujos asociados a estas inductancias son siempre positivos. Por otro lado, a las inductancias resultantes del acoplamiento se suponen de igual magnitud, es decir, los efectos del acoplamiento se consideran simétricos y entonces L 12 =L 21 =M llamada inductancia mutua. Figura 1: Modelo circuital de dos inductores acoplados. Para un par de inductores acoplados las expresiones generales para las tensiones son 1 2 En las ecuaciones que definen el modelo, se considera el signo positivo si el flujo propio L 1 * i 1 (t) y el flujo mutuo L 12 * i 2 (t) = M * i 2 (t) tienen mismo signo(se refuerzan uno con otro) y el negativo en caso que los flujos se opongan. IV. TRANSFORMADOR. COMPOSICION Y FUNCIONAMIENTO. Previamente se dijo que un transformador es un dispositivo que varía la tensión y la intensidad de la corriente con una pérdida de potencia despreciable. Figura 2: Modelo de un transformador compuesto con dos bobinados y un núcleo de hierro dulce. La figura muestra un transformador sencillo compuesto de dos bobinas conductoras (inductores) alrededor de un núcleo común de hierro dulce. La bobina por la que circula la corriente de entrada se denomina el primario

3 y la otra se denomina el secundario. Ambas pueden usarse como primario o secundario. La función del núcleo de hierro consiste en aumentar mucho el flujo en el caso de una corriente determinada y guiar dicho flujo de modo que prácticamente todo aquel que atraviese una vuelta o espira de una bobina atraviese todas las demás de ambas bobinas. Consideremos un generador de corriente alterna de fem aplicado al primario de N 1 vueltas con la bobina secundaria de N 2 vueltas abierta. Debido al nucleo de hierro existe un flujo grande que atraviesa cada bobina incluso en el caso de que circule una corriente pequeña. La corriente y la tensión en el primario están desfasadas 90 y la potencia media en el circuito primario es cero. La fem inducida en el circuito primario es = el secundario es = =. Así pues el flujo total que atraviesa.. Comparando estas ecuaciones vemos que = Como la fem aplicada es el valor negativo de la fem inducida se reescribe =. El transformador se denomina elevador si N 2 es mayor a N 1, de modo que la tensión de salida sea mayor que la de entrada. Si N 2 es menor que N 1 se denomina reductor. No hay corriente en el secundario debido a que está abierto. Si se aplica una resistencia en el circuito secundario de forma que quede cerrado, la corriente I 2 estará en fase con la tensión V 2. El transformador ideal tiene dos pares de terminales y se define por medio de las relaciones tensión-corriente dadas por = = 1 El transformador ideal se caracteriza por un solo parámetro n llamado relación de transformación. Este dispositivo ideal es pasivo pues transmite energía desde uno de sus accesos hacia el otro, pero no la almacena ni la disipa. Si se considera el acoplamiento entre las bobinas puede trabajarse con un modelo menos abstracto, en este caso las relaciones v-i son 1 = ± () 2 = ± () Los parámetros L 1, L 2 y M son los que caracterizan este modelo. V. MODELO CIRCUITAL DE DISTRIBUCION ELECTRICA. ANALISIS DEL MISMO. La figura 3 presenta una burda descripcion de como se genera energia electrica y esta es llevada hasta un punto final de consumo a traves de cables conductores. Si se efectúa un análisis por mallas donde i 1 (t) es la corriente de malla de la malla izquierda, i 2 (t) de la malla del centro e i 3 (t) de la malla de la derecha se tiene analizando bajo las leyes de Kirchoff: = = 0 + = 0 Bajo el campo temporal se dificulta la resolución, la transformada de Laplace nos lleva al campo transformado con las siguientes ecuaciones: = = = 0

4 Figura 3: Circuito eléctrico que modela la distribución de energía eléctrica. Si se supone nula las condiciones iniciales, es decir, en t=0 todas las corrientes son nulas entonces se reduce a esto: Por medio de técnicas de despeje y reemplazo se logra alcanzar la siguiente relación matemática para las ecuaciones anteriores (los pasos seguidos en el despeje no se detallan en el informe porque escapan al objetivo del mismo): VI. CONCLUSIONES Por inspección se ve que el rol importante que juegan las inductancias tanto propias como inducidas dado que predominan en la expresión precedente, luego si el modelo circuital analizado describiese en forma óptima los comportamientos eléctricos de interés entonces una aplicación para dicha expresión matemática seria evaluar los distintos comportamientos en la relación tensión-corriente descrita por la ecuación dando distintos valores a las inductancias propias e inducidas.

5 La anti-transformada de Laplace posibilitaría obtener la razón de ganancia/perdida en lo respectivo a tensión corriente definidas. Notar como los teoremas del valor inicial y final podrían ser aplicados si no se suponen nulas las condiciones iniciales. El análisis del modelo circuital en si no es difícil, lo importante es saber interpretar las expresiones matemáticas obtenidas en el campo transformado o en el campo temporal según el interés. VII. REFERENCIAS. [1]David e. Johnson, Electric Circuit Analisys 3rd edition, Prentice hall, chapter 15. [2]Tipler a. Paul, Fisica 2 ed, edit. Reverté, pag [3]Doñate Pedro, Analisis y Diseño de circuitos: notas de curso, ed 2007, pag

Documentos relacionados

INDICE Capitulo 1. El concepto del circuito magnético Capitulo 2. Excitación de estructuras ferromagnéticas con corriente directa

INDICE Capitulo 1. El concepto del circuito magnético 1-1. introducción 1 1-2. algunas leyes básicas de electrostática 3 1-3. algunas leyes básicas de magnetostática 8 1-4. otras conclusiones útiles en