PROPUESTA DE OBJETIVOS GENERALES Y DE CONTENIDOS COMUNES OBLIGATORIOS PARA EL GRADO EN MATEMÁTICAS COMISIÓN A

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1 PROPUESTA DE OBJETIVOS GENERALES Y DE CONTENIDOS COMUNES OBLIGATORIOS PARA EL GRADO EN MATEMÁTICAS COMISIÓN A 25 DE NOVIEMBRE DE 2003 INTRODUCCIÓN La Comisión A del proyecto financiado por la ANECA para la elaboración del Libro Blanco para la futura titulación de Matemáticas se ha reunido en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid los días 16 de Septiembre, 30 y 31 de Octubre y 24 de Noviembre de 2003 con el fin de elaborar un primer borrador relativo a los objetivos del título y a los contenidos comunes obligatorios incluyendo los correspondientes objetivos, contenidos mínimos y destrezas asociados a estos (puntos 11 y 12 de la convocatoria). Los asistentes a (algunas de) dichas reuniones han sido: Universidad de Málaga: o Enrique Caro o Francisco José Palma Universidad de Granada: o Francisco Urbano o Javier Pérez Universidad Autónoma de Barcelona o Anna Cima o Frederic Utzet o Juan Jesús Donaire Universidad Complutense de Madrid o Raquel Mallavibarrena o Juan Tejada Universidad del País Vasco o Javier Duoandikoetxea o Mikel Lezaun Universidad de Cantabria o Laureano González o Fernando Etayo Como procedimiento de trabajo se decidió tomar como punto de partida para la discusión la definición de bloques temáticos - Álgebra Lineal - Cálculo Diferencial e Integral - Matemática Discreta - Informática - Estructuras Algebraicas - Geometría - Probabilidad y Estadística

2 - Ecuaciones Diferenciales - Variable Compleja - Cálculo Numérico y los contenidos que aparecen en el Anexo 5 del documento de trabajo elaborado por el Grupo de Matemáticas del Proyecto CRUE y solicitar, con anterioridad al 24 de Octubre, todo tipo de comentarios y sugerencias a los participantes en el proyecto, sobre: - la propia definición del conjunto de bloques temáticos (inclusión, supresión, agrupamiento, etc.), - los contenidos mínimos obligatorios que deben aparecer dentro de cada bloque temático, y - las destrezas o competencias asociadas a esos contenidos. Analizando los comentarios y sugerencias recibidas (41 propuestas procedentes de 18 universidades) se acordó definir como bloques temáticos asociados a los contenidos comunes obligatorios los que, a continuación, se enumeran: Análisis Matemático Álgebra Lineal y Geometría Álgebra y Matemática Discreta Topología y Geometría Diferencial Probabilidad y Estadística Ecuaciones Diferenciales Métodos Numéricos y Computación Matemática Optimización Modelización La propuesta de objetivos generales del título de Licenciado en Matemáticas y la relación de bloques temáticos para los contenidos comunes obligatorios junto con la correspondiente propuesta de objetivos específicos, contenidos mínimos y destrezas aparece en el anexo a este documento. Desde la Comisión A se quiere destacar que esta propuesta (o la que surja tras las discusiones en la Comisión B y en el Plenario del Proyecto) podrá estar sujeta a modificaciones en función de: - la clarificación del marco normativo (via la correspondiente publicación en el BOE del Real Decreto sobre el Grado) en cuanto a la duración del Grado (180 ó 240 créditos europeos) y a los porcentajes máximo y mínimo de troncalidad, - el estudio que la Comisión A haga de la asignación de créditos europeos a los contenidos comunes obligatorios, y - el estudio que la Comisión B realice tras el análisis de las encuestas remitidas a los licenciados en Matemáticas de las últimas cinco promociones. Asimismo, y desde la Comisión A, se quiere indicar que no se ha contemplado, dentro de las destrezas de carácter instrumental, la inclusion del inglés pero que se estima probable que, aunque sea de forma transversal, debiera, al menos, ser considerada su inclusión, a nivel de discusión.

3 ANEXO 25 de Noviembre de 2003 Objetivos generales - Conocer la naturaleza, métodos y fines de los distintos campos de la Matemática junto con cierta perspectiva histórica de su desarrollo. - Reconocer la presencia de la Matemática subyacente en la Naturaleza, en la Ciencia, en la Tecnología y en el Arte. Reconocer a la Matemática como parte integrante de la Cultura. - Desarrollar las capacidades analíticas, la intuición y el pensamiento lógico y riguroso a través del estudio de la Matemática. - Capacitar para la utilización de los conocimientos teóricos y prácticos adquiridos en la definición y planteamiento de problemas y en la búsqueda de sus soluciones tanto en contextos académicos como profesionales. - Preparar para posteriores estudios especializados, tanto en una disciplina matemática como en cualquiera de las ciencias que requieran buenos fundamentos matemáticos. Destrezas de carácter general 1. Destrezas teóricas - Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitirlas. - Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática. - Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos. - Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, ) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con contraejemplos.

4 2. Modelización y resolución de problemas - Resolver problemas de Matemáticas. - Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan. - Planificar la resolución de un problema en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos. 3. Destrezas instrumentales - Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, de cálculo numérico y simbólico y de visualización gráfica para experimentar en Matemáticas y resolver problemas. - Desarrollar programas que resuelvan problemas matemáticos utilizando para cada caso el entorno computacional adecuado. - Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas.

5 Análisis Matemático - Conocer y saber utilizar los conceptos y los resultados fundamentales del Cálculo Diferencial e Integral para funciones de una y varias variables reales, así como del Cálculo Vectorial clásico. - Conocer los fundamentos de la teoría de funciones de una variable compleja. - Manejar con soltura distintas clases de funciones que son la base de la modelización de fenómenos tanto continuos como discretos. - Sucesiones y series numéricas. - Continuidad de funciones de una y varias variables reales. - Diferenciación de funciones de una y varias variables reales. - Sucesiones y series de funciones. - Integración de funciones de una y varias variables. - Integrales de línea y de superficie. - Funciones analíticas de variable compleja. - Teorema de Cauchy. Residuos. - Manipular desigualdades, analizar y dibujar funciones, deducir propiedades de una función a partir de su gráfica, comprender y trabajar intuitiva, geométrica y formalmente con las nociones de límite, derivada e integral. - Calcular integrales de funciones de una variable utilizando la Regla de Barrow y con ayuda de cambios de variable y de la integración por partes, incluyendo al menos los casos de funciones racionales y trigonométricas. - Calcular derivadas de funciones mediante la regla de la cadena, el Teorema de la Función Implícita, etc. - Saber plantear y resolver integrales de funciones de varias variables, integrales curvilíneas e integrales de superficie. Resolver problemas que impliquen el planteamiento de integrales (longitudes, áreas, volúmenes, centros de gravedad, ). - Utilizar en aplicaciones a otros campos los conceptos asociados a las derivadas parciales, a las integrales de línea y de superficie, y a las integrales de dos o tres variables.

6 - Calcular y estudiar extremos de funciones. - Utilizar la relación existente entre las funciones holomorfas y las funciones analíticas. - Calcular residuos y utilizarlos para la determinación de integrales reales. Álgebra Lineal y Geometría - Asimilar y manejar con toda fluidez los principales conceptos del Álgebra Lineal y de las Geometrías Afín y Euclídea. - Conocer y saber utilizar los conceptos básicos de la Geometría Métrica del plano y del espacio. - Proporcionar la capacidad de realizar la traducción (y la correspondiente resolución), en términos de matrices, de todos aquellos problemas que surgen de la manipulación de los espacios vectoriales y de las aplicaciones lineales. - Geometría elemental del plano y del espacio. - Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. - Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Autovalores y autovectores. - Aplicaciones bilinéales y formas cuadráticas. Diagonalización. - Espacios afines y euclídeos. Transformaciones. Cónicas y cuádricas. - Saber resolver problemas geométricos del plano, y saber elegir los métodos sintético y analítico según convenga más en cada caso. - Clasificar las isometrías del plano y del espacio determinando su tipo y elementos característicos. - Operar con vectores, bases, subespacios y aplicaciones lineales. - Resolver sistemas de ecuaciones lineales. - Clasificar matrices y aplicaciones lineales según diversos criterios (equivalencia, semejanza, congruencia): Diagonalización de endomorfismos y Forma Canónica de Jordan. Diagonalización de formas cuadráticas y cálculo de signatura.

7 - Operar con puntos, vectores, distancias y ángulos en espacios afines y euclídeos así como con los correspondientes sistemas de referencia, subespacios y transformaciones. - Clasificar cónicas y cuádricas y hallar sus elementos notables Álgebra y Matemática Discreta - Conocer y manejar conceptos y resultados básicos de aritmética, lógica y combinatoria. - Conocer las propiedades de las estructuras correspondientes a los conjuntos de números enteros, racionales, reales y complejos, de los polinomios en una y varias variables y manejar todo tipo de expresiones algebraicas. - Manejar las nociones básicas de la teoría de conjuntos y aplicaciones, las propiedades elementales de las estructuras algebraicas básicas, así como de las correspondientes subestructuras y cocientes y conocer ejemplos de todas ellas. - Conjuntos, relaciones y aplicaciones. Combinatoria. - Teoría elemental de grafos. - Propiedades algebraicas de Z, Q, R y C y de los polinomios en una y varias variables. - Grupos. Subgrupos y Teorema de Lagrange. - Anillos e ideales: divisibilidad y factorización. - Cuerpos: resolución de ecuaciones algebraicas. - Plantear problemas de ordenación y enumeración y utilizar técnicas eficientes para su resolución. - Manejar el lenguaje proposicional, siendo capaz de traducir a éste la veracidad o falsedad de cualquier afirmación sobre conjuntos y aplicaciones. - Calcular el máximo común divisor y la factorización de números enteros y polinomios. - Operar en los grupos más importantes (cíclicos, diédricos, simétricos y abelianos).

8 - Construir grupos y anillos cociente, operar en ellos y calcular inversos modulares. - Manipular expresiones que involucren elementos algebraicos y transcendentes. Topología y Geometría Diferencial - Conocer y saber utilizar los conceptos básicos de la Topología General, el grupo fundamental y las superficies compactas. - Usar el Calculo Diferencial e Integral y la Topología para el estudio de curvas y superficies en el espacio. - Espacios métricos y topológicos. Compacidad y conexión. - Grupo fundamental. Superficies compactas. - Curvas en el espacio. Triedro de Frenet. - Superficies en el espacio. Curvatura. - Utilizar los conceptos básicos asociados a las nociones de espacio métrico y espacio topológico: compacidad y conexión. - Construir nuevos ejemplos de espacios topológicos usando las nociones de subespacio topológico, espacio producto y espacio cociente. - Calcular el grupo fundamental de espacios sencillos. - Reconocer topológicamente las superficies compactas y su clasificación. - Reconocer la naturaleza de los puntos de una curva en R 3, sabiendo calcular los objetos geométricos asociados al punto (curvatura y torsión). - Reconocer la naturaleza de los puntos de una superficie en R 3, sabiendo calcular los objetos geométricos asociados al punto (curvatura de Gauss, curvatura media y curvaturas principales). - Aplicar las integrales de línea y superficie para reconocer algunas propiedades globales de curvas y superficies.

9 Probabilidad y Estadística - Desarrollar la intuición sobre fenómenos aleatorios y su tratamiento. - Comprender y manejar los principios básicos del Cálculo de Probabilidades. - Comprensión de los conceptos básicos de la Estadística Matemática. - Manejar y comprender los distintos métodos y enfoques de la inferencia estadística, reconociendo su aplicabilidad a problemas reales. - Espacios de probabilidad. - Variables y vectores aleatorios: características y modelos. - Leyes de los grandes números y Teorema Central del Límite. - Estadística descriptiva y análisis de datos. - Inferencia estadística y contraste de hipótesis. - Modelo lineal. - Calcular probabilidades en distintos espacios. - Manejar variables aleatorias usuales y reconocer situaciones reales en las que aparecen. - Utilizar del concepto de independencia en el Cálculo Multivariante. - Utilizar las aplicaciones del teorema central del límite. - Usar técnicas de generación de números pseudoaleatorios. - Sintetizar y analizar descriptivamente conjuntos de datos. - Manejo de los métodos de máxima verosimilitud, de Bayes y de mínimos cuadrados para la construcción de estimadores. - Determinar las propiedades básicas de los estimadores puntuales, de intervalo y de contraste de hipótesis. - Plantear y resolver problemas de contraste de hipótesis en una o dos poblaciones. - Construir y analizar modelos lineales.

10 - Utilizar aplicaciones informáticas que implementen técnicas estadísticas. Ecuaciones Diferenciales - Conocer la relación entre problemas reales y sus modelos matemáticos en términos de Ecuaciones Diferenciales. - Conocer y saber utilizar los conceptos y resultados clásicos relacionados con las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, con especial énfasis en el caso lineal. - Comprender la imposibilidad de resolver de manera exacta todas las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y la necesidad de utilizar métodos numéricos y enfoques cualitativos para su resolución. - Métodos elementales de resolución de ecuaciones de primer y segundo orden. - Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de primer orden. Sistemas con coeficientes constantes. - Teoremas de existencia y unicidad de solución para el problema de Cauchy. - Sistemas autónomos. Plano de fases. - Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales. - Aplicar los principales métodos para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Ecuaciones en Derivadas Parciales sencillas. - Resolver sistemas lineales de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. - Traducir algunos problemas reales en términos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Ecuaciones en Derivadas Parciales. - Extraer información cualitativa de la solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria, sin necesidad de resolverla: puntos críticos, órbitas, comportamiento asintótico, etc.

11 Métodos Numéricos y Computación Matemática - Conocer las bases para la correcta utilización de la Informática. - Conocer un lenguaje de programación estructurada y saberlo aplicar a la resolución de problemas científico-técnicos. - Conocer las técnicas básicas de diseño y análisis de algoritmos y la interrelación entre la informática y las matemáticas. - Saber utilizar aplicaciones informáticas para la resolución de problemas científico-técnicos. - Tener criterios para valorar y comparar distintos métodos en función de los problemas a resolver. - Elementos, conceptos y herramientas fundamentales de la Informática. - Lenguaje de programación estructurado. - Diseño y análisis de algoritmos. - Representación de los números en el ordenador. Errores. - Resolución de sistemas de ecuaciones lineales y cálculo de autovalores. - Resolución de ecuaciones y sistemas no lineales. - Interpolación y ajuste de funciones. Derivación e integración numéricas. - Resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias. - Utilizar el formalismo matemático para el diseño y verificación de programas informáticos. - Implementar algoritmos en un lenguaje de programación estructurado. - Calcular analítica y experimentalmente el coste de un algoritmo. - Programar en el ordenador métodos numéricos y aplicarlos de manera efectiva. - Utilizar aplicaciones informáticas que implementen métodos numéricos. - Usar algoritmos para resolver numéricamente: sistemas de ecuaciones lineales de tamaño medio y alto, problemas de valores propios, ecuaciones y sistemas no lineales, problemas de interpolación y ajuste de datos, derivadas e integrales definidas.

12 - Usar algoritmos elementales para resolver numéricamente Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Optimización - Presentar los conceptos, modelos y técnicas básicas de la Investigación Operativa. - Conocer y saber aplicar las técnicas básicas de optimización lineal, entera, combinatoria y no lineal. - Utilizar aplicaciones informáticas para la resolución de problemas de Investigación Operativa. - Modelos, técnicas y aplicaciones de la Investigación Operativa. - Programación lineal y entera. - Optimización en redes. - Programación no lineal. - Clasificar y modelizar problemas típicos de la Investigación Operativa. - Plantear y resolver problemas de programación lineal (Método del Simplex) y de programación entera (ramificación y acotación y planos de corte). - Plantear y resolver manualmente problemas de optimización en redes. - Plantear y resolver problemas de optimización no lineal a partir de las condiciones de optimalidad. - Utilizar métodos numéricos para resolver problemas de optimización no lineal. - Utilizar aplicaciones informáticas que implementan métodos de optimización.

13 Modelización - Introducción al estudio y aplicación de las técnicas y métodos matemáticos básicos utilizados en otros campos de la ciencia y la tecnología (Física, Ciencias Experimentales, Economía, Ingeniería, Diseño Industrial, etc.). - Análisis de problemas y construcción de modelos matemáticos. - Resolución y validación de modelos matemáticos. - Extracción de conclusiones. - Con la ayuda de diversos ejemplos y casos prácticos, desarrollar la capacidad de identificar y describir matemáticamente un problema, estructurar la información disponible y seleccionar un modelo adecuado entre los existentes, o bien generar su propio modelo, construyendo representaciones matemáticas de la realidad observada. - Desarrollar la capacidad de contrastar la solución matemática obtenida, tras la resolución del modelo, en términos de su ajuste al fenómeno real. - Relacionar los contenidos matemáticos con la resolución de problemas prácticos procedentes de distintos ámbitos del conocimiento.