ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Y LÁMINAS

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3 ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS Y LÁMINAS José Ángel Jurado Albarracín-Martinón Dr. Ingeniero Industrial Profesor Titular del Área de M. M. C. y T. E. Santiago Hernández Ibáñez Dr. Ingeniero de Caminos Canales y Puertos Catedrático del Área de M. M. C. y T. E. Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la Universidade da Coruña

4 3ª Edición. Septiembre ª Edición. Diciembre 2004 Edita: Andavira Editora Vía Edison 33-35, Pol. Ind. do Tambre Santiago de Compostela Imprime: Tórculo Comunicación Gráfica, S.A. I.S.B.N.: Dep. Legal: C

5 Este libro está dedicado a Bego Pilar, Guillermo, Carlos y Daniel

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7 1 INTRODUCCIÓN Placas y láminas son dos tipos estructurales fundamentales en la historia de la ingeniería y su empleo es muy amplio en distintos ámbitos tecnológicos como la ingeniería civil, aerospacial, o la automovilística. Las estructuras laminares ya fueron usadas en el albor del primer milenio, en Roma y han servido desde esa época para proyectar las cúpulas de los recintos de uso religioso. Desde la aparición del acero a finales del siglo XVIII, se utilizaron para todo tipo de recipientes a presión, incluyendo los de las máquinas de vapor, que suponen el emblema más rotundo de la revolución industrial que ha dado lugar a la sociedad actual. Desde entonces, en estos dos últimos siglos, las láminas han sido protagonistas también en cubiertas curvas, grandes instalaciones, torres de refrigeración de centrales térmicas, o depósitos de fluidos. Por su parte las placas han servido, en acero o en hormigón, como estructura de cubierta, en muros de contención o en losas de cimentación. También han sido el tipo estructural por antonomasia en el diseño de tableros de puentes, donde se ha hecho amplio uso de ellas. Ambas tipologías han tenido en el pasado los inconvenientes de su dificultad de cálculo. En el caso de las placas la solución tradicional para obtener el campo de movimientos verticales ha sido la utilización de desarrollos en serie de Fourier asociados al tipo de condiciones de contorno y al sistema de coordenadas elegido, que dependía de la geometría de la estructura. En las láminas, es posible encontrar soluciones del comportamiento en membrana, es decir en ausencia de flexiones, para determinada geometría, condiciones de contorno y tipos de carga. En el resto de los casos la aparición de flexiones hace muy difícil encontrar una solución analítica al problema y sólo en algunos supuestos como en cilindros con carga axisimétrica pueden hallarse expresiones explícitas mediante desarrollos en serie para la solución del problema. 1

8 Actualmente las técnicas numéricas, basadas en métodos de elementos finitos, permiten abordar de forma generalizada el análisis estructural de placas o láminas de cualquier geometría solicitadas por los tipos de carga que se desee, por lo que las dificultades pretéritas pueden considerarse superadas. Sin embargo y de manera previa al estudio de dichas técnicas numéricas, que necesariamente deben estar implementadas en un código de ordenador, resulta conveniente conocer los métodos analíticos, pues permiten entender adecuadamente las ecuaciones que rigen el comportamiento estructural de estas tipologías, descubrir el grado de utilidad de esas técnicas y su adecuación a los problemas reales. Todo ello es lo que se describe a lo largo de las páginas de este libro. Su contenido está dividido en ocho capítulos. El primero arranca planteando el problema de la flexión de placas en coordenadas cartesianas frente a cargas perpendiculares a su plano. En el capítulo 2 se desarrolla la solución del problema obtenido por Navier para placas rectangulares con cuatro bordes apoyados y se adjuntan los resultados que resultan para diferentes tipos de cargas. El capítulo 3 está encomendado al planteamiento de Levy-Nadai para placas con dos bordes apoyados y se adjunta la particularización de la solución para distintas condiciones de contorno y varios casos de carga. La flexión de placas en coordenadas polares se aborda en el capítulo 4 y en él se muestra tanto la solución de la ecuación que gobierna la deformación de la placa como los resultados para ejemplos concretos. En el capítulo 5 la formulación de la flexión de placas se amplía al incluir cargas en su plano medio. Ello da lugar a un planteamiento más completo que permite identificar los problemas de inestabilidad elástica asociados al pandeo por compresión, y ello se ha llevado a cabo tanto para placas rectangulares como de geometría circular. El último capítulo de placas es el 6 en donde se explican métodos basados en teoremas energéticos. El estudio de las estructuras laminares se inicia en el capítulo 7, donde se plantean las condiciones en que puede establecerse un estado de membrana, y se desarrolla el planteamiento correspondiente hasta obtener las ecuaciones que gobiernan el comportamiento estructural. Seguidamente, en el capítulo 8 se informa de los casos en que debido a la geometría, tipos de carga y condiciones de enlace puede obtenerse 2

9 una respuesta resistente sin flexiones. Cúpulas cilíndricas, depósitos cónicos o esféricos, entre otros ejemplos aparecen resueltos. El capítulo 9 está dedicado a resolver láminas con geometría y cargas axisimétricas ya que en ellas, aunque debe contarse con la aparición de flexiones, puede obtenerse una solución con expresiones explícitas. El caso de depósitos cilíndricos solicitado por diferentes tipos de cargas es analizado de forma amplia dada la importancia que revista desde el punto de vista práctico. Por último, en la presente edición se ha añadido el capítulo 10 que contiene una colección de problemas de placas y láminas resueltos con los métodos explicados a lo largo del texto y que se espera supongan una ayuda a los estudiantes que cursan esta materia en las grados de ingeniería. Cualquier libro como este es deudor del clásico Teoría de placas y láminas de Timoshenko y Woinowsky-Krieger y el hecho de que esté actualmente fuera de edición y no existan otras referencias en castellano nos llevó a plantear la necesidad de esta publicación. Buena parte del contenido del texto corresponde a teorías y formulaciones bien conocidas y asentadas en el ámbito del análisis de estructuras. Por ello es difícil ser original al tratar estos temas. Sin embargo a pesar de ello se ha intentado dar un tratamiento a los temas que lo distinga de otras publicaciones previas. Para ello se ha dado gran importancia a la información de tipo fotográfico, ilustrando con construcciones reales los diferentes tipos estructurales que se resuelven a lo largo de estas páginas; adicionalmente se han adjuntado soluciones de algunos problemas específicos que sólo se encuentran en textos muy especializados. Asimismo a los resultados de los métodos descritos en este texto se han incorporado resultados gráficos correspondientes a soluciones obtenidas con modelos estructurales de elementos finitos para que puedan hacerse comparaciones entre ambos planteamientos. Por todo ello esperamos que sea de utilidad para todos aquellos que quieran acercarse al estudio del comportamiento resistente de estos dos tipos estructurales, que están tan presentes en la práctica profesional de la ingeniería y la arquitectura. La Coruña Marzo de

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11 ÍNDICE Capítulo 1 Flexión de placas delgadas en coordenadas cartesianas 1.1 Introducción Hipótesis básicas Ecuaciones de compatibilidad entre deformaciones y movimientos Ecuaciones de comportamiento. Relaciones entre las tensiones y la flecha Esfuerzos por unidad de longitud Ecuaciones de equilibrio Ecuación diferencial de la flexión de placas Condiciones de contorno 25 Capítulo 2 Placas rectangulares apoyadas en sus cuatro lados 2.1 El método de Navier Placa rectangular apoyada en el contorno con carga uniforme Placa rectangular apoyada en el contorno con carga sinusoidal Placa rectangular apoyada en el contorno cargada en un rectángulo interior Placa rectangular apoyada en el contorno con carga concentrada 46 4

12 2.6 Placa rectangular apoyada en el contorno con una distribución triangular de carga Placa en forma de triángulo rectángulo apoyada en el contorno y solicitada por una carga concentrada Ejercicios propuestos 51 Capítulo 3 Placas rectangulares apoyadas en dos lados opuestos 3.1 El método de Lévy-Nádai Placa con dos bordes opuestos apoyados y los otros dos empotrados, cargada sinusoidalmente Placa cargada uniformemente con tres lados apoyados y uno libre Placa cargada uniformemente con dos lados opuestos apoyados y vigas en los otros dos Ejercicios propuestos 68 Capítulo 4 Flexión de placas delgadas en coordenadas polares 4.1 Introducción Ecuación de la flexión de placas en coordenadas polares Expresiones de los esfuerzos en polares Solución de la ecuación diferencial de la flexión de placas en polares Placa circular con variación lineal de carga Flexión simétrica de placas circulares Placa circular empotrada con carga uniforme Placa circular uniformemente cargada y apoyada en una circunferencia interior Ejercicios propuestos 91 5

13 Capítulo 5 Pandeo de placas delgadas 5.1 Flexión de placas con cargas en su plano medio Solución de Navier en la flexión de placas con cargas en su plano medio Pandeo de placas apoyadas en los cuatro bordes Pandeo de placas con varias condiciones de contorno Pandeo de placas circulares Ejercicios propuestos 113 Capítulo 6 Métodos energéticos del cálculo de placas 6.1 Energía de deformación Teoría de la línea de plastificación Placa cuadrada simplemente apoyada con carga uniforme Placa rectangular simplemente apoyada con carga uniforme Ejercicios propuestos 126 Capítulo 7 Teoría de membrana en láminas de revolución 7.1 La lámina como elemento estructural Tipos de láminas Aplicación de la teoría de membrana Esfuerzos de membrana en las láminas de revolución Deformaciones en las láminas de revolución Ejercicios propuestos 145 6

14 Capítulo 8 Cálculo de diversos tipos de láminas de revolución 8.1 Introducción Cilindros circulares Conos circulares Depósitos cilíndricos a presión Depósitos esféricos a presión Depósitos cilíndricos para líquidos Depósitos cónicos para líquidos Depósitos esféricos para líquidos Cúpulas esféricas Ejercicios propuestos 167 Capítulo 9 Flexión axisimétrica de láminas cilíndricas 9.1 Introducción Ecuaciones de la flexión en cilindros Cilindro sometido a cargas axisimétricas en un extremo Flexión de depósitos cilíndricos para líquidos Ejercicios propuestos 183 Capítulo 10 Ejercicios resueltos 10.1 Introducción Ejercicios de placas rectangulares Ejercicios de placas circulares Ejercicios de pandeo de placas Ejercicios de láminas 225 7

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16 1 FLEXIÓN DE PLACAS DELGADAS EN COORDENADAS CARTESIANAS 1.1 INTRODUCCIÓN Muy diversas estructuras se comportan de acuerdo con la teoría de placas. Los forjados de los edificios, los tableros de muchos puentes (figura 1.1), diversos tipos de cimentaciones, losas, compuertas y por supuesto gran cantidad de cubiertas son algunos ejemplos característicos dentro de la Ingeniería Civil. Figura 1.1 Colocación de una losa en un tablero de puente atirantado de Boston. 9

17 FLEXIÓN DE PLACAS DELGADAS EN COORDENADAS CARTESIANAS Capítulo 1 Las placas se diferencian de otros elementos estructurales por su geometría plana, en ellas una dimensión, el espesor, es mucho menor que las otras dos. Se define el plano medio de la placa como aquél que divide al espesor h en dos partes iguales. Por tanto el espesor se mide en dirección perpendicular a dicho plano. Algunos autores consideran que una placa es delgada cuando su espesor es 20 veces menor que la longitud más pequeña de las otras dos dimensiones planas. El análisis de la mayoría de las configuraciones de placas se realiza resolviendo una ecuación diferencial que depende de la flecha de la placa, de las cargas y de la rigidez. La flecha es el movimiento en dirección perpendicular al plano medio de la placa y es la solución de la ecuación diferencial. Los esfuerzos son el resultado de la integración de las tensiones a lo largo del espesor de la placa y se pueden calcular a partir de la flecha. En este capítulo se definen primero las hipótesis básicas que permiten el cálculo analítico de placas, después se deducen las expresiones de los esfuerzos en función de la flecha de la placa y, aplicando las ecuaciones de equilibrio, se llega a establecer la ecuación diferencial que rige la flexión de placas delgadas en coordenadas cartesianas. Por último se establecen las diferentes condiciones de contorno existentes en placas rectangulares. Este planteamiento es el más habitual y es el que siguen autores como (Timoshenko y Wonowsky 1959) o más recientemente (Jawad 1994). 1.2 HIPÓTESIS BÁSICAS Análogamente a como se establecen en el análisis de estructuras de barras las hipótesis de Navier que hacen referencia a las relaciones entre las diferentes dimensiones, la magnitud de los movimientos, las características de la deformación y la magnitud de algunas tensiones, también en las placas se asumen una serie de 10

18 Capítulo 1 FLEXIÓN DE PLACAS DELGADAS EN COORDENADAS CARTESIANAS consideraciones que facilitan la resolución de las ecuaciones y que se conocen con el nombre de hipótesis de Kirchhoff. Z pxy (,) dx dy h/2 h/2 X b a Y Figura 1.2 Placa rectangular. En la figura 1.2 aparece una placa delgada rectangular, de dimensiones a x b, definida en unos ejes cartesianos y cargada con una fuerza distribuida transversal p(x,y). En el análisis lineal de una placa a flexión como ésta se consideran las siguientes hipótesis: 1º) El material elástico y lineal. 2º) El espesor es mucho más pequeño que las otras dos dimensiones de la placa. 3º) No hay deformación en el plano medio de la placa permaneciendo neutro durante la flexión. 4º) Se asumen pequeñas deformaciones y por tanto la flecha de la placa será pequeña en comparación con el espesor. También serán pequeños los giros del plano medio y se supondrán despreciables frente a la unidad. 5º) Los puntos situados inicialmente en una normal respecto al plano medio de la placa permanecen después de la flexión normales a la superficie media que representa la deformada de dicho plano. 11

19 FLEXIÓN DE PLACAS DELGADAS EN COORDENADAS CARTESIANAS Capítulo 1 6º) La placa es incompresible a lo largo del espesor y las tensiones normales en dirección perpendicular a la placa son despreciables. Si no se cumple la segunda hipótesis se habla de placas gruesas y deja de ser válida esta formulación. Cuando hay cargas en el plano medio de la placa, la tercera hipótesis deja de ser válida y es necesario tener en cuenta el efecto que éstas producen sobre la flexión. El incumplimiento de la cuarta hipótesis hace que se hable de placas delgadas con grandes flechas. La quinta hipótesis es equivalente a despreciar el efecto de los esfuerzos cortantes en la deformación de la placa, lo que es aceptable excepto en algunos casos como pueden ser las placas con agujeros. Cuando se considera esa deformación el modelo de análisis se denomina de Reissner (1945) Mindlin (1951). Por último, si no se cumple la sexta hipótesis habría que analizar la placa como un problema general de elasticidad tridimensional. 1.3 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD ENTRE DEFORMACIONES Y MOVIMIENTOS Se estudiará a continuación el desplazamiento debido a la flexión de la placa que tienen dos puntos A y B situados a una distancia z del plano medio en dirección normal. En la figura 1.3 se observa como el punto A que se encuentra por encima del plano medio se desplaza en dirección Z, pero además sufre un pequeño desplazamiento en sentido contrario al eje X debido al giro ϕ de valor u = z w. x 12 (1.1)

20 Capítulo 1 FLEXIÓN DE PLACAS DELGADAS EN COORDENADAS CARTESIANAS u Z z z A B ϕ = w/ x w h/2 h/2 z z A B X Figura 1.3 Deformación a flexión de una sección perpendicular al eje Y. La deformación en dirección X resulta por tanto 2 u w ε x = = z. (1.2) 2 x x v Z z z A B w/ y w h/2 h/2 z z A B Y Figura 1.4 Deformación a flexión de una sección perpendicular al eje X. Análogamente si se estudia el desplazamiento y la deformación en dirección Y, según muestra la figura 1.4, resultan las siguientes expresiones w v = z y (1.3) 2 w ε y = z. 2 y (1.4) 13

21 FLEXIÓN DE PLACAS DELGADAS EN COORDENADAS CARTESIANAS Capítulo 1 La deformación angular en el plano XY también puede expresarse en función de las derivadas de la flecha mediante γ xy = u v 2w + = 2 z. y x x y (1.5) Las expresiones 1.1 a 1.5 son válidas gracias a la cuarta hipótesis enunciada en el apartado 1.2 y que suponía pequeñas deformaciones en la placa. 1.4 ECUACIONES DE COMPORTAMIENTO. RELACIONES ENTRE LAS TENSIONES Y LA FLECHA Utilizando las ecuaciones de Lamé de la elasticidad clásica se pueden escribir las tensiones en función de las deformaciones E (ε x + νε y ) 1 ν 2 E (ε y + νε x ), σy = 1 ν 2 τ xy = Gγ xy σx = (1.6) donde σx es la tensión en dirección X, σy en dirección Y y τxy es la tensión tangencial en el plano XY. Estas expresiones suponen un material homogéneo e isótropo en el que E es el módulo de elasticidad, ν el coeficiente de Poisson y G el módulo de deformación a cortante. Sin embargo, muchas aplicaciones en ingeniería civil emplean materiales ortótropos en los que su comportamiento cambia en función de la dirección en que se apliquen las cargas. Se pueden considerar que tienen un comportamiento ortótropo, las placas 14

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