Estimación del Índice de Gini en Poblaciones Finitas. José Antonio Mayor Gallego

Transcripción

1 Estimación del Índice de Gini en Poblaciones Finitas José Antonio Mayor Gallego Departamento de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Sevilla. Facultad de Matemáticas Abril, 2009 José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 1/1

2 Problema Considerado: Estimación del Índice de Gini en poblaciones finitas Elementos básicos Población finita. U = {1, 2,..., N} Variable de estudio. Y = {y i i U} Variable auxiliar conocida. X = {x i i U} Función de distribución poblacional, F (t) = 1 { 1 t yi (t y i ), (t y i ) = N 0 t < y i i U Media y total poblacionales, Y = 1 y i = 1 N N T (Y ) i U José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 2/1

3 Problema Considerado: Estimación del Índice de Gini en poblaciones finitas Índice de Gini IG = IR IR Objetivos t u df (t)df(u) u df (u) IR Características Medida de uniformidad en el reparto de la variable en estudio. Útil en estudios económicos y demográficos sobre distribución de bienes, salarios, población, etc. Habitualmente se estudia a partir de encuestas por muestreo. Desarrollar estimadores del índice de Gini en poblaciones finitas. Estudiar sus propiedades en relación al sesgo y al error cuadrático medio. Realizar mediante simulación un estudio comparativo con otros estimadores de la bibliografía. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 3/1

4 Problema Considerado: Estimación del Índice de Gini en poblaciones finitas Índice de Gini IG = IR IR Objetivos t u df (t)df(u) u df (u) IR Características Medida de uniformidad en el reparto de la variable en estudio. Útil en estudios económicos y demográficos sobre distribución de bienes, salarios, población, etc. Habitualmente se estudia a partir de encuestas por muestreo. Desarrollar estimadores del índice de Gini en poblaciones finitas. Estudiar sus propiedades en relación al sesgo y al error cuadrático medio. Realizar mediante simulación un estudio comparativo con otros estimadores de la bibliografía. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 3/1

5 Problema Considerado: Estimación del Índice de Gini en poblaciones finitas Índice de Gini IG = IR IR Objetivos t u df (t)df(u) u df (u) IR Características Medida de uniformidad en el reparto de la variable en estudio. Útil en estudios económicos y demográficos sobre distribución de bienes, salarios, población, etc. Habitualmente se estudia a partir de encuestas por muestreo. Desarrollar estimadores del índice de Gini en poblaciones finitas. Estudiar sus propiedades en relación al sesgo y al error cuadrático medio. Realizar mediante simulación un estudio comparativo con otros estimadores de la bibliografía. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 3/1

6 Parámetros de concentración Familia de índices de Gini. IG J = 1 Y 0 J[F(t)]tdF(t) J( ) es una función de ponderación, continua. Nygård and Sandström (1985a,1985b) Índice de Gini clásico. J(p) = 2p 1 IG = 1 Y = 1 2N 2 Y IR[2F(t) 1]tdF(t) = 1 Y y i y j [0, 1 1/N] i, j U IR IR t u df (t)df(u) José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 4/1

7 Parámetros de concentración Familia de índices de Gini. IG J = 1 Y 0 J[F(t)]tdF(t) J( ) es una función de ponderación, continua. Nygård and Sandström (1985a,1985b) Índice de Gini clásico. J(p) = 2p 1 IG = 1 Y = 1 2N 2 Y IR[2F(t) 1]tdF(t) = 1 Y y i y j [0, 1 1/N] i, j U IR IR t u df (t)df(u) José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 4/1

8 Referencias básicas Glasser, Variance Formulas for the Mean Difference and Coefficient of Concentration Estudio del error de muestreo, bajo muestreo aleatorio simple, de los parámetros muestrales, Diferencia media, d = Índice de concentración, 1 n(n 1) y i y j i, j m γ = d 2ȳ José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 5/1

9 Referencias básicas Brewer, The Analytical Use of Unequal Probability Samples: A case Study Estudio práctico a gran escala de la distribución de presupuestos escolares en Australia. Denotando por y i el presupuesto de la escuela i y por x i el número de alumnos de la misma, se considera la curva, tipo Lorenz, ( r x i, i=1 r y i ), r = 1, 2, 3,..., N i=1 a partir de la cual se desarrolla el índice de Gini y su estimación. Se estudia el error de muestreo mediante la técnica del jackknife. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 6/1

10 Referencias básicas SandströM, Wretman, Waldén, Variance Estimators of the Gini Coefficient. Simple Random Sampling Desarrollo de estimadores de la varianza del índice de Gini muestral, empleando técnicas de aproximación. Estudio computacional de dichos estimadores y de la varianza obtenida con la técnica del jackknife, para distintos modelos de la variable de estudio. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 7/1

11 Referencias Nygård, Sandström, 1985a. Income Inequality Measure Based on Sample Surveys. Nygård, Sandström, 1985b. The Estimation of the Gini and the Entropy Inequality Parameters in Finite Populations. SandströM, Wretman, Waldén, Variance Estimators of the Gini Coefficient. Probability Sampling. Desarrollo de estimadores del índice de Gini y de otros parámetros relacionados, bajo muestreo probabilístico. Estudio de las propiedades asintóticas de dichos estimadores. Estudio computacional de la varianza de dichos estimadores. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 8/1

12 Índice de Gini y curva de Lorenz Curva de Lorenz Estimación Diseño muestral (M, p( )) m, muestra. Probabilidades de inclusión, Π = {π ij i, j U} > 0 IG = 1 2N 2 Y y i y j = 2 δ i, j U Estimaciones de F(t) and G(t), F(t) = 1 N Ĝ(t) = 1 T (Y ) i m i m (t y i ) π i y i (t y i ) π i Estimación de la curva de Lorenz. {( F(t), Ĝ(t)) t IR} José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 9/1

13 Estimador de Nygård y Sandström ÎG = 2 δ = 1 N 2 Ŷ n i=1 Y = T (Y )/ N. P i dadas por, ( 2P i + 1 π ji ) yji π ji 1 P 1 = 0, P i = i 1 k=1 1 π jk i = 2... n j 1, j 2,... j n tales que, y j1 y j2 y jn Para el diseño MAS(N, n), π i = n/n, ÎG d1 = 1 2n 2 ȳ y i y j i, j m Nygård and Sandström (1985a,1985b) José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 10/1

14 Estimador alternativo bajo Muestreo Aleatorio Simple i, j m por lo que, y i y j π ij es un estimador insesgado de y i y j i, j U ÎG d2 = 1 2N 2 Ŷ i, j m y i y j π ij siendo π ij = n(n 1) N(N 1) por lo que, ÎG d2 = N 1 2n(n 1)Nȳ y i y j Mayor (2003) i, j m José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 11/1

15 Estimación predictiva Modelo de superpoblación y i = β x i + v(x i ) ε i i U β: parámetro desconocido. v( ): una función conocida. ε i : variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. E[ε i ] = 0, i U V [ε i ] = σ 2, i U José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 12/1

16 Estimación predictiva Estimación de F(t) siendo, β n = F(t) = 1 N (t ŷ i ) i U { yi si i m ŷ i = β n x i si i U m i m y ix i /π i v 2 (x i ) i m x i 2 /π i v 2 (xi) estimador π-ponderado de β José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 13/1

17 Estimador predictivo de IG D = IR D = IR IR Estimador predictivo básico IG = D 2Y u w df(u)df(w), Y = IR IR u df (u) u w d F(u)d F(w) = 1 N 2 ŷ i ŷ j Y = u d F(u) = 1 IR N ÎG p = D 2Ŷ = 1 2N 2 Ŷ i U ŷ i i, j U ŷ i ŷ j i, j U José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 14/1

18 Estimador predictivo de IG Hipótesis v(x) = x 1/2 Muestreo Aleatorio Simple entonces, y, β n = i m y ix i /π i v 2 (x i ) i m x 2 i /π i v 2 (Xi) = Y = β n X i m y i i m x i José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 15/1

19 Estimador predictivo de IG Sesgo de D B[ D] = E[ D] D = 1 N 2 y i y j (π ij 1) i, j U + y i β N x i (π i π ij ) + β N x i y j (π j π ij ) i, j U i, j U +β N x i x j (1 π i π j + π ij ) + O(n 1/2 ) i, j U El primer término es de orden O(1) y, β N = Y /X. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 16/1

20 Estimador predictivo de IG Estimación del sesgo de ÎG p B[ÎG p] = 1 2Ŷ N2 + i, j m +β n i, j m i, j m y i y j π ij 1 π ij y i β n x i π i π ij π ij + i, j m x i x j 1 π i π j + π ij π ij π i = n/n, π ij = n(n 1)/N(N 1), i j β n x i y j π j π ij π ij José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 17/1

21 Estimador predictivo de IG Estimador de IG con corrección del sesgo ÎG pc = ÎG p B[ÎG p] = 1 2N 2 Ŷ + i, j m ŷ i ŷ j 1 i, j U +β n i, j m y i β n x i π i π ij π ij 2N 2 Ŷ i, j m + i, j m x i x j 1 π i π j + π ij π ij π i = n/n, π ij = n(n 1)/N(N 1), i j y i y j π ij 1 π ij β n x i y j π j π ij π ij José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 18/1

22 Comparación por simulación. Poblaciones reales SUGAR CANE y MU284. Chambers y Dunstan (1986), Särndal et al. (1992) SUGAR CANE. N = 338 plantaciones azucareras. Chambers y Dunstan (1986). Y es la producción de cada plantación. X es la superficie. Para esta población, el cuadrado del coeficiente de correlación entre Y y X es ρ 2 SC = 0,787. MU284. N = 284 Municipios de Suecia. Särndal et al.(1992). Y es la población en X es la población en ρ 2 MU284 = 0,997 José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 19/1

23 Comparación por simulación. Poblaciones reales SUGAR CANE y MU284. Chambers y Dunstan (1986), Särndal et al. (1992) SUGAR CANE. N = 338 plantaciones azucareras. Chambers y Dunstan (1986). Y es la producción de cada plantación. X es la superficie. Para esta población, el cuadrado del coeficiente de correlación entre Y y X es ρ 2 SC = 0,787. MU284. N = 284 Municipios de Suecia. Särndal et al.(1992). Y es la población en X es la población en ρ 2 MU284 = 0,997 José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 19/1

24 Comparación por simulación. Poblaciones artificiales D05..D095 Población parametrizada con N = Hidiroglou and Patak (2004). Los valores (y i, x i ) se generan suponiendo el modelo de superpoblación considerado, con v(x) = x 1/2 y β = 2. X se genera a partir de una distribución Γ(a, b). a = 3, b = 16. Y se genera a partir de una distribución Γ(A, B) tal que E[y i ] = βx i = AB, V [y i ] = σ 2 x i = AB 2. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 20/1

25 Comparación por simulación. Poblaciones artificiales D05..D095 Población parametrizada con N = Hidiroglou and Patak (2004). Los valores (y i, x i ) se generan suponiendo el modelo de superpoblación considerado, con v(x) = x 1/2 y β = 2. X se genera a partir de una distribución Γ(a, b). a = 3, b = 16. Y se genera a partir de una distribución Γ(A, B) tal que E[y i ] = βx i = AB, V [y i ] = σ 2 x i = AB 2. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 20/1

26 Comparación por simulación. Poblaciones artificiales D05..D095 Población parametrizada con N = Hidiroglou and Patak (2004). Los valores (y i, x i ) se generan suponiendo el modelo de superpoblación considerado, con v(x) = x 1/2 y β = 2. X se genera a partir de una distribución Γ(a, b). a = 3, b = 16. Y se genera a partir de una distribución Γ(A, B) tal que E[y i ] = βx i = AB, V [y i ] = σ 2 x i = AB 2. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 20/1

27 Poblaciones artificiales El valor σ 2 se escoge de forma que, ρ 2 [X, Y ] = β 2 b 2 β 2 b 2 + σ 2 b Dando a ρ 2 [X, Y ] los valores 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 y 0.95, obtenemos seis poblaciones distintas, que denominamos D05, D06, D07, D08, D09 y D095. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 21/1

28 Poblaciones artificiales El valor σ 2 se escoge de forma que, ρ 2 [X, Y ] = β 2 b 2 β 2 b 2 + σ 2 b Dando a ρ 2 [X, Y ] los valores 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 y 0.95, obtenemos seis poblaciones distintas, que denominamos D05, D06, D07, D08, D09 y D095. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 21/1

29 Simulación muestral Muestreo aleatorio simple con tamaño muestral n = 10, 15, 20 y 30. Para cada caso, se generan L = 1000 muestras. Para cada muestra calculamos las estimaciones ÎG d1, ÎG d2, ÎG p, ÎG pc, y, Sesgo relativo. SGR = 1 L IG Error cuadrático medio relativo. ( 1 ECMR = L IG 2 L (IG ÎG i) 1=1 ) 1/2 L (IG ÎG i) 2 1=1 Se han multiplicado por 10 4 para facilitar su interpretación. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 22/1

30 Resultados SUGAR CANE POBLACIÓN SUGAR CANE. N = 338 ÎG p ÎG pc ÎG d1 ÎG d2 n SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR Sesgo relativo 10 4 y error cuadrático medio relativo 10 4 de los estimadores. población SUGAR CANE. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 23/1

31 Resultados MU284 POBLACIÓN MU284. N = 284. ÎG p ÎG pc ÎG d1 ÎG d2 n SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR Sesgo relativo 10 4 y error cuadrático medio relativo 10 4 de los estimadores. población MU284. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 24/1

32 Resultados D05 POBLACIÓN D05. N = 1000 ÎG p ÎG pc ÎG d1 ÎG d2 n SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR Sesgo relativo 10 4 y error cuadrático medio relativo 10 4 de los estimadores. población D05. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 25/1

33 Resultados D06 POBLACIÓN D06. N = 1000 ÎG p ÎG pc ÎG d1 ÎG d2 n SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR Sesgo relativo 10 4 y error cuadrático medio relativo 10 4 de los estimadores. población D06. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 26/1

34 Resultados D07 POBLACIÓN D07. N = 1000 ÎG p ÎG pc ÎG d1 ÎG d2 n SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR Sesgo relativo 10 4 y error cuadrático medio relativo 10 4 de los estimadores. población D07. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 27/1

35 Resultados D08 POBLACIÓN D08. N = 1000 ÎG p ÎG pc ÎG d1 ÎG d2 n SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR Sesgo relativo 10 4 y error cuadrático medio relativo 10 4 de los estimadores. población D08. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 28/1

36 Resultados D09 POBLACIÓN D09. N = 1000 ÎG p ÎG pc ÎG d1 ÎG d2 n SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR Sesgo relativo 10 4 y error cuadrático medio relativo 10 4 de los estimadores. población D09. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 29/1

37 Resultados D095 POBLACIÓN D095. N = 1000 ÎG p ÎG pc ÎG d1 ÎG d2 n SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR SGR ECMR Sesgo relativo 10 4 y error cuadrático medio relativo 10 4 de los estimadores. población D095. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 30/1

38 Conclusiones ÎG pc presenta menos sesgo que ÎG d1, ÎG d2 y ÎG p. Incluso para pequeños tamaños de muestra y correlaciones no muy elevadas el sesgo relativo es despreciable, menor de 1 %. En términos de eficiencia, medida por el error cuadrático medio ÎG pc es más eficiente que ÎG d1 y ÎG d2. Esta eficiencia se incrementa para correlaciones altas. Excepto para correlaciones muy elevadas, no usuales en poblaciones reales, ÎG pc es también más eficiente que el estimador predictivo básico, ÎG p. El sesgo y la eficiencia de ÎG p depende fuertemente de la correlación entre las variables. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 31/1

39 Conclusiones En resumen Si disponemos de información auxiliar, el enfoque predictivo produce una mejora de las estimaciones sobre el enfoque de diseño. Esta mejora es más acentuada para el estimador con corrección del sesgo, ÎG pc. Si no disponemos de información auxiliar, el estimador basado en el diseño, ÎG d2 es la mejor alternativa. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. Master en Estadística Pública 32/1

40 Estimación de la varianza de ÎG pc Estudios previos Brewer (1981) Nygård and Sandström (1985a) Sandström et al. (1985,1988) consideran la técnica del jackknife para estimar la varianza del estimador básico basado en el diseño, ÎG d1. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. Master en Estadística Pública 33/1

41 Estimador jackniffe de la varianza Muestra. m = {j 1, j 2,..., j n } ÎG(m): estimación con la muestra original. ÎG(m {j i }): estimación con la muestra m de la que se ha eliminado la unidad i-ésima. Pseudovalores. ÎG (i) = n ÎG(m) (n 1) ÎG(m {j i}) i = 1 n Estimador de la varianza. V [ÎG] = 1 n(n 1) n ) 2 (ÎG(m) ÎG (i) i=1 José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 34/1

42 Estudio por simulación. Estimador predictivo corregido Se emplean las poblaciones reales y artificiales ya descritas anteriormente. Se realiza Muestreo Aleatorio Simple con tamaños muestrales n = 10, 15, 20 y 30. Para cada caso, se obtienen L = 1000 muestras, y para cada una se calcula el estimador jackniffe de la varianza. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 35/1

43 Resultados Se calculan RC: Razón de cubrimiento. Cociente entre número de veces que el intervalo de confianza al 95 %, ÎG pc ± 1.96 V [ÎG pc] contiene el verdadero valor del índice de Gini, y el número total de muestras seleccionadas. RM: Radio medio de los intervalos. Media aritmética de las cantidades α = 1.96 V [ ÎG pc ]. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 36/1

44 Resultados. RC y RM. ÎG pc SUGAR CANE n CR MR MU284 n CR MR D05 n CR MR D06 n CR MR José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 37/1

45 Resultados. RC y RM. ÎG pc SUGAR CANE n CR MR MU284 n CR MR D05 n CR MR D06 n CR MR José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 37/1

46 Resultados. RC y RM para ÎG pc D07 n CR MR D08 n CR MR D09 n CR MR D095 n CR MR José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 38/1

47 Conclusiones Incluso si la correlación entre las variables no es muy elevada, los intervalos de confianza basados en el estimador jackniffe de la varianza son muy precisos presentando una razón de cubrimiento muy aproximada a la teórica del 95 %. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 39/1

48 Líneas de trabajo Aplicación de técnicas bootstrap para estimar el error de muestreo. Construir estimadores del índice de Gini mediante estimadores de calibración. Estimación con diseños muestrales complejos que mezclan estructuras de estratos y conglomerados. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 40/1

49 Referencias [1] Brewer, K.R.W. (1981). The Analytical Use of Unequal Probability Samples: A case Study. Proceeding of the 43 th Session of the International Statistical Institute. Buenos Aires. [2] Chambers, R.L. and Dunstan, R. (1986). Estimating distribution functions from survey data. Biometrika. 73, [3] Glasser, (1962). Variance Formulas for the Mean Difference and Coefficient of Concentration. Journal of the American Statistical Association. 57, [4] Hidiroglou, M.A. and Patak, Z. (2004). Domain Estimation Using Linear Regression. Survey Methodology. 30-1, [5] Nygård, F. and Sandström, A. (1985a). Income Inequality Measures Based on Sample Surveys. Proceeding of the 45 th Session of the International Statistical Institute. Amsterdam. [6] Nygård, F. and Sandström, A. (1985b). The Estimation of the Gini and the Entropy Inequality Parameters in Finite Populations. Journal of Official Statistics. 1, [7] Särndal, C., Swensson, B. and Wretman, J. (1992). Model Assisted Survey Sampling. Springer-Verlag. New York, Inc. [8] Sandström, A., Wretman, J.H. and Waldén, B. (1985). Variance Estimators of the Gini Coefficient, Simple Random Sampling. Metron. 43, [9] Sandström, A., Wretman, J.H. and Waldén, B. (1988). Variance Estimators of the Gini Coefficient-Probability Sampling. Journal of Business & Economic Statistics 6-1, José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmayor@us.es Master en Estadística Pública 41/1

50 Nygård, F. and Sandström, A. (1985a). Income Inequality Measures Based on Sample Surveys. Proceeding of the 45 th Session of the International Statistical Institute. Amsterdam. Nygård, F. and Sandström, A. (1985b). The Estimation of the Gini and the Entropy Inequality Parameters in Finite Populations. Journal of Official Statistics. 1, José A. Mayor. Universidad de Sevilla. Master en Estadística Pública 42/1

51 Chambers, R.L. and Dunstan, R. (1986). Estimating distribution functions from survey data. Biometrika. 73, Särndal, C., Swensson, B. and Wretman, J. (1992). Model Assisted Survey Sampling. Springer-Verlag. New York, Inc. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. Master en Estadística Pública 43/1