Diseño de muestra para una encuesta de salida en una segunda vuelta presidencial

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1 XXVII Simposio Internacional de Estadística 5th International Workshop on Applied Statistics Medellín, Antioquia, Colombia, 8 al 12 de agosto de 2017 Diseño de muestra para una encuesta de salida en una segunda vuelta presidencial Muestra de salida en una segunda vuelta presidencial Humberto Barrios 1,a 1 Departamento de Matemática y Estadística, Facultad de Ciencias Básicas y Educación, Universidad Popular del Cesar, Valledupar, Colombia Resumen Una encuesta de salida es una herramienta utilizada para estimar los resultados de las elecciones inmediatamente después que se han cerrados las mesas de votaciones. No obstante, una encuesta de salida deja mucho que desear, no sólo por la manipulación mal intencionada de los resultados, si no también por la falta de claridad de la estrategia de muestreo. Por lo tanto, el propósito de este trabajo es comparar mediante simulación bajo los diseños de muestreo: sistemático, Bernoulli y Poisson en la última etapa, y con muestreo por conglomerado cual es el más eciente. En el evento que la ley permita realizar una encuesta por muestreo el día de las elecciones, en una segunda vuelta presidencial. Para el estudio de simulación se tomaron los datos del Departamento del Cesar, correspondiente a las elecciones presidenciales que tuvieron lugar el 15 de junio de Palabras clave: Encuesta de salida, Muestreo sistemático, Muestreo de Bernoulli, Muestreo Poisson, Muestreo estraticado, Muestreo por conglomerado. Abstract An exit survey is a tool used to estimate election results immediately after polling stations have been closed. However, an exit survey leaves much to be desired, not only for the malicious manipulation of the results, but also for the lack of clarity of the sampling strategy. Therefore, the purpose of this work is to compare by simulation under the sampling designs: systematic, Bernoulli and Poisson in the last stage, and with cluster sampling which is the most ecient. In the event that the law allows to conduct a sample survey on election day, in a second round presidential. Key words: Output Survey, Systematic Sampling, Bernoulli Sampling, Poisson Sampling, Stratied Sampling, Conglomerate Sampling. 1. Introducción El objetivo de una encuesta de salida no es sólo para predecir el resultado de las elecciones, puesto que estos resultados se convierte rápidamente en inútiles. Una encuesta de salida brinda la oportunidad para un análisis en profundidad de los resultados de la votación en aspectos tales como la distribución de voto en diferentes grupos sociodemográcos, los cambios de preferencias políticas en relación a la elección anterior, los motivos de la elección de un candidato o partido en particular, las motivaciones de participar en las elecciones, etc. En un estudio de este características queda por ser la fuente más able de los comportamientos políticos de los ciudadanos para próximas elecciones, debido al hecho de que a Profesor asociado. hbarrios@unicesar.edu.co 1

2 2 Humberto Barrios las encuestas político pre-electorales son incapaz de proporcionar tales datos detallados con la precisión necesaria (Kozªowski et al. 2014). Una encuesta de salida por muestre es única porque los resultados se pueden confrontar con los resultados de una enumeración completa, los que es imposible con las encuestas pre-electorales. En una encuesta pre-electoral, la población de interés es mucho más grande. Además, de los votantes reales abarca también a personas con derecho a votar pero no a participar en la elección. El grado de compatibilidad entre los pronósticos generales obtenidos en una encuesta de salida y los resultados ociales de las votaciones por los entes ociales (Consejo Nacional Electoral) es la base para la validación de la metodología aplicada. Los elementos clave de la metodología de una encuesta de salida son el diseño de muestreo y el método de estimación. La muestra se elige en dos etapas en cada uno de los estratos. En la primaria etapa se seleccionan los lugares de votación y en la segunda etapa se eligen los votantes que salen de la mesa electoral. En lo que respecta a la selección de los encuestados de la muestra, existe un acuerdo entre los teóricos y profesionales de que la mejor opción en este caso es el muestreo sistemático. El propósito de este trabajo es conocer más de cerca la naturaleza sobre las encuestas de salidas y comparar la eciencia de los diseños de muestreo: sistemático, Bernoulli y Poisson en la última etapa. 2. Diseño de muestreo 2.1. Notación y Conceptos Básicos Sea U = {1, 2,..., k,..., N} una población nita, donde k se reere a la unidad k ésma. Una muestra s es un subconjunto de U. Esta puede se expresado como un vector s = (s k ) k U de elementos del conjunto {0, 1}, donde s k = { 1, si k s 0, si k s Al conjunto S de todas las muestras posibles seleccionadas de U se denomina el soporte de muestra. El número de elementos de S es 2 N. A la pareja (S, p) se llama un diseño muestral, donde p es una distribución de probabilidad sobre S. Para cualquier p(.) y cualquier s S es visto como una realización de la variable aleatoria S, tal que P r(s = s) = p(s). Supongamos que tenemos k S. Así, el evento aleatorio S k es el evento una muestra realizada conteniendo k. El tamaño de muestra n(s), es el número de elementos de s. Dado p(.), (1) = P r(k S) = s k s S La cantidad se denomina la probabilidad de inclusión de primer orden de el elemento k. Similarmente, las probabilidades de segundo orden o las probabilidades conjunta que los elementos k y l estén en s se dene por l = P r(k S, l S) = p(s) Cuando el tamaño de muestra n(s) = n es jo, las probabilidades de inclusión satisface las siguientes propiedades l = (n 1) k U = n, l U l k p(s) s k,l s S

3 Diseño de muestra de salida 3 es Sea y una variable de interés. El estimador de Horvitz-Thompson del total poblacional t y = k U ˆt π = k s (2) el cual es un estimador insesgado para t y si todas las probabilidades de primer orden son estrictamente positivas. Si el tamaño de la población N es conocido, se puede estimar la media con el estimador de Horvitz-Thompson: La varianza ˆt π es V (ˆt π ) = un estimador insesgado para 4 es dado por Ȳ π = 1 N k,l U k l ˆV (ˆt π ) = k,l s k l k s (3) (l π l ) y l π l (4) l π l l Grundy (1953) demostraron que tambien se puede escribir La varianza se puede estimar por: cuando k =. V (ˆt π ) = 1 2 k U l U ˆV (ˆt π ) = k S l S y l π l (5) ( yk y ) 2 l kl (6) π l y l π l kl l (7) Si el diseño es de tamaño jo, se puede construir otro estimador el de Sen-Yates-Grundy cuya expresión: ˆV (ˆt π ) = 1 2 k S l S k l ( yk y ) 2 l kl (8) π l l Estos dos estimadores son insegados si todas las probabilidades de inclusión de segundo orden son estrictamente positivas. Cuando el tamaño de muestra es sucientemente grande, se pueden construir intervalos de conanza con un nivel de 100(1 α) % para el total t de acuerdo a: CI(1 α) = ) (ˆt π z (1 α/2) ˆV (ˆt π ), ˆt π + z (1 α/2) ˆV (ˆt π ) donde z (1 α/2) es el (1 α/2) cuantil bajo la curva normal estándar Muestreo de Bernoulli En el muestreo de Bernoulli (BE) los elementos aparecen en el marco de muestreo en un orden, k = 1, 2,..., N. Sea π una constante ja tal que 0 < π < 1. Sean ξ 1, ξ 2,..., ξ N realizaciones independientes de una variable aleatoria uniforme U(0, 1). Seleccionamos un elemento de de la población

4 4 Humberto Barrios siguiendo la siguiente regla: si ξ x < π el elemento k es seleccionado, en otro caso no. Por lo tanto, la probabilidad de inclusión de primer orden para el elemento k es P r(ξ k < π) = π y la probabilidad de segundo orden para los elementos k y l esta dedinida por P r(ξ k < π, ξ l < π) = P r(ξ k < π)p r(ξ l < π) = π 2 Bajo el diseño BE, el π estimador del total t toma la forma La varianza de ˆt π es dada por ˆt π = 1 (9) π k s ( ) 1 π V (ˆt π ) = π y un estimador insesgado de la varianza es: ˆV (ˆt π ) = 1 ( ) 1 π yk 2 (10) π π k U k s y 2 k 2.3. Muestreo Sistemático (SY) En el muestreo sistemático (SY) un primer elemento es seleccionado, y con igual probabilidad, de los primeros a elementos del marco muestral de una población con N elementos. El número entero a se ja de ante mano y se denomina longitud del intervalo de muestreo. Para una denición más formal de muestreo sistemático. Sea a el intervalo de muestreo jo. Y sea n la parte entera de N/a, donde N es el tamaño de la población. Entonces N = na + c donde el número entero c satisface 0 c < a. Si c = 0 el tamaño de muestra es n, pero si c > 0 el tamaño de muestra puede ser n o n + 1. La selección de los elementos se puede ver como una lista secuencial, como sigue: 1. Seleccionamos con igual probabilidad 1/a un entero r, elemento r es llamado el arranque aleatorio, entre los elementos 1 y a. 2. La muestra seleccionada es: s r = {k : k = r + (j 1)a N; j = 1, 2,..., n s } Las probabilidades de primer orden y segundo orden son: = 1/a y l = 1/a respectivamente. Por lo tanto, el π estimador para el total poblacional t = U es donde t s = s r. La varianza de ˆt π es dada por V SY (ˆt π ) = a ˆt π = at s (11) a (t sr t) 2 donde t = 1 a a r=1 t s r = t a es el promedio de los totales en cada muestra t s r = s r. r=1

5 Diseño de muestra de salida Muestreo de Poisson (PO) Podemos considerar el muestreo de Poisson como una generalización del muestreo de Bernoulli, pero con el hecho de que el diseño de muestreo de Poisson las probabilidades de inclusión de primer orden son diferente. Sea pi k la probabilidad de inclusión de primer orden predeterminadas para el k ésimo elemento, donde k = 1, 2,..., N. El muestreo de Poisson es denido como sigue: los elementos de la muestra indicadora I k son independientes, con I k distribuida como P (I k = 1) =, P (I k = 0) = 1 k = 1, 2,..., N. El diseño de muestreo de PO es tal que la muestra s tiene la probabilidad p(s) = k s k U s (1 ) (12) donde s U, es un subconjunto de los 2 N posibles subconjuntos de U. Como las selecciones se realizan de manera independientes entonces pi kl = π j π l para todo k l. Para implementar el diseño de PO debe tenerse una lista secuencial, y además disponer de una variable auxiliar x 1, x 2,..., x N, donde y debe ser proporcional a x. En tal caso, se tiene que las son proporcionales a las x k conocidas. Esto eπ 1, π 2,..., π N s para π 1, π 2,..., π N, se denen = nx k N i=1 x i (13) Asumiendo que x k < 1 n N i=1 x i para todo k. Si x k > 1 n N i=1 x i, se toma = 1. Sea ε 1, ε 2,..., ε N son números aleatorios extraídos de la distribución uniforme U(0, 1). Si ε k <, el elemento k es seleccionado, en otro caso no; k = 1, 2,..., N. bajo el diseño de PO, el π estimador del total poblacional t = U esta dado por ˆt π = s (14) La varianza esta dada por V OP (ˆt π ) = U ( ) 1 1 yk 2 (15) Un estimador insesgado de la varianza es ˆV OP (ˆt π ) = U (1 ) ( yk ) 2 (16) 3. Efecto del diseño Formalmente, esta denido como la razón de la varianza de la estimación bajo un diseño de una muestra compleja sobre la varianza de la estimación obtenida a partir de una muestra aleatoria simple del mismo número de elementos. El efecto del diseño fue originalmente denido por Kish (Kish & Ricardo 1982), para la varianza de la estimación de la media ponderada. Supongamos p(s) un diseño, se dene el efecto de diseño, Särndal (Särndal et al. 2003) para el π estimador del total poblacional t como: deff(p, ˆt π ) = V p(ˆt π ) V SI (Nȳ s ) (17)

6 6 Humberto Barrios donde V SI (Nȳ s ) es la varianza del ˆt π y V p (ˆt π ) están denidas por las ecuaciones 4 respectivamente. El efecto de diseño muestreo de Bernoulli es: deff(be, ˆt π ) = 1 1 N + (cv yu ) 2. = 1 + (cvyu ) 2 (18) donde cv yu = S yu ȳ U es el coeciente de variación. Para muchas variables el coeciente de variación 0.5 cv yu 1.0 (Särndal et al. 2003). En consecuencia, 2 deff(be, ˆt π ) 5. Es decir, el muestreo SI es más eciente que BE. El efecto de diseño muestreo sistemático es: deff(sy, ˆt π ) = 1 + n 1 1 f δ (19) donde δ = 1 N 1 SSW N a SST, SST = U ( ȳ U ) 2 y SSW = a r=1 s r ( ȳ sr ) 2. SY es más eciente que SI si δ < 0 (Särndal et al. 2003) 4. Conclusiones El tema de este trabajo fue la evaluación de los diseños de muestreo: sistemático, Bernoulli y Poisson en una una encuesta de salida en una segunda vuelta presidencial. La conclusión obtenida en los resultados de simulación como de forma teórica, en el caso de no utilizar variables auxiliares, el muestreo sistemático es el más eciente, y además sencillo de implementar. Referencias Kish, L. & Ricardo, V. C. L. (1982), Muestreo de encuestas, Trillas. Kozªowski, A. et al. (2014), `The use of non-sample information in exit poll surveys in poland', Sampling methods and estimation 37, 37. Särndal, C.-E., Swensson, B. & Wretman, J. (2003), Model assisted survey sampling, Springer Science & Business Media.