MERKATARITZAKO ARITMETIKA

Transcripción

1 MERKATARITZAKO ARITMETIKA 49. orrialdea HAUSNARTU ETA EBATZI Ehunekoen handiagotzeak Zenbat bihurtuko dira 50 % 1 handiagotuz gero? 50 1,1 = 80 Kalkulatu zenbat bihurtzen den C kapitala honenbeste handiagotuz gero: a) 10% b) 0% c) 6% d) 6,5% e) 1% f) 0,3% a) 1,10 C; b) 1,0 C; c) 1,06 C d) 1,065 C; e) 1,01 C; f) 1,003 C Ehunekoen txikiagotzeak Zenbat bihurtzen dira 50 % 1 txikiagotuz gero? 50 0,88 = 0 Kalkulatu zenbat bihurtuko den C kapitala honenbeste txikiagotuz gero: a) 10% b) 0% c) 50% d) 6% e) 6,5% f) 0,8% a) 0,90 C; b) 0,80 C; c) 0,50 C d) 0,94 C; e) 0,935 C; f) 0,99 C Aldakuntza-indizea Adierazi zenbatekoa den honako aldaketa hauetako bakoitzari dagokion ehuneko-aldakuntza: a) C 8 1,15 C b) C 8 1, C c) C 8 1,04 C d) C 8 0,85 C e) C 8 0,8 C f)c 8 0,958 C a) Aumento del 15%. b) Aumento del 0%. c) Aumento del 4,%. d) Disminución del 15%. e) Disminución del 0%. f) Disminución del 4,%. 1

2 Adierazi zenbatekoa den honako aldaketa bakoitzari dagokion ehuneko-aldakuntza: a) b) c) pertsona pertsona d) pertsona pertsona a) Ha aumentado un 17%. b) Ha disminuido un 5%. c) Ha disminuido un 14%. d) Ha aumentado un 35%. 50. orrialdea 1. Tenis-erraketak denboraldiaren hasieran 8 euro balio zituen. Urtean zehar prezioak izandako aldakuntzak hauek dira: % 0 igo zen, % 5 jaitsi, % 5 igo, % 1 jaitsi. a) Zenbat balio du denboraldiaren amaieran? b) Zenbatekoa izan da aldakuntza-indizea guztira? c) Zer ehuneko handiagotu behar da, berriro 8 balio izateko? Precio final = 8 1, 0,75 1,05 0,88 = 3,8 Índice de variación = 1, 0,75 1,05 0,88 = 0,8316 (baja el precio un 16,84%) Como el precio final es de 3,8, hasta llegar a los 8 debe subir: 4,7 8 3,8 = 4,7 8 = 0,7% 3,8 51. orrialdea. Gauza batek, % 0 garestitu ondoren, 45,60 euro balio ditu. Zenbat balio zuen igoeraren aurretik? 1,x = 45,60 8 x = Gauza batek, % 35 merkatu ondoren, 81,90 euro balio ditu. Zenbat balio zuen merkatu aurretik? 0,65x = 81,90 8 x = 16

3 UNITATEA 53. orrialdea ko kapitala zenbat diru bihurtuko da 1,, 3, 4 eta 5 urtean, urteko % 1an ezarri badugu? En 1 año se transforma en ,1 = En años se transforma en ,1 = En 3 años se transforma en ,1 3 = 70 46,40. En 4 años se transforma en ,1 4 = ,97. En 5 años se transforma en ,1 5 = ,08.. Zenbat urteren barruan bikoiztuko da ko kapitala, urteko % 1an ezarrita badago? Hacen falta 7 años para que se duplique, ya que ,1 7 > orrialdea 3. Kalkulatu urteko % 6an ezarrita dagoen 000 -ko kapitala zer dirutza bihurtuko den kapitalizazio-epeak hauek izanda: a) urteak, b) hilabeteak, c) egunak, d) hiruhilekoak. a) 000 1,06 4 = 16 47,70 b) 000 1, = , c) 000 ( 1 + ) = 17 1,41 d) 000 1, = , orrialdea 1. Banku batek ko mailegua eman digu, urteko % 1an. Mailegua sinatzeko orduan 500 -ko gastuak kobratu dizkigute. Ordainketa bakarra egingo dugu urtebetegarrenean, hileko kapitalizazio-epeak hartuz. Zenbatekoa da UTB? (Kontuan hartu eman dizkigutela eta ,1) itzuli behar ditugula. Eta ordainketa bakarrean bi urteren barruan itzuliz gero? Nos dieron y hemos de devolver ,01 1 = 11 68, ,5 = 1,18613 Por tanto, la T.A.E. será del 18,61% Como nos dan y tenemos que devolver ,01 4 = 1 697,35, el aumento 1 697,35 en dos años es: = 1, x x Llamando x a la T.A.E.: ( 1 + ) = 1, = 1,1561 En este caso, la T.A.E. es del 15,61%. 3

4 57. orrialdea 1. Egiaztatu urtean % 10ean ezarritako hiruhileko lau ordainketaren bidez amortiza ditzakegula, ordainketa bakoitzean 658,18 emanez. 10% anual =,5% trimestral PAGO TRIMESTRAL DEUDA ANTES DEL PAGO INTERESES PENDIENTES PAGO CANTIDAD AMORTIZADA DEUDA PENDIENTE , ,8 5 13,44 593,35 50,00 189,80 18,09 64,83 658,18 658,18 658,18 658,18 408,18 468,38 530,09 593, ,8 5 13,44 593,35 0. Egiaztatu % 6an ezarritako ko mailegua hileko 8 ordainketa eginez amortiza dezakegula, hilean ordainduta. 6% anual = 0,5% mensual PAGO TRIMESTRAL DEUDA ANTES DEL PAGO INTERESES PENDIENTES PAGO CANTIDAD AMORTIZADA DEUDA PENDIENTE , , , , , , , ,47 500,00 19, ,3 1574,17 1 6,47 949,1 634,38 317, , , , , , , 63 80, , , , , , , , ,47 0,0 58. orrialdea 1. Urtarrilaren 1ean 000 euro sartu ditugu bankuan urteko % 8an ezarrita. Zer balio izango dute urteko hiruhileko bakoitzaren amaieran? Kantitate horiek progresio geometriko jakin bati jarraitzen diote. Zein da arrazoia? 8% anual = % trimestral Al final del primer trimestre valen 000 1,0 = Al final del segundo trimestre valen 000 1,0 = Al final del tercer trimestre valen 000 1,0 3 = ,80. Al final del cuarto trimestre valen 000 1,0 4 = ,. La razón es r = 1,0 4

5 UNITATEA. Urtearen hasieran diru kopuru jakin bat ezarri dugu banku batean, urteko % 6an. Hilero kantitate hori progresio geometriko bati jarraituz handiagotzen da. Zenbat da arrazoia? 6% anual = 0,5% mensual La razón es r = 1, orrialdea 3. Urtea hastean euro sartzen ditugu bankuan, urteko % 7an ezarrita. Zenbat diru izango dugu 10. urtearen amaieran? Por el primer ingreso acumulamos , Por el segundo ingreso acumulamos ,07 9. Por el décimo ingreso acumulamos ,07. En total, tendremos S 10 = , ,07 = ,60. 1, Hilabete bakoitzaren hasieran sartzen ditugu bankuan, urteko % 6an ezarrita. Zenbat diru izango dugu. urtearen amaieran? Por el primer ingreso acumulamos 1, Por el segundo ingreso acumulamos 1, Por el vigesimocuarto ingreso acumulamos 1,005. En total, tendremos S 4 = 1, ,005 = 555,91. 1, orrialdea 1. Kalkulatu hilean zenbat ordaindu beharko dugu % 9an ezarritako euroko zorra 3 urtean (36 ordainketa) amortizatzeko. 9 1,0075 i = = 0,0075 m = ,0075 = 763, , Zenbat ordaindu beharko dugu hiruhileko bakoi-tzean % 9an ezarritako zorra3 urtean (1 ordainketa)? 9 i = = 0, ,05 Así, cada trimestre tendremos que pagar: ,05 = 304,4 1,

6 66. orrialdea PROPOSATUTAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK TREBATZEKO Ehunekoak 1 Zinemarako sarrera batek 5,50 balio zituen iaz. Aurten 6,5 balio ditu. Zenbatekoa izan da aldakuntza-indizea? Eta ehuneko igoera? 6,5 Índice de variación = = 1,136 ) 5,50 Porcentaje de subida = 13,64% Kalkulatu zenbatekoa den 450 balio zuen telebista baten aldakuntza-indizea, lehenengo % 15 igo bada, eta, gero, % 5 jaitsi. Zenbat balio du orain? Índice de variación = 1,15 0,75 = 0,865 Precio actual = 450 0,865 = 388,13 3 Urtegi bateko ur kantitatea % 35 jaitsi da joan den hiletik hil honetara. Orain 74,5 milioi litro ur ditu. Zenbat litro zituen joandako hilean? 0,65x = 74,5 8 x = 114,3 millones de litros. 4 Orain urte batzuk 35 balio zituen gauza batek gaur egun balio baditu, zenbatekoa da aldakuntza-indizea? Zenbatekoa da igoera, ehunekotan adierazita? Índice de variación = =,8571. Ha aumentado un 185,71%. 35 Interesak 5 Banku batek urteko % 10eko interesak ordain-tzen ditu. Zenbat emango digute urtebetean ezarri baditugu? Eta 5 urtez utziz gero dirua bankuan? Al cabo de un año nos darán de intereses; es decir, tendremos Al cabo de cinco años tendremos ,1 5 = 9 794,44 ; es decir, 11 94,44 de intereses. 6

7 UNITATEA 6 Zenbateko dirutza bihurtuko da ko kapitala, hiru hilabetez urteko % 8,5ean ezarri badugu? Eta 5 urtez edukiz gero, kapitalizazio-epeak hiruhilekoak izanda? En tres meses: 8,5 8,5% anual 8 =,15 trimestral ,015 = 3 574,38 En cinco años: (0 trimestres) ,015 0 = 5 39,78 7 Lau urtean % 15ean ezarritako kapital bat 5 596,8 -ko dirutza bihurtu zaigu. Zenbateko kapitala ezarri dugun hasieran? C (1,15) 4 = 5 596,8 8 C = Zenbat urtez izan behar dugu bankuan ko kapitala, urteko % 4,7an ezarritako lortzeko? 4,7 n = ( n 4 ) Debe permanecer 4 años. 9 Kalkulatu ehuneko zenbatean ezarri behar ditugun 600, bi urtean diru hori 699,84 -ko kapitala bihur dadin. r 600 ( 1 + ) = 699,84 8 r = 8% 10 Banku batean sartu ditugu urtebete eta erdirako, eta 3 70 bihurtu zaizkigu. Hileko zenbateko ehunekoa ematen digu bankuak? r 3 70 = ( 1 + ) 18 8 r = 0,037% mensual Maileguak amortizatu 11 Dendari batek euroko mailegua eskatu du, handik hiru hilabetera ordainketa bakarrean itzultzeko. Zenbat diru ordaindu beharko du, diruaren prezioa urteko % 1an badago? 1% anual es un 3% trimestral. El pago será de: ,03 =

8 ko mailegua egin digute urteko % 15ean, eta ordainketa bakarrean itzuli behar dugu. Zenbat urteren barruan itzuli dugu, azkenean ,55 ordaindu behar izan baditugu? (1,15) t = ,55 8 t = 4 años urtean amortizatu behar ditugu, interesa % 15ekoa izanik; beraz, urtean, zor dugun kapitalaren interesak eta kapital osoaren bostena ordainduko ditugu. Kalkulatu zenbat ordaindu beharko dugun urtean. CAPITAL PENDIENTE PAGO PAGO PAGO DE INTERESES + DE CAPITAL = DEUDA ANUAL PENDIENTE 1. er año , = º año , = er año , = º año , = º año , = Kalkulatu urteko zenbateko kuota ordainduz amortizatuko dugun ko mailegua 5 urtean % 15ean ezarrita badago. Eta hileko kuotak ordainduz gero? 1,15 Anualidad = a = ,15 = ,78 1, ,015 Mensualidad = m = ,015 = 1 189,50 1, EBAZTEKO 15 Frantseseko azterketa bat ikasleen % 60k gainditu dute. Gainditu ez dutenei emandako bigarren aukeran, % 30ek gainditu dute. Guztira, 18 ikaslek gainditu dute azterketa. Zenbatekoa da gainditu dutenen ehunekoa? Zenbat ikasle dira? Kontuan hartu bigarren aukera % 40k bakarrik egin dutela. Batu gainditu dituztenen ehunekoak. Porcentaje de aprobados = 60% + 0,3 40% = 7% 0,7x = 18 8 x = 5 estudiantes hay en total. 16 Ikastetxe batean, gai guztiak gainditzen dituzten 5 ikasleko gairen bat gainditzen ez duten 4 ikasle daude. Ikasle guztien zer zati eta zer ehuneko hartzen du kasu horietako bakoitzak? 5 Aprueban todas del total, un 55,56%. 9 4 Suspenden alguna del total, un 44,44%. 9 8

9 UNITATEA 17 Kalkulatu zer bihurtuko diren euro urtebetean % 10ean ezarrita badaude eta kapitalizazio-epeak hauek badira: a) seihilekoak; b) hiruhilekoak; c) hilabeteak. Esan kasu horietako bakoitzean, zenbatekoa den UTB. a) 10% Urteko 8 5% bi seihilekotan 8 T.A.E.: (1 + 5/) 8 10,5%. a) 10% anual = 5% semestral ,05 = ,105 = 5 51,50 8 T.A.E. del 10,5% b) 10% anual =,5% trimestral ,05 4 = ,1038 = 5 519,06 8 T.A.E. del 10,38% 10 5 c) 10% anual = % mensual = % mensual T.A.E. del 10,47% ( 1 + ) 1 = (1,008 ) 3) 1 = ,1047 = 5 53, Apartamentu baten alokairua % 10 garestitu bada urte batean, zenbat urtean bikoiztuko da? 1,1 x = 8 x 8 años. 67. orrialdea 19 Banku batek % ematen du hiruhilekoan. Zenbat urtez izan behar ditugu 000 euro, azkenean 536,48 lortzeko? 000 (1,0) t = 536,48 8 t = 1 trimestres = 3 años 0 Kalkulatu UTB urteko 10eko korritu baterako, interesak hileka ordainduz % anual = % mensual 1 Un capital C se transforma en un año en C ( 1 + ) 1 Es decir, C 1,1047. Por tanto, la T.A.E. será del 10,47% Etxerako tresna elektriko bat 750 -an erosi dugu, eta hileko 4 epetan ordainduko dugu, hileko interesak % 13koak izanik. Zenbat ordainduko dugu hileko kuota? ( ) m = 750 ( = 35, )

10 Pertsona batek 333,67 -ko hileko hirurogei kuotatan ordaindu du automobila. Diruaren prezioa urteko % 1an badago, zenbat balioko luke automobil horrek eskura ordainduta? Badakigu m zenbat den eta C kalkulatu behar da. Ordezkatu datuak formulan, eta bakandu C. C = 1, , , ,01 3 Pertsona batek urtero, beti sasoi berean, sartzen ditu urteko % 6 ematen dion kontu batean. Zer kantitate pilatuko du 3 urtean? C = ,06 1, = 5 061,9 0,06 4 Banku batek mailegu bat egin digu, % 6an, eta ,80 -ko urteko 7 kuotatan itzuli behar dugu. Zenbat diru eman digute maileguan? a = C (1 + i) n i 8 C = a (1 + i) n 1 (1 + i) n 1 (1 + i) n i C = ,80 1, = ,06 7 0,06 5 Finantza-enpresa batek mailegua eman dit, eta 1 413,19 -ko urteko 10 kuotatan ordaindu behar dut. Zenbat diru eman didate maileguan korritua % 10,5ekoa bada? C = 1 413,19 1, = , ,105 6 Egiaztatu urtearen amaieran, 8 urtez, 500 urteko kuota ordaintzen badugu % 5ean, guztira 3 87,77 ordainduko dugula. 1. a anualidad: 500 en 7 años ,05 7. a anualidad: 500 en 6 años , a anualidad: 500 en 1 año ,05 8. a anualidad: En total: S = 500 [1 + 1, , ,05 7 ] = 500 1, = 3 87,77 1, Langile batek urtean aurrezten ditu, eta, urtearen hasieran, bankuan sartzen du beti. Bankuak % 9,5eko interesa ematen badio, zer kantitate izango du 10 urteren buruan? ,095 1, = 85 19,59 0,095 10

11 UNITATEA 8 Banku batean sartu ditut urtearen hasieran 5 urtez, % 8an. Zenbat diru izango dut 5. urtearen amaieran? 1. er año en 5 años se convierte en ,08 5. año en 4 años se convierte en , año en 1 año se convierte en ,08 En total, al final del 5. año, tendremos: S = [1,08 + 1, ,08 5 ] = ,08 6 1,08 = 175,75 1,08 1 SAKONTZEKO 9 Pertsona batek pentsio-plan bat zabaldu du 45 urterekin. 00 -ko hileko kuotak ordaintzen ditu, urteko % 9an, eta kapitalizazio-epeak hilekoak dira. Zenbateko kapitala izango du 65 urterekin? 9% anual = 0,75% mensual 0 años = 40 mensualidades C = 00 1,0075 1, = ,0 0, ko mailegua eman digute, urteko % 1an, eta urte batean itzuli behar dugu, hileko kuoten bidez. Bankuak 350 kobratzen dizkigu mailegua emateko unean, gestioagatik. Egiaztatu mailegu horri dagokion UTB % 16,77koa dela. Bankuak kobratzen dizkigu hileko % 1ean, baina benetan hartzen duguna dira, eta urteko % r-an (r = UTB) bankuak kobratzen diguna izango da. Planteatu enuntziatu horri dagokion ekuazioa, eta bakandu r. 1% anual = 1% mensual En realidad, recibimos Devolvemos ,01 1 = 11 68, , = 1, La T.A.E. será del 16,77%. 11

12 67. orrialdea AUTOEBALUAZIOA 1. Langile baten soldata tik E-ra igo da urtearen hasieran. Zenbatekoa izan da aldakuntza-indizea? Eta ehuneko-igoera? Índice de variación: = 1, Porcentaje de subida: 4%. 50 balio zuten praka batzuk 10 merkatu dira beherapenetan. Gero, bigarren beherapenetan, beste % 40 merkatu dituzte. Kalkulatu azken prezioa eta aldakuntza-indizea. 40 Índice de variación de la primera rebaja: I 1 = = 0,80 50 Índice de variación de la segunda rebaja: I = 1 0,40 = 0,60 Índice de variación total: I = I 1 I = 0,80 0,60 = 0,48 Precio final: 50 0,48 = 4 3. Banku batean ezarri ditugu urteko % 3an. Zenbat urte utzi behar dugu diru hori bankuan ,04 -ko etekina lortzeko? Cuando pasen n años, hemos de tener ,04 = ,04. n = , (1,03) n = ,04 8 ( ) 8 1,03 n ,04 = log 1,56 8 n = 8 n = 15 años log 1,03 4. Banku batek urteko % 7 eskaintzen du sartu eta urtez eduki ditugu. Kalkulatu zenbat diru izango dugun urteren buruan kapitalizazio-epeak hilekoak badira. Eta seihilekoak badira? Kalkulatu UTB bi kasuetan. Periodos de capitalización mensuales. Cálculo de la T.A.E.: 7 Al 7% anual le corresponde un = 0,58333% mensual. 1 En un año, el capital se multiplicará por: 1, ,3 = 1,079 1,073 = 1 + La T.A.E. es del 7,3%. 1

13 UNITATEA Cálculo del capital final tras años: (1,073) = ,93 Periodos de capitalización semestrales. Cálculo de la T.A.E.: 7 Al 7% anual le corresponde un = 3,5% semestral. En un año, el capital se multiplica por 1,035 = 1, La T.A.E. es del 7,1%. Cálculo del capital final tras años: (1,071) = ,63 7, ko mailegu bat eskatu dugu, seihileko % 5ean, eta 3 urte barru itzuli behar dugu, ordainketa bakarrean. Zenbat ordaindu beharko dugu? Como 3 años son 6 semestres, el pago ascenderá a: = (1,05) 6 = 6 700,48 ( ) urtean amortizatu behar ditugu, urteko interesa % 10ekoa izanik, eta urte bakoitzean zor dugun kapitalaren interesak eta kapital osoaren herena ordaindu behar ditugu. Kalkulatu zenbateko kuota ordaindu behar dugun urtean. CAPITAL PENDIENTE INTERESES A PAGAR 1. er año ,1 = = º año ,1 = = er año ,1 = = El primer año pagaremos ; el segundo año, 6 000, y el tercero, balio dituen automobil bat erosteko, % 7ko urteko interesa duen mailegu bat eskatu dugu, eta hileko kuoten bitartez ordainduko dugu 6 urtean. Zenbat izango da hileko kuota? Aplicaremos la siguiente fórmula para calcular la mensualidad, m: (1 + i) n i 7 m = C, donde C = , i = y n = 6 1 = 7 (1 + i) n (1,00583) 7 0,00583 m = = 33,89 (1,00583)