FUNTZIOEN LIMITEAK. JARRAITASUNA ETA ADAR INFINITUAK

Transcripción

1 FUNTZIOEN LIMITEAK. JARRAITASUNA ETA ADAR INFINITUAK 7. orrialdea HAUSNARTU ETA EBATZI Ondoz ondoko hurbilketak Egiaztatu honako hau: f () =,5; f (,9) =,95; f (,99) =,995 Kalkulatu f (,999); f (,9999); f (,99999); Aurreko emaitza horiek kontuan hartuta, zentzuzkoa deritzozu esateari 5era hurbiltzen denean f ()-ren balioa 7ra hurbiltzen dela? Honela adieraziko dugu: f () = 7 Si f () =, entonces: f (,999) =,9995; f (,9999) =,99995; f (,99999) =, f () = Kalkulatu, era berean, + 7. f () = 5,5; f (,9) = 5,95; f (,99) = 5,995; f (,999) = 5,9995; f (,9999) = 5,99995 f () = orrialdea. Honako funtzio hauetako bakoitzak etena den puntu bat edo gehiago ditu. Esan zein diren puntu horiek eta zer eten mota duten: + a) y = b) y = c) y = bada? d) y = bada = a) Rama infinita en = (asíntota vertical). b) Discontinuidad evitable en = 0 (le falta ese punto). c) Rama infinita en = 0 (asíntota vertical). d) Salto en =.

2 . Azaldu zergatik diren jarraituak honako funtzio hauek, eta zehaztu zer tartetan dauden definituta: a) y = 5 b) y = 5, <, 0 Ì < c) y = d) y = +, Ó, Ì < 5 a) Está definida y es continua en todo Á. b) Está definida y es continua en 5]. Las funciones dadas mediante una epresión analítica sencilla (las que conocemos) son continuas donde están definidas. c) Está definida en todo Á. Es continua, también, en todo Á. El único punto en que se duda es el : las dos ramas toman el mismo valor para = : = 9 = 5 + = 5 Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (, 5). La función es también continua en =. d) También las dos ramas empalman en el punto (, ). Por tanto, la función es continua en el intervalo en el que está definida: [0, 5). 5. orrialdea. Kalkulatu honako balio hauen limiteak: a) b) (cos ) a) b) 0. Kalkulatu limite hauek: a) + 5 b) log , a) b) 5. orrialdea. Kalkulatu k-ren balioa y = f () funtzioa jarraitua izan dadin Á-n: f () = + k,? 7, = 8 f () = 7 ( + k) = + k + k = 7 8 k =

3 UNITATEA 55. orrialdea. Kalkulatu honako funtzio hauen limiteak adierazten diren puntuetan. Komeni denean, zehaztu zein den limitearen balioa puntuaren eskuinera eta ezkerrera. Adierazi emaitzak grafikoetan: a) f () = en, 0 eta puntuetan b) f () = en, 0 eta puntuetan ( ) c) f () = + en eta puntuetan d) f () = en 0 eta puntuetan + + a) f () = ( + ) ( ) f () f () = +@ No eiste 8 f (). 8 0 f () = f () f () = +@ No eiste 8 f (). b) f () = ( ) ( ) 8 f () 8 0 f () = 8 f () = 0 c) f () = ( ) ( ) ( + ) 8 f () = f () = +@ f () No eiste 8 f ().

4 d) f () = ( + ) 8 0 f () = f () f () = +@ No eiste 8 f (). 5. orrialdea. Esan zein den limitea 8 doanean grafikoen bitartez adierazitako honako funtzio hauetako bakoitzean: y = f () y = f () y = f () y = f () f () f () = f () = +@ f () no eiste. 57. orrialdea. Adierazi honako funtzio hauen limiteen balioak, doanean: a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = e) f () = f) f () = 5 b) +@ d) 0 e) 0 f

5 UNITATEA 58. orrialdea. Kalkulatu f () eta adierazi horren adarrak: a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = 5 a) 0 b) 0 c) 0 d) +. Kalkulatu f () eta adierazi horren adarrak: a) f () = b) f () = 5 c) f () = d) f () = + b) 0 c) +@ d ) 59. orrialdea. Kalkulatu asintota bertikalak, eta kokatu kurba asintoten arabera: a) y = b) y = + + 5

6 a) 8 f () f () = +@ 8 + = es asíntota vertical. b) f () = +@ 8 f () 8 + = es asíntota vertical.. Kalkulatu asintota bertikalak, eta kokatu kurba asintoten arabera: a) y = b) y = a) f () = +@ f () f () f () = +@ = 0 es asíntota vertical. = es asíntota vertical. b) f () = +@ f () = +@ = es asíntota vertical.. orrialdea. Kalkulatu honako funtzio hauen adar infinituak,. Kokatu kurba asintoten arabera: a) y = b) y = + +

7 UNITATEA a) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. b) y = + 8 y = es asíntota oblicua. +. Kalkulatu funtzio hauen adar infinituak,, Kokatu kurba asintoten arabera, baldin eta badaude: a) y = + b) y = + 7 a) f () = 8 y = es asíntota horizontal. b) grado de P grado de Q Ó f () = +@ 8 rama parabólica hacia arriba.. orrialdea. Kalkulatu f () eta adierazi dagokion adarra: f () = + 7 f () = 7 = +@ 7

8 . Kalkulatu f () eta marratu dagozkion adarrak: a) f () = ( + )/( ) b) f () = /( + ) a) f () = = = 0 b) f () = = = +@ orrialdea. Kalkulatu honako funtzio hauen adar infinituak, eta kokatu kurba asintoten arabera: a) y = b) y = + c) y = d) y = a) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. b) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. c) f () = 8 y = es asíntota horizontal. d) y = + 8 y = es asíntota oblicua. + 8

9 UNITATEA. Kalkulatu adar infinituak doanean, eta asintotak badituzte, kokatu kurba asintota horien arabera: a) y = b) y = + + c) y = + d) y = + a) grado P grado Q Ó f () = +@ 8 rama parabólica. b) f () = 8 y = es asíntota horizontal. c) y = y = + es asíntota oblicua. + d) f () = ( ) = +@ 9

10 9. orrialdea PROPOSATUTAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK TREBATZEKO Etenak eta jarraitasuna a) Honako grafiko hauetako zein dagokio fun-tzio jarraitu bati? b) Adierazi beste bost grafikoetan etenaren arrazoia. a) b) c) d) e) f) a) Solo la a). b) b) Rama infinita en = (asíntota vertical). c) Rama infinita en = 0 (asíntota vertical). d) Salto en =. e) Punto desplazado en = ; f () = ; f () =. 8 f ) No está definida en =. Kalkulatu honako funtzio hauen eten-puntuak, baldin eta badaude: a) y = + b) y = ( ) c) y = d) y = e) y = f) y = 5 + a) Continua. b) c) d) Continua. e) 0 y 5 f ) Continua. 0

11 UNITATEA Egiaztatu honako funtzio hauek jarraituak diren = 0 eta = puntuetan: a) y = b) y = c) y = d) y = 7 a) No es continua ni en = 0 ni en =. b) Sí es continua en = 0, no en =. c) No es continua en = 0, sí en =. d) Continua en = 0 y en =. Esan Á-ren zer baliorekin diren jarraituak honako funtzio hauek: a) y = 5 b) y = c) y = d) y = e) y = 5 f) y = a) Á b) [, +@) c) Á {0} 5 d) 0] f) Á ( ] 5 Egiaztatu funtzio hauen grafikoak emandako adierazpen analitikoari dagozkiola eta esan jarraituak ala etenak diren = puntuan. a) f () = > + < b) f () = > c) f () = = a) Continua. b) Discontinua. c) Discontinua.

12 Egiaztatu honako funtzio hau, f () = baldin eta < 0 bada jarraitua den = 0 puntuan. baldin eta Ó 0 bada f () = f (0) egiaztatu be- Gogoan izan f jarraitua izateko = 0 puntuan har dela. f () = f () = f () = = f (0) Es continua en = Aztertu honako funtzio hauek jarraituak diren adierazten diren puntu horietan: ( )/ < a) f () = = puntuan + > < b) f () = = puntuan (/) Ó Ì c) f () = = puntuan + > a) No, pues no eiste f ( ). b) f () = f () = f () =. Sí es continua en = c) f () =? f () =. No es continua en = orrialdea 8 Limitearen ikuspegi grafikoa f () f () Horko horiek, hurrenez hurren, beheko funtzio hauen grafikoak dira: f () = eta f () = ( + ) + Zein da funtzio horietako bakoitzaren limitea, 8 denean? Aztertu funtzioa 8 doanean ezkerretik eta eskuinetik.

13 UNITATEA f () = +@ f () = +@ 8 f () = +@ f () = +@ f () No eiste 8 f (). 9 f (), funtzioaren grafikoaren gainean, kalkulatu: a) f () b) f () c) f () d) f () e) f () f) f () g) f () h) f () a) +@ c) d) 0 e) 0 f ) g) +@ h) 0 Limitea puntu batean 0 Kalkulatu honako limite hauek: a) ( 5 ) b) ( ) c) d) 8 8 0,5 e) 0 + f) log 8 8 g) h) e a) 5 b) 0 c) d) e) f ) g) 0 h) e

14 f () = + < 0, funtzioa emanda, kalkulatu: + Ó 0 a) f () b) f () c) f () Hauste-puntu batean limitea egoteko, alboetako limiteek berdinak izan behar dute. a) 5 b) c) f () = f () = f () = Kalkulatu honako limite hauek: a) b) c) h h d) h 7h h 8 0 h h 8 0 h Atera faktore komuna, eta sinplifikatu frakzioa. a) = = 8 0 ( ) 8 0 ( + ) b) = + = c) h (h ) = h(h ) = 0 h 8 0 h h 8 0 h (h 7) h 7 7 d) = = h 8 0 h h 8 0 Ebatzi honako limite hauek: a) b) 8 8 c) + d) 8 e) + f) ( + ) ( ) a) = 8 ( ) b) + = ( + ) ( + ) = = ( + )

15 UNITATEA ( + ) ( + ) ( ) c) = d) = 8 ( + ) ( ) 8 ( ) ( + ) e) = f ) ( )( + + +) = 8 ( + ) ( + ) 8 ( )( +) f () = Kalkulatu =, = 0 eta = puntuetan. + 8 f () = f () = f () = +@ 8 + f () Limitea edo doanean 5 Kalkulatu honako limite hauek, eta irudikatu lortzen duzun informazioa: a) (7 + ) b) ( c) + 7 d) (7 ) Eman -ri balio handiak eta atera ondorioak. Kalkulatu aurreko ariketako funtzioen limitea doanean eta adierazi lortzen duzun informazio hori. Resolución de los ejercicios 5 y : ) a) (7 + ) (7 + ) = +@ 0 5 b) 0 = +@ 8 ±@ 5 c) ( + 7) 8 ±@ d) (7 ) = +@ 8 ±@ 5

16 7 -ri balio handiak emanez, egiaztatu honako funtzio hauek 0rantz jotzen dutela, doanean. a) f () = b) f () = 0 7 c) f () = d) f () = 00 0 a) f(00) = 0,000 b) f(00) = 0,00 f () = 0 f () = 0 c) f (0 000) = 0,07 d) f (00) = 0,00000 f () = 0 f () = 0 8 Kalkulatu honako funtzio hauetako bakoitzaren limitea, doanean, eta doanean. Adierazi lortzen dituzun emaitzak. a) f () = 0 b) f () = c) f () = d) f () = Cuando : a) f () = +@ b) f () = +@ c) f () d) f () Cuando a) f () b) f () = +@ c) f () = +@ d) f ()

17 UNITATEA 7. orrialdea 9 Kalkulatu honako limite hauek, eta adierazi lor-tzen dituzun adarrak: a) b) ( ) c) d) ( ) e) f) + g) h) Kalkulatu aurreko ariketako funtzio guztien limiteak, doanean. Resolución de los ejercicios 9 y 0: a) = 0; = 0 ( ) ( ) b) = +@; c) = 0; = 0 d) = 0; = 0 ( ) ( ) e) = ; = + + 7

18 f) = +@ g) = ; = + + h) = ; = 5 5 Ebatzi honako limite hauek: a) b) ( ) ( ) c) d) ( + ) + 5 a) c) 0 d) +@ Kalkulatu honako funtzio hauen limitea, Kalkulatu honako funtzio hauen limitea, doanean, eta adierazi lor-tzen dituzun adarrak: a) f () = b) f () = 0 c) f () = d) f () = a) f () = 0; f () = 0 b) f () f () = +@ c) f () = +@; f () d) f () = ; f () = 8

19 UNITATEA Asintotak Kalkulatu honako funtzio hauen asintotak, eta kokatu kurba asintota horietako bakoitzaren arabera: a) y = b) y = + c) y = d) y = + a) Asíntotas: b) Asíntotas: = ; y = = ; y = c) Asíntotas: d) Asíntotas: = ; y = = ; y = 0 Kalkulatu honako funtzio hauen asintotak, eta kokatu kurba asintota horien arabera: a) y = b) y = + + c) y = d) y = a) Asíntota: y = b) Asíntota: y = 0 9

20 c) Asíntotas: = 0; y = d) Asíntota: = 5 Kalkulatu honako funtzio hauen asintotak, eta kokatu kurba asintota horien arabera: + a) f () = b) f () = 5 c) f () = d) f () = e) f () = + 9 f) f () = ( + ) a) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = b) Asíntota vertical: = 5 Asíntota horizontal: y = c) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = 0 d) Asíntota vertical: y = 0 No tiene más asíntotas. 0

21 UNITATEA e) Asíntota vertical: =, = Asíntota horizontal: y = 0 f ) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = 0 Honako funtzio hauetako bakoitzak asintota zeihar bat du. Kalkulatu eta aztertu zer posizio hartzen duen kurbak asintota horren arabera: a) f () = b) f () = + + c) f () = d) f () = + e) f () = f) f () = + a) = Asíntota oblicua: y = b) + = + + Asíntota oblicua: y = + c) = Asíntota oblicua: y = d) + 0 = + + Asíntota oblicua: y = +

22 e) = + Asíntota oblicua: y = f) + = + Asíntota oblicua: y = EBAZTEKO 7 Kalkulatu honako funtzio hauen limiteak izendatzailea anulatzen den puntuetan: a) f () = b) f () = + c) f () = t d) f (t) = t t a) f () = +@; f () b) f () = 8 0 ( ) f () f () = +@; f () f () = +@ c) f () = ( ) ( ) ( + ) 8 f () = = ; f () = +@; f () t d) f (t) = (t ) ; f (t ) = t t Kalkulatu honako funtzio hauen asintotak, eta kokatu kurba asintota horien arabera: 5 a) y = b) y = c) y = + 7 d) y = e) y = f) y =

23 UNITATEA a) Asíntotas: = ; y = / / 5/ 5 b) Asíntotas: y = ; = 7 7/ c) Asíntotas: y = 0; = ± d) Asíntota: y = e) Asíntotas: y = ; =, = f ) Asíntotas: = ; y =

24 9 Kalkulatu funtzio hauen adar infinituak. Asintotak dituzunean, kokatu kurba: a) y = ( + ) b) y = c) y = ( + ) d) y = e) y = f) y = a) f () = +@; f () = +@ Asíntota vertical: = 0 b) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = c) Asíntotas verticales: =, = Asíntota horizontal: y = 0 d) Asíntota horizontal: y = e) Asíntota vertical: = Asíntota oblicua: y = f) f () = +@; f () = +@ Asíntota vertical: = 5 5

25 UNITATEA 7. orrialdea 0 Frogatu f () = funtzioak asintota bertikal bat bakarrik eta horizontal bat bakarrik dituela. 8 f () ez dela ikusiko duzu. f () = ; f () f () = +@; f () = ±@ Asíntota vertical: = 0 Asíntota horizontal: y = Kalkulatu honako limite hauek, eta adierazi lortzen dituzun emaitzak: a) b) a) ( ) ( + ) = = 8 8 ( ) 5 b) + ( ) ( ) = = ( ) 8 Calculamos los ites laterales: = +@; Kalkulatu honako limite hauek, eta adierazi lortzen dituzun emaitzak: a) b) c) d)

26 a) ( ) = = ( + ) 8 0 ( + ) Calculamos los ites laterales: = +@; 8 0 ( + ) ( + ) b) + = ( + ) = ( + ) Calculamos los ites laterales: 8 + = +@ c) ( ) ( = ) = 8 8 d) 8 ( ) ( + ) = = ( ) 8 Calculamos los ites laterales: ( + ) ( + ) = +@ ( + ) Kalkulatu funtzio hauen asintotak: a) y = b) y = + c) y = + 5 d) y = ( ) e) y = + f) y = a) y = + b) Asíntota vertical: = 0 ( ) ( + ) Asíntotas verticales: =, = Asíntota oblicua: y = c) Asíntota horizontal: y = d) Asíntota horizontal: y = 0 Asíntotas verticales: = ± e) Asíntota vertical: = 5 f ) Asíntota vertical: = 0 Asíntota oblicua: y = Asíntota oblicua: y = + 5

27 UNITATEA Adierazi honako funtzio hauek, eta azaldu etenak diren punturen batean: baldin eta < bada. a) f () = 5 baldin eta Ó bada. baldin eta Ì 0 bada. b) f () = + baldin eta > 0 bada. c) f () = baldin eta < bada. baldin eta > bada. a) Discontinua en =. 5 b) Función continua. 8 8 c) Discontinua en =. 5 5 a) Kalkulatu aurreko ariketako funtzioen limiteak = eta = 5 puntuetan. b) Kalkulatu, funtzio horietako bakoitzean, limitea doanean eta doanean. a) f () = 7; f () = 0; f () f () b) f () = ; f () = ; f () = +@; f () = c) f () = 7; f () = 5; f () = +@; f () = +@

28 Kalkulatu, kasu hauetako bakoitzean, zenbatekoa izan behar duen k-ren balioak f () fun-tzioa jarraitua izateko Á osoan. a) f () = baldin eta Ì bada. (/) baldin eta < bada. b) f () = + k baldin eta > bada. + k baldin eta Ó bada. ( c) f () = + )/ baldin eta? 0 bada. k baldin eta = 0 bada. a) 8 f () = 5 = f () f () = + k = + k 8 k = b) f () = f () = + k = f () 5 = + k 8 k = / ( + ) c) f () = = 8 k = Aztertu funtzio hauen jarraitasuna: baldin eta < bada. a) f () = / baldin eta Ó bada. baldin eta Ó bada. b) f () = baldin eta < < bada. baldin eta Ó bada. c) f () = baldin eta Ì 0 bada. + baldin eta > 0 bada. a) f () = f () = f () = 8 Continua en = ? 8 Continua. Es continua en Á. b) f () = f () = f ( ) = 0 8 Continua en = f () = f () = f () = 0 8 Continua en = ? y? 8 Continua. Es continua en Á. c) 8 0 f () =? f () = 8 Discontinua en = 0. Si? 0, es continua. 8

29 UNITATEA 8 Kalkulatu a-ren balioa, honako funtzio hauek jarraituak izan daitezen = puntuan: + baldin eta Ì bada. ( a) f () = b) f () = )/( )? bada. a baldin eta > bada. a = bada. a) 8 f () = = f () f () = a 8 + ( ) ( + ) b) f () = = 8 8 ( ) f () = a = a 8 a = 9 Enpresa batean katean muntatzen dituzte piezak. Esperientziarik gabeko langile batek muntatzen dituen piezen kopurua, lanean egindako egun 0t kopuruaren araberakoa da, M(t) = funtzioaren arabera (t egunetan). t + a) Zenbat pieza muntatuko ditu lehenengo egunean? Eta hamargarrenean? b) Adierazi funtzioa, jakinda entrenamendurako epea hilabetekoa dela. c) Zer gertatuko litzateke muntatutako pieza kopuruarekin entrenamendua askoz luzeagoa izanez gero? a) M () = montajes el primer día. M (0) =, 8 montajes el décimo día. a = b) 5 MONTAJES DÍAS 0t t + c) Se aproima a 0 ( pues = 0 ). t 8 +@ 0 Enpresa baten gastuak diru-sarreren araberakoak dira: Honela 0, Ì 000 g () = 000/( + 50) > 000 Bai diru-sarrerak eta bai gastuak eurotan adierazita badaude, a) Adierazi g () eta adierazi funtzio jarraitua den. b) Kalkulatu g ()-ren limitea doanean, eta azaldu horren esanahia. 9

30 a) GASTOS ( ) Es continua INGRESOS ( ) b) g () = 000. Como máimo gasta 000 al mes. 7. orrialdea GALDERA TEORIKOAK Kalkula daiteke funtzio baten limitea funtzio hori definituta ez dagoen puntu batean? Izan daiteke funtzioa jarraitua puntu horretan? Sí se puede calcular, pero no puede ser continua. Izan dezake funtzio batek bi asintota bertikal baino gehiago? Eta bi asintota horizontal baino gehiago? Jarri adibideak. Sí. Por ejemplo, f () = tiene = 0, = y = como asíntotas verticales. ( )( ) No puede tener más de dos asíntotas horizontales, una hacia y otra como en esta gráfica: f () funtzio baten izendatzailea anulatu egiten da, = a. denean. Ziurta dezakegu asintota bertikal bat duela = a? Jarri adibideak. No. Por ejemplo, f () = + en = 0; puesto que: ( + ) f () = =

31 UNITATEA Adierazi baldintza hauek betetzen dituen funtzio bat: f () = +@, f () =, f () = 0 8 Etena da punturen batean? Sí, es discontinua al menos en =. SAKONTZEKO 5 Kalkulatu honako funtzio esponentzial hauen adar infinituak: a) y = + b) y = 0,75 c) y = + e d) y = e a) f () = +@; f () = 0 Asíntota horizontal cuando y = 0 b) f () = 0; f () = +@ Asíntota horizontal cuando : y = 0 c) f () = +@; f () = Asíntota horizontal cuando y = d) f () = 0; f () = +@ Asíntota horizontal cuando y = 0 ( ) = +@ denez, kalkulatu adierazpena baino handiagoa egingo duen -ren balio bat. Por ejemplo, para = 00, f () = Kalkulatu f () = 5 funtzioa 0,00 baino tikiagoa egingo duen -ren balio bat. Por ejemplo, para = 000, f () = 0,000.

32 8 Zein da funtzio logaritmiko hauen asintota bertikala? Kalkulatu horien limitea, doanean: a) y = log ( ) b) y = ln( + ) a) Asíntota vertical: = f () = +@ b) Asíntota vertical: = f () = +@ 7. orrialdea AUTOEBALUAZIOA 5, Ì. Kalkulatu funtzio honek f () = = eta = 5 puntuetan. 7, > zer limite duen = 0, Esan funtzioa jarraitua den = puntuan. f () = ( 5) = f () = ( 5) = 8 f () = ( 7) = No eiste el ite de f () cuando tiende a. f () = ( 7) = La función no es continua en =, porque no eiste el ite de la función en ese punto.. Kalkulatu honako limite hauek: a) b) c) ( ) 8 a) = = b) = = c) = +@ 8 ( ) (Si 8 + o si 8, los valores de la función son positivos.)

33 UNITATEA. a) b) Bi funtzio hauen grafikoaren gainean, kalkulatu, kasu bakoitzean, honako limite hauek: f (); f (); f (); f () a) f () No tiene ite en =. 8 f () 8 f () = f () = 0 f () = +@ b) f () = f () f () = f () = 8 8 f () = +@ f () f () = No tiene ite en = , <. Kalkulatu zenbatekoa izan behar duen a-ren balioak f () = funtzioa =. puntuan jarraitua izateko. Izan daiteke etena beste punturen a, Ó batean? Para que f () sea continua en =, debe cumplir que: f () = f () Veamos: f () = ( 5) = f () = 8 + ( a) = a Como deben coincidir: = a 8 a =

34 5, si < Por tanto, f () =, si Ó No puede ser discontinua en ningún otro punto, por estar definida mediante funciones polinómicas. 5. Justifikatu zer balio izan behar duen a-k, fun-tzioa jarraitua izan dadin Á osoan: a baldin eta Ì bada f () = a baldin eta > bada f () = a si Ì a si > La función es continua para valores de menores que y mayores que, porque ambos tramos son rectas. Para que sea continua en =, debe cumplirse: f () = f () f () = a 8 f () f () = a f () = a Para que eista el ite, debe ser: a = a 8 a = 8 a = 8 +. Aurkitu y = funtzioaren asintotak, eta aztertu zer posizio duen kurbak horien inguruan. Asíntota vertical: f () = +@ 8 f () 8 + Así, = es una asíntota vertical. Asíntota horizontal: 8@ f () = 8 y = Si, f () < 0 8 la curva está por debajo de la asíntota. Si f () > 0 8 la curva está por encima de la asíntota. No tiene asíntotas oblicuas.

35 UNITATEA 7. Adierazi honako baldintza hauek betetzen dituen funtzio bat: f () f () = +@ f () = 0 f () = Aztertu y = funtzioaren adar infinituak, eta adierazi lortzen duzun + informazioa = +@ = +@ = +@ 9. Honako funtzio hauetako zeinek du asintota zeihar bat? Aurkitu eta kokatu kurba beraren inguruan. + a) y = b) y = c) y = + ( ) + La única que tiene asíntota oblicua es la función b) y =. + + y = = + La asíntota es y =. Como > 0, la curva está por encima de la asíntota. 5