MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

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1 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II SIGMA 28 José M. Oñate (*) y Jesús de la Cal (**) 1. PREÁMBULO El Decreto de Enseñanzas Mínimas (BOPV del 29 de Agosto de 1997) recoge las normas generales que regulan la enseñanza de esta asignatura en la Comunidad Autónoma del País Vasco. A tal efecto, es responsabilidad de cada centro la tarea de elaborar, al comienzo de cada curso, una programación adecuada en función de sus propias circunstancias. Ahora bien, como siempre que se entra en una nueva etapa, se plantea la conveniencia de que exista un programa de referencia, que desarrolle y concrete las disposiciones del mencionado decreto, y que sirva a dos propósitos principales: Por una parte, orientar a aquellos profesores y centros que carecen de experiencia suficiente en este tipo de enseñanzas; por otra, fijar de la manera más clara posible el marco al que se van a ajustar las pruebas de acceso a la universidad. El presente documento contiene la propuesta que hemos diseñado con la colaboración, que desde aquí agradecemos muy sinceramente, de los siguientes profesores: D. Antón Carranza Goyenetxe, D. Lucio Fernández Palazuelos, D. Fermín Porras Bocanegra, y Dª Macarena Sánchez-Sauthier. En relación con el programa que se presenta, cabe hacer una serie de consideraciones previas. El decreto arriba mencionado contempla cinco bloques de contenidos: Bloque 1: Contenidos actitudinales. Bloque 2: Resolución de problemas. Bloque 3: Álgebra. Bloque 4: Análisis. Bloque 5: Estadística y Probabilidad. Se trata de bloques de naturaleza muy diferente. Los tres últimos delimitan los contenidos conceptuales o materiales propios de la asignatura y son susceptibles de una especificación más detallada. En cambio, los dos primeros se refieren a los valores (educativos, intelectuales, etc.), y a los métodos de pensamiento y de actuación que se debe fomentar y desarrollar en los alumnos. Pensamos que esta labor, que se rehusa a cualquier intento de programación de validez universal, y que reclama del profesorado lo mejor de su capacidad, experiencia y entusiasmo, debe realizarse al hilo del estudio de los temas propiamente matemáticos; dudamos incluso que tenga sentido hacerla de manera separada. (*) Coordinador del Dpto. de Educación (G.V.). (**) Coordinador de la U.P.V./E.H.U. Mayo ko Maiatza 131

2 José M. Oñate y Jesús de la Cal Por esta razón, el programa se limita a articular sistemáticamente, en temas y epígrafes, los contenidos conceptuales de los bloques 3-5, sin hacer referencia a cuestiones que ya están suficientemente consideradas en el decreto, como objetivos generales, o contenidos actitudinales o procedimentales. No debe olvidarse, sin embargo, que son estas últimas las que perfilan de hecho el enfoque con el que se deben tratar los distintos puntos: un enfoque eminentemente práctico, en el que los ejemplos, las ilustraciones, los ejercicios de aplicación y/o interpretación, y los problemas han de tener un papel preponderante, y que debe intentar aprovechar los recursos de visualización y de cálculo que proporcionan las calculadoras científicas, ciertos programas de ordenador, etc. Con el fin de hacer una programación coherente y completa, algunos temas incluyen cuestiones que corresponden a la asignatura de Primero de Bachillerato LOGSE (Matemáticas Aplicadas a las CC.SS. I). Son aquellas (y solo aquellas) que es necesario revisar o ampliar antes de abordar la materia propia de este Segundo Curso. Por otra parte, se han encerrado entre corchetes algunos puntos que conviene enseñar a los alumnos, si se dispone del tiempo suficiente, pero que no serán objeto de examen en la prueba de acceso a la universidad. Pensamos que, en condiciones normales, el tiempo lectivo puede distribuirse por igual entre los tres bloques de materia. Por último, incluimos en este documento la información pertinente sobre la prueba de acceso a la universidad y los criterios de evaluación que se hace llegar a los distintos tribunales de la misma. 2. PROGRAMA Álgebra Tema 1: Sistemas de ecuaciones lineales Ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones. Sistemas equivalentes. Métodos de resolución. Planteamiento de problemas lineales. Tema 2: Puntos y rectas en el plano Coordenadas cartesianas. Rectas en el plano y ecuaciones lineales con dos incógnitas. Pendiente de una recta. Ecuación de una recta a partir de un punto y la pendiente. Significado geométrico de los sistemas lineales con dos incógnitas. Semiplanos e inecuaciones lineales con dos incógnitas. Representación gráfica de conjuntos de puntos definidos por sistemas de inecuaciones lineales. Tema 3: Programación lineal (dos variables) Problemas típicos de programación lineal: el problema de la dieta; el problema del transporte. Función objetivo y condiciones de ligadura. Resolución gráfica de problemas de programación lineal. Tema 4: Matrices Matrices: sus tipos. Operaciones con matrices: adición, multiplicación por un escalar, multiplicación de matrices. Propiedades. Matriz unidad. Concepto de matriz inversa. Tema 5: Determinantes Concepto de determinante de una matriz cuadrada. Determinantes de órdenes 2 y 3: regla de Sarrus. Propiedades de los determinantes. Menor complementario y adjunto de un elemento. Desarrollo por los elementos de una línea. Cálculo de la matriz inversa. 132 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

3 Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II Tema 6: Matrices, determinantes y sistemas lineales Expresión matricial de un sistema. Sistemas de Cramer: resolución matricial y fórmulas de Cramer. [Rango de una matriz. Teorema de Rouché-Fröbenius. Sistemas con parámetros: clasificación y resolución.] Análisis Tema 7: Funciones y gráficas Funciones: expresión analítica y representación gráfica. El papel de las funciones en la descripción de fenómenos. Representación de las funciones elementales: polinómicas de grado 1 y 2, proporcionalidad inversa, exponencial, logarítmica y trigonométricas. Composición de funciones. Funciones definidas a trozos. Funciones pares e impares: simetrías. Noción intuitivo-geométrica de límite y continuidad. Tipos de discontinuidades. Interpretación de gráficas: terminología básica; ejemplos prácticos. Tema 8: Derivadas y aplicaciones Tasa de variación media e instantánea de una función. Derivada de una función en un punto: significado geométrico. Recta tangente a una curva en uno de sus puntos. Función derivada. Derivadas sucesivas. Reglas de derivación: funciones elementales, sumas, productos, cocientes, funciones compuestas. Relación de las derivadas con las propiedades de las funciones: crecimiento, concavidad, extremos relativos, inflexiones. Problemas de máximos y mínimos. Representación gráfica de funciones polinómicas, racionales o trascendentes sencillas, y de funciones definidas a trozos. Determinación de una función polinómica de grado 1 ó 2, cuando se conocen algunos valores de ella y/o de sus derivadas. Tema 9: Integrales y aplicaciones Primitiva e integral indefinida de una función. Integrales inmediatas. Métodos de integración: descomposición, sustitución, integración por partes. La integral definida y su significado geométrico. Regla de Barrow. Cálculo de áreas de recintos planos. Estadística y Probabilidad Tema 10: Probabilidad Fenómenos aleatorios y regularidad estadística. La noción clásica de probabilidad. Problemas combinatorios. Formulación de problemas probabilísticos en términos conjuntistas: espacio muestral, sucesos, función de probabilidad. Experimentos aleatorios compuestos. Probabilidad condicional: fórmulas del producto, de la probabilidad total y de Bayes. Sucesos independientes. Tema 11: Distribuciones binomial y normal El número de éxitos en n repeticiones de un experimento. La distribución binomial: media y desviación típica. La distribución normal estándar. Distribuciones normales: estandarización. Tablas y cálculo de probabilidades con distribuciones normales. Aproximación de la binomial a la normal. Aplicaciones. Tema 12: Inferencia estadística El objetivo de la inferencia estadística. Poblaciones y muestras. Tipos de muestreo. El muestreo aleatorio. Distribuciones muestrales de medias y proporciones (muestras grandes, poblaciones infinitas). [El papel de la Estadística en las Ciencias Sociales. Las encuestas: aspectos teóricos, técnicos, económicos, etc.] Mayo ko Maiatza 133

4 José M. Oñate y Jesús de la Cal Tema 13: Intervalos de confianza La estimación como forma de inferencia. Intervalo de confianza para una media o una proporción. Nivel de confianza. Tema 14: Contrastes de hipótesis Formulación de hipótesis relativas a una media o una proporción. Hipótesis simples y compuestas (unilaterales, bilaterales). Hipótesis nula y alternativa. Test, nivel de significación, región crítica. Errores de tipo I y de tipo II. [Potencia del test. Contrastes de hipótesis relativas a diferencias de medias o proporciones.] 3. PRUEBA DE ACCESO A LA UPV/EHU Características de la prueba El modelo utilizado hasta la fecha es el siguiente: Cada prueba está compuesta por cuatro apartados: A, B, C, D. En cada apartado hay dos ejercicios o problemas. El alumno debe elegir un problema de cada apartado. Los problemas del apartado A corresponden al bloque de Álgebra (temas 1-6), los del B al bloque de Análisis (temas 7-9), los del C al tema 10, y los del D a los temas Los problemas de los apartados A y B se evalúan sobre un máximo de 3 puntos, y los de los apartados C y D sobre un máximo de 2 puntos. Se admite el uso de calculadoras científicas que no tengan prestaciones de comunicación a distancia. La hoja de enunciados lleva incorporada una reproducción de la tabla de valores de la distribución normal estándar. El tiempo disponible es de una hora y media. Comentarios Grado de dificultad. Los distintos ejercicios tendrán un grado de dificultad moderado (especialmente por lo que al cálculo se refiere), como corresponde a la propia naturaleza de la asignatura, y a las limitaciones explícitas e implícitas que establece el programa arriba descrito. No cabe esperar por tanto sistemas de ecuaciones con más de tres incógnitas, ni funciones racionales con denominadores complicados, ni un especial énfasis en las funciones trigonométricas (menos aún en las inversas), etc. Se tomarán siempre como referencia los problemas contenidos en los libros de texto existentes en el mercado y de uso habitual en los centros. Otra referencia es la proporcionada por las pruebas de años anteriores. Alternativas. Se procurará que los dos problemas alternativos que aparecen dentro de un mismo apartado no sean del mismo tipo. Por ejemplo, si uno de los problemas del apartado A conlleva el planteamiento y resolución de un sistema de ecuaciones, el otro puede ser de programación lineal, o de cálculo matricial. Sin embargo, puede haber cruces entre bloques; por ejemplo, para hallar dos parámetros de una función puede ser necesario plantear y resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. De nuevo nos remitimos a las pruebas de años anteriores para más indicaciones sobre esta cuestión. 134 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

5 Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales II Problemas contextualizados. Llamamos así a los problemas que no están directamente formulados en términos matemáticos, sino en términos económicos, sociológicos, o de la vida corriente. Uno de los objetivos principales de esta asignatura es el de aprender a plantear y resolver este tipo de problemas. Los cuatro ejercicios de los apartados C y D serán problemas contextualizados. Se procurará también que en cada uno de los apartados A y B haya algún problema de esta clase. Bibliografía El Servicio Editorial de la UPV/EHU ha editado libros que contienen las pruebas resueltas de años anteriores. 4. CRITERIOS DE EVALUACION Todos los tribunales nombrados para calificar las pruebas de acceso a la UPV/EHU reciben, en el momento de su constitución, los criterios de evaluación de las distintas asignaturas, que han sido elaborados por los coordinadores respectivos. Los criterios correspondientes a la asignatura que nos ocupa son los siguientes: 1. El sistema de puntuación de los distintos ejercicios que componen la prueba figura en la nota de cabecera de la hoja de examen que se entrega a los alumnos. 2. Cuando un ejercicio conste de varios apartados, todos ellos se valorarán por igual. 3. Para la calificación de cada ejercicio o apartado, se tendrán en cuenta los siguientes aspectos, por orden de importancia: Positivamente (a). Los planteamientos adecuados y la comprensión o utilización correcta de los conceptos involucrados. (b). La terminación completa del ejercicio y la exactitud del resultado. Se considerarán igualmente válidas dos soluciones que solo se diferencien en el grado de exactitud empleado en los cálculos numéricos. (c). El conocimiento de técnicas específicas de aplicación directa para el cálculo y/o interpretación de datos numéricos y gráficos. (d). La claridad de las explicaciones de los pasos seguidos. (e). La pulcritud de la presentación, y cualquier otro aspecto que refleje la madurez que cabe esperar de un alumno que aspira a realizar estudios universitarios. Negativamente (a). Los planteamientos incorrectos y la confusión de conceptos. (b). Los errores cometidos en la resolución, cuando por su abundancia y significación sean indicativos de graves deficiencias de orden más básico o profundo; por ejemplo, de falta de una mínima reflexión crítica o sentido común. Mayo ko Maiatza 135

6 SIGMA 28 LOGSE. JUNIO UPV/EHU. MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II NOTAS. (1) Hay que elegir y desarrollar un ejercicio (el 1 ó el 2) de cada uno de los cuatro apartados que siguen (A, B, C y D). (2) Los ejercicios de los apartados A y B se evalúan sobre un máximo de tres puntos, y los de los apartados C y D sobre un máximo de dos puntos. (3) Se permite el uso de calculadoras científicas, excepto las programables. (4) Al dorso hay una tabla de la distribución normal estándar. APARTADO A Ejercicio A.1 A una persona que dispone de euros se le ofrecen dos fondos de inversión, A y B, con rentabilidades respectivas del 12% y el 8%. El A tiene unas limitaciones legales de euros de inversión máxima, mientras que el B no tiene limitación alguna, pero se aconsejano invertir en él más del doble de lo que se invierta en A. (a) Qué cantidad debe invertir en cada fondo para que el beneficio sea máximo? (b) A cuánto ascendería ese beneficio máximo? Ejercicio A.2 Hallar la matriz X que cumple A -1 XA = B, siendo 4) 4) A:=( , B:=( APARTADO B Ejercicio B.1 La derivada de cierta función f es f' (x) = x 2-1. (a) Representar gráficamente f' y deducir de esa gráfica los intervalos de crecimiento y de concavidad de f. (b) Hallar f sabiendo que Ejercicio B.2 f (0) = 1. (a) Calcular 1-1 x (x2-1) dx. (b) Explicar mediante un gráfico el significado geométrico del valor obtenido. 136 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

7 LOGSE EKO EKAINA. UPV/EHU GIZARTEZIENTZIETAN APLIKATUTAKO MATEMATIKA II SIGMA 28 OHARRAK. (1) A, B, C eta D taldeetako bakoitzetik ariketa bana aukeratu eta ebatzi behar da. (2) A eta B taldeetako ariketak 0 eta 3 puntu artean baloratuko dira eta C eta D taldeetakoak 0 eta 2 puntu artean. (3) Kalkulagailu zientifikoen erabilera onartuta dago, programagarriak izan ezik. (4) Atzean, banaketa normal laburtuaren (estandarraren) taula dago. A TALDEA A.1 ariketa euro dituen pertsona bati bi inbertsio-fondo, A eta B, eskeini zaizkio, beraien errentagarritasunak %12a eta %8a izanik, hurrenez hurren. Legeak jarritako mugak direla eta, A fondoan inbertsio maximoa eurokoa da. B fondoan aldiz ez dago halako mugarik, baina komenigarria da A fondoan inbertituko denaren bikoitza baino gehiago ez inbertitzea. (a) Zein kantitate inbertitu behar du fondo bakoitzean etekinik handiena lortzeko? (b) Zenbatekoa izango da etekin maximo hori? A.2 ariketa Aurkitu A -1 XA = B berdintza betetzen duen X matrizea, ondoko datuak jakinik: B TALDEA 4) 3 3 A:=( ) 3 3, B:=( B.1 ariketa f funtzio jakin baten deribatua f' (x) = x 2-1 da. (a) Adierazi grafikoki f' eta lortutako grafikoa erabili f funtzioaren gorapen- eta ahurtasun-tarteak zehazteko. (b) Kalkulatu f funtzioa f (0) = 1 dela jakinik. B.2 ariketa (a) Kalkulatu 1-1 x (x2-1) dx. (b) Lortutako balioaren esanahi geometrikoa azaldu grafiko baten bidez. Mayo ko Maiatza 137

8 Logse. Junio UPV/EHU. Matematicas aplicadas a las ciencias sociales II APARTADO C Ejercicio C.1 Se hacen tres lanzamientos de un dado. Si en el primer lanzamiento sale un 2, Qué es más probable, que la suma de las puntuaciones sea un número par o que tal suma sea impar? Ejercicio C.2 De dos sucesos A y B se sabe que son independientes, que la probabilidad de que ocurra alguno de ellos es 5/6 y que la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es 1/3. Hallar las probabilidades de A y de B. APARTADO D Ejercicio D.1 La talla de los recién nacidos se distribuye normalmente, pero mientras que en la Comunidad Autónoma A la media es de 52 cm y la desviación típica de 3 cm, en la B la media es de 53 cm y la desviación típica de 5 cm. (a) Hallar, en el primero de los casos, entre qué valores simétricos respecto a la media está el 50% (central) de las tallas de los recién nacidos. (b) Determinar en cuál de las dos comunidades es mayor la proporción de recién nacidos con talla superior a 50 cm. Ejercicio D.2 En una fábrica de componentes electrónicos, la proporción de componentes finales defectuosos era del 20%. Tras una serie de operaciones e inversiones destinadas a mejorar el rendimiento se analizó una muestra aleatoria de 500 componentes, encontrándose que 90 de ellos eran defectuosos. Qué nivel de confianza debe adoptarse para aceptar que el rendimiento no ha sufrido variaciones? 138 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

9 Logse eko ekaina. UPV/EHU. Gizartezientzietan aplikatutako matematika II C TALDEA C.1 ariketa Dado bat hiru aldiz jaurti da. Lehenengo jaurtiketan 2 atera bada, zein probabilitate izango da handiagoa, puntuazioen batura zenbaki bikoitia izatearena ala batura hori bakoitia izatearena? C.2 ariketa Bi gertaerari buruz, A eta B, ondoko datuak ezagunak dira: gertaerak independenteak dira, bietakoren bat gertatzearen probabilitatea 5/6 da eta biak batera gertatzearena 1/3. Kalkulatu A eta B gertaeren probabilitatea. D TALDEA D.1 ariketa Jaioberrien altuerak banaketa normala jarraitzen duela jakina da. A autonomia-erkidegoan banaketaren batezbestekoa 52 zm da eta desbideratze tipikoa 3 zm eta B autonomia-erkidegoan aldiz, batezbestekoa 53 zm eta desbideratze tipikoa 5 zm. (a) Kalkulatu, lehenengo kasuan, batezbestekoarekiko simetrikoak diren zein balioren artean dagoen jaioberrien altueren %50a (zentrala). (b) Zehaztu bi erkidegoen artean zeinek daukan 50 zm baino altuera handiagoko jaioberrien proportziorik handiena. D.2 ariketa Osagai elektronikoak egiten dituen lantegi batean, osagai akastunen proportzioa %20a zen. Errendimendua hobetzeko zenbait ekintza eta inbertsio egin ondoren, 500 osagaiko zorizko lagina aztertu zen eta horien artean 90 akastunak gertatu ziren. Zein konfiantza-maila hartu behar da errendimendua aldatu ez dela onartzeko? Mayo ko Maiatza 139

10 Logse. Junio UPV/EHU. Matematicas aplicadas a las ciencias sociales II LOGSE. JUNIO UPV/EHU. MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II NOTAS. (1) Hay que elegir y desarrollar un ejercicio (el 1 ó el 2) de cada uno de los cuatro apartados que siguen (A, B, C y D). (2) Los ejercicios de los apartados A y B se evalúan sobre un máximo de tres puntos, y los de los apartados C y D sobre un máximo de dos puntos. (3) Se permite el uso de calculadoras científicas, excepto las programables. (4) Al dorso hay una tabla de la distribución normal estándar. APARTADO A Ejercicio A.1 Un camión de 9 t debe transportar mercancías de dos tipos: A y B. La cantidad de A no puede ser inferior a 4 t ni superior al doble de la cantidad de B. Si el transportista gana 0.03 euros por cada kg de A y 0.02 euros por cada kg de B, cómo debe cargar el camión para obtener la máxima ganancia? A cuánto ascendería esa ganancia? Ejercicio A.2 Hallar la matriz X que cumple AXA = 2BA, siendo A:=( 2 1 2) ( 3, B:= 1 0 3). 2 APARTADO B Ejercicio B.1 Encontrar la función cuya segunda derivada es la constante 2, y cuya gráfica presenta un mínimo en el punto (1,2). Ejercicio B.2 Hacer la representación gráfica y calcular el área de la región de vértices O(0,0), A(1,0), B(2,1) y C(0,2) en la que los lados OA, OC y BC son segmentos rectilíneos y el AC es un arco de la curva y = x - 1. APARTADO C Ejercicio C.1 En la urna U 1 hay 4 bolas blancas, numeradas de 1 a 4, y 2 bolas negras, numeradas de 1 a 2, mientras que en la urna U 2 hay 2 bolas blancas, numeradas de 1 a 2, y 4 bolas 140 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

11 Logse eko ekaina. UPV/EHU. Gizartezientzietan aplikatutako matematika II LOGSE EKO EKAINA. UPV/EHU GIZARTEZIENTZIETAN APLIKATUTAKO MATEMATIKA II OHARRAK. (1) A, B, C eta D taldeetako bakoitzetik ariketa bana aukeratu eta ebatzi behar da. (2). A eta B taldeetako ariketak 0 eta 3 puntu artean baloratuko dira eta C eta D taldeetakoak 0 eta 2 puntu artean. (3) Kalkulagailu zientifikoen erabilera onartuta dago, programagarriak izan ezik. (4) Atzean, banaketa normal laburtuaren (estandarraren) taula dago. A TALDEA A.1 ariketa 9 tonako kamioi batek bi motako merkantziak garraiatu behar ditu: A eta B. A motako merkantzia-kantitatea ezin da 4 tona baino txikiagoa izan ezta B motako kantitatearen bikoitza baino handiagoa ere. Garraiolariak A motako kg bakoitzeko 0.03 euro irabazten badu eta B motako kg bakoitzeko 0.02 euro, nola kargatu beharko du kamioia irabazia maximoa izan dadin? Zenbatekoa izango litzateke irabazi hori? A.2 ariketa Aurkitu AXA = 2BA berdintza betetzen duen X matrizea, ondoko datuak jakinik: A:=( 2 1 2) ( 3, B:= 1 0 3). 2 B TALDEA B.1 ariketa Aurkitu ondoko baldintzak betetzen dituen funtzioa: bere bigarren deribatua 2 konstantea da eta bere grafikoak (1,2) puntuan minimo erlatiboa du. B.2 ariketa Adierazi grafikoki O(0,0), A(1,0), B(2,1) eta C(0,2) erpinetako eskualdea eta bere azalera kalkulatu ondoko datuak erabiliz: OA, OC eta BC aldeak zuzenak dira; AB aldea y = x - 1 kurbaren arkua da. C TALDEA C.1 ariketa U 1 kutxan 4 bola zuri daude, 1etik 4ra zenbakituak, eta 2 bola beltz, 1etik 2ra zenbakituak. U 2 kutxan berriz, 2 bola zuri daude, 1etik 2ra zenbakituak, eta 4 bola beltz, 1etik 4ra Mayo ko Maiatza 141

12 Logse. Junio UPV/EHU. Matematicas aplicadas a las ciencias sociales II negras, numeradas de 1 a 4. Si se extraen al azar dos bolas, una de cada urna, hallar: (a) La probabilidad de que tengan el mismo número. (b) La probabilidad de que sean del mismo color. Ejercicio C.2 Para ir al trabajo, un individuo toma el bus, el 30% de las veces, o el metro (el 70% restante), y llega tarde el 40% de las veces que va en bus y el 20% de las que va en metro. Cierto día llegó tarde. Cuál es la probabilidad de que tomara el bus? APARTADO D Ejercicio D.1 El jugador (de baloncesto) A encesta un 60% de los tiros libres que lanza, mientras que B encesta el 70%. Si cada uno de ellos hace 300 lanzamientos qué es más probable: que A consiga más de 193 canastas o que B consiga menos de 196? Ejercicio D.2 Según una encuesta preelectoral, la intención de voto a cierto partido político está entre el 42% y el 48%. Se trata de un intervalo de confianza, pero en la ficha técnica no figura el tamaño de la muestra, ni tampoco el nivel de confianza utilizado. (a) Suponiendo que la muestra haya sido de 1056 individuos cuál es el nivel de confianza? (b) Con una muestra más pequeña, el nivel de confianza sería mayor o menor que el anterior? Justifica la respuesta. 142 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

13 Logse eko ekaina. UPV/EHU. Gizartezientzietan aplikatutako matematika II zenbakituak. Zoriz kutxa bakoitzetik bola bana ateratzen bada, kalkulatu: (a) Bi bolek zenbaki berdina izateko probabilitatea. (b) Bi bolak kolore berdinekoak izateko probabilitatea. C.2 ariketa Pertsona batek lanera joateko %30eko maiztasunaz autobusa hartzen du eta metroa %70ekoaz. Bestalde, autobusez doanean, %40ko maiztasunaz berandu heltzen da eta metroz doanean aldiz, %20koaz. Egun jakin batean berandu heldu zen. Zein da autobusa hartu izanaren probabilitatea? D TALDEA D.1 ariketa Sakibaloiko A jokalariak egiten dituen jaurtiketa libreen %60a saskiratzen du eta B jokalariak %70a. Jokalari bakoitzak 300 jaurtiketa egiten baditu, zein probabilitate izango da handiagoa, A jokalariak 193 saskiratze baino gehiago lortzekoa ala B jokalariak 196 baino gutxiago lortzekoa? D.2 ariketa Hautezkunde aurreko inkesta baten arabera, alderdi politiko jakin batentzako botu-asmoa %42tik %48ra bitartean dago. Konfiantza tarte bat dugu aurrekoa, baina fitxa teknikoan ez da ageri laginaren tamaina ez eta erabilitako konfiantza-maila ere. (a) Laginaren tamaina 1056 gizabanakotakoa izan dela suposatuz, zein da konfiantza-maila? (b) Lagina txikiagoa izango balitz, konfiantza-maila aurrekoa baino handiagoa ala txikiagoa izango litzateke? Erantzuna justifikatu. Mayo ko Maiatza 143

14 Logse. Junio UPV/EHU. Matematicas aplicadas a las ciencias sociales II LOGSE. JULIO UPV/EHU MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II NOTAS. (1) Hay que elegir y desarrollar un ejercicio (el 1 ó el 2) de cada uno de los cuatro apartados que siguen (A, B, C y D). (2) Los ejercicios de los apartados A y B se evalúan sobre un máximo de tres puntos, y los de los apartados C y D sobre un máximo de dos puntos. (3) Se permite el uso de calculadoras científicas, excepto las programables. (4) Al dorso hay una tabla de la distribución normal estándar. APARTADO A Ejercicio A.1 Una empresa ha invertido euros en la compra de ordenadores portátiles de tres clases A, B y C, cuyos costes por unidad son de euros, euros y euros, respectivamente. Sabiendo que, en total, ha adquirido 55 ordenadores y que la cantidad invertida en los de tipo A ha sido la misma que la invertida en los de tipo B, averiguar cuántos aparatos ha comprado de cada clase. Ejercicio A.2 Describir mediante un sistema de desigualdades la región poligonal cuyos vértices son (0,0), (0,4), (4,0) y (3,3), y hallar los valores máximo y mínimo de la función F (x,y) = 7x+2y, cuando (x,y) recorre dicha región. APARTADO B Ejercicio B.1 Sabiendo que la gráfica de la derivada de la función f es la parábola con vértice en (0, -1) que pasa por los puntos (-1, 0) y (1, 0), estudiar razonadamente el crecimiento, la concavidad, los máximos, los mínimos y los puntos de inflexión de f. Ejercicio B.2 Hacer la representación gráfica y calcular el área de la región (finita) limitada por las líneas de ecuaciones y = x, y = x 2. APARTADO C Ejercicio C.1 Al hacer tres lanzamientos de un dado se alcanzó una puntuación total de 12. Cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento se obtuviera un 6? 144 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

15 Logse eko ekaina. UPV/EHU. Gizartezientzietan aplikatutako matematika II LOGSE EKO UZTAILA. UPV/EHU GIZARTEZIENTZIETAN APLIKATUTAKO MATEMATIKA II OHARRAK. (1) A, B, C eta D taldeetako bakoitzetik ariketa bana aukeratu eta ebatzi behar da. (2) A eta B taldeetako ariketak 0 eta 3 puntu artean baloratuko dira eta C eta D taldeetakoak 0 eta 2 puntu artean. (3) Kalkulagailu zientifikoen erabilera onartuta dago, programagarriak izan ezik. (4) Atzean, banaketa normal laburtuaren (estandarraren) taula dago. A TALDEA A.1 ariketa Enpresa batek euro inbertitu ditu hiru motako (A, B eta C) ordenagailu eramangarrien erosketan. Ordenagailuen unitateko kostua euro, euro eta euro da hurrenez hurren. Enpresak guztira 55 ordenagailu erosi dituela eta A eta B motako ordenagailuetan egindako inbertsioa berdina izan dela jakinik, zehaztu mota bakoitzeko zenbat ordenagailu erosi diren. A.2 ariketa Inekuazio sistema bat erabiliz deskribatu (0,0), (0,4), (4,0) eta (3,3) erpinak dituen eskualde poligonala. Kalkulatu F (x,y) := 7x+2y funtzioaren maximoa eta minimoa eskualde horretan. B TALDEA B.1 ariketa f funtzioaren deribatuaren grafikoa (-1,0) eta (1,0) puntuetatik igarotzen den eta (0,-1) puntuan erpina duen parabola dela jakina da. Aztertu, erantzuna arrazoituz, f funtzioaren gorakortasuna, ahurtasuna, maximoak, minimoak eta inflexio-puntuak. B.2 ariketa Adierazi grafikoki ondoko bi kurbek mugatzen duten eskualde (finitua) eta bere azalera kalkulatu y = x, y = x 2. C TALDEA C.1 ariketa Dado bat hiru aldiz jaurtitzean, lortutako puntuazio totala 12 izan da. Zein da lehenengo jaurtiketan 6 lortu izanaren probabilitatea? Mayo ko Maiatza 145

16 Logse. Junio UPV/EHU. Matematicas aplicadas a las ciencias sociales II Ejercicio C.2 En una pequeña ciudad, el 40% de los vecinos llama a Tomás para los trabajos de fontanería. El 30% de los vecinos están insatisfechos con sus fontaneros, pero, de los clientes de Tomás, los insatisfechos son el 50%. Un vecino elegido al azar declaró estar insatisfecho con su fontanero. Con qué probabilidad se trataba de un cliente de Tomás? APARTADO D Ejercicio D.1 En un test que mide ciertas habilidades específicas, las puntuaciones se distribuyen normalmente, con media 100 y desviación típica 25. El 20% de puntuaciones más altas corresponde al grupo de los superdotados, y el 20% de puntuaciones más bajas al de los infradotados. Calcular las puntuaciones que delimitan los distintos grupos. Ejercicio D.2 En un control de calidad se analizó una muestra aleatoria de 750 tornillos, resultando defectuosos 80 de ellos. Hallar un intervalo de confianza para la proporción de tornillos defectuosos en el conjunto de la producción, con: (a) 95% de confianza; (b) 99% de confianza. 146 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

17 Logse eko ekaina. UPV/EHU. Gizartezientzietan aplikatutako matematika II C.2 ariketa Hiri txiki bateko biztanleen %40ak iturgin lanetarako Tomas kontratatzen du. Orokorrean, hiriko biztanleen %30a ez dago pozik bere iturginarekin baina Tomasen bezeroen artean %50a da pozik ez dagoena. Zoriz biztanle bat aukeratu da eta honek bere iturginarekin pozik ez dagoela adierazi du. Zein da biztanle hori Tomasen bezero izateko probabilitatea? D TALDEA D.1 ariketa Trebetasun jakin batzuk neurtzen dituen testean, puntuazioek batezbestekoa 100 eta desbideratze tipikoa 25 duen banaketa normala jarraitzen dute. Puntuazio altuenen %20a superdotatuen taldeari dagokio eta puntuazio baxuenen %20a infradotatuei. Kalkulatu aurreko taldeak mugatzen dituzten puntuazioak. D.2 ariketa Kalitate-kontrol batean 750 torlojuko lagina aztertu da, hauetatik 80 akastunak gertatu direlarik. Kalkulatu torloju akastunen proportziorako konfiantza-tartea ondoko kasuetan: (a) %95eko konfiantzaz; (b) %99ko konfiantzaz. Mayo ko Maiatza 147

18 Logse. Junio UPV/EHU. Matematicas aplicadas a las ciencias sociales II LOGSE. JUNIO UPV/EHU MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II NOTAS. (1) Hay que elegir y desarrollar un ejercicio (el 1 ó el 2) de cada uno de los cuatro apartados que siguen (A, B, C y D). (2) Los ejercicios de los apartados A y B se evalúan sobre un máximo de tres puntos, y los de los apartados C y D sobre un máximo de dos puntos. (3) Se permite el uso de calculadoras científicas, excepto las programables. (4) Al dorso hay una tabla de la distribución normal estándar. APARTADO A Ejercicio A.1 En la fabricación de cierta marca de chocolate se emplea leche, cacao y almendras, siendo la proporción de leche doble que la de cacao y almendras juntas. Los precios por cada kilogramo de los ingredientes son: leche, 0,8 euros; cacao, 4 euros; almendras, 13 euros. En un día se fabrican kilos de ese chocolate, con un coste total de euros. Cuántos kg se utilizan de cada ingrediente? Ejercicio A.2 Hallar la matriz X que cumple AXB = C, siendo A:=( 3 2 3) ( 4, B:= 2 3 2) ( 1, C:= 1 1 1) 1. APARTADO B Ejercicio B.1 Se desea enmarcar una ventana rectangular de 2 m 2 de superficie. Si cada metro de marco vertical cuesta 50 euros, y cada metro de marco horizontal cuesta 64 euros, qué dimensiones habría que dar a la ventana para que el coste total fuera mínimo? Ejercicio B.2 Representar gráficamente y hallar el área del triángulo mixtilíneo cuyos vértices son A(-1, -1), B(1, 0) y C(0, 1), y en el que los lados AB y AC son rectos, mientras que el lado BC es un arco de la parábola y = (x - 1) 2. APARTADO C Ejercicio C.1 De una urna en la que hay 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 negras se extraen al azar dos bolas (simultáneamente). Hallar la probabilidad de que: (a) una sea blanca y la otra no; (b) alguna de la dos sea blanca o roja. 148 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

19 Logse eko ekaina. UPV/EHU. Gizartezientzietan aplikatutako matematika II LOGSE EKO EKAINA. UPV/EHU GIZARTEZIENTZIETAN APLIKATUTAKO MATEMATIKA II OHARRAK. (1) A, B, C eta D taldeetako bakoitzetik ariketa bana aukeratu eta ebatzi behar da. (2) A eta B taldeetako ariketak 0 eta 3 puntu artean baloratuko dira eta C eta D taldeetakoak 0 eta 2 puntu artean. (3) Kalkulagailu zientifikoen erabilera onartuta dago, programagarriak izan ezik. (4) Atzean, banaketa normal laburtuaren (estandarraren) taula dago. A TALDEA A.1 ariketa Txokolate-mota jakin baten fabrikazioan esnea, kakaoa eta arbendolak erabiltzen dira, esnekantitatea kakao eta arbendola-kantitateen baturaren bikoitza izanik. Osagai bakoitzaren prezioa kilogramoko ondokoa da: esnea, 0,8 euro; kakaoa, 4 euro; arbendolak, 13 euro. Egun bakar batean txokolate horren kilo egiten dira, kostu totala euro izanik. Osagai bakoitzeko zenbat kilogramo erabiltzen dira? A.2 ariketa Aurkitu AXB = C berdintza betetzen duen X matrizea, A, B eta C matrizeak ondokoak direla jakinik: A:=( 3 2 3) ( 4, B:= 2 3 2) ( 1, C:= 1 1 1). 1 B TALDEA B.1 ariketa 2 m 2 ko azalera duen leiho laukizuzena markoztatu nahi da. Marko bertikalaren metro bakoitzaren prezioa 50 euro bada eta horizontalarena 64, zein dimentsio eman beharko litzaizkioke leihoari kostua minimoa izan dadin? B.2 ariketa Adierazi grafikoki ABC triangelu lerronahasia eta bere azalera kalkulatu ondoko datuak erabiliz: erpinak A(-1,-1), B(1,0) eta C(0,1) dira; AB eta AC aldeak zuzenak dira; BC aldea y = (x - 1) 2 parabolaren arkua da. C TALDEA C.1 ariketa 5 bola zuri, 3 gorri eta 2 beltz dituen kutxa batetik aldi berean 2 bola atera dira. Kalkulatu: (a) bata zuria eta bestea beste kolore batekoa izateko probabilitatea; (b) bietako bat zuria edo gorria izateko probabilitatea. Mayo ko Maiatza 149

20 Logse. Junio UPV/EHU. Matematicas aplicadas a las ciencias sociales II Ejercicio C.2 En una ciudad, el 45% de la personas son varones, el 80% son mayores de edad, y el 30% son varones mayores de edad. Si se elige una persona al azar, hallar la probabilidad de que: (a) sea mujer menor de edad; (b) sea mayor de edad supuesto que es mujer; (c) sea varón o menor de edad. APARTADO D Ejercicio D.1 Averiguar cuál de los dos sucesos siguientes es más probable: A := salir más de 220 caras cuando se hacen 400 lanzamientos de una moneda, B := salir menos de 130 seises cuando se hacen 900 lanzamientos de un dado. Ejercicio D.2 Para estimar el tamaño medio de las viviendas de una gran ciudad se eligió al azar una muestra de 625 viviendas, obteniéndose un tamaño medio de 100 m 2 con una desviación típica de 17 m 2. Entre qué valores se encontrará, con un nivel de confianza del 98%, el tamaño medio de todas las viviendas? Cómo variaría el resultado si la muestra fuera mayor (pero con la misma media y la misma desviación típica)? 150 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

21 Logse eko ekaina. UPV/EHU. Gizartezientzietan aplikatutako matematika II C.2 ariketa Hiri jakin bateko biztanleen %45a gizonezkoak dira, %80a adinez nagusiak dira, eta %30a gizonezkoak eta adinez nagusiak dira. Pertsona bat zoriz aukeratuz gero, kalkulatu: (a) emakumezkoa eta adinez txikia izateko probabilitatea; (b) adinez nagusia izateko probabilitatea emakumezkoa dela jakinik; (c) gizonezkoa edo adinez txikia izateko probabilitatea. D TALDEA D.1 ariketa Erabaki ondoko bi gertaeren artean zeinek duen probabilitaterik handiena: A := 220 aurpegi baino gehiago ateratzea txanpon baten 400 jaurtiketa egin direnean, B := sei zenbakia 130 alditan baino gutxiagotan ateratzea dado baten 900 jaurtiketaegin direnean. D.2 ariketa Hiri handi bateko etxebizitzen batezbesteko tamaina estimatzeko 625 etxeko lagina zoriz aukeratu zen. Lortutako batezbesteko tamaina 100 m2koa izan zen 17 m 2 ko desbideratze tipikoaz. %98ko konfiantza-mailaz, zein balioren artean egongo da etxebizitza guztien batezbesteko tamaina? Zein modutan aldatuko litzateke emaitza lagina handiagoa balitz (batezbestekoa eta desbideratze tipikoa berdinak izanik)? Mayo ko Maiatza 151

22 Logse. Junio UPV/EHU. Matematicas aplicadas a las ciencias sociales II LOGSE. JULIO-2003.UPV/EHU MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II NOTAS. (1) Hay que elegir y desarrollar un ejercicio (el 1 ó el 2) de cada uno de los cuatro apartados que siguen (A, B, C y D). (2) Los ejercicios de los apartados A y B se evalúan sobre un máximo de tres puntos, y los de los apartados C y D sobre un máximo de dos puntos. (3) Se permite el uso de calculadoras científicas, excepto las programables. (4) Al dorso hay una tabla de la distribución normal estándar. APARTADO A Ejercicio A.1 Se dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas de paseo y de montaña, que luego se pondrán a la venta al precio de 200 y 150 euros, respectivamente. Cada bici de paseo requiere 1 kg de acero y 3 de aluminio, y cada bici de montaña 2 kg de cada metal. Cuántas bicicletas de cada tipo hay que fabricar para obtener el máximo beneficio? Ejercicio A.2 Resolver la ecuación matricial AX - B - 2C = 0, siendo 3) A:=( , B:=( , C:=( ) 5). 3 4 APARTADO B Ejercicio B.1 De una función f se conoce que la gráfica de su derivada es la parábola con vértice en (1, -1) que pasa por los puntos (0,0) y (2,0). Sin realizar cálculos, hallar razonadamente: (a) los intervalos de crecimiento y decrecimento de f; (b) los intervalos de concavidad y convexidad de f; (c) las abscisas de los extremos relativos (indicando si se trata de máximos o mínimos) y los puntos de inflexión de f. Ejercicio B.2 Representar gráficamente y hallar el área de la región limitada por la curva y = -x y la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuarto. APARTADO C Ejercicio C.1 Si se hacen tres lanzamientos de un dado, cuál es la probabilidad de que la suma de las tres puntuaciones sea superior a 5? 152 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

23 Logse eko ekaina. UPV/EHU. Gizartezientzietan aplikatutako matematika II LOGSE EKO UZTAILA. UPV/EHU GIZARTEZIENTZIETAN APLIKATUTAKO MATEMATIKA II OHARRAK. (1) A, B, C eta D taldeetako bakoitzetik ariketa bana aukeratu eta ebatzi behar da. (2) A eta B taldeetako ariketak 0 eta 3 puntu artean baloratuko dira eta C eta D taldeetakoak 0 eta 2 puntu artean. (3) Kalkulagailu zientifikoen erabilera onartuta dago, programagarriak izan ezik. (4) Atzean, banaketa normal laburtuaren (estandarraren) taula dago. A TALDEA A.1 ariketa Mendiko bizikletak zein paseoko bizikletak egiteko 80 kg altzairu eta 120 kg aluminio dago eta bizikleten salmenta-prezioak 200 eta 150 euro izango dira, hurrenez hurren. Paseoko bizikleta bakoitza egiteko kg bat altzairu eta 3 kg aluminio behar da, eta mendiko bizikleta bakoitza egiteko 2 kg altzairu eta beste 2 kg aluminio. Zenbat bizikleta egin behar da mota bakoitzetik irabazirik handiena lortzeko? A.2 ariketa Ebatzi AX - B - 2C = 0 matrize-ekuazioa, ondoko datuak jakinik: 3) A:=( , B:=( , C:=( ) 5). 3 4 B TALDEA B.1 ariketa f funtzioari buruz ondoko datuak ezagunak dira: bere deribatuaren grafika (1,-1) erpineko eta (0,0) eta (2,0) puntuetatik igarotzen den parabola da. Kalkulurik egin gabe eta erantzuna arrazoituz aurkitu: (a) f funtzioaren gorakortasun- eta beherakortasun-tarteak; (b) f funtzioaren ahurtasuneta ganbiltasun-tarteak; (c) f funtzioaren mutur erlatiboen abszisak (maximoak edo minimoak diren adieraziz) eta inflexio-puntuak. B.2 ariketa Adierazi grafikoki y = -x kurbak eta bigarren eta laugarren koadranteen erdikariak mugatzen duten eskualdea eta bere azalera kalkulatu. C TALDEA C.1 ariketa Dado bat 3 aldiz jaurti bada, zein da lortutako puntuen batura 5 baino handiagoa izateko probabilitatea? Mayo ko Maiatza 153

24 Logse. Junio UPV/EHU. Matematicas aplicadas a las ciencias sociales II Ejercicio C.2 En una población en la que hay un 15% de paro, son mujeres el 60% de los parados y el 45% de las personas con trabajo. Si se elige al azar una persona y resulta ser mujer, cuál es la probabilidad de que tenga trabajo? APARTADO D Ejercicio D.1 Una fábrica de cementos suministra su producto en sacos de 50 kg. Las deficiencias del empaquetado mecánico provocan, sin embargo, fluctuaciones en el contenido de los sacos, de manera que esta cantidad sigue en realidad una distribución normal de media 51 kg. Cuál debe ser la desviación típica para que los sacos con menos de 50 kg sean solo el 5% del total? Ejercicio D.2 Con el fin de tener un conocimiento aproximado del grado de difusión por el país de las conexiones a Internet, se estudió una muestra de 800 domicilios elegidos al azar, comprobándose que 256 de ellos disponían de esa conexión. Entre qué valores se encontrará, con un nivel de confianza del 99%, la proporción global de domicilios con conexión a Internet? Cómo variaría el resultado si se emplease un nivel de confianza más bajo? 154 SIGMA Nº 28 SIGMA 28 zk.

25 Logse eko ekaina. UPV/EHU. Gizartezientzietan aplikatutako matematika II C.2 ariketa Herrialde jakin batean %15eko langabezia dago. Langabetuen %60a eta lana dutenen %45a emakumezkoak dira. Pertsona bat zoriz aukeratu eta emakumezkoa gertatu bada, zein da lana izateko probabilitatea? D TALDEA D.1 ariketa Zementu-fabrika batek produktua 50 kgko sakuetan banatzen du. Tresneria mekanikoaren hutsuneak direla eta, sakuen edukinek gora-beherak izaten dituzte. Aurrekoaren ondorioz, sakuen pisuak batezbestekoa 51 kg duen banaketa normala jarraitzen du. Zein izan beharko da desbideratze tipikoa 50 kg baino gutxiagoko sakuak totalaren %5a izan daitezen? D.2 ariketa Interneterako konexioen hedapenari buruzko ezagutza hurbildua izateko asmoz, zoriz aukeratutako 800 etxebizitzatako lagina aztertu zen. Horietatik 256 etxebizitzatan konexio hori zutela gertatu zen. %99ko konfiantza-mailaz, zein balioren artean egongo da interneterako konexioa duten etxebizitzen proportzio globala? Zein modutan aldatuko litzateke emaitza konfiantza-maila bajuagoa erabiliko balitz? Mayo ko Maiatza 155

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