FUNTZIOEN LIMITEAK. JARRAITASUNA ETA ADAR INFINITUAK

Transcripción

1 FUNTZIOEN LIMITEAK. JARRAITASUNA ETA ADAR INFINITUAK 7. orrialdea HAUSNARTU ETA EBATZI Ondoz ondoko hurbilketak Egiaztatu honako hau: f () = 6,5; f (,9) = 6,95; f (,99) = 6,995 Kalkulatu f (,999); f (,9999); f (,99999); Aurreko emaitza horiek kontuan hartuta, zen-tzuzkoa deritzozu esateari 5era hurbiltzen denean f ()-ren balioa 7ra hurbiltzen dela? Honela adieraziko dugu: f () = 7 Kalkulatu, era berean f () = f (,999) = 6,9995; f (,9999) = 6,99995; f (,99999) = 6, f () = Calcula, análogamente, f () = 5,5; f (,9) = 5,95; f (,99) = 5,995; f (,999) = 5,9995; f (,9999) = 5,99995 f () = orrialdea. Honako funtzio hauetako bakoitzak etena den puntu bat edo gehiago ditu. Esan zein diren puntu horiek eta zer eten mota duten: + a) y = b) y = c) y = si? d) y = si = a) Rama infinita en = (asíntota vertical). b) Discontinuidad evitable en = 0 (le falta ese punto). c) Rama infinita en = 0 (asíntota vertical). d) Salto en =.. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

2 . Azaldu zergatik diren jarraituak honako funtzio hauek, eta zehaztu zer tartetan dauden definituta: a) y = 5 b) y = 5, <, 0 Ì < c) y = d) y = +, Ó, Ì < 5 a) Está definida y es continua en todo Á. b) Está definida y es continua en 5]. Las funciones dadas mediante una epresión analítica sencilla (las que conocemos) son continuas donde están definidas. c) Está definida en todo Á. Es continua, también, en todo Á. El único punto en que se duda es el : las dos ramas toman el mismo valor para = : = 9 = 5 + = 5 Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (, 5). La función es también continua en =. d) También las dos ramas empalman en el punto (, ). Por tanto, la función es continua en el intervalo en el que está definida: [0, 5). 78. orrialdea. Kalkulatu honako balio hauen limiteak: a) b) (cos ) a) b) 0. Kalkulatu limite hauek: a) + 5 b) log , a) b) 79. orrialdea. Kalkulatu k-ren balioa y = f () funtzioa jarraitua izan dadin Á: f () = + k,? 7, = 8 f () = 7 ( + k) = + k + k = 7 8 k =. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

3 UNITATEA 8. orrialdea. Kalkulatu honako funtzio hauen limiteak adierazten diren puntuetan. Komeni denean, zehaztu zein den limitearen balioa puntuaren eskuinera eta ezkerrera. Adierazi emaitzak grafikoetan: a) f () =, 0 eta puntuetan b) f () =, 0 eta puntuetan ( ) c) f () = + eta puntuetan d) f () = 0 eta puntuetan + + a) f () = ( + ) ( ) f () f () = +@ No eiste 8 f (). 8 0 f () = f () f () = +@ No eiste 8 f (). b) f () = ( ) ( ) 8 f () 8 0 f () = 8 f () = 0 c) f () = ( ) ( ) ( + ) 8 f () = f () = +@ f () No eiste 8 f ().. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

4 d) f () = ( + ) 8 0 f () = f () f () = +@ No eiste 8 f (). 8. orrialdea. Esan zein den limitea 8 doanean grafikoen bitartez adierazitako honako funtzio hauetako bakoitzean: y = f () y = f () y = f () y = f () f () f () = f () = +@ f () no eiste. 8. orrialdea. Esan honako funtzio hauen limitearen balioa, 8 doanean: a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = e) f () = f) f () = 5 b) +@ d) 0 e) 0 f unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

5 UNITATEA. ( 00 ) = +@ denez, kalkulatu 00 > beteko duen -ren balio bat. Por ejemplo, para = 000, f () = = 0, denez, kalkulatu 0 0 Por ejemplo, para = 000, f () = 0,0000 ) 0. < 0,000 egingo duen -ren balio bat 8. orrialdea. Kalkulatu f () eta adierazi horren adarrak: a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = 5 a) 0 b) 0 c) 0 d) + 5. Kalkulatu f () eta adierazi horren adarrak: a) f () = b) f () = c) f () = d) f () = 5 + b) 0 c) +@ d ). unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak 5

6 85. orrialdea. Kalkulatu asintota bertikalak, eta kokatu kurba asintoten arabera: a) y = b) y = a) 8 f () f () = +@ 8 + = es asíntota vertical. b) f () = +@ 8 f () 8 + = es asíntota vertical.. Kalkulatu asintota bertikalak, eta kokatu kurba asintoten arabera: a) y = b) y = a) f () = +@ f () f () f () = +@ = 0 es asíntota vertical. = es asíntota vertical. b) f () = +@ f () = +@ = es asíntota vertical. 6. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

7 UNITATEA 87. orrialdea. Kalkulatu honako funtzio hauen adar infinituak, 8 Kokatu kurba asintoten arabera: a) y = b) y = + + a) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. b) y = + 8 y = es asíntota oblicua. +. Kalkulatu funtzio hauen adar infinituak, 8 Kokatu kurba asintoten arabera, asintotak badaude: a) y = + b) y = + 7 a) f () = 8 y = es asíntota horizontal. b) grado de P grado de Q Ó f () = +@ 8 rama parabólica hacia arriba. 88. orrialdea. Kalkulatu f () eta adierazi dagokion adarra: f () = + 7 f () = 7 = +@. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak 7

8 . Kalkulatu f () eta marratu dagozkion adarrak. a) f () = ( + )/( ) b) f () = /( + ) a) f () = = = 0 b) f () = = = +@ 89. orrialdea. Kalkulatu honako funtzio hauen adar infinituak, eta kokatu kurba asintoten arabera: a) y = b) y = + c) y = d) y = a) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. b) f () = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. c) f () = 8 y = es asíntota horizontal. d) y = + 8 y = es asíntota oblicua unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

9 UNITATEA. Kalkulatu adar infinituak doanean, eta asintotak badituzte, kokatu kurba asintota horien arabera: a) y = b) y = + + c) y = + d) y = + a) grado P grado Q Ó f () = +@ 8 rama parabólica. b) f () = 8 y = es asíntota horizontal. c) y = y = + es asíntota oblicua. + d) f () = ( ) = +@ unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak 9

10 95. orrialdea PROPOSATUTAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK TREBATZEKO Etenak eta jarraitasuna a) Honako grafiko hauetako zein dagokio fun-tzio jarraitu bati. b) Adierazi beste bost grafikoetan etenaren arrazoia. a) b) c) d) e) f) a) Solo la a). b) b) Rama infinita en = (asíntota vertical). c) Rama infinita en = 0 (asíntota vertical). d) Salto en =. e) Punto desplazado en = ; f () = ; f () =. 8 f ) No está definida en =. Kalkulatu honako funtzio hauen eten-puntuak, baldin eta badaude: a) y = + 6 b) y = ( ) c) y = d) y = e) y = f) y = 5 + a) Continua. b) c) d) Continua. e) 0 y 5 f ) Continua. 0. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

11 UNITATEA Egiaztatu honako funtzio hauek jarraituak diren = 0 eta = puntuetan: a) y = b) y = c) y = d) y = 7 a) No es continua ni en = 0 ni en =. b) Sí es continua en = 0, no en =. c) No es continua en = 0, sí en =. d) Continua en = 0 y en =. Esan Á-ren zer baliorekin diren jarraituak honako funtzio hauek: a) y = 5 b) y = c) y = d) y = e) y = 5 f) y = a) Á b) [, +@) c) Á {0} 5 d) 0] f) Á ( ] 5 Egiaztatu funtzio hauen grafikoak emandako adierazpen analitikoari dagozkiola eta esan jarraituak ala etenak diren = puntuan. a) f () = > + < b) f () = > c) f () = = a) Continua. b) Discontinua. c) Discontinua.. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

12 6 Egiaztatu honako funtzio hau, f () = baldin eta < 0 bada jarraitua den = 0 puntuan. baldin eta Ó 0 bada f () = f (0) egiaztatu be- Gogoan izan f jarraitua izateko = 0 puntuan har dela. lim 8 0 f () = f () = f () = = f (0) Es continua en = 0. 7 Aztertu honako funtzio hauek jarraituak diren adierazten diren puntu horietan: ( )/ < a) f () = = puntuan + > < b) f () = = puntuan (/) Ó Ì c) f () = = puntuan + > a) No, pues no eiste f ( ). b) f () = f () = f () =. Sí es continua en = c) f () =? f () =. No es continua en = orrialdea Limitearen ikuspegi grafikoa 8 f () f () Horko horiek, hurrenez hurren, beheko funtzio hauen grafikoak dira: f () = eta f () = ( + ) + Zein da funtzio horietako bakoitzaren limitea, 8 denean? Aztertu funtzioa 8 doanean ezkerretik eta eskuinetik.. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

13 UNITATEA f () = +@ f () = +@ 8 f () = +@ f () = +@ f () No eiste 8 f (). 9 f (), funtzioaren grafikoaren gainean, kalkulatu: a) f () b) f () c) f () d) f () e) f () f) f () g) f () h) f () a) +@ c) d) 0 e) 0 f ) g) +@ h) 0 Limitea puntu batean 0 Kalkulatu honako limite hauek: a) ( 5 ) b) ( ) c) d) 8 8 0,5 e) 0 + f) log 8 8 g) cos h) e a) 5 b) 0 c) d) e) f ) g) h) e. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

14 f () = + < 0 funtzioa emanda, kalkulatu: + Ó 0 a) f () b) f () c) f () Hauste-puntu batean limitea egoteko, alboetako limiteek berdinak izan behar dute. a) 5 b) c) f () = f () = f () = Kalkulatu honako limite hauek: a) b) c) h h d) h 7h h 8 0 h h 8 0 h Atera faktore komuna,eta sinplifikatu frakzioa. ( + ) a) = b) = 8 0 ( ) 8 0 c) h (h ) h (h 7) 7 = 0 d) = h 8 0 h h 8 0 h Ebatzi honako limite hauek: a) b) 8 8 c) + d) 8 e) + f) ( + ) ( ) a) = 8 ( ) b) + = ( + ) ( + ) = = ( + ) ( + ) ( + ) ( ) c) = d) = 8 ( + ) ( ) 8 ( ) ( + ) e) = f ) ( + )( ) = 8 ( + ) ( + ) 8. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

15 UNITATEA Kalkulatu f () = + funtzioaren limitea =, = 0 eta = puntuetan. 8 f () = f () = f () = +@ 8 + f () Limitea edo doanean 5 Kalkulatu honako limite hauek, eta irudikatu lortzen duzun informazioa: a) (7 + ) b) c) + 7 d) (7 ) ( 0 5 Eman -ri balio handiak eta atera ondorioak. 6 Kalkulatu aurreko ariketako funtzioen limitea doanean eta adierazi lortzen duzun informazio hori. Resolución de los ejercicios 5 y 6: ) a) (7 + ) (7 + ) = +@ b) 0 = +@ 8 ±@ 5 c) ( + 7) 8 ±@ d) (7 ) = +@ 8 ±@. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak 5

16 7 -ri balio handiak emanez, egiaztatu honako fun-tzio hauek 0rantz jotzen dutela, doanean. a) f () = b) f () = 0 7 c) f () = d) f () = 00 0 a) f () = 0 b) f () = 0 c) f () = 0 d) f () = 0 8 Kalkulatu honako funtzio hauetako bakoitzaren limitea, 8 doanean, eta doanean. Adierazi lortzen dituzun emaitzak. a) f () = 0 b) f () = c) f () = d) f () = Cuando : a) f () = +@ b) f () = +@ c) f () d) f () Cuando a) f () b) f () = +@ c) f () = +@ d) f () 6. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

17 UNITATEA 97. orrialdea 9 Kalkulatu honako limite hauek, eta adierazi lor-tzen dituzun adarrak: a) b) ( ) c) d) ( ) e) f) + g) h) + 0 Kalkulatu aurreko ariketako funtzio guztien limiteak, doanean. Resolución de los ejercicios 9 y 0: a) = 0; = 0 ( ) ( ) b) = +@; c) = 0; = 0 d) = 0; = 0 ( ) ( ) e) = ; = + +. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak 7

18 f) = +@ g) = ; = + + h) = ; = 5 5 Ebatzi honako limite hauek: a) b) ( ) ( ) c) d) ( + ) a) c) 0 d) +@ Kalkulatu honako funtzio hauen limitea, doanean eta doanean, eta adierazi lor-tzen dituzun adarrak: a) f () = b) f () = 0 c) f () = d) f () = + 5 a) f () = 0; f () = 0 b) f () f () = +@ c) f () = +@; f () d) f () = ; f () = 8. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

19 UNITATEA Asintotak Kalkulatu honako funtzio hauen asintotak, eta kokatu kurba asintota horietako bakoitzaren arabera: a) y = b) y = + c) y = d) y = + a) Asíntotas: b) Asíntotas: = ; y = = ; y = c) Asíntotas: d) Asíntotas: = ; y = = ; y = 0 Kalkulatu honako funtzio hauen asintotak, eta kokatu kurba asintota horien arabera: a) y = b) y = + + c) y = d) y = a) Asíntota: y = b) Asíntota: y = 0. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak 9

20 c) Asíntotas: = 0; y = d) Asíntota: = 5 Kalkulatu honako funtzio hauen asintotak, eta kokatu kurba asintota horien arabera: + a) f () = b) f () = 5 c) f () = d) f () = e) f () = + 9 f) f () = ( + ) a) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = b) Asíntota vertical: = 5 Asíntota horizontal: y = c) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = 0 d) Asíntota vertical: y = 0 No tiene más asíntotas. 0. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

21 UNITATEA e) Asíntota vertical: =, = Asíntota horizontal: y = 0 f ) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = 0 6 Honako funtzio hauetako bakoitzak asintota zeihar bat du. Kalkulatu eta aztertu zer posizio hartzen duen kurbak asintota horren arabera: a) f () = b) f () = + + c) f () = d) f () = + e) f () = f) f () = + a) = Asíntota oblicua: y = b) + = + + Asíntota oblicua: y = + c) = Asíntota oblicua: y = d) + 0 = + + Asíntota oblicua: y = +. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

22 e) = + Asíntota oblicua: y = f) + = + Asíntota oblicua: y = EBAZTEKO 7 Kalkulatu honako funtzio hauen limiteak izendatzailea anulatzen den puntuetan: a) f () = b) f () = + c) f () = t d) f (t) = t t a) f () = +@; f () b) f () = 8 0 ( ) f () f () = +@; f () f () = +@ c) f () = ( ) ( ) ( + ) 8 f () = = ; f () = +@; f () t d) f (t) = (t ) ; f (t ) = t t Kalkulatu honako funtzio hauen asintotak, eta kokatu kurba asintota horien arabera: a) y = ( ) 5 b) y = c) y = + 7 d) y = e) y = f) y = unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

23 UNITATEA 9/ a) y = + + Asíntotas: = ; y = b) Asíntotas: y = ; = c) Asíntotas: y = 0; = ± 6 6 d) Asíntotas: y = 6 6 e) y = + ( + ) ( ) Asíntotas: y = ; =, = 6 6 f ) Asíntotas: = ; y = 6. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

24 9 Kalkulatu funtzio hauen adar infinituak. Asintotak dituzunean, kokatu kurba: a) y = ( + ) b) y = c) y = ( + ) d) y = e) y = f) y = a) f () = +@; f () = +@ Asíntota vertical: = 0 b) Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = c) Asíntotas verticales: =, = Asíntota horizontal: y = 0 d) Asíntota horizontal: y = e) Asíntota vertical: = Asíntota oblicua: y = 6 6 f) f () = +@; f () = +@ Asíntota vertical: = 5. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

25 UNITATEA 98. orrialdea 0 Frogatu f () = funtzioak asintota bertikal bat bakarriketa horizontal bat bakarrik dituela. f () ikusiko duzu. 8 f () = ; f () f () = +@; f () = ±@ Asíntota vertical: = 0 Asíntota horizontal: y = Kalkulatu honako limite hauek, eta adierazi lor-tzen dituzun emaitzak: a) 6 b) a) 6 ( ) ( + ) = = 8 8 ( ) 5 b) + ( ) ( ) = = ( ) 8 Calculamos los ites laterales: = +@; 8 8 No eiste Kalkulatu honako limite hauek, eta adierazi lor-tzen dituzun emaitzak: a) b) c) d) unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak 5

26 a) ( ) = = ( + ) 8 0 ( + ) Calculamos los ites laterales: = +@; 8 0 ( + ) ( + ) b) + = ( + ) = ( + ) Calculamos los ites laterales: 8 + = +@ c) ( ) ( = ) = 8 8 d) 8 ( ) ( + ) = = ( ) 8 Calculamos los ites laterales: ( + ) ( + ) = +@ ( + ) Kalkulatu funtzio hauen asintotak: a) y = b) y = + c) y = + 5 d) y = ( ) e) y = + f) y = a) y = + b) Asíntota vertical: = 0 ( ) ( + ) Asíntotas verticales: =, = Asíntota oblicua: y = c) Asíntota horizontal: y = d) Asíntota horizontal: y = 0 Asíntotas verticales: = ± e) = 5, y = f ) Asíntota vertical: = 0 Asíntota oblicua: y = unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

27 UNITATEA Adierazi honako funtzio hauek, eta azaldu etenak diren punturen batean: baldin eta < bada. a) f () = 5 baldin eta Ó bada. baldin eta Ì 0 bada. b) f () = + baldin eta > 0 bada. c) f () = baldin eta < bada. baldin eta > bada. a) Discontinua en =. 5 6 b) Función continua c) Discontinua en =. 5 5 a) Kalkulatu aurreko ariketako funtzioen limiteak = eta = 5 puntuetan. b) Kalkulatu, funtzio horietako bakoitzean, limitea doanean eta doanean. a) f () = 7; f () = 0; f () f () b) f () = ; f () = 6; f () = +@; f () = c) f () = 7; f () = 5; f () = +@; f () = +@ unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak 7

28 6 Kalkulatu funtzio hauen limiteak 8 doanean eta doanean: a) f () = b) f () = 0,75 c) f () = + e d) f () = /e a) f () = +@; f () = 0 b) f () = 0; f () = +@ c) f () = +@; f () = d) f () = 0; f () = +@ 7 Kalkulatu honako funtzio esponentzial hauen adar infinituak: a) y = + b) y =,5 c) y = + e d) y = e a) f () = +@; f () = 0 Asíntota horizontal cuando y = 0 b) f () = +@; f () = Asíntota horizontal cuando y = c) f () = +@; f () = Asíntota horizontal cuando y = d) f () = 0; f () = +@ Asíntota horizontal cuando y = 0 8 Kalkulatu, kasu hauetako bakoitzean, zenbatekoa izan behar duen k-ren balioak f () funtzioa jarraitua izateko Á osoan. a) f () = baldin eta Ì bada. + k baldin eta > bada. 6 (/) baldin eta < bada. b) f () = + k baldin eta Ó bada. ( c) f () = + )/ baldin eta? 0 bada. k baldin eta = 0 bada. a) 8 f () = 5 = f () f () = + k = + k 8 k = 8. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

29 UNITATEA b) f () = f () = + k = f () 5 = + k 8 k = / ( + ) c) f () = = 8 k = Aztertu funtzio hauen jarraitasuna: baldin eta < bada. a) f () = / baldin eta Ó bada. baldin eta Ó bada. b) f () = baldin eta < < bada. baldin eta Ó bada. c) f () = baldin eta Ì 0 bada. + baldin eta > 0 bada. a) f () = f () = f () = 8 Continua en = 8 8 +? 8 Continua Es continua en Á. b) f () = f () = f ( ) = 0 8 Continua en = f () = f () = f () = 0 8 Continua en = 8 8 +? y? 8 Continua Es continua en Á. c) f () =? f () = 8 Discontinua en = Si? 0, es continua. 0 Kalkulatu a-ren balioa, honako funtzio hauek jarraituak izan daitezen = puntuan: + baldin eta Ì bada. a) f () = a baldin eta > bada. ( b) f () = )/( )? bada. a = bada. a) 8 f () = = f () f () = a 8 + ( ) ( + ) b) f () = = 8 8 ( ) f () = a = a 8 a = a =. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak 9

30 Enpresa batean katean muntatzen dituzte piezak. Esperientziarik gabeko langile batek muntatzen dituen piezen kopurua, lanean egindako egun 0t kopuruaren araberakoa da, M(t) = funtzioaren arabera (t egunetan). t + a) Zenbat pieza muntatuko ditu lehenengo egunean? Eta hamargarrenean? b) Adierazi funtzioa, jakinda entrenamendurako epea hilabetekoa dela. c) Zer gertatuko litzateke muntatutako pieza kopuruarekin entrenamendua askoz luzeagoa izanez gero? a) M () = 6 montajes el primer día. M (0) =, 8 montajes el décimo día. b) t t + c) Se aproima a 0 ( pues = 0 ). t 8 +@ 99. orrialdea GALDERA TEORIKOAK Kalkula daiteke funtzio baten limitea funtzio hori definituta ez dagoen puntu batean? Izan daiteke funtzioa jarraitua puntu horretan? Sí se puede calcular, pero no puede ser continua. Izan dezake funtzio batek bi asintota bertikal baino gehiago? Eta bi asintota horizontal baino gehiago? Jarri adibideak. Sí. Por ejemplo, f () = tiene = 0, = y = como asíntotas verticales. ( )( ) No puede tener más de dos asíntotas horizontales, una hacia y otra por ejemplo: 0. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

31 UNITATEA f () funtzio baten izendatzailea anulatu egiten da, = a denean. Ziurta dezakegu asintota bertikal bat duela = a puntuan? Jarri adibideak. No. Por ejemplo, f () = + en = 0; puesto que: ( + ) f () = = f () = 5, bada, esan dezakegu f jarraitua dela = puntuan? 8 No. Para que fuera continua debería ser, además, f () = 5. 6 Adierazi baldintza hauek betetzen dituen funtzio bat. Etena da punturen batean? f () = f () = 0 f () = +@ f () Es discontinua en =. SAKONTZEKO 7 Kalkulatu honako limite hauek: + a) b) c) + d) + + a) = = = = + b) = = = 0 +. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

32 c) + = = = d) = = + = 8 Kalkulatu f () = 5 funtzioa 0,00 baino tikiagoa egingo duen -ren balioren bat Por ejemplo, para = 000, f () = 0, Kalkulatu honako limite hauek: a) ( ) b) ( ) c) d) (0,75 ) e b) +@ c) 0 d) +@ 50 Zein da funtzio logaritmiko hauen asintota bertikala? Kalkulatu limitea, doanean: a) y = log ( ) b) y = ln( + ) a) Asíntota vertical: = f () = +@ b) Asíntota vertical: = f () = +@. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

33 UNITATEA 99. orrialdea AUTOEBALUAZIOA 5, Ì. Kalkulatu f () = funtzioaren limitea 0, eta 5 abzisapuntuetan. Esan fun-tzioa jarraitua den puntu horietan. 7, > 5, Ì f () = 7, > f () = 0 5 = f () = = f () = 5 = 8 f () f () = 7 = No tiene ite en =. 8 + Es continua en = 0 y en = 5. No es continua en =, porque no tiene ite en ese punto.. Kalkulatu honako limite hauek: a) b) c) ( ) 8 a) = = b) = = c) = +@ (Si 8 + o si 8, los valores de la función son positivos). 8 ( ). a) b) Bi funtzio hauen grafikoaren gainean, kalkulatu, kasu bakoitzean, honako limite hauek: f (); f (); f (); f () 8 8 unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

34 a) f () No tiene ite en =. 8 f () 8 f () = f () = 0 f () = +@ b) f () = f () f () = f () = 8 f () = +@ f () f () = No tiene ite en = Kalkulatu f () = -ren asintotak, eta aztertu kurbaren posizioa asintota horiekiko. Simplificamos: = 8 y = Asíntota vertical: = Posición 8 = +@ 8 + Asíntota horizontal: = ; y = 8 ±@ Posición, y > y <. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak

35 UNITATEA 5. Justifikatu zer balio izan behar duen a-k, fun-tzioa jarraitua izan dadin Á osoan: a si Ì f () = a si > f () = a si Ì a si > La función es continua para valores de menores que y mayores que, porque ambos tramos son rectas. Para que sea continua en =, debe cumplirse: f () = f () f () = a 8 f () f () = a f () = a Para que eista el ite, debe ser: a = a 8 a = 6 8 a = 8 6. Kalkulatu f () = funtzioaren limitea 8 ; 8 ; ; doanean, eta adierazi lortzen duzun informazioa. 0 = ( ) Simplificamos: = ( )( ) 8 = = = 9 = = +@ = f () f () = +@ 9. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak 5

36 7. Adierazi honako baldintza hauek betetzen dituen funtzio bat: f () f () = +@ f () = 0 f () = Aztertu f () = funtzioaren adar infinituak, eta kokatu kurba bere + asintotaren arabera. No tiene asíntotas verticales porque +? 0 para cualquier valor de. No tiene asíntotas horizontales porque = +@ y + + Tiene una asíntota oblicua, porque el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador y = = Asíntota oblicua: y = Posición curva < asíntota curva > asíntota 6. unitatea. Funtzioen limiteak. Jarraitasuna eta adar infinituak