ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS, MAT1532 EXAMEN FINAL

Transcripción

1 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS, MAT1532 EXAMEN FINAL PROFESORES ISABEL FLORES Y ROLANDO REBOLLEDO Ejercicio 1. [15 %] Resolver la ecuación 1) x + 5x + 6x = 25t 2 cos t Solución. Esta ecuación se puede resolver por varios métodos distintos, por ejemplo mediante transformación de Laplace el segundo miembro es una función de orden exponencial al infinito) o por métodos de aniquilación, coeficientes indeterminados, etc. Detallamos aquí la aplicación de uno de esos métodos, el de la transformación de Laplace. Sea ft) = 25t 2 cos t y llamemos Lxλ) la transformada de la solución general de la ecuación. Se puede observar que 1 λ 2 + 5λ + 6 = 1 λ λ + 3, corresponde a la transformada de Laplace de la función gt) = e 2t e 3t. Además: Lxλ) = 1 λ 2 + 5λ + 6 x)λ + x ) + 5x) + Lfλ)) = x)λlgλ) + x ) + 5x))Lgλ) + Lgλ)Lfλ) En consecuencia, xt) = x) d dt gt) + x ) + 5x))gt) + g ft) = 3x) + x )) e 2t 2x) + x )) e 3t + 25 t 1 gt s)s 2 cos sds.

2 2 PROFESORES ISABEL FLORES Y ROLANDO REBOLLEDO Un cálculo directo por partes, o bien usando que t eµs s 2 ds = eµs ds, con µ = a ± i) nos da d 2 t dµ 2 t e at s) s 2 cos sds = a 2 + 1) 3 2 sen t 4 a 3 t sen t 4 a t sen t + t 2 a 5 cos t + 2 t 2 a 3 cos t + a t 2 cos t 2 a 4 t cos t + 2 t 2 a 2 sen t + t 2 a 4 sen t + 2 a 3 cos t + 6 a 2 sen t 6 a cos t + 2 t cos t + t 2 sen t 2 a 3 e a t + 6 ae a t ). Evaluando lo anterior sucesivamente en a = 2 y a = 3, se obtiene finalmente: xt) = c 1 e 2t +c 2 e 3t +31 sen t 5t sen t+25t 2 sen t cos t 2t cos t+25t 2 sen t, donde c 1 = 3x) + x ) 8, c 2 = 2x) x ) + 9. Ejercicio 2. [2 %] Analice la estabilidad en el punto, ) de los siguientes sistemas de ecuaciones: 1. { x = x + 7y y = 2x + 3y. 2. { 3. { x = 5y y = x. x = 2x y 2 y = y x 2. Solución. 1. Se trata de un sistema de dos ecuaciones, de modo que se puede aplicar el análisis fundado en el comportamiento de la traza, del discriminante y del determinante. Aquí la traza de la matriz es 4; su determinante es 17 y el discriminante es <. Luego, ) es un repulsor en espiral. 2. Se aplica el mismo método que en el caso anterior. La traza es, el determinante 5 y el discriminante es <., ) es un centro. 3. Llamando A la matriz A = 2 1 ),

3 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS, MAT1532 EXAMEN FINAL 3 y donde GX) = x X = y y 2 x 2 ), ), el sistema no lineal se escribe X = AX + GX). GX) es una función continua en, ) y además se observa que y 2 / x 2 + y 2 x 2 + y 2, x 2 / x 2 + y 2 x 2 + y 2, de donde GX) X, si X. En consecuencia, el análisis del equilibrio en, ) puede ser realizado a partir del sistema lineal X = AX. La traza de A es -3, su determinante es 2 y su discriminante >., ) es entonces un nodo atractor para el sistema propuesto. Problema 1. [3 %] La función xt) = t es una solución del problema con valores iniciales: { x = x t) 2/ ) x1) = 1. Determine, si es posible, otra solución y señale porqué esto puede ocurrir. En caso contrario, indique también las razones. Solución. Efectivamente el problema 2) no tiene solución única. Basta hacer el cambio de variables ut) = xt) t con la condición u1) =, que transforma 2) en { u = u 2/3 que tiene como solución u1) =, ) 3 t 1 ut) =. 3

4 4 PROFESORES ISABEL FLORES Y ROLANDO REBOLLEDO De aquí resulta que ) 3 t 1 xt) = t +, 3 es también solución del problema 2). Esto muestra que las hipótesis del Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones de problemas con valores iniciales no se satisfacen. La razón es que la función ft, x) = x t) 2/3, no satisface ninguna condición de Lipschitz. En efecto, si se existiese una constante L > tal que se tuviese ft, x) ft, y) L x y, para todo t en un intervalo que contenga 1 y para todos x, y, entonces escogiendo x = t + 2h, y = t + h con h >, se tendría: 2h)2/3 h h2/3 h L, lo que es una contradicción pues el miembro izquierdo de la desigualdad crece indefinidamente si h. Por lo tanto, f no satisface la condición de Lipschitz. Problema 2. [35 %] Un sistema mecánico consiste de un tubo de largo 1m. cerrado herméticamente, en una de cuyas extremidades se encuentra empotrado un resorte de largo 1m. y constante de elasticidad unitaria, que tiene adherido por el otro extremo una esfera de masa también unitaria. Mediante una bomba neumática se comienza a extraer el aire del tubo. Esto tiene por efecto que el roce viscoso opuesto por el aire sea proporcional a la velocidad de la esfera, pero disminuye en razón inversamente proporcional al tiempo, es decir, la fuerza de roce es velocidad 1/t, donde t > se desprecia el roce de la esfera con la superficie del tubo). Al comenzar el experimento t = ), el resorte se encuentra en su posición de equilibrio y la esfera está animada de una velocidad constante v. 1. Plantee el problema con valores iniciales que representa el movimiento de la esfera. 2. Analice la ecuación que obtuvo. Explique si puede usar el método de series de potencia para encontrar al menos una solución. Si su respuesta es afirmativa, haga el cálculo respectivo, obteniendo sólo las ecuaciones de recurrencia de los coeficientes.

5 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS, MAT1532 EXAMEN FINAL 5 3. Demuestre, sin usar la serie, que la única solución ϕt) del problema con valores iniciales planteado posee una transformada de Laplace dada por ϕt)dt 3) Φλ) = λ Solución. 4) 1. Se elige como origen la posición de equilibrio del sistema, es decir, el punto ocupado por el centro de masa de la esfera en el instante inicial. Designando por xt) la posición de dicho centro de masa en el instante t, la segunda ley de Newton nos permite obtener el problema con valores iniciales: x + 1 t x + x =, t > ), x) =, x ) = v. 2. La ecuación obtenida es del tipo Bessel. Corresponde a una ecuación que admite t = como punto singular regular pues los coeficientes se pueden escribir de la forma: a 1 t) = b 1 t)/t, a 2 t) = b 2 t)/t 2, con b 1 t) = 1 y b 2 t) = t 2 ambas funciones analíticas en torno a. Se puede aplicar entonces el Teorema de Fuchs-Frobenius visto en el curso. La ecuación indicial correspondiente es simplemente λ 2 =. En consecuencia existe una solución ψt) que se escribe en la forma ψt) = t λ c n t n = c n t n. n= n= Reemplazando en la ecuación planteada, obtenemos: t 2 ψ t) + tψ t) + t 2 ψt) = nn 1)c n t n + n=2 c n 2 t n, de donde sigue la recurrencia típica de las soluciones de la ecuación de Bessel: n=1

6 6 PROFESORES ISABEL FLORES Y ROLANDO REBOLLEDO Para n 2: Para n = 1: n 2 c n 2 + c n 2 =, c 1 =. De aquí se deduce que c n = si n es impar y c 2m = 1 2m) 2 c 2m 1), m 1). Hasta aquí es lo solicitado en la pregunta, pero, aprovechemos de dar un pequeño paso adicional. Usando la ecuación de recurrencia anterior obtenemos y c 2m = 5) ψt) = c m= 1)m 2 m m!) 2 c, 1) m m!) 2 ) 2m t. 2 Volveremos sobre esta expresión más adelante pues nos reserva algunas sorpresas. 3. Sea ϕ la solución del problema con valores iniciales planteado y llamemos Φλ) su transformada de Laplace. Esta transformada existe pues la ecuación es lineal homogénea con coeficientes analíticos en el dominio ], [. Usando 4): tϕ t) + ϕ t) + tϕt) =, de donde, tomando transformada de Laplace, = d dλ Lϕ λ) + Lϕ λ) d dλ Lϕλ) = d ) λ 2 d Φλ) v + λφλ) dλ dλ Φλ) = λ 2 + 1) d Φλ) λφλ). dλ Es decir, Φ debe satisfacer la ecuación diferencial lineal d dλ Φλ) + λ Φλ) =, λ cuya solución es Φλ) = Φ) λ2 + 1.

7 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS, MAT1532 EXAMEN FINAL 7 Para concluir, como Φλ) = e λt ϕt)dt, entonces Φ) = ϕt)dt. Luego, ϕt)dt Φλ) = λ Observación final para los espíritus curiosos: En la pregunta anterior calculamos en forma explícita una solución ψt) de la ecuación diferencial que forma parte del problema con valores iniciales 4). Nótese que ψ no puede ser solución del problema. En efecto, de ser así, ψ) = c =, de donde ψt) = para todo t > y no puede verificar ψ ) = v a menos que v =, con lo cual no habría movimiento. Usando los resultados del curso, sabemos que existe otra función solución ηt) que es de la forma: ηt) = clog t)ψt) + d n t n, y que es linealmente independiente de ψ, la constante c y los coeficientes d n satisfacen relaciones que se obtienen por reemplazo en la ecuación). ψ y η constituyen una base de soluciones de la ecuación homogénea planteada. La solución del problema con valores iniciales corresponde entonces a una combinación lineal de ψ y η. El método de transformación de Laplace usado en esta parte nos da un resultado plausible sólo si ϕt)dt es finita, el movimiento se amortigua). Porqué surgen estas dificultades? La razón esencial reside nuevamente en el Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones de problemas con valores iniciales: escribiendo 4) en la forma 1 X = At)X, At) = 1 1 t n= ) ) x, X = x, se observa que la función ft, X) = At)X no satisface ninguna condición de Lipschitz en el dominio [, [ C 2, ella es sólo localmente Lipschitz en ], [ C 2 ) y en 4) la condición inicial se ha dado en, que es el punto de la discordia.