COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS

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1 COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS Apuntes de Matemáticas Empresariales I Tema 4 Ecuaciones Dinámicas Manuel León Navarro

2 1. Lección 10 - Ecuaciones dinámicas En este tema se estudiaran las ecuaciones dinámicas. Dichas ecuaciones sirven para modelizar de forma matemática la evolución de una variable a lo largo del tiempo. Este tema es fundamental en un curso de matemáticas para la empresa ya que casi todas las variables económicas tienen una estructura temporal y, de hecho, el tiempo es una variable importante en cualquier fenómeno económico. Se puede pensar que el tiempo pasa de forma continua o de forma discreta. En el primer caso se supone la variable puede tomar valores en cualquier momento del tiempo, por muy pequeño que sea. Un ejemplo económico serían las cotizaciones en bolsa que, continuamente, están cambiando a medida que pasa el tiempo. En el segundo caso se supone que la variable solo puede tomar valores en determinados momentos del tiempo. Por ejemplo, la publicación del PIB anual se hace una vez a lo largo del año. Las ecuaciones dinámicas que sirven para modelizar variables que pueden tomar cualquier valor (tiempo continuo) se llaman ecuaciones diferenciales, mientras que las ecuaciones dinámicas que sirven para modelizar variables que solo pueden tomar unos pocos valores se llaman ecuaciones en diferencias Ecuaciones diferenciales Como hemos dicho antes, las ecuaciones diferenciales sirven para representar matemáticamente la evolución temporal de una variable, cuando ésta está definida en tiempo continuo. Es decir, que dicha variable puede tomar valores en cualquier momento del tiempo y por lo tanto, lo que determinará su evolución será el ritmo de cambio con el tiempo. Definición - Ecuación diferencial Una ecuación diferencial es aquella que relaciona una o varias variables independientes, una función suya (incógnita) y sus derivadas hasta un cierto orden. 2

3 Apuntes: Matemáticas Empresariales I El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada más elevada que en ella aparece. La expresión general de una ecuación diferencial ordinaria de orden n es Y, si es posible escribirla como F (x, y, y, y,..., y n ) = 0 y n = H(x, y, y, y,..., y n 1 ) se dice que la ecuación viene dada en su forma normal. Una solución de una ecuación diferencial ordinaria de orden n es una función que tiene derivadas hasta el orden n y que convierte a la ecuación en una identidad (es decir, que verifica la ecuación). Ejemplo Comprobar que dada la ecuación diferencial y 2y + y = 0, la función f(x) = e x es solución de la misma pero la función g(x) = x 2 no lo es. En primer lugar, para comprobar que f(x) es una solución, se debe calcular f (x) y f (x). En este caso f (x) = e x y f (x) = e x y por lo tanto, al sustituir en la ecuación diferencial se obtiene que y 2y + y = 0 e x 2e x + e x = 2e x 2e x = 0 y efectivamente se cumple, y por lo tanto es solución de la ecuación. Por otro lado, para comprobar que g(x) no lo es, calculamos primero g (x) = 2x y g (x) = 2. Ahora sustituimos los valores en la ecuación y se obtiene que y 2y + y = x + x 2 0 que en general será distinto de 0 y por lo tanto no cumple la ecuación y no es solución de la misma. 3

4 1.1 Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales de primer orden Si en la ecuación diferencial la derivada de mayor tamaño tiene valor 1, entonces estamos ante una ecuación diferencial de primer orden. Si además suponemos que es lineal, con coeficientes constantes y homogénea, entonces la expresión de la ecuación de primer orden es y = λy o en una notación más completa: y (t) = λy(t) Para encontrar la solución de la ecuación anterior, y teniendo en cuenta el cambio de notación y (t) = dy(t) d(t) se obtiene que y reorganizando términos dy(t) d(t) = λy(t) dy(t) y(t) = λd(t) Si se integra a ambos lados de la ecuación dy(t) y(t) = λd(t) se obtiene que Lny = λt + C y despejando y = e λt e C y llamando a e C = A se obtiene la expresión de la solución general y(t) = Ae λt. Para encontrar el valor de A en una ecuación concreta, se utiliza la condición 4

5 Apuntes: Matemáticas Empresariales I inicial que dice lo que vale la variable en el instante t = 0, y(0) = y 0 y por lo tanto y(0) = Ae λ0 = y 0 o también y(0) = A 1 = y 0 y por lo tanto A = y Propiedades de las ecuaciones diferenciales Tres son las cuestiones que son importantes de analizar en las ecuaciones diferenciales: El punto de equilibrio, el comportamiento asintótico y la estabilidad. 1. Punto de equilibrio Una pregunta importante es saber si existe alguna condición inicial para la cual el sistema no varíe o, lo que es lo mismo, permanezca constante. La condición matemática para que esto ocurra es que y (t) = 0 t. En el caso de las ecuaciones dinámicas lineales homogéneas de primer orden, esto ocurre cuando y (t) = λy = 0 que se cumplirá para y 0 = 0 si λ 0 y para cualquier y 0 si λ Comportamiento asintótico Otra de las características de las ecuaciones dinámicas es el comportamiento que tienen a medida que pasan muchos periodos. De hecho, el comportamiento asintótico de una ecuación indica el comportamiento de la variable cuando el tiempo se hace infinito. Matemáticamente, el comportamiento asintótico viene representado por lím t y(t). En el caso de las ecuaciones dinámicas lineales homogéneas de primer orden, el comportamiento asintótico viene determinado por lím t y 0 e λt. Se observa que este comportamiento dependerá del valor de λ: a) Si λ = 0 entonces lím t y 0 e 0 t = y 0, por lo que tendrá un comportamiento constante en el infinito. b) Si λ > 0 entonces lím t y 0 e λ t = (si y 0 > 0. Si y 0 < 0 el limite sera ), por lo que tendrá un comportamiento explosivo. Este comporta- 5

6 1.1 Ecuaciones diferenciales miento tiene una excepción que se produce cuando y 0 = 0 por lo que, se dice que el 0 es un repulsor global. c) Si λ < 0 entonces lím t y 0 e λ t = 0. Como en el infinito la ecuación va a 0 desde cualquier condición inicial se dice que el 0 es un atractor global. 3. Estabilidad La última característica de las ecuaciones dinámicas es la estabilidad. La idea que hay detrás de esta propiedad es la siguiente, dadas dos condiciones iniciales que están muy próximas, y 0 y ỹ 0, cuando pasen muchos periodos, estas condiciones estarán cada vez más próximas o por el contrario se alejarán con el tiempo?. Matemáticamente se mide la cantidad y 0 ỹ 0 en el infinito. En el caso de las ecuaciones dinámicas lineales homogéneas de primer orden, la cantidad y 0 ỹ 0 se traduce en y 0 e λ t ỹ 0 e λ t o también y 0 ỹ 0 e λ t que dependerá del valor de λ: a) Si λ = 0 entonces lím t y 0 ỹ 0 e λ t = y 0 ỹ 0 < ϵ. Se dice que el sistema es estable ya que las condiciones iniciales seguirán tan próximas como hayamos escogido inicialmente. b) Si λ > 0 entonces lím t y 0 ỹ 0 e λ t = y 0 ỹ 0 lím t e λ t =. Se dice que el sistema es inestable ya que las condiciones iniciales se separarán cada vez más a medida que pase el tiempo siendo la distancia infinita cuando t. c) Si λ < 0 entonces lím t y 0 ỹ 0 e λ t = y 0 ỹ 0 lím t e λ t = 0. Se dice que el sistema es asintóticamente estable ya que las condiciones iniciales se unirán cada vez más hasta que la distancia entre ellas sea 0. La condición inicial es indiferente para el comportamiento final, que siempre será el mismo independientemente de cual sea dicha condición inicial. 6

7 Apuntes: Matemáticas Empresariales I Aplicaciones Económicas Uno de los ejemplos típicos en los que se aplican las ecuaciones diferenciales es a la hora de determinar la evolución de una inversión a lo largo del tiempo cuando ésta tiene un rendimiento concreto que se abona de forma continua. Suponemos que tenemos un bono del estado español con un principal de 100 u.m. y éste bono promete un rendimiento continuo (va pagando durante todo el momento del tiempo) del 2 %. Cual es la evolución el valor de nuestra inversión a lo largo del tiempo? Sabemos que el ritmo de crecimiento del bono será r = 0,02 ya que crece al 2 % de forma constante, por lo tanto la evolcuión del bono vendrá dada por la siguiente ecuación: B (t) = rb(t) = 0,02B(t) La solución a dicha ecuación es B(t) = Ae rt = Ae 0,02t Y para encontrar el valor de A se parte de la condición inicial B(0) = 100 ya que en el instante inicial nuestra inversión vale la cantidad que hemos puesto inicialmente. Por lo tanto B(0) = Ae r 0 = 100 y por lo tanto A = 100. La solución a nuestra ecuación diferencial tiene la forma B(t) = 100e rt = 100e 0,02t Con la evolución temporal de nuestra variable podemos hacernos varias preguntas: 1. Cuanto valdrá nuestra inversión cuando pasen 20 periodos? Simplemente sustituyendo en la solución para t = 20 se obtiene B(20) = 100e 0,02 20 = 100e 0,4 = 100 1,49 = 149 u.m. 7

8 1.2 Ecuaciones en diferencias 2. Si queremos retirar la inversión cuando tengamos 200 u.m., cuanto tenemos que esperar?. En ese caso, la incognita de la ecuación es el tiempo y lo que queremos es encontrar t de tal forma que B(t) = 200 o, lo que es igual, 100e 0,02t = 200. Y despejando se obtiene que e 0,02t = = 2 y aplicando el logaritmo a ambos lados, 0,02t = ln(2) y despejando t finalmente se obtiene que t = ln(2) 0,02 = 34,65, es decir que debemos esperar hasta que pasen algo más de 34 periodos Ecuaciones en diferencias Las ecuaciones en diferencias sirven para representar matemáticamente la evolución temporal de una variable, cuando ésta está definida en tiempo discreto. Es decir, que dicha variable puede tomar valores solamente en unos determinados momentos del tiempo que llamaremos k. La expresión general de una ecuación en diferencias tiene la forma y(k + n) = f(y(k + n 1), y(k + n 2),...y(k), k) Donde y(k) es la variable de estado. El orden de la ecuación en diferencias es la diferencia entre la etapa más grande y la más pequeña, que en el caso general será k + n k = n. Una solución de una ecuación diferencial ordinaria de orden n es una función y(k) si al introducirla en la ecuación en diferencias, dicha ecuación se verifica. Ejemplo Comprobar que dada la ecuación en diferencias y(k+2) 2y(k+1)+y(k) = 0, la expresión y(k) = k es una solución de la misma. Si y(k) = k, entonces y(k + 1) = k + 1 y y(k + 2) = k + 2 y sustituyendo en la ecuación se obtiene que 8

9 Apuntes: Matemáticas Empresariales I y(k + 2) 2y(k + 1) + y(k) = 0 k + 2 2(k + 1) + k = 0 y operando se obtiene que k+2 2(k+1)+k = k+2 2k 2+k = 2k 2k+2 2 que es justamente 0 ya que todos los términos se cancelan Ecuaciones en diferencias de primer orden Si en la ecuación en diferencias la diferencia entre la etapa más grande y la más pequeña es 1, entonces estamos ante una ecuación en diferencias de primer orden. Si además, como ocurría con las ecuaciones diferenciales, suponemos que es lineal, con coeficientes constantes y homogénea, entonces la expresión de la ecuación de primer orden es y(k + 1) = λy(k). La solución general de las ecuaciones en diferencias de primer orden tiene la forma y(k) = Aλ k. Para comprobar esto, sustituimos en la ecuación para comprobar que ésta se cumple: y(k + 1) = λy(k) Con y(k) = Aλ k y y(k + 1) = Aλ k+1 se obtiene que Aλ k+1 = λaλ k y operando Aλ k+1 = Aλ k+1 Para encontrar el valor de A se parte de una condición inicial y(0) = y 0 y sustituyendo en la solución de la ecuación y(0) = Aλ 0 = y 0 y por lo tanto A = y 0. Ejemplo 9

10 1.2 Ecuaciones en diferencias Sea la ecuación en diferencias y(k + 1) = 4y(k) con y(0) = 35. Comprobar que y(k) = A( 4) k con A = 35 es solución de la ecuación anterior. Para comprobar que sea solución, calculamos y(k + 1) e y(k) y vemos si lo cumple. Entonces y(k + 1) = A( 4) k+1 e y(k) = A( 4) k y por lo tanto: y(k + 1) = 4y(k) A( 4) k+1 = 4 A( 4) k Operando, se obtiene que 4 A( 4) k = A( 4) k+1 y por lo tanto se cumple la ecuación para cualquier valor de A, incluido A = 35. Para encontrar el valor de A que cumple la condición inicial se plantea la ecuación para el valor de k = 0 y se resuelve: y(0) = y 0 y por lo tanto y(0) = A( 4) 0 = 35. como ( 4) 0 = 1 se obtiene que y(0) = A 1 = Propiedades de las ecuaciones en diferencias De nuevo, la tres mismas cuestiones que son importantes analizar en las ecuaciones diferenciales, se deben analizar en las ecuaciones en diferencias: El punto de equilibrio, el comportamiento asintótico y la estabilidad. 1. Punto de equilibrio El punto de equilibrio será una condición inicial para la cual el sistema no varíe o, lo que es lo mismo, permanezca constante. La condición matemática para que esto ocurra es que y(k) = ȳ k. En el caso de las ecuaciones dinámicas lineales homogéneas de primer orden, esto ocurre cuando ȳ = λȳ. Por lo tanto, si λ 1 el único valor que cumple lo anterior es ȳ = 0, que sería el punto de equilibrio. Si, por el contrario λ = 1, entonces ȳ = 1 ȳ y cualquier condición inicial es punto de equilibrio. 2. Comportamiento asintótico 10

11 Apuntes: Matemáticas Empresariales I El comportamiento asintótico de una ecuación indica el comportamiento de la variable cuando el tiempo se hace infinito. Matemáticamente, el comportamiento asintótico viene representado por lím k y(k). En el caso de las ecuaciones dinámicas lineales homogéneas de primer orden, el comportamiento asintótico viene determinado por lím k Aλ k. Se observa que este comportamiento dependerá del valor de λ: a) Si λ > 1 está entre 0 entonces lím k Aλ k = salvo que y 0 = 0, por lo que tendrá un comportamiento comportamiento explosivo. Se dice que el 0 es un respulsor global del sistema. b) Si 0 < λ < 1 entonces lím k Aλ k = 0. Se produce un decaimiento exponencial pero siempre tomando valores positivos. Como en el infinito la ecuación va a 0 desde cualquier condición inicial se dice que el 0 es un atractor global. c) Si 1 < λ < 0 entonces lím k Aλ k = 0. Se produce un decaimiento exponencial pero oscilando entre valores positivos y negativos, diciéndose que sigue un movimiento ondulatorio amortiguado. d) Si λ < 1 entonces lím k Aλ k = ±. Se produce un comportamiento explosivo que no coverge a ningún valor ya que se va a + y de forma alternada. e) Si λ = 1 entonces lím k Aλ k = ±y 0. Se produce un comportamiento cíclico que va tomando valores y 0 y 0 de forma consecutiva y alternada. 3. Estabilidad Por último, respecto a la estabilidad del sistema, o lo que es lo mismo a la evolución en el tiempo de la condición inicial y 0 y de otra condición que esta cerca de ésta: ỹ 0, se observa que para las ecuaciones dinámicas lineales homogéneas de primer orden, la cantidad y 0 ỹ 0 se traduce en determinar como evoluciona la distancia y 0 λ k ỹ 0 λ k y operando y 0 ỹ 0 λ k, que dependerá del valor de λ: 11

12 1.2 Ecuaciones en diferencias a) Si λ = 1 entonces lím k y 0 ỹ 0 λ k = y 0 ỹ 0 < ϵ. Se dice que el sistema es estable ya que las condiciones iniciales seguirán tan próximas como hayamos escogido inicialmente. b) Si λ > 1 entonces lím k y 0 ỹ 0 λ k = y 0 ỹ 0 lím k λ k =. Se dice que el sistema es inestable ya que las condiciones iniciales se separarán cada vez más a medida que pase el tiempo siendo la distancia infinita cuando t. c) Si λ < 1 entonces lím k y 0 ỹ 0 λ k = y 0 ỹ 0 lím k λ k = 0. Se dice que el sistema es asintóticamente estable ya que las condiciones iniciales se unirán cada vez más hasta que la distancia entre ellas sea 0. La condición inicial es indiferente para el comportamiento final, que siempre será el mismo independientemente de cual sea dicha condición inicial Aplicaciones Económicas Uno de los ejemplos típicos en los que se aplican las ecuaciones en diferencias es a la hora de determinar la evolución de una inversión a lo largo del tiempo cuando ésta tiene un rendimiento concreto que se abona en determinados momentos del tiempo. Así, puede haber pago de interés de forma anual, semestral, trimestral, mensual, etc.. Suponemos que tenemos un bono del estado español con un principal de 100 u.m. y éste bono promete un interés anual del 2 %. Cual es la evolución el valor de nuestra inversión a lo largo del tiempo? Sabemos que el valor de nuestro bono será lo que vale nuestro capital junto con el porcentaje de interés. Es decir en el periodo siguiente el valor de la inversión será el principal más los intereses (un 2 % del principal). Por lo tanto la evolución del bono vendrá dada por la siguiente ecuación: B(+1) = (1 + r)b(k) = (1,02)B(k) 12

13 Apuntes: Matemáticas Empresariales I La solución a dicha ecuación es B(k) = A(1 + r) k = A 1,02 k Y para encontrar el valor de A se parte de la condición inicial B(0) = 100 ya que en el instante inicial nuestra inversión vale la cantidad que hemos puesto inicialmente. Por lo tanto B(0) = A(1 + r) 0 = 100 y por lo tanto A = 100. La solución a nuestra ecuación diferencial tiene la forma B(k) = 100(1 + r) k = 100 1,02 k Con la evolución temporal de nuestra variable podemos hacernos varias preguntas: 1. Cuanto valdrá nuestra inversión cuando pasen 20 periodos? Simplemente sustituyendo en la solución para k = 20 se obtiene B(20) = 100(1 + 0,02) 2 0 = 100 1,485 = 100 1,485 = 148,5 u.m. 2. Si queremos retirar la inversión cuando tengamos 200 u.m., cuanto tenemos que esperar?. En ese caso, la incognita de la ecuación es el tiempo y lo que queremos es encontrar k de tal forma que B(k) = 200 o, lo que es igual, 100(1+0,02) k = 200. Y despejando se obtiene que (1 + 0,02) k = = 2 y aplicando el logaritmo a ambos lados, k ln(1,02) = ln(2) y despejando k finalmente se obtiene que k = ln(2) ln(1,02) de 35 periodos. = 35,02, es decir que debemos esperar hasta que pasen algo más 13