GORPUTZ ZURRUNAREN ZINEMATIKA

Transcripción

1 ..T.ko 1. maila: 14. G: DNMK GORUTZ ZURRUNREN ZNEMTK Saila: NGENRTZ MEKNKO, ENERGETKO ET MTERLEN

2 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: urkibidea Sarrera Translazioa Mugimendu laua rdatz finkoarekiko biraketa iraketan zuzenaren mugimendua ardatz finkoaren inguruan iraketan puntu baten mugimendua ardatz finkoaren inguruan Edozein mugimendu lau Mugimendu absolutuaren analisia biadura erlatiboa Z zelerazio erlatiboa iraketan ardatzeko mugimendu erlatiboa osizioa biadura zelerazioa - 2 -

3 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: 14.1 Sarrera urreko kapituluan ikusitakoaren arabera, puntuaren mugimendua ezin hobeki deskribatzeko, nahikoa zen une oro egoera ezagutzea. Dena den, solido zurrunaren mugimenduaren kasuan, mugimendu osoa deskribatzeko gorputzaren egoera eta orientazioa behar dira. ldo horri jarraiki, magnitude linealek eta angeluarrek parte hartzen dute. Gorputz zurrunean, bi puntu edozeinen artean distantzia finkoa eta denborarekiko independentea da, beraz, puntu-hiruko orok zehaztutako angeluak ere hala izango dira (irudia). Egiazko gorputzak ez dira inoiz zurrunak; hala eta guztiz ere, aplikazio tekniko gehienetan, indar aplikatuen ondoriozko deformazioak txikiak dira. nalisi zinetikoa amaitutakoan, deformazioak kalkulatu beharko dira. Handiak izanez gero, maiz, analisi zinematikoa eta zinetikoa errepikatu beharko dira, baina oraingoan deformazioa kontuan hartu beharko da

4 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: Gorputz zurrunean 5 mugimendu-mota orokor kontuan hartuko ditugu: 1.- Translazioa. Gorputz zurrunaren translazioan gorputzaren segmentu lerrozuzen ororen orientazioa konstantea mantentzen da. Mugimendu batean zuzena betiere abiadurarekiko paraleloa mantentzen bada, translazio lerrozuzena gertatzen da. ertan gorputzaren puntu orok mugimenduaren noranzkoan ibilbide lerrozuzena jarraitzen du. Translazio lerromakurrean segmentu lerrozuzen ororen orientazioak aldagaitza izaten jarraitzen du, baina puntu desberdinek ez dituzte ibilbide lerrozuzenak. Translazio planokidean puntu bakoitzaren ibilbidea betiere plano batean mantentzen da. Translazio lerrozuzena Translazio lerromakurra - 4 -

5 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: 2.- iraketa ardatz finkoaren inguruan rdatz finkoaren inguruan egindako biraketan, gorputzaren zuzen bat, biraketa- -ardatza, finkoa dago. rdatzarenak ez diren puntuak ibilbide zirkularrak egiten dituzte ardatzean zentratuak. iraketa-ardatzak gorputza ez badu mozten, azken hau biraketa-ardatza sartzeraino hedatzen dela pentsa dezakegu, hau da, ikuspegi zinematikoetatik gorputzaren mugimendua eta gorputz zurrun handiagoak izango lukeena berdinak lirateke. igarrenaren kasuan biraketa-ardatza sartuko litzateke. bilbide zirkular bakoitza plano baten barruan sartuta dagoenez, gorputzaren biraketa ardatz finkoaren inguruan mugimendu laua da

6 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: 3.- Edozein mugimendu lau Gorputzaren puntu bakoitzak plano batean dirau. Translazio planokideak eta ardatz finkoaren inguruko biraketa mugimendu lauaren mota zehatzak dira. Horietan gorputzaren zuzenak baldintza bereziak betetzen ditu. Edozein mugimendu lau izeneko kategorian sartzen dira bestelako mugimendu lauak. 4.- iraketa puntu finkoaren inguruan. Gorputzaren puntu bat finkoa dago eta puntu bakoitza esfera baten gainazalean ageritako ibilbideari jarraiki mugitzen da. Esfera puntu finkoan zentratuta dago. 5.- Edozein mugimendu. Gainerako mugimenduak kategoria honen barruan sartzen dira. iraketa puntu finkoaren inguruan Edozein mugimendu lau - 6 -

7 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: 14.2 Translazioa eta gorputz baten bi edozein puntu badira, posizioek bektoreak batzeko triangeluaren erregelarekin zerikusia izango dute: r = r + r / -rekiko -ren posizioa (r / ) konstantea denez, bai moduluan, bai norabidean, deribatua nulua izango da. Hala, aurreko ekuazioa denborarekiko deribatu ondoren, honakoa besterik ez dugu izango: v = v dierazpen horren arabera, gorputz bat translazioan dagoenean, puntu guztiek abiadura berdina dute. urreko ekuazioa denborarekiko deriba dezakegu eta honakoa lortuko dugu: a = a Gorputz segmentu ororen konstantea da. zurrunean lerrozuzen orientazioa mantentzen dierazpen horri jarraiki, gorputz bat translazioan dagoenean, puntu guztiek azelerazio berdina dute. Mugimendua deskribatzeko gorputzaren orientazioa, tamaina eta forma garrantzitsuak ez direnez, translazio-mugimenduan dagoen gorputz zurrunari dagokion puntuen Zinematika puntu baten Zinematikarekin bat dator (13. kapitulua)

8 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: 14.3 Mugimendu laua Gorputzaren puntu bakoitzak plano batean dirau. lanoarekiko zuzen elkarzut guztietako puntuak mugimendu berdina dutenez, nahikoa izango da mugimendua plano bakarrean kontuan hartzea. urrerantzean masen zentroa duen planoa erabiliko da eta mugimenduaren planoa esango diogu. ldo horri jarraiki, gorputz zurrunak mugimendu lauan badihardu, posizioa zehazteko, mugimendu-planoaren zuzenaren orientazioa eta puntuaren kokapena beharko dira. Zuzenaren orientazioa hurrengo moduetan zehatz daiteke: norabide finkoarekin osatutako angelua emanez edo zuzenaren bi edozein punturen kokapena adieraziz. Gorputz osoaren mugimendua puntu edo zuzenaren mugimendutik abiatuta zehatz daiteke

9 ..T.ren maila: Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales Gorputza zurruna izanez gero, mugimendu- -planoan dauden zuzenen mugimendu angeluarra berdina da zuzen guztientzat. rudiko gorputzari erreparatuz, bi segmentu lerrozuzen marraztu dira eta β angelu finkoa bereizita daude elkarren artean. iak mugimendu-planoan daude eta erreferentziazko norabide finkoarekin honako angeluak osatzen dituzte: θ eta θ CD. ngeluen arteko erlazioa: θ CD = θ + β Gorputza mugitzean, θ eta θ CD angeluak aldatuko dira, baina β angelu finkoa ez da aldatuko. ldo horri jarraiki, aurreko ekuazioa denborarekiko deribatzean, honakoa izango dugu: ω & θ = & θ = ω = ω CD = CD ω abiadura angeluarra da, hau da, denbora-unitateko posizio angeluarraren aldaketa. Ekuazio horren arabera, gorputzaren zuzen guztiek ω abiadura angeluar berdina dute. urreko ekuazioa denborarekiko deribatuz, honakoa izango dugu: α & ω = && θ = && θ = & ω = α = α CD = CD CD α azelerazio angeluarra da, hau da, denbora-unitateko abiadura angeluarraren aldaketa. Horren arabera, gorputzaren zuzen guztiek α azelerazio angeluar berdina dute

10 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: 14.4 iraketa ardatz finkoaren inguruan Gorputz zurrunak mugimendu lauan diharduenean, bere posizioa zehazteko puntu baten kokapena eta mugimendu-planoko zuzen baten orientazioa behar dira. ldo horri jarraiki, gorputz ororen mugimendu laua puntu horren mugimendutik eta zuzenaren mugimendutik abiatuta zehatz daiteke. Gure kasuan (biraketa ardatz finkoaren inguruan) ardatzaren puntuak betiere bertan dirau. eraz, gorputz ororen mugimendua zehaztu ahal izango da zuzenaren mugimendutik abiatuta. Ondoren honakoak aztertuko dira: rdatz finkoaren inguruan izandako biraketan zuzenaren mugimendua. rdatz finkoaren inguruan izandako biraketan puntuaren mugimendua

11 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: rdatz finkoaren inguruan izandako biraketan zuzenaren mugimendua rdatz finkoaren inguruan izandako biraketan, gorputzaren posizioa zehazteko, mugimendu-planoko edozein zuzenaren θ posizio angeluarra behar da. Denborarekiko posizio angeluarraren deribatuak ω(t) abiadura angeluarra ematen du eta bigarren deribatuak α(t) azelerazio angeluarra. iak gorputz zurrunarenak dira: 2 dθ d θ dω = ω( t) ; = = α( t) 2 dt dt dt Denboraren arabera azelerazio angeluarra ezagutuz gero, integra dezakegu denboraren arabera abiadura angeluarra eta posizio angeluarra lortzeko: t t 1 ( t) ω0 = α( t) dt; θ ( t) θ0 = ω( t) dt α=cte ω ( t) = ω0 + α t; θ ( t) = θ0 + ω0 t + α t osizio angeluarraren arabera eta ez denboraren arabera azelerazio angeluarra ezagutzen denean, katearen erregelaren bidez: dω dω dθ dω α( θ ) = = = ω dt dθ dt dθ θ2 Eta integra daiteke abiadura angeluarra 2 2 ω2 / 2 ω1 / 2 = posizio angeluarraren arabera lortzeko. α( θ ) dθ ω 2 θ

12 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: rdatz finkoaren inguruan izandako biraketan puntuaren mugimendua rdatz finkoaren inguruan izandako biraketan, ardatzean ez dauden puntuek ibilbide zirkularrak dituzte eta aipatu ibilbideak ardatzean zentratzen dira. puntuaren abiadura, ω abiadura angeluarreko bektorearen arabera idatz daiteke, hurrengo moduan definitzen dena: ω = ω k - Norabidea: gorputzak biratzen duen ardatzarena - Noranzkoa: eskuineko eskuaren erregela eta r ( puntuaren posizio-bektorea biraketa-ardatzarekiko neurtuta) izenekoaren arabera, hurrengo moduan: v = ω x r = r ω e ektorearen biderkadura x-y koordenatuen arabera adierazita honakoa lortuko dugu: v = ( ω k) x ( r cosθ i + r senθ j) = rω senθ i + r t ω cosθ j

13 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales a..t.ren maila: zelerazioaren x-y osagaiak abiadura deribatuz lortzen dira: = r α senθ i + r puntuak biraketa-ardatzaren inguruan ibilbide zirkularra du eta bere azelerazioak osagai normala eta tangentziala izango du. a = α cosθ j ( ) ( ) 2 a + a = rα et + rω en 2 r ω cosθ i r t 2 ω senθ j -ren abiadurarekin analogiaz, azelerazioaren osagai tangentziala hurrengo moduan idatz daiteke: ( a ) = α x α azelerazio angeluarraren bektorea da eta hurrengo moduan definituta dago: α = αk - Norabidea: gorputzak biratzen duen ardatzarena - Noranzkoa: eskuineko eskuaren erregela. zelerazioaren osagai normala hurrengo moduan idatz daiteke: 2 ( a ) = ω x v = ( ω k) x ( r ω e ) = r ω e n Hala: a = α x r + ω x v = α x r + ω x ( ω x r ) n t t r n

14 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: RKET Disko-jogailuaren platerak bere funtzionamenduzko abiadura, 1 33 rpm, abian jarri eta 5 biraketa izan ostean lortzen du 3 lateraren α 0 hasierako azelerazio angeluarra zehaztu: a) zelerazio angeluarra konstantea bada, α = α 0 = konstantea b) zelerazio angeluarra abiadura angeluarrarekin linealki 1 murrizten bada α 0 tik hasita, ω = 0 denean α 0 /4 izan arte ω = 33 3 rpm denean

15 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: RKET

16 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: 14.5 Edozein mugimendu lau tal honetan landuko diren mugimendu lauetan, gorputzaren zuzenek gorputz finkoko punturik izan gabe biratuko dute. Edozein mugimendu lautan ardatz finkoaren inguruan izandako biraketa eta translazioa gainjartzen dira. Edozein mugimendu lauren ariketak ebazteko, bi metodo orokor daude: 1. metodoa (mugimendu absolutuarena): gorputzaren loturak eta bestelako gorputzekin elkarrekintzak deskribatzeko erlazio geometrikoak idazten dira. Ondoren, erlazio horiek erabiltzen dira gorputzaren beste puntuen mugimendua eta kokapena deskribatzeko. 2. metodoa (mugimendu erlatiboarena): puntuen mugimendu erlatiboaren kontzeptua aprobetxatzen du. Gorputz zurrunean bi puntuen arteko distantzia aldagaitza denez, abiadura eta azelerazio erlatiboen adierazpenak oso xumeak dira eta bakarrik gorputzaren abiadura angeluarraren eta azelerazio angeluarraren araberakoak dira

17 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: Mugimendu absolutuaren analisia Gorputz zurrunari dagokion mugimendu angeluarraren eta punturen baten mugimenduaren buruzko ekuazioak, gorputz zurrunaren puntuen eta zuzenen arteko erlazioak zehatz-mehatz aztertuz lor daitezke. Lehenik eta behin, gorputzeko puntu baten kokapena lortzen da eta horretarako orientazio angeluarrari erreparatzen zaio. Ondoren, erlazio honen deribatuek denborarekiko puntuaren abiadura eta azelerazioa ematen dituzte, gorputzaren orientazio angeluarraren, abiadura angeluarraren eta azelerazio angeluarraren arabera. Metodo hau ariketako gorputzaren deskribapen geometrikoan erabat oinarritzen denez, ezin daitezke formula orokorrak ondoriozta. riketa zehatz bakoitzean formula bereziak ondorioztatu beharko dira

19 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: biadura erlatiboa eta edozein puntu izanik, posizioak hurrengo moduan erlazionatuko dira: eta denborarekiko deribatuz v = v + r = r + / r / v Ekuazio horiek bi edozein punturi aplika dakizkioke eta berdin dio gorputza zurruna izatea ala ez izatea. eta puntuak gorputz zurrunarenak badira, bereizketa konstantea izango da eta puntuak puntuaren inguruan ibilbide zirkularra izango du. eraz, v / abiadura erlatiboa hurrengoen arabera definituko da: orduan: v v / = r / ω et = ω k x r / = v + v / = v + r / ω et = v + ω k x r / eraz, gorputz zurrunean edozein punturen abiadura kalkulatzeko, batetik, -rekin gorputz guztiaren translazioa eta, bestetik, -ren inguruan gorputz osoaren biraketa batu behar dira

20 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: eraz, abiadura erlatiboaren ekuazioa hurrengo kasuetan erabil daiteke: a) puntuaren abiadurari dagozkion osagaiak aurkitzeko, gorputzaren abiadura angeluarra eta gorputzaren beste puntu baten abiadura ezagunak izanez gero. b) eta bi punturen abiadurei dagozkien norabideak ezagunak direnean (adibidez: gidari finkoetan zehar irrist egiten dutenean) eta falta den hiru magnitudeetako bat ematen denean (abiaduraren modulua -n, -n edo abiadura angeluarra) i edo gorputz zurrun gehiago kabil baten bidez elkartuak daudenean, gorputz bakoitzari dagozkion abiadura erlatiboen ekuazioak bereizita idatzi ahal izango dira. Ekuazio bakoitzean erabilitako puntu batek puntu komuna izan beharko du eta bi gorputzak elkartu beharko ditu. biadura berdina izango da gorputz bakoitzaren kasuan. v v = v + v / = / v C + C v / C + ω k x r = v +ω urreko ekuazioa ekuazio bektoriala da eta mugimendu lauaren kasuan bi osagai eskalar independente ditu. C k x r / C

23 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: ldiuneko biraketa-zentroa (Z) Gorputzaren edozein mugimendu lautan, ez dago punturik betiere atsedenean. Hala eta guztiz ere, une bakoitzean, betiere abiadura nuluarekin gorputzaren (edo bere hedaduraren) puntu bat aurki daiteke, hain zuzen ere, Z izenekoa. Edozein mugimendu lautan gorputz zurrunaren Z ez da puntu finkoa. Z-ren azelerazioa ez da nulua izaten. eraz, gorputz zurrunaren puntu desberdinak Z izango dira une desberdinetan eta Z-ren kokapena denboraren arabera desberdina izango da. Z kokatzeko, elkarzutak trazatuko ditugu abiadura ezagunetara (gutxienez bi puntutatik) eta ebakidura- -puntuak Z (C puntua) adieraziko du. Hori zergatik gertatzen da? C-ren abiadura nulua delako eta eta ren abiadurak hurrengo moduan kalkulatzen direlako: v v = ω k x r = ω k x r / C / C

24 ..T.ren maila: Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales eta puntuen abiadurak paraleloak izanez gero, Z-k puntu horiek elkartzen dituen zuzenean egon beharko luke. biadura erlatiboaren modulua ωr denez, Zren kokagunea triangeluen parekotasunez aurkitzen da. Edozein unetan puntuen abiadurak berdinak badira, gorputza aldiunean translazioan dago eta ω = 0 da. (Z infinituan dago). Z kokatu ostean, gorputzaren beste edozein punturen abiadura aurkitu ahal izango da abiadura erlatiboaren ekuazioa erabiliz. v D = vc + vd / C = ω k x rd / C i edo gorputz gehiago kabilaren bidez elkartuak daudenean, gorputz bakoitzarentzat Z bat aurkitu ahal izango dugu. Oro har, Z horiek ez dira posizioan bat etorriko. i gorputzak elkartzen dituen puntuaren abiadura absolutua gorputz bakoitzarentzat berdina denez, bata eta bestearen Z-k bi gorputzen puntu komunetik pasatzen den zuzenaren gainean egongo dira

26 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: zelerazio erlatiboa osizio erlatiboaren ekuazioa denborarekiko bi aldiz deribatuz honakoa lortuko dugu: a = a + a / Ekuazio hori bi edozein punturi aplika dakioke, berdin dio gorputzak zurruna izatea ala ez izatea. eta puntuak gorputz zurrunarenak badira, bereizketa konstantea izango da eta puntuak puntuaren inguruan ibilbide zirkularra du. eraz, a / azelerazio erlatiboa hurrengo moduan definituko da: a a = ( ) ( ) ( ) [ ( )] 2 a / + a / = α k x r / + ω k x ω k x r / = r / α et + r / en / ω t n = a + a eta ( ) [ ( )] 2 α k x r / + ω k x ω k x r / = a + r / α et + r / en / = a + ω zelerazio erlatiboaren osagai normalak ω duenez, lehenik eta behin, abiadura erlatiboaren ariketa ebatzi beharko da azelerazio erlatiboarena ebazteko

29 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: 14.6 iraketan dauden ardatzekiko mugimendu erlatiboa Orain arte puntu bakoitzaren posizioa, abiadura eta azelerazioa deskribatu da eta koordenatu finkoen sistema erabili da. Dena den, beste zenbait ariketa-motatan puntu baten mugimendua biraketan dagoen koordenatu-sistemarekiko deskribatu behar da. 1.- Mugimendua biratzen ari den koordenatu-sistematik aztertzen denean. dibidea: Lurra biratzen ari dela jakinda, kohetea edo espazio-ontzia mugimenduan ikusten denean. 2.- i puntuen arteko mugimenduak nolabait erlazionatuak daudenean, baina berdinak ez direnean eta gorputz zurrun berdinean ez daudenean. dibidea: kabilen bidez lotutako mekanismoek arteketan zehar irrist egiten dutenean. Mugimendu erlatiboa nahikoa zehazten da artekak duen piezaren translazioa eta biraketa emanez. Halaber, kabilak behar duen azkartasuna definitu behar da. 3.- Zinetika ariketak, non gorputz zurrunen biraketa irregularra den. Gorputz batzuen kasuan, gorputzarekin biratzen duten koordenatuen ardatzak erabiliz gero, inertzi momentuak eta biderkadurak konstanteak izango dira; hau ez litzateke gertatuko ardatz finkoak erabiliko bagenitu, gorputzak simetriak ez baditu behintzat

30 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: osizioa eta bi edozein puntu dira eta mugimendu lauaren bidez mugitzen dira. X-Y koordenatu-sistema finkoaren arabera, eta ren kokapenak honakoak dira: r = X i + Y j y r = X i + Y Suposa dezagun gorputz zurrun batetan dagoela, ω abiadura angeluarra eta α azelerazio angeluarrarekin biratzen duena, non: Demagun, gainera, puntuaren mugimendua koordenatuen sistema finkoan aise deskriba daitekeela. estalde, suposa dezagun puntuak gorputz zurrun birakariarekiko aldez aurretik zehaztutako mugimendua duela (dibidea- artekan zehar dabilen kabila). Nahiz eta gorputz birakariarekiko puntuaren mugimendua erraz deskribatu, baliteke X-Y koordenatuen sistema finkoarekiko mugimendua erraz ez deskribatzea. j ω = & θ k eta α = & θ k

31 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: x-y koordenatuen sistemak jatorria puntuan du, gorputz zurrunarekiko solidarioa da eta elkarrekin biratzen dute. osizio erlatiboaren bektorea orduan: r = xe + / x ye e x eta e y, ardatz birakariei loturiko bektore unitarioak dira, beraz, denboraren arabera aldatzen dira. Orduan, posizioa hurrengo moduan zehaztuko da: r r + r = r + ( xe + ye ) Non: = / x y r = X i + Y j e x = cosθ i + senθ j e y = - senθ i + cosθ j y x y denboraren funtzio ezagunak baitira

32 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: ( xe + ye ) biadura puntuaren posizioaren adierazpena denborarekiko deribatuz: r r + r = r + xe + ye d r d d e / x y dx d ex dy y v = v + = v + = v + ex + x + e y + y = dt dt dt dt dt dt d e d e x y = v + vrel + x + y dt dt v rel x-y koordenatuen sistema birakariarekiko -ren abiadura da eta azkeneko bi terminoak honakoarengatik agertzen dira: e x eta e y bektore unitarioen norabideak denborarekin aldatzen direlako x-y ardatzen biraketaren ondorioz. d e θ d e d e θ d e x d e x d d e x y y d y = = θ& eta = = θ& dt dθ dt dθ dt d θ dt dθ d e x dθ = e y eta d e y d θ = e x denez, honakoa dugu: = / ( ) x y d e dt x d e = & & dt y θ e y = ω x e x eta = θ e x = ω x e y

33 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: Emaitza hauek abiadura erlatiboaren ekuazioan aplikatuz honakoa izango dugu: rel ( x ω x e ) x + y ω x e y = v + ( ω x r / ) v rel v = v + v + + Non v, v eta ω X-Y koordenatuen sistema finkoarekiko neurtzen baitira. r / eta v rel x-y koordenatuen sistema birakariarekiko neurtzen baitira. urreko ekuazioko bektore guztiak koordenatuen sistema komunean adierazi behar dira bektoreen baturak eta biderkadurak egin baino lehen. Horretarako: r / eta v rel X-Y koordenatuen sistema finkoan hurrengo moduan adieraziko dira: e x = cosθ i + senθ j e y = - senθ i + cosθ j v eta v x-y koordenatuen sistema birakarian adierazi beharko dira honakoa erabiliz: i = cosθ e x - senθ e y j = senθ e x + cosθ e y Hautatzeko, datuei eta nahi ditugun emaitzei erreparatu beharko diegu

34 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: Lortutako adierazpena interpretatzea: ( ω x r ) v rel v + = v + / eta gorputz zurrun berdinaren bi puntu finko badira, v rel = 0 da, ω abiadura angeluarra izango da eta aurreko ekuazioa atalean ondorioztatu zenera murrizten da. ertan edozein mugimendu lautan abiadura erlatiboa aztertzen zen. biraketan dagoen gorputz zurrun baten puntu finkoa izanik eta gorputzaren artekan dabilen kabila izanik, v puntuak gorputzean finko egongo balitz + ( ω x r / ) (biratzen egon ordez) izango zuen abiadura litzateke. v rel (artekarekiko tangentea), azkeneko terminoa, artekan zehar izandako mugimenduarengatik puntuak duen abiadura osagarria da

36 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales a..t.ren maila: a d ω dt r / = + x / + x zelerazioa restian lortu den abiaduraren ekuazioa denborarekiko deribatuz: ω d r dt d r dt d v dt + biadura erlatiboaren kalkuluaren ondorioz: / = v ( ω x r ) d v dt rel = = a α -ren abiadura erlatiboaren deribatuaren ondoriozko kalkuluak honakoa ondorioztatzen du: d ( xe & + ye & ) rel x + dt y = (&& xe + && ye ) rel rel ( x& ω x e + y& ω x e ) = a + ( ω x v ) x x y y + x& rel d e dt x-y koordenatu-sistema birakariarekiko -ren azelerazioa da. x-y koordenatu-sistema birakarian neurtzen da. urreko ekuazioak * ekuazioan aplikatuz eta terminoak multzokatuz: ( ω x r ) v rel v + = v + / x + (*) y& / d e dt y rel =

37 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: a = a + ( ω x r ) + a rel 2 x v rel α + x r / + ω x / ω Non a, a, ω etaαx-y koordenatu-sistema finkoarekiko neurtzen baitira. r /, v rel eta a rel x-y koordenatu-sistema birakariarekiko neurtzen baitira. urreko ekuazioko bektore guztiak koordenatu-sistema komunean adierazi behar dira bektoreen baturak edo biderkadurak egin baino lehen. Horretarako: r /, v rel eta a rel X-Y koordenatu-sistema finkoan adierazten dira hurrengoaren bidez: e x = cosθ i + senθ j e y = - senθ i + cosθ j Edo a, a, ω etaαx-y koordenatu-sistema birakarian adierazi beharko dira honakoa erabiliz: i = cosθ e x - senθ e y j = senθ e x + cosθ e y Hautatzeko, datuei eta nahi diren emaitzei erreparatuko zaie

38 Departamento de ngeniería Mecánica, Energética y de Materiales..T.ren maila: Lortutako adierazpena interpretatzea: a = a + ( ω x r ) + a rel 2 x v rel α + x r / + ω x / ω eta gorputz zurrun baten bi puntu finko badira, v rel = a rel = 0 da; ω eta α abiadura angeluarra eta azelerazio angeluarra dira. Ondorioz, aurreko ekuazioa atalekora murrizten da. Horrek edozein mugimendu lautan azelerazio erlatiboa aztertzen zuen. biraketan dagoen gorputz zurrun baten puntu finkoa izanik eta gorputzaren artekan zehar irrist egiten duen kabila, puntua gorputzean finko egongo balitz, honako abiadura izango luke: α + ( ω r ) a + x r / x x / a rel terminoa puntuak artekan zehar mugitzeagatik duen azelerazio osagarria da. 2 ω x v rel gainerako terminoa Coriolisen azelerazioa da, hain zuzen elkarzuta, bai ω- rekiko, bai v rel -ekiko eta, beraz, mugimenduaren planoan egongo da eta kabila mugitzen den artekarekiko elkarzuta izango da. ω