Ekuazio diferentzial arruntak. Ebatzitako ariketak.

Transcripción

1 Ekuazio diferentzial arruntak. Ebatzitako ariketak. ISBN: Unai Aldasoro Marcellan Oihana Aristondo Eteberria Isabel Benito Butrón EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALENA Liburu honek UV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren dirulaguntza jaso du

2 EKUAZIO DIFERENTZIAL ARRUNTAK Ebatzitako ariketak Matematika Aplikatua Saila Unai Aldasoro Oihana Aristondo Isabel Benito

3 ii

4 AURKIBIDEA.- Sarrera....- Oinarrizko kontzeptuak Aldagai bananduetako ekuazioak Ekuazio homogeneoak Homogeneoetara bihurgarriak Ekuazio diferentzial zehatzak Ekuazio diferentzial zehatzetara bihurgarriak. Integrazio-faktorea Lehenengo mailako ekuazio diferentzial linealak Linealetara murrizgarriak: Bernoulli n ordenako ekuazio diferentzial linealak n ordenako ekuazio diferentzial homogeneoak Koefiziente konstantedun ekuazio diferentzial homogeneoak Koefiziente konstantedun ekuazio diferentzial ez-homogeneoak edo osoak Soluzioen gainezarpen-printzipioa Konstanteen aldakuntza-metodoa Euler-en ekuazio diferentzialak Euler-en ekuazio diferentzial homogeneoak Euler-en ekuazio diferentzial osoak Soluzioen gainezarpen-printzipioa roposaturiko ariketak Bibliografia...79 iii

5 iv

6 .-Sarrera.- SARRERA Tosten honek mota guztietako ekuazio diferentzial arrunten ebazpenen adibideak aurkezten ditu. Helburu nagusia, beraz, ariketak ebazteko orduan ikasleari kontsultarako erreminta erabilgarri bat eskaintzea da. Azalpen teoriko eta formal sakonetarako, berriz, bibliografian adierazitako materiala gomendatzen dugu. Ikasmaterial honetan, kasuan kasuko ekuazio diferentzial arrunten ezaugarriak laburbildu dira, eta ebazpenerako prozesua deskribatzen da, adibide bakoitzaren zailtasunei erreparatuz. Gainera, ariketa zerrenda luze bat proposatu da amaierako atalean, ikasleak ezagutzak praktikan jartzeko asmoz. Ebazpen batzuek adi, oharra eta ondorioa aipamenak jasotzen dituzte, hurrenez hurren, ohiko akats, salbuespen edo alderdi gehigarri eta ondorio teorikoak azpimarratzeko. Azkenik, kontuan izan material honek kalkulu matematikoaren inguruko aurretiko ezagutzak eskatzen dituela, adibidez: oinarrizko funtzio matematikoen propietateak (esponentzialak, logaritmikoak ), funtzio trigonometrikoen propietate eta erlazioak, eta integral mugatuen integrazio-prozedurak (berehalakoak, zatikako metodoa, aldagai-aldaketa bidezkoak, funtzio arrazionalen integrazioa ).

7

8 .-Oinarrizko kontzeptuak.- OINARRIZKO KONTZETUAK Definizioa: Ekuazio bat ekuazio diferentzial bat dela esango dugu, baldin eta ekuazio horretan agertzen diren aldagaiak aldagai askea, =() -ren menpeko funtzioa ezezaguna eta haren deribatuak,,, (n) badira. Hau da: ( n) F,, ', '',..., = 0 =() funtzioa, ezezaguna aldagai bakar baten menpekoa bada, ekuazio diferentzial arrunta dela esango dugu. Oharra: Ekuazio batean deribatuak edo diferentzialak azaltzen direnean, ekuazio diferentziala dela esango dugu. Adibideak: '' + ' = ) ) t''' + '' = 4t 3) 4d 4d = + Definizioa: Ekuazio diferentzial baten ordena ekuazioan azaltzen den deribazio-ordenarik handiena da. Adibideak: Aurreko adibideko ordenak ). ordenako ekuazioa. ) 3. ordenako ekuazioa. 3). ordenako ekuazioa. 3

9 .-Oinarrizko kontzeptuak Soluzio orokorra n) f,, ', '',..., = 0 n ordenako ekuazio diferentziala izanik, ekuazioaren soluzioek itura hau izango dute: Forma esplizituan: = (, K, K,..., Kn ) Forma inplizituan: (,,,,..., n ) F K K K = 0 K, K,,K n konstanteak izango dira. Konstanteei balioak emanez soluzio partikularrak lortuko ditugu. Adibideak: ) Har dezagun ln '' ' + = 0 ekuazio diferentziala. Frogatu = A + Bln eta = 3 + ln funtzioek ekuazio diferentziala betetzen dutela. - = A + Bln ' = A + B '' = B B B = 0 Ordezkatuz: ( ln ) A ( A Bln) -ek eta -k betetzen dute ekuazio diferentziala. soluzio bat da, eta, A eta B bi konstante dituenez, SOLUZIO OROKORRA izango da., aldiz, SOLUZIO ARTIKULAR bat izango da. Lehenengo ordenako ekuazio diferentzialaren integral orokorra Lehenengo ordenako ekuazio diferentzialak era honetan idatz daitezke: Forma orokorra: f (,, ') = 0 X, d + Y, d = 0 Forma diferentziala: Forma normala: ' = g (, ) SOLUZIO OROKORRAK forma hau izango du: = (, ) edo (,, ) K F K = 0 4

10 3.-Aldagai bananduetako ekuazioak 3.- ALDAGAI BANANDUETAKO EKUAZIOAK Definizioa: Izan bedi M, d + N, d = 0 motako ekuazio diferentzial bat. Ekuazio diferentzial hori aldagai bananduetako ekuazio bat dela esango dugu, aldagaiak honela banatu badaitezke: f g d f g d + = 0 Ebazpena: Orain, ekuazioa f g funtzioaz biderkatuz ekuazio hau lortzen dugu: f f g d + d = 0 g non integralak eginez jatorrizko funtzioa lortu baitezakegu: f g d = f g d ARIKETA EBATZIAK:.- ' tg = Lehenik, aldagai bananduetako ekuazio diferentziala den egiaztatuko dugu, horretarako jatorrizko adierazpena transformatuz: d ' tg = tg = dtg d = 0 d Beraz, frogatu dugu aldagai bananduetako ekuazio diferentzial bat dela, non hurrenez hurren: f( ) = g( ) = f = tg g( ) = Ebazpeneko argibideei jarraituz, ekuazio diferentziala biderkatuko dugu: = f g tg funtzioaz 5

11 3.-Aldagai bananduetako ekuazioak d d d tg d 0 0 tg tg = tg = Dagoeneko aldagai bakoitza bere diferentzialarekin multzokatua dugu, gurutzaturiko dependentziarik gabe alegia. Ekuazioa integratuz: d d = K ln lnsin = K ln = K tg sin K K = e = e sin sin Adi: 0 zenbakiaren integrala edozein zenbaki erreal izan daiteke, kasu honetan K letraz adierazia: K R. Era berean, K e ere zenbaki erreal bat izango da; notazioa arintzeko: K A = e A R K = e sin = Asin Ondorioa: Jatorrizko ekuazio diferentzialaren soluzio orokorra = Asin formako funtzio bat da; hau da, ekuazio diferentzialaren soluzio partikular guztiek forma hori dute, eta A konstantearen balioaren arabera soluzio partikular bat edo beste lortuko dugu. Oharra: Azterturiko ekuazio diferentzialaren maila ( aldagaiaren maila altueneko termino diferentzialak adierazia) eta soluzio orokorrean lorturiko konstante erreal kopurua bat datoz..- +e = e Aurreko adibidean egindako pausoei jarraituz aldagai bananduetako ekuazio diferentziala dela frogatuko dugu: d e e + e = e + e d = e d d = d d d = 0 d + e + e Ekuazioa integratuz: aldagai- aldaketa e du d d = K u e K = = + e + u du = e d ln+ u = K 6

12 3.-Aldagai bananduetako ekuazioak Adi: Integrazioa egiteko, ualdagaia definitu dugu, baina soluzio orokorra jatorrizko, aldagaien menpe adierazi behar dugu. Aldagai-aldaketa deseginez: ln + e = K = ln + + e A Ondorioa: Ekuazio diferentzialen ariketak ebatzi ahal izateko integral mugatuak kalkulatzeko metodoak ongi erabiltzen jakin beharra dago. Kasu honetan, aldagai-aldaketa bidez ebatzi dugu. 3.- ( + ) d+ ( - ) d = 0 Aldagai bananduetako ekuazio diferentziala dela frogatuko dugu: ( + ) d + ( ) d = 0 d d = Integratuz: d + d = K d + d = K + + ln + ln + = K + = A A + B = = Oharra: Aldagai banandu motako ekuazio diferentziala izateak ez du esan nahi aldi berean beste mota bateko ekuazio diferentzial baten ezaugarririk izaterik ez duenik. Esaterako, ariketa hau ekuazio diferentzial zehatz gisa ebatz daiteke (ikus 5. atala). 7

13 3.-Aldagai bananduetako ekuazioak 8

14 4.-Ekuazio homogeneoak 4.- EKUAZIO HOMOGENEOAK Definizioa: f (, ) funtzio bat n mailako funtzio homogeneoa dela esango dugu, baldin: (, ) n (, ) t f t t = t f d = lehenengo mailako ekuazio diferentzial bat ekuazio diferentzial d Definizioa: f (, ) homogeneoa izango da, f (, ) funtzioa zero mailako funtzio homogeneoa bada. Oharra: Ekuazioak forma hau badu: M, d + N, d = 0 homogeneoa dela esango dugu, baldin eta M (, ) eta (, ) funtzio homogeneoak badira. N funtzioak maila bereko Ebazpena: = u aldagai-aldaketa eginez aldagai bananduetako ekuazio bat lortuko dugu. Kontuan izan: = u ' = u' + u 9

15 4.-Ekuazio homogeneoak ARIKETA EBATZIAK: '( - 3)= 0 Lehenik, ekuazio diferentzial homogeneoa den egiaztatuko dugu, horretarako M (, ) eta N (, ) funtzioak identifikatuz : (4 3 ) d + ( 3 ) d = 0 M, = 4 3, N, = 3 Ondoren, M (, ) eta (, ) (, ) = 4 3 = ( 4 3 ) M t t t t t (, ) = 3 = ( 3 ) N t t t t t Beraz, M (, ) eta (, ) N maila bereko ekuazio homogeneoak diren egiaztatuko dugu: N lehen mailako funtzio homogeneoak dira; maila berekoak izanik, jatorrizko ekuazio diferentziala homogeneoa dela esan dezakegu. Ekuazioa ebazteko era normalean adieraziko dugu, eta, ondoren, argibideetan adierazitako aldagai-aldaketa egingo dugu: aldagai aldaketa 3 4 3u 4 3u 4 ' = = u u' + u = = 3 u 3 u 3 ' = u' + u 3 u 4 u + 6 u 4 ( u 3 u + ) ( u )( u ) u' = u = = = u 3 u 3 u 3 u 3 u 3 d du = ( u )( u ) Esan bezala, aldagai bananduetako ekuazio diferentzial bat lortu dugu. Funtzio arrazionalen integrazio-metodoa aplikatuz: u 3 A B A = = + ( u )( u ) u u B = Integratuz: d + du = u u ln( u ) + ln( u ) = ln + lnc ln [( u )( u ) ] = ln C C ( u )( u ) =. 0

16 C C = = Aldagai-aldaketa deseginez: ( )( ) 4.-Ekuazio homogeneoak.- 3 ' = ( + 3 ) Aurreko ariketan bezala, M (, ) eta (, ) egiaztatuko dugu: 3 (, ) = ( + 3 ) = ( + 3 ) M t t t t t t (, ) = = ( ) N t t t t N maila bereko ekuazio homogeneoak diren Bi kasuetan hirugarren mailako funtzio homogeneoak ditugunez, ekuazio diferentzial homogeneoen ebazpena aplika dezakegu. ( 3 ) aldagai- aldaketa ( 3 ) 3 + u u + u + ' 3 u = 3 u u' u 3 = + = = ' = u' + u 3 3 u + 3u u u + u du d u' = = = 3 u + u Aldagai bananduetako ekuazio diferentzial bat lortu dugu. A Bu + C Au + + Bu + C u = = + u( u + ) u u + A =, B =, C = 0 ( ) u Integratuz: + du = u u + d + K = lnu ln( u + ) ln( K) = ln K = ln ln u u u + u +. Aldagai-aldaketa deseginez: K = K = + +.

17 4.-Ekuazio homogeneoak 3.- ( - ) d - ( - 3) d = 0 Ekuazio diferentzial homogeneoa dela frogatu ondoren, aldagai-aldaketa egingo dugu: (, ) = = ( ) M t t t t t (, ) = + 3 = ( + 3 ) N t t t t t ' = 3 aldagai- aldaketa u u u u = u u' + u = = 3 u 3u ' = u' + u u u u 3u d 3 d 3u 3u u u u u' = u = du = du = 3 3lnu ln lnc ln ( u K ). u = + u = Aldagai-aldaketa deseginez: 3 3 K e 3 K - = ln =. 4.- ( ) d+ ( ) d = 0 Ekuazio diferentzial homogeneoa dela frogatu ondoren, aldagai-aldaketa egingo dugu: (, ) = 3 + = ( 3 + ) M t t t t t t (, ) = 3 = ( 3 ) N t t t t t t Era normalean adieraziz: aldagai- aldaketa ' = = u = u u' + u = 3 u 3u ' = u' + u 3 u 3 u 3 3 u 3 u u + u + 3u 3u + 3u 3u 3 u' = = u 3u u 3u d u 3u = u u u du

18 4.-Ekuazio homogeneoak A = u 3u A B C Kontuan hartuz = B = ( u ) ( u ) u ( u ) u betetzen dela eta C = ln( ) ln( ) ln ln (. ) 3 u + u = + K = ( ) k u + ( u ) hau integratuz: [ ] 3 eta aldagai-aldaketa deseginez: = k ( + ) ( ) = = Kte 3 ( + ) ( ) k 5.- ' = 3 - Ekuazio diferentzial homogeneoa dela frogatu ondoren, aldagai-aldaketa egingo dugu: (, ) = t = t ( ) M t t (, ) = 3 = ( 3 ) N t t t t t aldagai- aldaketa 3 3 u u u 3u + u u u u' + u = u u' u 3 = = = = 3 u 3 u 3 u 3 u ' = u' + u 3 u d du = u( u ) 3 u A B C Kontuan hartuz = + + { A = 3; B = ; C = u( u ) u u u + betetzen dela eta hau integratuz: u 3lnu + ln( u ) + ln( u + ) = ln + ln K = K. 3 u eta aldagai-aldaketa deseginez: 3 ( ) = K = K 3 3

19 4.-Ekuazio homogeneoak ' = Ekuazio diferentzial homogeneoa dela frogatu ondoren, aldagai-aldaketa egingo dugu: (, ) = 4t t + 3t = t ( ) M t t (, ) = 5 = ( 5 ) N t t t t t t aldagai- aldaketa u' + u = = u u' = u = 5 u u 5 u u 5 u u ' = u' + u 3 u u u u 3u 4 + u 3u u u 4u u u d du = Kontuan hartuz: 5 u u A B C 3 5 = + + A = ; B = ; C = ( u )( u )( u + ) u u u hau integratuz: ( u + ) lnk = ln( u ) ln( u ) + ln( u + ) = ln ( u ) ( u ) eta aldagai-aldaketa deseginez: ( + ) ( ) ( ) = K = Kte ( ) ( ). Ohar orokorra: Ebatzi beharreko aldagai bananduetako ekuazio diferentziala maiz funtzio arrazionalen integrazio erakoa izaten da. Hala, logaritmo nepertarrak azalduko dira integrazioaren emaitzan, eta propietateak erabiliz argumentuen arteko erlazioan laburbilduko dugu. 4

20 5.-Homogeneoetara bihurgarriak 5.- HOMOGENEOETARA BIHURGARRIAK d a + b + c Definizioa: = f d m + n + l bihurgarriak izango dira. motako ekuazio diferentzialak homogeneoetara Ebazpena: - Baldin c=l=0, ekuazio diferentzial homogeneoa da. - Gainerako kasuetan, sistema hau aztertuko dugu: a + b + c = 0 m + n + l = 0 Sistema horrek planoko bi zuzen irudikatzen ditu, eta hiru emaitza posible ditu: a) Sistema bateragarri determinatua, non zuzenak ( 0, 0) puntu batean mozten baitira. Eta aldagai-aldaketa hau eginez: = X + 0 d = dx a + b + c = ax + by ' = Y' = Y + 0 d = dy m + n + l = mx + ny Ekuazioa ekuazio diferentzial homogeneo bihurtuko da: dy dx ax + by = f mx + ny b) Sistema bateragarri indeterminatua (zuzen berdinak): a b c = = m n l Zatiketa eginda, aldagai bananduetako ekuazio diferentzial bat izango da. c) Sistema bateraezina da (zuzen paraleloak): a b c =. m n l a b = = h betetzen denez m n a = mh. h( m + n) + c ' = f b = nh. m + n + l Beraz, ebazteko, m+n=z aldagai-aldaketa egingo dugu. 5

21 5.-Homogeneoetara bihurgarriak ARIKETA EBATZIAK:.- (3-7+7)d -( )d = 0 Lehenik, ekuazio diferentzial homogeneoa den aztertuko dugu: (, ) = = 7 + t ( 3 7) M t t t t (, ) = = 3 + ( ) N t t t t t Beraz, M (, ) eta (, ) N ez dira funtzio homogeneoak. Hala ere, duten egituragatik jatorrizko ekuazio diferentziala homogeneotara bihurgarria dela ikus dezakegu: ' = non a = 7, b = 3, c = 7 diren. m = 3, n = 7, l = = , beraz, soluzio bakarra = = X + 0 = X + 0 = = eta 0 = 0 izanik, aldagai-aldaketa egingo dugu 7 3 = Y + 0 = Y X + + 3Y + 7 7X + 3Y Y' = = 3 X + 7Y 3 3X 7Y homogeneoa da. Aurretik ikusitako prozedura aplikatuz: 7X + 3Y Y' = 3X 7Y aldagai- aldaketa 7 + 3u Y = ux u' X + u = 3 7u Y' = u' X + u ' u u X = u du = 7 dx 3 7u u X 3 7u A B B = 5 Kontuan hartuz: = + u u u + A = hau integratuz: K lnk ln( u ) 5ln( u + ) = 7lnX = X 5 ( u ) ( u + ) 7 6

22 5.-Homogeneoetara bihurgarriak Ekuazio diferentzial homogeneoa ebazteko aldagai-aldaketa deseginez: K 7 K 5 = X = ( Y X) ( Y + X) = K 5 5 Y Y Y 5 Y + X X + X X X X Ekuazio diferentziala homogeneo bihurtzeko egindako aldagai-aldaketa deseginez: 5 5 ( Y X) ( Y + X) = ( + ) ( + ) = K. Ondorioa: Homogeneotara bihurgarria den ekuazio diferentzial bat ebatzi dugu, non dagokion sistema bateragarri determinatua den. Oharra: Jatorrizko ekuazio diferentzialaren aldagaien menpeko emaitza lortzeko eginiko bi aldagai-aldaketak desegin behar dira: ekuazio diferentzial homogeneoa ebaztekoa eta homogeneotara bihurtzeko erabilitakoa..- ( - +5)d+(-3+6-5)d = 0 Lehenik, ekuazio diferentzial homogeneoa den aztertuko dugu: (, ) = + 5 = 5 + t ( ) M t t t t (, ) = = 5 + ( ) N t t t t t Beraz, M (, ) eta (, ) N ez dira funtzio homogeneoak. Hala ere, duten egituragatik jatorrizko ekuazio diferentziala homogeneotara bihurgarria dela ikus dezakegu: = 0 ' = = = Ondorioz, sistema bateragarri indeterminatu edo bateraezina da. Kasua zehazteko: b? c 5 = =, beraz, sistema bateragarri indeterminatua da, zatiketa eginez ebatziko n l 6 5 duguna: + 5 ' = = 3 ' = 3d = d 3 = + K

23 5.-Homogeneoetara bihurgarriak 3.- ( - -)d+(3-6+ )d = 0 Lehenik, ekuazio diferentzial homogeneoa den aztertuko dugu: (, ) = = + t ( ) M t t t t (, ) = = + t ( 3 6) N t t t t Beraz, M (, ) eta (, ) N ez dira funtzio homogeneoak. Hala ere, duten egituragatik jatorrizko ekuazio diferentziala homogeneotara bihurgarria dela ikus dezakegu: ' = = 0 = = Ondorioz, sistema bateragarri indeterminatu edo bateraezina da. Kasua zehazteko: b? c =, beraz, sistema bateraezina da. Dagokion aldagai-aldaketa aplikatuz: n l 6 ' = 3 + ( ) aldagai aldaketa z' -z + = z = 3z + ' = z' (-z + ) 5z dz 5z 3z + z' = = z' = = dz = d 3z + 3z + d 3z + 5z Aldagai bananduetako ekuazio diferentziala integratuz: 3 z + ln z + ln K = ln z + ln C = 5 3 z ln ( C z ) = 5 3 z C z = e z Aldagai aldaketa deseginez: C = e C = e A( - ) = e Oharra: Homogeneotara bihurgarri diren ekuazio diferentzialak ebazteko ekuazio-sistema linealen sailkapena ongi ezagutu beharra dago, eta sistema bateragarri determinatu, bateragarri indeterminatu eta bateraezinak bereizten jakin. 8

24 6.-Ekuazio diferentzial zehatzak 6.- EKUAZIO DIFERENTZIAL ZEHATZAK Definizioa: Izan bitez M (, ) eta (, ) N bi funtzio erreal jarraitu D eremuan. M, d + N, d = 0 ekuazio diferentzial bat zehatza izango da D eremu batean, U (, ) funtzio erreal bat eistitzen bada D eremuan non: (, ) U (, ) = M eta (, ) U (, ) = N U (, ) funtzioa ekuazio diferentzialaren jatorrizko funtzio bat da, eta integral orokorra hau izango da: U (, ) = kte M, d + N, d = 0 ekuazio diferentziala D eremuan zehatza izateko Teorema: baldintza beharrezkoa eta nahikoa, M (, ), (, ) N eta haien deribatuak D eremuan jarraituak izanik, honako hau da: (, ) (, ) M N = Ebazpena:. era: M (, ) -rekiko integratuz: U (, ) = M (, ) d + f ( ) U (, ) funtzioa ezagutzeko f ( ) ebaztea falta zaigu. Horretarako, lortutako (, ) rekiko deribatuko dugu: (, ) Bestalde, badakigunez ( M ( ) d f ( ) ) ( M d) f ( ) U =, + =, + ' (, ) U (, ) = N ebatziko dugu eta, hala, U (, ) funtzioa lortuko: U - betetzen dela, ekuazio honetatik f ( ) ( M d) f ' = N,, 9

25 6.-Ekuazio diferentzial zehatzak Ebazpena:. era: M (, ) -rekiko integratuz: U (, ) = M (, ) d + f ( ) N (, ) -rekiko integratuz: U (, ) = N (, ) d + g Bi U (, ) funtzio berdinduz, f ( ) eta g ( ) ebatziko ditugu, eta, hala, U (, ) funtzioa lortuko. ARIKETA EBATZIAK: e ( + + )d+ 3 (e -6)d = 0 Hasteko, ekuazio diferentzial zehatza den egiaztatuko dugu, M (, ) eta (, ) hurrenez hurren, eta aldagaiekiko deribatuz: M = e (3 + 3 ) = e 3 ( + ) ZEHATZA N = 3 ( e + e ) = e 3 ( + ) N funtzioak, Ekuazio diferentzial zehatza dela ikusi ondoren,. ebazpen-metodoari jarraituko diogu. Lehenik, beraz, M (, ) -rekiko integratuz: 3 3 U(, ) = M, d + f = e ( + + ) d + f( ) = = e + + e d + f = e + + e + f = e + + f ( ) ( )- ( ) Esan bezala oraindik f ( ) ebaztea falta zaigu, horretarako U(, ) -rekiko deribatuz: (, ) U = 3 e + f '( ) = N(, ) = 3 ( e -6) bete behar da = = + 3 f '( ) 8 f( ) 6 kte Orduan, U(, ) -ren adierazpen osoa berreskuratuz: 3 3 = + + U(, ) e ( ) 6 kte Beraz, soluzio orokorra hau da: 3 3 e ( + ) 6 = K 0

26 6.-Ekuazio diferentzial zehatzak.- (+ )d+( + - )d = 0 Hasteko, ekuazio diferentzial zehatza den egiaztatuko dugu: M N = + = ZEHATZA Ekuazio diferentzial zehatza dela ikusi ondoren,. ebazpen-metodoa erabil dezakegu: (, ) U = M = ( + ) U = ( + ) d + f = + + f (, ) (, ) Orain, f ( ) ezagutzeko U(, ) -rekiko deribatuz: (, ) U = + + f '( ) = N(, ) = + bete behar da f '( ) = f( ) = + kte Orduan, laburbilduz: U(, ) = + + kte Beraz, soluzio orokorra hau da: + = K 3.- (+ cos)d+ sind = 0 Hasteko, ekuazio diferentzial zehatza den egiaztatuko dugu: M N = cos = ZEHATZA Ekuazio diferentzial zehatza dela ikusi ondoren,. ebazpen-metodoa erabil dezakegu. Lehenik, beraz, M (, ) -rekiko integratuz: (, ) U = M(, ) = ( + cos ) U(, ) = ( + cos ) d + f( ) = + sin + f( ) N, -rekiko integratuz: Orain, U = N (, ) = sin U (, ) = sin d + g ( ) = sin + g ( )

27 6.-Ekuazio diferentzial zehatzak Azkenik, U (, ) funtzioaren bi adierazpenak berdinduz, f ( ) eta g ( ) ebatziko ditugu: U(, ) = + sin + f = sin + g + f = g Beraz, g ( ) = eta menpekotasunik) f = K (konstantea soilik, berdintzan ez baitago aldagaiarekiko Ondorioz, soluzio orokorra hau izango da: + sin = K 4.- (e + e )d+( + )e d = 0 Lehenik, ekuazio diferentzial zehatza den egiaztatuko dugu: M N = e = ZEHATZA Ekuazio diferentzial zehatza dela ikusita,. ebazpen-metodoa aplikatuko dugu. (, ) U = M(, ) = ( e + e ) U(, ) = ( e + e ) d + f( ) = e + e + f( ) Orain, U(, ) -rekiko deribatuz: (, ) U = e + f '( ) = N(, ) = ( + ) e bete behar da ' f = e f( ) = e + kte Orduan: U(, ) = e + e + e + kte Beraz, soluzio orokorra hau da: + e + e = K

28 6.-Ekuazio diferentzial zehatzak 5.- e + ln+ d+ + ln+ sen d = 0 Lehenik, ekuazio diferentzial zehatza den egiaztatuko dugu: M N = + = ZEHATZA Ekuazio diferentzial zehatza dela ikusita,. ebazpen-metodoa aplikatuko dugu. Hasteko, M (, ) -rekiko integratuz: (, ) U = M(, ) = e + ln + U = e + + d + f = e f (, ) ln ( ln ln ) Orain, U(, ) -rekiko deribatuz: (, ) U = + ln + f '( ) = N(, ) = + ln + sin bete behar da f '( ) = sin f( ) = cos + kte Orduan: U(, ) = e + ln + ln cos + kte Beraz, soluzio orokorra hau da: e + ln + ln cos = K 3

29 6.-Ekuazio diferentzial zehatzak d+ + - d = Lehenik, ekuazio diferentzial zehatza den egiaztatuko dugu: M N = + = ZEHATZA 3 Ekuazio diferentzial zehatza dela ikusita,. ebazpen-metodoa aplikatuko dugu. Hasteko, M (, ) -rekiko integratuz: U, = M(, ) = U = + + d = f + (, ) ln Orain, U(, ) -rekiko deribatuz: U, = + f '( ) = N(, ) = + bete behar da + + f '( ) = f( ) = ln + kte Orduan: U(, ) = ln + ln + kte Beraz, soluzio orokorra hau da: ln + ln = K Ondorio orokorra: Ekuazio diferentzial zehatzen ebazpena baliokideak diren bi eratara bideratu daitezke. Kasu guztietarako pauso berdinak egin behar direnez, zailtasun nagusia ebatzi beharreko integralen konpleutasunean datza. 4

30 7.-Ekuazio diferentzial zehatzetara bihurgarriak. Integrazio-faktorea 7.- EKUAZIO DIFERENTZIAL ZEHATZETARA BIHURGARRIAK. INTEGRAZIO- FAKTOREA Definizioa: Izan bedi M (, ) d + N (, ) d = 0 ekuazio diferentziala, (, ) µ deribatu partzialak D eremuan jarraituak dituen funtzio bat integrazio-faktore bat dela esango dugu, baldin eta ekuazioaz biderkaturik ekuazio diferentzial zehatz bat lortzen bada. Hau da: µ, M, d + µ, N, d = 0 ekuazio diferentzial ZEHATZA Beraz, hau bete behar da: (, ) M (, ) (, ) N (, ) µ µ = (*) INTEGRAZIO-FAKTORE MOTAK:.- -ren menpeko integrazio-faktorea µ ( ) µ = 0 µ = µ dµ µ = = µ ' d µ ' M N µ M = µ N + µ N µ M N = µ ' N =. µ N Beraz, (*)-n ordezkatuz: ' ( ) Beraz, integrazio-faktorea lortzeko, M N N -ren menpeko funtzio bat izan behar da. 5

31 7.-Ekuazio diferentzial zehatzetara bihurgarriak. Integrazio-faktorea Adibidea: (- )d+ ( - )d = 0 Lehenik, ekuazio diferentzial zehatza den egiaztatuko dugu. Deribatu partzialen notazio irizpide gisa M = eta M = M eta N N = N eran laburbilduko dira: = 3 ; beraz, ez da ZEHATZA. µ integrazio-faktorea egiaztatuz: M N µ = = = = µ ( ) ' N ( ) ( ) Ondorioz, µ integrazio-faktorea onartzen du, non µ ' µ = den. Beraz, adierazpena ln ln. integratuz µ -ren balioa hau izango da: µ = µ = Hori jakinda, integrazio-faktorea biderkatuz, jatorrizko ekuazio diferentzialaren baliokidea den ekuazio diferentzial zehatz bat lortuko dugu. ( ) d + ( ) d = 0 d ( ) d 0 + =. M = eta N = ; beraz, ZEHATZA da. untu honetatik aurrera, 6. atalean proposaturiko bi ebazpen eretako bat aplika dezakegu. Esaterako,. era erabiliz M (, ) -rekiko integratuz: U, = M(, ) = U(, ) d f( ) f( ) = + = + Orain, U(, ) -rekiko deribatuz: U = + f '( ) = N(, ) = bete behar da f '( ) = f( ) = + kte Orduan: U(, ) = + + kte izango da. Beraz, soluzio orokorra hau da: + = K 6

32 7.-Ekuazio diferentzial zehatzetara bihurgarriak. Integrazio-faktorea.- -ren menpeko integrazio-faktorea µ ( ) dµ µ = = µ ' µ = µ ( ) d µ = 0 µ ' µ M + µ M = µ N µ N M = µ ' M = µ Beraz, (*)-n ordezkatuz: ' ( ) N M M Beraz, integrazio-faktorea lortzeko N M M -ren menpeko funtzio bat izan behar da. Adibidea: 3 d+( + + 3)d = 0 Lehenik, ekuazio diferentzial zehatza den egiaztatuko dugu: M = eta egiaztatuz: = ; beraz, ez da ZEHATZA. Orain, ( ) N 3 N M = = = 3 M µ integrazio-faktorea Beraz, ekuazio diferentzialak µ ( ) erako integrazio-faktorea onartzen du, zeinaren balioa µ ' µ = adierazpena integratuz lortuko dugun: µ µ ln = ln =. d d = 0 izango da. 3 3 Ondorioz, ekuazio diferentzial baliokide berria M = 3 eta N = 3 ; beraz, ZEHATZA da. Esaterako,. era erabiliz M (, ) -rekiko integratuz: 3 3 U 3 3 = M(, ) = ( ) U(, ) = ( ) d = + f( ) 3 Orain, U(, ) -rekiko deribatuz: U 3 3 = + f '( ) = N (, ) = bete behar da 3 f '( ) = + 3 f( ) = kte Orduan: U(, ) = kte ; eta soluzio orokorra: = K 3 3

33 7.-Ekuazio diferentzial zehatzetara bihurgarriak. Integrazio-faktorea 3.- (+)-ren menpeko integrazio-faktorea µ ( + ) Beraz, (*)-n ordezkatuz: dµ t dµ µ = =. = µ ' dt dt µ = µ ( + ) = ( t = + ) = µ ( t) dµ t dµ µ = =. = µ ' dt dt µ ' µ ' M + µ M = µ ' N + µ N µ '( M N ) = µ ( N M ) = µ ( N ) M Integrazio-faktorea lortzeko, ( M N ) ( N M ) ( M N ) (+)-ren menpeko funtzio bat izan behar da. Adibidea: d+ d = 0 + Lehenik, ekuazio diferentzial zehatza den egiaztatuko dugu: M = 0 eta egiaztatuz: N = + ( + ) ; beraz, ez da ZEHATZA. Orain, µ ( + ) integrazio-faktorea ( ) N M + + = = = ( M N ) ( + ) Beraz, ekuazio diferentzialak µ ( ) µ ( t) zeinaren balioa ( t) ( t) ( + ) µ ' = = µ t ( + ) ( + ) ( ) + = erako integrazio-faktorea onartzen du, den eta ln µ = lnt µ ( t) = t = ( + ) Ondorioz, ekuazio diferentzial baliokide berria M = eta N = ; beraz, ZEHATZA da. Esaterako,. era erabiliz N (, ) -rekiko integratuz: + d + d = 0 izango da. 8

34 U = N(, ) = U(, ) = d = + f Orain, U(, ) -rekiko deribatuz: 7.-Ekuazio diferentzial zehatzetara bihurgarriak. Integrazio-faktorea 3 U f '( ) M (, ) ( = + = = + ) bete behar da f ' = f = + kte 3 3 Orduan: U(, ) = + + kte, eta soluzio orokorra: = 3 K 4.- (-)-ren menpeko integrazio-faktorea µ ( ) dµ t dµ µ = =. = µ ' dt dt µ = µ ( ) = ( t = ) = µ ( t) dµ t dµ µ = =.( ) = µ ' dt dt Beraz, (*)-n ordezkatuz: µ ' µ ' M + µ M = µ ' N + µ N µ '( M + N ) = µ ( M N ) = µ ( M ) N Integrazio-faktorea lortzeko, ( M + N ) ( M N ) ( M + N ) (-)-ren menpeko funtzio bat izan behar da. Adibidea: (( ) ( ) ) ln + d = d Lehenik, ekuazio diferentzial zehatza den egiaztatuko dugu: M ( ) = ln + eta egiaztatuz: N = ; beraz, ez da ZEHATZA. Orain, ( ) ln ( ) ln M N + = = M + N µ integrazio-faktorea 9

35 7.-Ekuazio diferentzial zehatzetara bihurgarriak. Integrazio-faktorea Beraz, ekuazio diferentzialak µ ( ) µ ( t) zeinaren balioa ( t) ( ) µ ' = = µ t t = erako integrazio-faktorea onartzen du, ln = lnt t = t = = t den eta µ µ Ondorioz, ekuazio diferentzial baliokide berria izango da. M = = ( ) ( ) ( ) eta N = ( ) Esaterako,. era erabiliz N (, ) -rekiko integratuz: ( ) ln d d 0 ( ) + = ( ) ; beraz, ZEHATZA da. U = N(, ) = U(, ) = d = ln ( ) + f Orain, U(, ) -rekiko deribatuz: U = ln ( ) + f ' = M(, ) = ln ( ) bete behar da f ' = 0 f = kte Orduan: U(, ) = ln ( ) + kte, eta soluzio orokorra: ln = K 5.- ( )-ren menpeko integrazio-faktorea µ ( ) Beraz, (*)-n ordezkatuz: dµ t dµ µ = = = µ ' dt dt µ = µ ( ) = ( t = ) = µ ( t) dµ t dµ µ = = = µ ' dt dt µ ' µ ' M + µ M = µ ' N + µ N µ '( M -N ) = µ ( N M ) = µ ( N ) M Integrazio-faktorea lortzeko, ( M -N ) ( N M ) ( M -N ) ()-ren menpeko funtzio bat izan behar da. 30

36 7.-Ekuazio diferentzial zehatzetara bihurgarriak. Integrazio-faktorea Adibidea: (+ )d+( - )d = 0 Lehenik, ekuazio diferentzial zehatza den egiaztatuko dugu: M = + eta N = ; beraz, ez da ZEHATZA. µ ( ) integrazio-faktorea egiaztatuz: µ ' ( N - M ) 4 = = = = µ M N ( + ) ( ). t Beraz, ekuazio diferentzialak µ ( ) µ ( t) = erako integrazio-faktorea onartzen du, zeinaren balioa µ ' = adierazpena integratuz lortuko dugun: µ t µ = dt = t = t µ = t ( ) ln ln ln. Ondorioz, ekuazio diferentzial baliokide berria ( + ) ( - ) M = eta N ( ) d + d = 0 izango da. = ; beraz, ZEHATZA izanik, esaterako. era erabiliz: U, + = M(, ) = U(, ) = d f( ) ln f( ) + + = + + Orain lorturiko U(, ) -ren adierazpena -rekiko deribatuz: ( ) U, = + f '( ) = N(, ) = = bete behar da f '( ) = f( ) = ln + kte ( ) Orduan: U(, ) = + ln ln + kte Beraz, soluzio orokorra hau da: + ln ln = K 3

37 7.-Ekuazio diferentzial zehatzetara bihurgarriak. Integrazio-faktorea 6.- ( + )-ren menpeko integrazio-faktorea µ ( + ) dµ t dµ µ = =. = µ '. dt dt ( ) ( t µ = µ + = = + ) = µ ( t) dµ t dµ µ = =. = µ '. dt dt Beraz, (*)-n ordezkatuz: µ ' µ ' M + µ M = µ ' N + µ N µ '( M -N ) = µ ( N M ) = µ ( N ) M Integrazio-faktorea lortzeko, ( M -N ) ( N M ) ( M -N ) ( + )-ren menpeko funtzio bat izan behar da. Adibidea: 3 3 ( + - )d+( + + )d = 0 Lehenik, ekuazio diferentzial zehatza den egiaztatuko dugu: M = eta N = + ; ez da ZEHATZA. ( ) µ + integrazio-faktorea egiaztatuz: µ ' ( N M) = = = = µ (M N) ( M N) ( + ) ( + ) dµ = = = dt ln µ = lnt µ = = ( + ) t µ t t + Beraz, ekuazio diferentzialak ( ) baliokidea ondorengoa izanik: µ + erako integrazio-faktorea onartzen du, adierazpen d + d = 0 d d = M = ( ) eta N = ( ) ; beraz, ZEHATZA izanik, esaterako. era erabiliz: 3 U + - = M(, ) = U(, ) = d Arctag f( ) = Orain, U(, ) -rekiko deribatuz: 3

38 7.-Ekuazio diferentzial zehatzetara bihurgarriak. Integrazio-faktorea 3 U ' (, ) + + = + f = N = = + f '( ) = f( ) = + kte Orduan: + U(, ) = arctg + kte Beraz, soluzio orokorra hau da: + = K arctg 33

39 7.-Ekuazio diferentzial zehatzetara bihurgarriak. Integrazio-faktorea 34

40 8.-Lehenengo mailako ekuazio diferentzial linealak 8.- LEHENENGO MAILAKO EKUAZIO DIFERENTZIAL LINEALAK Definizioa: Ekuazio diferentzial bat funtzioa ( ezezaguna) eta deribatuarekiko lineala bada, lehenengo mailako ekuazio diferentzial lineala dela esango dugu. ' + f = g non f() eta g() funtzioak D eremuan jarraituak diren. g()=0 bada ekuazio lineala homogeneoa dela esango dugu. Hau aldagai bananduetakoa izango da: d f d = Ebazpena: Soluzioak u v ( u v) ekuazioa ordezkatuz: = = forma izango du. Deribatuz ' = u' v + u v', eta u' v + u v' + f u v = g u v' + f v + u' v = g Orain, bi ekuazio diferentzialok ebatziko ditugu: v f v ' + = 0 vebatzi u' v = g v ordezkatuz u ebatzi ARIKETA EBATZIAK:.- ' - = e Adierazpenean zuzenean ikus dezakegu ekuazio diferentzial lineala dela, non f = eta g = e diren. Beraz, jatorrizko ekuazioa u ( ) eta adieraziko ditugu: u' v + uv'-uv = e u( v' v) + u' v = e Lehenik, v funtzioa kalkulatuko dugu ekuazio hau ebatziz: v -ren menpe 35

41 8.-Lehenengo mailako ekuazio diferentzial linealak dv ' 0 ln v v v = = d v = v = e Orain, bigarren berdintzan, v -ren adierazpena ordezkatuko dugu u ( ) lortzeko: du u v = e u e = e = u = + K ' ' d Beraz, soluzio orokorra: = u v = e ( + K ) 3.- ( -) '+4 ( -) = + Adierazpena egokituz ikus dezakegu ekuazio diferentzial lineala dela, non f g = + ( ) 3 4 = eta diren. Beraz, jatorrizko ekuazioa u ( ) eta v -ren menpe adieraziko dugu: u' v + uv' uv = + u v' v + - u' v = + Ondoren, bi ekuazio diferentzial ebatziko ditugu, u ( ) eta v( ) lortzeko: dv 4d v' v = 0 v' - = 4v = lnv = 4ln ( -) v = v ( ) 3 3 u' du - u' v = + = + = u = + K - d ( ) 4 Beraz, dagoeneko soluzio orokorra adieraz dezakegu: K = K 4 + = 4 ( -) ( -) 36

42 8.-Lehenengo mailako ekuazio diferentzial linealak 3.-coshd+( sinh+e )d = 0 Ekuazio diferentzial lineala den aztertzeko lehenik forma normalean adieraziko dugu: e cosh + sinh + e = 0 + tanh = ; beraz, lineala da. Jatorrizko ekuazioa cosh u ( ) eta v -ren menpe adieraziz: cosh u' v + uv' + uv sinh + e = 0 u v'cosh + vsinh + cosh u' v = e Ondoren, bi ekuazio diferentzial ebatziko ditugu, u ( ) eta v( ) lortzeko: sinh dv sinh v + v = v = v = d v = v = cosh v cosh cosh cosh u' e u' e u e K cosh = = = + ( ) 'cosh sinh 0 ' ln ln ( cosh ) e + K = + = cosh cosh Soluzio orokorra: ( e K ) a ' - = a R Adierazpenean zuzenean ikus daiteke ekuazio diferentzial lineala dela. Beraz, u ( ) eta v -ren menpe adieraziko dugu: a + a + u' v + uv' uv = u v' v + u' v = Ondoren, bi ekuazio diferentzial ebatziko ditugu u ( ) eta v( ) lortzeko; kasu honetan, a konstantearen menpe egongo dira. a a dv a a v' v = 0 v' = v = d lnv = aln v = v a + + u' = u' = = + u = + K a+ a a+ a a a a 37

43 8.-Lehenengo mailako ekuazio diferentzial linealak Beraz, soluzio orokorra: a = + K K a ( ) a a a = + ( a) a a Adi: Ekuazio diferentzialetako bigarrena ebaztean kontuan izan behar da emaitzan K konstante orokor bat agertuko zaigula soluzio orokor gisa. 5.- d + (ctg+ )= ctg d Kasu honetan, izango da aldagai askea, eta, berriz, menpeko aldagaia. Ondorioz, era honetako ekuazio lineal bat aztertuko dugu: ' f ( ) g ( ) forma izango duen: ( ) = u ( ) v( ) ( = u v). + =, non soluzioak ondorengo Beraz, lehenik jatorrizko adierazpena u ( ) eta v( ) -ren menpe adieraziko dugu: = uv ctg + ctg ' + = ctg + ctg ctg + ctg u' v + uv' + uv = u v' + v + u' v = Ondoren, bi ekuazio diferentzialak ebatziz, u ( ) eta v( ) lortuko ditugu: ctg + dv v' + v = 0 = ctg + d lnv = ln sin ln v = v sin ctg u' = u' = cos u = sin + K sin = = K sin + = + sin Azkenik, soluzio orokorra: u v ( sin K ) 38

44 8.-Lehenengo mailako ekuazio diferentzial linealak 6.- d + 3 = - 3+ d Adierazpena egokituz ikus dezakegu ekuazio diferentzial lineala dela, non f ( ) = 3 eta = 3 + diren. Beraz, jatorrizko ekuazioa u ( ) eta g dugu: v -ren menpe adieraziko u v uv uv ' + ' + 3 = 3 + vu ( ' + 3 u) + uv' = 3 + Ondoren, bi ekuazio diferentzialak ebatziz, u ( ) eta v( ) lortuko ditugu: ' 3 0 du 3 ln 3 u e u + u = = d u = u = 3 Bigarren ekuazio diferentziala ebazteko zatikako metodoa aplikatuko dugu integralean: v = + v = e + v = e + d = e 3 3 u = 3 + du = ( 3) d e e = = ( 3 + ) ( 3) d = 3 3 dv e v e 3 3 = = u = 3 du = d e e e = ( 3 ) ( 3) d 3 3 = + + = dv = e 3 v = e ( ) ' 3 ' 3 ( 3 ) ( 3 ) e e e = ( 3 + ) ( 3) K Amaitzeko soluzio orokorra osa dezakegu: ( ) e e e = e ( 3 + ) ( 3) + + K = + Ke

45 8.-Lehenengo mailako ekuazio diferentzial linealak 7.- (- ) '+ -(- ) + = 0 Adierazpena egokituz ikus dezakegu ekuazio diferentzial lineala dela, non f eta g = + diren. Beraz, jatorrizko ekuazioa u ( ) eta v -ren menpe adieraziz: = ( ) u' v + uv' + uv + = 0 v u' + u + uv' = + Ondoren, bi ekuazio diferentzialak ebatziz u ( ) eta v( ) lortuko ditugu: du d d A B u' + u = 0 = lnu = = d + u + A B = = + A, B lnu ln u = = = = = t t + v' = + v' = v = d = = tdt = + d = tdt t 3 t 3 = ( t + ) dt = + 4 t + K = ( ) K 3 3 Soluzio orokorra, beraz: 3 = ( ) K = ( ) + 4( ) + K

46 9.-Linealetara murrizgarriak: Bernoulli 9.- LINEALETARA MURRIZGARRIAK: BERNOULLI Definizioa: Bernoulli motako ekuazioak forma honetako ekuazio diferentzialak dira: n n=0 lineala ' + f = g n 0, n= aldagai bananduak non f() eta g() funtzioak D eremuan jarraituak baitira. Ebazpena: Ekuazioa bat lortzen da. n -z zatitzen da, eta z n- = aldagai-aldaketa eginez ekuazio diferentzial lineal ARIKETA EBATZIAK:.- 5 ' - = Adierazpenetik Bernoulli erako ekuazio diferentziala dela ondoriozta dezakegu, non n = 5 den. Ondoren bat lortzen da. 5 -z zatitzen da, eta z 4 = aldagai-aldaketa eginez ekuazio diferentzial lineal z 4 ' = z' = z z' 4z = + = 4 4 ' z' 5 = Ekuazioa u ( ) eta v -ren menpe adierazi, eta bi ekuazio diferentzial ebatziko ditugu: = u v ( uv' + u' v) + 4uv = 4 vu ( ' + 4 u) + uv' = ' = u' v + u v' 4

47 9.-Linealetara murrizgarriak: Bernoulli du u 4 ( ) u' + 4u = 0 = 4d lnu = 4 u = e = u v ' = u' v + u v' u du d dv = = uv = e v = = e v = e d 4 4 d = = dv = e d v = e ( ) ' ' e e e e = d K 4 = Soluzio orokorra: e e Ke 6 z = = e + + K = = Ke

48 9.-Linealetara murrizgarriak: Bernoulli.- '+4 = (sen+ cos) Adierazpenetik Bernoulli erako ekuazio diferentziala dela ondoriozta dezakegu, non n = den. Lineal bihurtzeko, -z zatitu eta z = aldagai-aldaketa egingo dugu: z ' 4 = + = sin + cos z' + 4z = sin + cos beraz lineala da ' z' = Ekuazio diferentzial lineala 8. atalean ikusitako metodologiaren bidez ebatz dezakegu. uv' + u' v + 4uv = sin + cos u v' + 4 v u' v = sin + cos dv v 4 ( ) v' + 4v = 0 = 4d lnv = 4 v = e du = + = + = + d 4 4 ( ) u' v sin cos u' e sin cos e ( sin cos) ( sin cos ) = + = 4 u e d I Lorturiko integrala zatikako metodoaren bidez ebatziz: 4 4 u = e du = 4e d 4 I = e ( sin + cos) d = = dv ( sin cos) d v cos sin = + = = e ( cos + sin) 4e ( cos + sin) d = 4 4 u = e du = 4e d 4 = = e ( cos + sin) + dv = ( cos + sin) d v = sin cos ( e ( sin cos) 4e ( sin cos) d) = e ( cos + sin) e ( sin + cos) 6 e ( sin + cos) d = e ( 5cos 3sin) 6I 4 e ( 5cos 3sin) I = + K 7 43

49 9.-Linealetara murrizgarriak: Bernoulli Ekuazio diferentzial linealaren emaitza z = u v aldagaiaren baitan adieraziko dugu: 4 e 5cos + 3sin 5cos + 3sin + Ke z = e + K = Jatorrizko aldagaien menpeko emaitza aldagai-aldaketa deseginez lor daiteke: 7 = = z Ke 4 ( 5cos + 3sin ) ' = ( + 3 ) 3 Lehenik, ekuazio diferentziala era normalean adieraziz, 3 3 ' 3 =, Bernoulli erako ekuazio diferentziala dela ondoriozta dezakegu, non n = 3 eta z = aldagai-aldaketa egingo dugu: den. Lineal bihurtzeko, 3 -z zatitu z 3 ' = 3 3 = z' 3 z ekuazio diferentzial lineala 3 = ' z' 3 = 8. atalean ikusitako metodologiaren bidez ebazteko lorturiko ekuazioa u ( ) eta v -ren menpe adierazi, eta bi ekuazio diferentzial askatuko ditugu: uv + u v uv = v u u uv = ' ' 3 ' 3 ' du 3 u' 3u = 0 u' 3u = 0 = d lnu = 3ln u = 3 u 3 3 uv' = v' = dv = d v = + K Soluzio orokorra ekuazio diferentzial linealeko emaitzan aldagai-aldaketa deseginez: 3 + K z = = 3 ( + K ) = = 3 + K 44

50 9.-Linealetara murrizgarriak: Bernoulli 4.- ( + +)d+ d = 0 Lehenik, ekuazio diferentziala aldagaiarekiko Bernoulli erakoa den aztertuko dugu: + + ( + + ) + = 0 + = 0 n Ikus dezakegunez, lorturiko adierazpenak ez du ' f g + = forma; izan ere, f (, ) da. Hala ere, aldagaiarekiko Bernoulli erakoa den azter dezakegu: d d ( + + ) + = 0 ( + + ) + ' = 0 ( + ) ' + = ( + ) + = Beraz, jatorrizko ekuazio diferentziala Bernoulli erakoa da aldagaiarekiko, non n = den. Lineal bihurtzeko, z -z zatitu (kasu honetan, -z biderkatzearen baliokidea) eta = = aldagai-aldaketa egingo dugu: = z z' ' + = ( + ) + z = ( + ) dagoeneko lineala da ' = z' 8. atalean ikusitako metodologiaren bidez ebazteko, lorturiko ekuazioa u ( ) eta v( ) -ren menpe adierazi, eta bi ekuazio diferentzial askatuko ditugu: ( ' + ' ) + = ( + ) ( ' + ) + ' = ( + ) uv u v uv u v v u v dv d v ( ) v' + v = 0 = lnv = ln v = 4 u v = + u = + du = + d u = + K ( ) ' ( ) ' ( ) ( ) Soluzio orokorra ekuazio diferentzial linealeko emaitzan aldagai-aldaketa deseginez: 4 4 z = = K K = 45

51 9.-Linealetara murrizgarriak: Bernoulli '+ = ( + ) Lehenik, ekuazio diferentziala era normalean adieraziz, erako ekuazio diferentziala dela ondoriozta dezakegu, non n = ( + ) + =, Bernoulli den. Lineal bihurtzeko, -z zatitu, eta z = aldagai-aldaketa egingo dugu: z ' 3 = 3 + = ( + ) z' + z = ( + ) lineala ' z' = 8. atalean ikusitako metodologiaren bidez ebazteko, lorturiko ekuazioa u ( ) eta v -ren menpe adierazi, eta bi ekuazio diferentzial askatuko ditugu: ( ' ' ) ( ) ( ' ) ' ( ) uv + u v + uv = + v u + u uv = du ' + = 0 ' + = 0 = ln = = u 3 u u u u d u u e Bigarren ekuazio diferentziala ebazteko zatikako integrazioa erabili beharko dugu: ( ) + uv' = + e v' = + dv = = e + e v = e d + e d = = e d + e d = u = e du = e d e d dv = v = e e = + K v = + K Soluzio orokorra ekuazio diferentzial linealeko emaitzan aldagai-aldaketa deseginez: e + Ke z = = e + K = = + Ke 46

52 9.-Linealetara murrizgarriak: Bernoulli 6.- d + = d 3 3 Jatorrizko ekuazio diferentziala = Bernoulli erakoa da aldagaiarekiko, non n = 3 den. Lineal bihurtzeko, 3 -z zatitu eta = z ' z' + = z 3 + = ' z' 3 = 3 3 z = aldagai-aldaketa egingo dugu: lineala 8. atalean ikusitako metodologiaren bidez ebazteko, lorturiko ekuazioa u ( ) eta v( ) -ren menpe adierazi, eta bi ekuazio diferentzial askatuko ditugu: = + = 3 3 ( uv' u' v) uv v u' u uv' 4 du d u 4 ( ) u' + u = 0 = 4 lnu = 4ln u = uv' = v' = v' = dv = d v = ln + K Soluzio orokorra ekuazio diferentzial linealeko emaitzan aldagai-aldaketa deseginez: = = ( ln + ) ( ln + ) = 4 4 z K K 47

53 0.- n ordenako ekuazio diferentzial linealak 48

54 0.- n ordenako ekuazio diferentzial linealak 0.- N ORDENAKO EKUAZIO DIFERENTZIAL LINEALAK Definizioa: n ordenako ekuazio diferentzial linealak mota honetako ekuazio diferentzialak dira: n n) n ) a '' + a ' + a = f a a non a, a,..., a, a n n 0 n 0 diren. ( n mailakoa izan dadin, an 0 bete behar da), (a, b) tarte jakin bateko funtzio erreal jarraituak f 0 bada, ekuazioa osoa izendatzen da, eta, f ( ) = 0 bada, homogeneoa. 0. N ORDENAKO EKUAZIO DIFERENTZIAL HOMOGENEOAK n n) a a ' + a = 0 0 forma dute, eta ( ) ekuazioaren soluzio bat dela esaten dugu, baldin: n n) ' a a a = 0 0 Soluzioen oinarrizko sistema Soluzioen oinarrizko sistema, ekuazioaren n soluzio linealki askek osatuko dute. Teorema I Ekuazioak soluzioen oinarrizko sistema bat onartzen du. Teorema II {,,, n } soluzioen oinarrizko sistema bat bada, ekuazioaren edozein soluzio n soluzio hauen konbinazio lineala izango da: K K = Knn non K, K, Kn R 49

55 0.- n ordenako ekuazio diferentzial linealak 0. KOEFIZIENTE KONSTANTEDUN EKUAZIO DIFERENTZIAL HOMOGENEOAK Definizioa: Koefiziente konstantedun ekuazio diferentzial homogeneoak mota honetako ekuazio diferentzialak dira: non n, n,...,, 0 a + a a '' + a' + a = 0 n n) n ) n 0 a a a a zenbaki errealak diren. Ebazpena: Badakigu soluzioen oinarrizko sistema bat onartzen duela. r = e motako soluzioekin saiatuz: ( ) r ae + r a e rae + ae = 0 = r a + r a ra + a e n r n r r r n n r n n 0 n n 0 r a + r a ra + a = 0, e 0 denez. n n r n n 0 Beraz, polinomio karakteristikoa edo ekuazio karakteristikoa definituko dugu: n 0 n n... r = ar + a r + + ar + ar + a n n n 0 r = polinomio karakteristikoaren erroak kalkulatuko ditugu, eta emaitza lortutako erroen araberakoa izango da. Erro erreal desberdinak:,..., r r n erro erreal desberdinak badira,,..., r n e r e ekuazio diferentzialaren soluzioak izango dira, eta SOLUZIO OROKORRA hauen konbinazio lineala izango da: = Ke + K e + + K e r r rn... n Adibidea: ''' ' = 0 ekuazioaren polinomio karakteristikoa = 0 da. Erroak r = 0, r =, 3 r r r 3 = dira. Beraz, soluzio orokorra = K + Ke + Ke 3 da. 50

56 Erro erreal anizkoitzak: Erroak: r erroa m aldiz, r erroa m aldiz, eta r p erroa m p aldiz. Soluzioak hauek izango dira: e, e,..., e r r m r e, e,..., e r r m r. rp rp mp rp e, e,..., e SOLUZIO OROKORRA hauen konbinazio lineala izango da. 0.- n ordenako ekuazio diferentzial linealak r m r r p mp rp (... m ) mp = Ke + + K e + + Le + + L e Adibidea: v 3 ''' + '' = 0 ekuazioaren polinomio karakteristikoa 5 3 r 3r + r = 0 da. Erroak r,= 0 bikoitza, r 3,4= bikoitza eta r 3 = dira. Beraz, soluzio orokorra K K K K e Ke = da. Erro irudikari desberdinak: r, = a ± bi erro irudikari bikote bat eta r, = c ± di beste bikote irudikari bat. Soluzioak hauek izango dira: e a n n a cos b, e sinb c cos d, e sind SOLUZIO OROKORRA hauen konbinazio lineala izango da: e c c ( cos sin )... e ( Ccosd Dsind) a e A b B b = Adibidea: '' 4 ' + 5 = 0 ekuazioaren polinomio karakteristikoa r r = 0 da. Erroak r = + i eta r = i dira. Beraz, soluzio orokorra = e ( K sin + K cos) da. 5

57 0.- n ordenako ekuazio diferentzial linealak Erro irudikariak anizkoitzak: r, = a ± bi anizkoiztasuna k eta r 3,4 = c ± di anizkoiztasuna l. Soluzioak hauek izango dira: e b e b e b e b e b e b a a a a k a k a cos, sin, cos, sin,..., cos, sin, e d e d e d e d e d e d c c c c l c l c cos, sin, cos, sin,..., cos, sin, SOLUZIO OROKORRA hauen konbinazio lineala izango da: k a ( cos sin )... e ( Ak cosb Bksinb) l c e ( C d D d) a e A b B b = c... + e C cosd + D sin d cos + sin l l Adibidea: iv 8 ''' + 6 '' 40 ' + 5 = 0 ekuazioaren polinomio karakteristikoa 4 3 r r r r = 0 da. Erroak r = ± i bikoitzak. Beraz, soluzio orokorra (( ) sin ( 3 4 ) cos ) e K K K K = da. ARIKETA EBATZIAK: a) Ekuazio diferentzialen ekuazio karakteristikoa jakinda, idatzi ekuazio diferentziala:.. r + 3r + = 0 '' = 0 r - 3r -5 = 0 '' 3 5 = r + 5r - 3r +8 = 0 4. r ( r + )( r - 3 ) = 0 5) 3) + + = 5-3 ' r r r = = 3 0 ''' '' 3 ' 0 5. r ( r -)( r + 5 ) = ) 3) r + r r r = + = '' 5 ' 0 6. ( r + ) 3 = ) 4) r + r + r + = = '' 8 0 5

58 0.- n ordenako ekuazio diferentzial linealak b) Ekuazio karakteristikoaren erroak jakinda, sortu ekuazio diferentzial linealak, eta idatzi haren soluzio orokorrak:. r =, r =, r = r + r r 3 = 0 r 3r r + 3 = 0 ''' 3 '' ' + 3 = 0 Soluzio orokorra: = Ke + K e + Ke 3 3. r = 0, r = 3 + 4, i r = 3 4i 3 ( ) 3 r r + 4i r 4i = 0 r 4r + 0r = 0 ''' 4 '' + 0 ' = 0 3 Soluzio orokorra: = K + e ( K cos4 + K sin4) 3. 3 r = 0 laukoitza, r = +, i r = i 3 ( ) r 4 r + i r i = 0 r 6 r 5 + 5r 4 = 0 6) 5) + 5 4) = 0 3 Soluzio orokorra: = K + K + K + K + e ( K cos + K sin) c) Ebatzi ekuazioak:.- 3'' - ' -8 = 0 Ekuazio karakteristikoa: ± 0 r ± = r r = r = = = 6 6 r = 4 3 Soluzio orokorra: 4 3 = Ke + K e.- ''' - 3''+ 3' - = 0 3 Ekuazio karakteristikoa: 3 r 3r + 3r = 0 r = 0 r = hirukoitza Soluzio orokorra: = Ke + K e + K e IV - = 0 4 Ekuazio karakteristikoa: r = 0 r r + r + = 0 r =, r =, r = i, r = i Soluzio orokorra: = Ke + Ke + K3cos + K4sin

59 0.- n ordenako ekuazio diferentzial linealak 0.3 KOEFIZIENTE KONSTANTEDUN EKUAZIO DIFERENTZIAL EZ-HOMOGENEOAK EDO OSOAK Definizioa: Koefiziente konstantedun ekuazio diferentzial osoak mota honetako ekuazio diferentzialak dira: non an, an,..., a, a0 n) n ) n 0 a + a a '' + a' + a = f n zenbaki errealak diren eta f ( ) (, ) a b tarteko funtzio jarraitua. Ebazpena: Ekuazio diferentzial hauen soluzioa lortzeko, ekuazio diferentzial homogeneoaren soluzioa gehi ekuazio osoaren soluzio partikular bat egin beharra dago. Hau da, O = H +, non H ekuazio diferentzial homogeneoaren soluzioa baita eta ekuazio osoaren soluzio Soluzio partikularraren kalkulua : Soluzio partikular hau f -ren eta homogeneoaren ekuazio karakteristikoaren erroen araberakoa izango da.. kasua: = k bada, non f e n n mailako polinomioa den, orduan: n a) k ez da ekuazioa karakteristikoaren soluzioa: p n k = Q e b) k ekuazioa karakteristikoaren soluzioa da, eta anizkoiztasuna m: m k p = Qn e non n Q n mailako polinomio bat den. olinomio horren koefizienteak ekuazioa betetzera derrigortuz aurkitu beharko dira. 54

60 Adibidea: 0.- n ordenako ekuazio diferentzial linealak ''' -5'' = ( 7-4) e - Homogeneoa ( ''' 5 '' 0) = : olinomio karakteristikoa: r 3 5r 0 r ( r 5) homogeneoaren soluzioa: 5 H = =. Erroak: r, = 0 bikoitza eta r 3 = 5. Beraz, = K + K + K e 3 - artikularra: = a + b e. a eta b ekuazioan ordezkatuz lortuko ditugu. ' '' = ( + ), = ( + + ), = 4( b + a + b) e eta ( 8 8 ) a b e b a b e ''' '' 5 = 7 4 e ekuazioan ordezkatuz: ( 8 8 ) 0 ( 7 4) b a b e b a b e e = 8b a = 4; a = 7 8b 0b = 7; b = 3 8 ''' = b + a + b e. Beraz, soluzio orokorra hau da: 7 3 O = H + = K + K + K3e e 55

61 0.- n ordenako ekuazio diferentzial linealak. kasua: ( n m ) a = sin + cos bada, non ( ) eta f e b Q b eta m mailako polinomioak diren, orduan: a) a ± bi ez da ekuazioa karakteristikoaren soluzioa: ( sin cos ) = e S b + T b a p N N n Q, hurrenez hurren, n b) a ± bi ekuazioa karakteristikoaren soluzioa da, eta anizkoiztasuna p: ( sin cos ) = e S b + T b p a p N N non SN ( ) eta TN ( ) polinomioak N ma { n, m} m = mailako polinomioak diren. olinomio horien koefizienteak ekuazioa betetzera derrigortuz aurkitu beharko dira. Adibidea: '' - ' = 5sin - Homogeneoa ( '' ' 0) = : olinomio karakteristikoa: = 0. Erroak: r = 0 eta r =. Beraz, H = K + Ke r r - artikularra: = asin + bcos. a eta b ekuazioan ordezkatuz lortuko ditugu. sin cos, ' cos sin = a + b = a b eta = sin cos. '' a b = 5sin ekuazioan ordezkatuz: '' ' a + b = asin bcos acos bsin = 5sin a = ; b = b a = 0 Beraz, soluzio orokorra hau da: 5 O = H + = K + Ke + cos sin 56

62 ARIKETA EBATZIAK: 0.- n ordenako ekuazio diferentzial linealak.- ''' -5'' = ( 7-4) - Homogeneoa ( ''' 5 '' 0) = : olinomio karakteristikoa: 3 r r = 0 r, = 0 eta r =. Beraz, = ( K + K ) + K e H 3 - artikularra: a b = +. r=0 homogeneoaren erroa delako. a eta b ekuazioan ordezkatuz lortuko ditugu. ''' 3 ' '' a b, a 3 b, a 6b = + = + = + eta ( ) = ekuazioan ordezkatuz: '' ''' 6b =. 6b 0b = b 5( a + 6b) = ( 7 4 ) a = ; b = 30b = Beraz, soluzio orokorra hau da: O = H + = ( K + K) + K3e

63 0.- n ordenako ekuazio diferentzial linealak.- ''+4 =7cos - Homogeneoa ( '' 4 ' 0) + = : olinomio karakteristikoa: + 4 = 0. Erroak: r, = ± i. Beraz, H = Ksin + Kcos r r - artikularra: ' = ( sin + cos ), ( asin bcos) ( acos bsin) a b '' '' ( a b ) ( a b ) = 4 cos sin + 4 sin cos. + = ekuazioan ordezkatuz: ' 4 7cos = + + eta ( ) 4 acos bsin + 4 asin bcos + 4 asin + bcos = 7cos 7 4b sin + 4a cos = 7cos a = ; b = 0 4 Beraz, soluzio orokorra hau da: 7 O = H + = Ksin + Kcos + sin SOLUZIOEN GAINEZAREN-RINTZIIOA Demagun f ( ) funtzioa ez dela 0.3 ataleko kasuetako bat. Baina = f gisa zatitu daiteke, non f f f... k f guztiak 0.3 ataleko kasuren bat diren. Beraz, fi ( ) bakoitzerako soluzio partikular bat izango dugu, pi. Hau n) n ) da, a a... a '' a' a f = bakoitzaren soluzio partikularra pi da. n n 0 i n) n ) Orduan, frogatu daiteke a a... a '' a' a f partikularra = dela. p p pk n = ekuazioaren soluzio n 0 i 58

64 ARIKETA EBATZIAK: 0.- n ordenako ekuazio diferentzial linealak.- '' -5'+6 = ( +) e + e - Homogeneoa ( '' 5 ' 6 0) + = : olinomio karakteristikoa: = 0 r = eta r = 3. Beraz, r r = Ke + Ke H 3 ( f e f e ) - artikularra f f f non ( ), } ( a b c ) e = + = + = : = + +, ' ( ) = a + b + b + c + c e eta ( ) '' = a + b + c + b + 4c + c e. '' ' = + e ekuazioan ordezkatuz: ( ) a + b + c + b + 4c + c 5 a + b + b + c + c + 6 a + b + c e = + e a 3b + c = 9 3 ( a 3b + c) + ( b 6c) + ( c) = ( + ) b 6c = 0 a= ; b = ; c = 4 c = 9 3 Beraz, = e } ( a b) e = +, ' = a + ( a + b) + b e eta ( ) '' = a + b + a + b + b e = e ekuazioan ordezkatuz: '' ' ( ) 4a b 4a 8b 4b 5 a a b b 6 a b e e b a = 0 ( b a) + ( b) = a = ; b = b = = Beraz, = e Beraz, soluzio orokorra hau da: 9 3 O = H + = H + + = Ke + Ke + e e

65 0.- n ordenako ekuazio diferentzial linealak.- - ''+ =7e + sin - Homogeneoa ( '' 0) + = : olinomio karakteristikoa: r r 0 r ( r ) + = = + r = 0 eta r = = K + Ke H ( f f f non f 7 e, f sin ) = + = = : - - artikularra } ae =, ' = ae ae eta '' 4 4 = ae + ae. + = 7e ekuazioan ordezkatuz: '' ' 4ae + 4ae + ae ae = 7e a = 7 a = 7 7 Beraz, = e } ( a b) sin ( c d) cos = + + +, = ( ) + ( + + ) '' = 4d 4a 4b sin + 4b 4c 4d cos. eta + = sin ekuazioan ordezkatuz: '' ' ' b c d sin d a b cos (( 4d 4a 4b) sin + ( 4b 4c 4d) cos ) + + ( ( b c d) sin + ( d + a + b) cos ) = sin 4d 4a 4c + b 4b 4d sin + 4b 4c + d + 4a 4d + 4b cos = sin 4d 4a 4c + b = 0 4b 4d = a = ; b = ; c = ; d = ; 4b 4c + d + 4a = d + 4b = 0 sin cos 6 6 Beraz, = ( ) ( + ) Beraz, soluzio orokorra hau da: O = H + = H + + = K + Ke + e + sin + cos 60