LEHEN ZATIA. x Lehen ordenako ekuazio diferentzial ez lineal y. Lehen ordenako ekuazio diferentzial lineal osoa koefiziente dx konstanteduna.

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "LEHEN ZATIA. x Lehen ordenako ekuazio diferentzial ez lineal y. Lehen ordenako ekuazio diferentzial lineal osoa koefiziente dx konstanteduna."

Raquel Fernández Paz
hace 5 años
Vistas:

1 _ ikasurea LEHEN ZATIA.- a) ya d ydy Lehe ordeako ekuazio diferezial ez lieal y homogeeoa. M (, y) y a M (, y) y a y y gradukoak N(, y) y Ny (, ) y dy b) e y Lehe ordeako ekuazio diferezial lieal osoa koefiziee d kosaedua. y y e y'' y' si, Bigarre ordeako ekuazio diferezial lieal osoa Euler c) moakoa. e y d) y ' y e y'' y' si Lehe ordeako ekuazio diferezial ez lieal zehaza. M ( y, ) e y My ( y, ) e e yy e y' N(, y) y e N (, y) e M(, y) e y ( y, ) C: (, ) dy y N y y e (, y) ye yh( ) y (, ) ( ) ( ) d M y e y eyh h e h ( ) e C y (, y) ye ye C y 9y ye K

2 .- A) EKUAZIO DIFERENTZIALREN SAKONTZEAN OHIKO DEIALDIA _ ikasurea i) y p y q y '' '. Oiarrizko mulzoa ekuazio horre y ( ), y ( ) bi soluzio liealki idepedee osaze due. ' ii) P, y ' y Sisemare bi soluzio liealki idepedeek zuabeea jarria osaze due oiarrizko marizea., y y B) iii) Abele formula aplikauz W( y, y, y ) K e p d o p koefizieea bigarre deribauarea da, hau da, p. Odorioz W Wy (, y, y) K iv) yc y C y ekuazioare soluzio orokorra izaeko y ea y soluzioek liealki idepedeeak iza behar due. Kasu hoea hori ez da geraze, zere ea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) y y ( ) y y y y W W y y W y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) Odorioz, emadakoa ez da ekuazioare soluzio orokorra..- a) ' y (,) ' A P y k y y k y k puu kriiko bakarra. r r kr r k A-re auobalioak: A: A r I r k r Puu kriikoare ezabaida: Baldi r k auobalio erreal ezberdiak ea zeiu korakoa, beraz zeladura egogaiza.

3 _ ikasurea Baldi r k ea k, bi auobalio erreal posiibo ea zeiu berdia, beraz odo egogaiza. Baldi r k bi auobalio berdia, beraz odo berezia egogaiza. b) ( ) r a e y ( ) Ce Ce ( ) y C e r a e y ( ) Soluzio parikularrak: Baldi C : P(,) puura. C e y C e y lim ( ) lim y( ) SARTZEN DA Baldi C : P(,) puuik. C e y lim ( ) lim y( ) y IRTEN DA Baldi C C : Ce Ce y C e ez dira hurbilze eza urruze ere. y lim y asioikoki y C e Ce Ce y lim y asioikoki

4 _ ikasurea p y yp SG SG c) C e C e p e e u e e u o yp e u e u e e u e u u e u e u e u C e u e u u C p e e e yp e e e e e SG C e C e e y SG C C C C C y C C e e y 4

5 _ ikasurea.- A. a) y 4y 4y h y y y BIGARREN ZATIA problema hoek soluzio bakarra dauka baldi ea soilik baldi elkaruako problema homogeeoak soluzio abaria oarze badu (Fredholm eorema). Horregaik hurrego mugalde problema ebaziko dugu: y 4y 4y y y y y ( ) Ce Ce r 4r4r ( k ) C C y ( ) C e C e y y 4 Ifiiu soluzio 4 y C e C e 4 Soluzio bakarra Mugalde-problema ez homogeeoak soluzio bakarra dauka baldi ea 4 bada. Baldi 4 bada, edo ifiiu soluzio edo ez dauka soluziorik. b) Leheego ea behi emadako ekuazioa Surm-Liouville modua idazi behar dugu: e y 4e y 4e ye h. Bese aldeik, a) aala koua harurik baldi ea 4 bada, 4 elkaruako problema homogeeoare auobalioa da, bere elkaruako auofuzioa y ( ) e izaik. Beraz, problema ez homogeeoak ifiiu soluzio edukizeko hurrego baldiza egiazau behar du: 4 e h e d e h d c) Baldi h ( ) e, 4 b) aaleko emaiza ordezkauz: e h d e d Odoriozaze dugu ifiiu soluzio daukala. e 5

6 B. Har dezagu orai EKUAZIO DIFERENTZIALREN SAKONTZEAN OHIKO DEIALDIA _ ikasurea y 4y y y y y a) Aurrea frogau dugu bai auobalioa dela soilik 4 deea, ea bere elkaruako auofuzioa ( ) y e. b) Jakieko auofuzioak dire ala ez, leheego ea behi ekuazioa egiazau behar due, hau da, y ( ) e y( ) e y( ) 4e y 4y y4e 8e e 4. Baia hau auobalioa da baldi ea 4 bada, ea kasu hoea loru dugu auofuzioa ( ) da. Odorioz EZ DIRA AUTOFUNTZIOAK. y e erakoa c) Berriro b) aalea egidako garape bera jarraiuz: y ( ) y( ) y( ) y 4y y, mugalde-baldizak ordezkauz: y y y. Odorioz BAI DIRA AUTOFUNTZIOAK. d) Orai are ikasiakoareki badakigu baldi ea 4 bada problemak ifiiu soluzio daukala baldi ea 4 deea. Ea auobalio ez deea, ordua eisize de soluzio bakarra soluzio abaria izago da..-ikuse da deribau parzialeako ekuazioa ez homogeeoa dela mugalde-baldizak homogeeoak izaik. Beraz problema hoe soluzioak u (, ) g( ) f( ) iura izago du, o mugalde-problema homogeeoa ebazi behar dugu. Horrearako har dezagu u (, ) u (, ) u (, ) ea mugalde-baldizak u (, ) u(, ) f g g f g f g f g f g u (, ) f( ) g ( ) (, ) ( ) u f g f u(, ) ( ) ( ) f g f ( ) 6

7 _ ikasurea. Auofuzioe kalkulua: f f o f f( ) mugalde-problema ebazi behar da.. Ekuazio karakerisikoa: r r kasua: f( ) C e Ce f ( ) C e Ce CC m.b. e e f ( ) e e C e C e f soluzio bakarra abaria, ez dago auobaliorik. kasua: f ( ) C C f ( ) C f C m.b. C f( ) f ( ) C auobalioa da ea auofuziorik sipleea f ( ). f( ) Ccos( ) Csi( ) kasua: f ( ) C si( ) C cos( ) f C C m.b. C y f ( ) Csi( ) Ccos( ) si( ) C Soluzio ez abaria si( ) o N auobalioak dira ea auofuzioak cos f N. Odorioz, soluzioare iura hurregoa da: u (, ) u( ) u( ) cos( ) []. Soluzio izaeko, deribau parzialeako ekuazioa egiazau behar du. Beraz, deribauz parzialki ea -rekiko, hori egi ahal da seriee deribauak kobergize baiira, daorre berdiza lorze da: cos( ) cos( ) u u u u u [] A (, ) cos( ) fuzioa auofuzioe bidez garau ahi badugu hurregoa lorze da: 7

8 _ ikasurea a a a A (, ) cos( ) a( ) a( ) cos( ), Beraz [] ekuazioik hurrego ekuazio diferezial arruak lorze dira: u u u u u u u u, 4. [] soluzioak hasierako baldizak ere egiazau behar diu, u u (,) cos u u cos( ) cos u si Ea, u u u(,) u u si( ) u N Hori dea koua harurik daoze hiru hasierako balio problemak lorze dira: u u u u u ; u, u' u ; u' u u u u; u',. Azke hauek dauzka soluzio bakarra soluzio abaria da, eisezia ea bakarasuare eorema beeze baia. Bese biak ebaziz hurrego soluzioak lorze dira: u - u e u, Odorioz, emadako problemare soluzioa u e - (, ) cos( ) 8

Documentos relacionados

Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA Marije Ortego F. de Retana

Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA Marije Ortego F. de Retana Aierrota BHI ALJEBRA ekuazioak EKUAZIO POLINOMIKOAK Soluzio kopurua n Bigarren mailakoak Formularen bidez: 6 + 8 0 b ± b ac 6 ± a Soluzioak: ; 6 6 ± Bi baino maila handiagokoak Birkarratuak, formula erabiliz: