OINARRIZKO ALJEBRA. Gai biderketak eta zatiketak bakarrik (hau da, ez da ez batuketa ez kenketarik agertzen) dauzkan adierazpen aljebraiko bat da.

Transcripción

1 OINARRIZKO ALJEBRA 1.- ADIERAZPEN ALJEBRAIKOAK (OROKORTASUNAK) Haibat defiizio Adierazpe aljebraiko zebakiak, letrak eta matematika-ikurrak dauzka adierazpe matematiko bat da. Letrek aldagaiak adierazte dituzte, eta matematika-ikurrek zebaki edo aldagaie arteko eragiketak (batuketa, keketa ). z adierazpe aljebraikoak dira Gai biderketak eta zatiketak bakarrik (hau da, ez da ez batuketa ez keketarik agertze) dauzka adierazpe aljebraiko bat da. + hiru gai dauzka adierazpe aljebraikoa da, eta bere gaiak,, dira. Adierazpe aljebraiko batek gai bakar bat badauka moomio deitze da; gai badauzka, biomio; hiru badira, triomio. Oro har, gai bat baio gehiago dauzka adierazpe aljebraiko oro multiomio deitze da. moomioa da biomioa da + triomioa da Faktore gai bateko elemetua da. gaiak hiru faktore ditu:,, Gai batea edozei faktore gaierakoe koefiziete dela esa ohi da. Adibidez: gaia: -re koefizietea da. -re koefizietea da. -re koefizietea da.

2 Oiarrizko Aljebra Aurreko adibidea, zebakia gaiare zebakizko koefiziete (edo koefiziete besterik gabe) deitu ohi da. Zebakizko koefizieteare defiizio orokorra adierazpe aljebraiko batea letrez biderkatze dagoe zebakia da; koefiziete hori bat deea hitzarmea ez idaztea da. Bi gai atzekoak direla esate da bere arteko alde bakarra zebakizko koefizietea bada. 5 eta 5 7 gaiak elkarre atzekoak dira eta 5 gaiak elkarre atzekoak dira Gai bat letra multzo batekiko (edozei zebaki ordezte ditueak) arrazioal eta oso dela esate da berretura oso eta positibok osatua bada eta zebakizko faktore batez biderkatua bada (edota zebaki bakar batek osatua bada). Gaiare maila berretzailee baturari esate zaio. 4 mailako gai arrazioal osoa da 4 4 mailako gai arrazioal osoa da 5 0 mailako gai arrazioal osoa da 1 mailako gai arrazioal osoa da Adierazpe arrazioal oso haibat gai dauzka adierazpea da, horietako bakoitza arrazioal eta osoa izaik; adierazpe arrazioal osoak poliomioak ere deitze dira. Maila hadieeko gaiare mailari adierazpeare (edo poliomioare) maila esate zaio z z 7 mailako poliomioa da 1..- Adierazpe aljebraikore arteko oiarrizko eragiketak Adierazpe aljebraikore batuketa atzeko gaiak bildu eta koefizieteak batuz burutze da. Adibidez: + z + z eta + z + 5z adierazpee batura z + z da. Adierazpe aljebraikore keketa kekizuari ketzaileare aurkakoa batuz burutze da. Adibidez:: + z + z eta + z + 5z

3 Oiarrizko Aljebra adierazpee kedura 4 z z da. Bi edo moomio gehiagore biderketa: zebaki-biderketare propietate elkarkor eta trukakorra eta berreketa eta zeiue arauak aplikatuz burutze da (moomio bate faktore guztiak zebakiak direla edo zebakiak ordezte dituztela aitzakotzat hartuta). 4 z eta z biderkadura 1 z da., z eta 4 biderkadura 4 z da. Bi multiomiore biderketa: multiomio bateko gaietako bakoitza beste multiomioko gai guztieki biderkatuz burutze da, odore lortu dire biderkadurak batuz. + 5z + z. = z z + 5z + z. ( ) + + 5z + z. z z z = ( ) ( z ) ( ) ( z) ( ) ( z ) ( z) = z z z z z z + 6z 10z 4 z z Bi moomiore zatidura: koefiziete eta letrazko faktoree zatidura kalkulatuz burutze da, odore zatidura horiek biderkatuz. 1 = 6 5 z 5 1 5z =... z = Bi multiomiore zatidura: poliomiore kasu partikularrerako azalduko dugu. Bi poliomio zatitzeko odoko urrats hauek burutu behar dira: 1. Bi poliomioak komua dute letrare bateko berretura beherakorre (edo gorakorre) arabera ordeatze dira.. Zatikizueko leheego gaia zatitzaileko leheego gaiareki zatitze da, zatidurako leheego gaia lortuz.. Zatidurako leheego gaia zatitzaileaz biderkatze da eta zatikizuari ketze zaio, hodar bat lortuz.

4 Oiarrizko Aljebra 4. Lortu de hodarra zatikizu berritzat hartuz. eta. urratsak behi eta berriro errepikatze dira, harik eta hodarrare maila zero edo zatitzaileare maila baio tikiagoa iza arte. 5. Zatiketare emaitza hoako era hoetaz idatz daiteke: zatikizu zatitzaile hodarra = zatidura+ zatitzaile Adibidea Adierazpe aljebraikore faktorizazioa Adierazpe aljebraiko bat faktorizatzea bi edo adierazpe gehiago aurkitzea da, zeitzue biderkadura hasierakoa de. Adibidea: = ( ) ( + ) Adierazpe aljebraiko bat faktoreta deskoposatzeko dire tekika erabilgarriak ugariak dira; hala ola, karratu eta kubo burutue formulak ezagutzea, karratue kedurarea, biderketa zebakire batuketarekiko baatze legea, etab. Odore formula hauetako batzuk erakuste dira: ac + ad = a ( c + d) faktore komu moomioa a b = ( a+ b) ( a b) batura bider kedura a + ab+ b = ( a+ b) karratu burutua a ab+ b = ( a b) karratu burutua a + a b+ ab + b = ( a+ b) kubore batura a a b+ ab b = ( a b) kubore kedura a + b + c + ab + ac + bc = ( a + b + c) OHARRA: bere aplikazio agusia adierazpe aljebraikoak faktorizatzea ez iza arre, Newtoe biomioa oso formula iteresgarria da: ( a+ b) = a + a b+ a b + + a b + b Heme adierazpea, m-re gaiea irakurri eta zebaki kobiatorio deitze m da. Odoko emaitza hoe berdia da: 4

5 Oiarrizko Aljebra faktorialak garatu eta gero (1) siplifikatuz! ( 1) ( ) ( m+ 1) m, N, = = m m!( m)! m! (1) gogora bedi! = ( 1) ( ) 1 dela. Hitzarmeez, 0!=1 da, beraz = Adibidea: ( a+ b) = a + a b+ a b + a b + a b = ! 4 4! 4! 4! 4! 4 = a + a b+ a b + a b + b = 0! (4 0)! 1! (4 1)!! (4 )!! (4 )! 4! (4 4)! 4 4 = a + 4 a b+ 6 a b + 4 a b + b Oharra: ikus poliomiore faktorizazioa ere (.4 atala) Zatiki aljebraikoak eta bere siplifikazioa Bi poliomiore zatidurari adierazpe aljebraiko arrazioal edo zatiki aljebraiko esate zaio. Adierazpe aljebraiko arrazioal batek bi gai ditu: zebakitzailea eta zatitzailea. + 8 zatiki aljebraikoa da. Zatiki aljebraikoak batu, kedu, biderkatu eta zatitzeko arauak aritmetika zebakizko zatikietarako erabiltze dire berdiak dira. Zatiki baliokideak balio bera duteak dira. Zatiki aljebraiko bateko zebakitzailea eta zatitzailea ulua ez de adierazpe aljebraiko beraz biderkatze badira hasierakoare baliokidea de beste zatiki aljebraiko bat lortze da eta baliokideak dira eta baliokideak dira ( 0 izaik). p( ) Ohar bedi q ( ) zatikia r ( ) s( ) betetze dela. zatikiare baliokidea bada ordua p( ) s( ) = q( ) r( ) Zatiki aljebraiko bat siplifikatzea beste zatiki baliokide laburtezi (hau da, zebakitzailea eta zatitzaileare faktore komu bakarra uitatea dea) batera 5

6 Oiarrizko Aljebra trasformatzea da. Horretarako, zebakitzailea eta zatitzailea faktorizatu eta faktore komuak ketze dira (hauek zero ez direea bakarrik). Adibidea: ( + ) ( ) ( ) = = ( + ) ( ) ( ).- ALDAGAI BATEKO POLINOMIO ERREALAK.1.- Orokortasuak 1.1 atalea ema da poliomioare defiizioa. Letra (aldagai) bakar bat agertze de kasua eta hala koefizieteak ola aldagaia errealak deea aldagai bateko poliomio erreala dela esate da. Horrebestereki, 5 7z z poliomio orokorra da aldagai bateko poliomioa da Aldagai bateko poliomio errealare adierazpe orokorra odoko hau da: o o 1 p ( ) = a+ a+ a + a + + a + o 1 a, a, a, a,, a, eta 1.1 atalea adierazpe aljebraiko orokorretarako ema dire defiizioak aitzakotzat hartuta, hurrego hau esa dezakegu aldagai bateko poliomio erreal batetzat: a, a, a, a,, a poliomioare koefizieteak dira 0 1 a i i moldeko batugaietako bakoitza i ordeako gai deitze da Poliomioare maila maila hadieeko gaiare maila (edo berretzailea) da mailako poliomioa da; hiru gai ditu, eta bere koefizieteak 8, 5,14. ao koefizieteari gai aske esate zaio. 7 + poliomioare gai askea da. Koefiziete guztiak ez uluak dire poliomioari poliomio oso esate zaio mailako poliomio osoa da mailako poliomio ez osoa da (1 mailako gaia falta zaiolako) 6

7 Oiarrizko Aljebra Poliomio ulu koefiziete guztiak zero dire poliomioa da; 0() izedatze da mailako poliomio ulua da. Emadako p() poliomio bate aurkako poliomio jatorrikoare aurkako koefizieteak dituea da. p() izedatze da. + poliomioare aurkako poliomioa + da. =a putuko poliomioare p(a) zebakizko balio aldagaia a zebakiaz ordeztuz lortze de zebakia da. p( ) = + poliomioare p () = +. = 1 da. = putuko zebakizko balioa Oharra: poliomio uluak 0 balioa du orotarako p(0) = 0 Bi poliomio berdiak dira putu guztieta balio bera duteea. Bi poliomio berdiak izateko balditza ahiko eta beharrezkoa da maila bereko bi gaietako koefizieteak berdiak izatea. Hau da: p( ) = a + a + a + a + + a eta 0 1 q ( ) = b+ b+ b + b+ + b poliomioak 0 1 berdiak dira a0 = b0, a1 = b1, a = b,, a = b..- Oiarrizko eragiketak Aldagai bateko poliomiore batuketa, keketa, biderketa eta zatiketa 1. atalea adierazpe aljebraiko orokorretarako ema dire arauez burutze dira. Beraz, aldagai bateko poliomio bire kasua: p( ) = a + a + a + a + + a eta 0 1 q ( ) = b+ b+ b + b+ + b 0 1 eragiketak odore adieraziko de bezala eratze dira:..1.- Batuketa eta keketa p() eta q() bi poliomiore batura (r() izeekoa, esate baterako), odokoa da: r ( ) = p ( ) + q ( ) = ( a+ b) + ( a+ b) + ( a+ b) + ( a+ b) + + ( a+ b) Ohar bedi bi poliomio batzeko ez dutela zerta ez maila bera iza ez osoak iza behar. Adibidea: p( ) = + 8, q( ) =

8 Oiarrizko Aljebra p( ) + q( ) = p() eta q() bi poliomiore kedura leheegoari bigarreare aurkakoa batuz lortze da: Baturare propietateak: p() - q() = p() + (-q()) Trukakorra: p, q, p( ) + q( ) = q( ) + p( ) Elkarkorra: p, qr,, p ( ) + ( q ( ) + r ( )) = ( p ( ) + q ( )) + r ( ) Elemetu eutro (edo ulu): p, q/ p( ) + q( ) = q( ) + p( ) = p( ). q() elemetu eutroa 0() poliomio ulua da. Aurkako elemetua: p, q/ p( ) + q( ) = q( ) + p( ) = 0( ). q() aurkako elemetua -p() aurkako poliomioa da....- Biderketa Poliomio bateko gaietako bakoitza beste poliomioko gai guztieki biderkatuz burutze da, odore lortu dire biderkadurak batuz: p ( ) q ( ) = ( a+ a+ a + a + + a) ( b+ b+ b + b+ + b ) = a ( b + b+ b + b + + b ) + a ( b + b+ b + b + + b ) a ( b0 + b 1 + b + b + + b ) = + 1 a0 b0 + a0 b1 + + a0 b + a1 b0 + a1 b1 + a1 b maila bereko gaiak batuz ( a b0 + a b1 + + a b ) = a0 b0 + a0 b1+ a1 b0 + a0 b + a1 b1+ a b0 + + a b ( ) ( ( ) ( ) ( ) + ) + + Propietateak: Trukakorra: p, q, p( ) q( ) = q( ) p( ) Elkarkorra: p, qr,, p ( ) ( q ( ) r ( )) = ( p ( ) q ( )) r ( ) Elemetu eutro (edo uitario): p, q/ p( ) + q( ) = q( ) + p( ) = p( ) elemetu eutroa 1 poliomioa da (putu guztieta 1 balio kostatea hartze duea). Leheaz gai biderketare batuketarekiko baatze propietatea ere bete egite da: p, qr,, p ( ) ( q ( ) + r ( )) = p ( ) q ( ) + p ( ) r ( ) 8

9 Oiarrizko Aljebra...- Zatiketa Bi poliomio zatitzeko prozedura 1. atalea azaldu da. Adibidea. Ruffii araua metodo oso bakua da poliomio bat (+a) edo (-a) iturako poliomio bateki zatitu ahi deea. Aplika dezagu metodo hau adibide batea mailako poliomio bati; beste edozei baterako prozedura atzekoa izago litzateke. OHARRA: poliomiore arteko eragikete propietateak zebaki erreale arteko eragiketeta oiarritze dira...- Poliomio bate erroak..1.- Orokortasuak r zebaki bat p() poliomio bate erro dela esate da poliomioare =r putuko balioa 0 bada. Hau da r zebakia p() re erroa da p(r)=0 zebakia p( ) = + poliomioare erroa da, p () = + = 0 delako. zebakia p( ) = 6+ + poliomioare erroa da, p () = = 0 delako. p() poliomioak r-re berdiak dire m erro ditueea r zebakia m ordeako erro aizkoitz dela esate da. m-re balioa deea r erro bikoitza dela esago dugu; m-re balioa deea r erro hirukoitza dela esago dugu; eta hurreez hurre. - zebakia p( ) 4 4 = + + poliomioare erro bikoitza da Aljebrako futsezko teorema: mailako poliomio orok erro ditu zehazki (errealak eta/edo kopleuak iza daitezke). p( ) 6 = + poliomioak erro ditu: - eta (errealak) p( ) = + poliomioak erro ditu: -1+i eta -1-i (kopleuak) p( ) kopleu bi) = + + poliomioak erro ditu:, -i eta +i (erreal bat eta a+bi zebaki kopleu bat koefiziete errealeko poliomio bate erroa bada, ordua a-bi kopleu kojokatua ere poliomio berare erroa da (hau da, erro kopleuak beti bikoteka agertze dira). 9

10 Oiarrizko Aljebra p( ) = a + a + a + a + + iturako koefiziete osoak ditue poliomio bate 0 1 erro arrazioalak a 0 koefizieteare zatitzaileak dira (ohar bedi maila hadieeko gaiko koefizietea 1 dela). Adibidea: p( ) = + poliomioak erro arrazioalik balu, hauek re zatitzaileak iza behar dira; beraz, 1, -1, eta - zebakiak p() poliomioare erroak iza daitezke. Oro har, b c balioa p( ) = a + a + a + a + + a 0 1 iturako poliomio bate erroa bada, b c zatiki arrazioal laburtezia izaik, ordua b zebakia a 0 re zatitzailea da, eta c a -re zatitzailea....- Poliomio bate erroe kalkulua Poliomio bate erroak kalkulatze ahalbidetze gaituzte metodoak ugariak dira: p()=0 ekuazioare ebazpea, ekuazioak ebazteko ezagutze dire tekika guztiak erabil daitezkeelarik. Era grafikoz, p() poliomio erreal bate erro errealak era hurbilduz lortu daitezke =p() lerroa irudikatuz, eta lerroa eta ardatzare arteko ebakidurak lortuz, putu horieta p()=0 delako. r balioa p()re erroa bada, ordua p() (-a)reki zati daiteke, eta alderatziz. Horrek erro kalkulurako ebazpide erraz bat emate du: p() poliomioa (-a)reki zati daitekee egiaztatzea, a-ri balioak emaez. Horretarako iteresgarria da gogoratzea a0 balio hauek balioare zatitzaileak iza behar direla,..1 atalea adierazi deez. a Zatiketa hauek burutzeko Ruffiire metodoa sarri aplikatze da,.. atalea azaldu dea. (Erro kalkulu adibidea).4.- Poliomiore faktorizazioa Faktorizatzeko metodoak 1. atalea azaldu da adierazpe aljebraiko bat faktorizatzea zer de, eta asmo horretarako haibat formula erabilgarri gogoratu dira. Ha ikusitako guztiak balio du aldagai bateko poliomio errealetarako. Hala ola: p ( ) = ( 4) poliomioa karrature kedura formula gogoratuz besterik gabe p ( ) = ( + ) ( ) eraz faktoriza daiteke. 10

11 Oiarrizko Aljebra p( ) = poliomioa karrature burutuare formula gogoratuz besterik gabe p ( ) ( ) = + eraz faktoriza daiteke. Leheaz gai, poliomioare erroak ezagutze badira faktorizazioa berehalakoa da, odore azalduko deez Poliomioare erroak ezagutze dire faktorizazioa Lehe esa deez, r zebakia p()re erroa bada, poliomioa zatigarria da ( r) gaiaz. Horrebestez, poliomiore zatiketaz azaldu de.. ataleko teoria aitzakotzat hartuz, poliomioa hoako modu hoeta deskoposa daiteke: p( ) = ( r) c( ), o c() poliomioa p()re ( r)rekiko zatidura de. Baia c() ere era berea deskoposa liteke, eta odoz odoko deskoposaketak buru geitzake; azkeea, poliomio bate faktorizazioa oso erraza da bere erroak ezagutuz gero: p( ) = a + a + a + a + + a poliomioe erroak r 1, r,, r badira, era 0 1 bakarrez deskoposa daiteke, hoako emaitza hoeki: p( ) = a ( r) ( r ) ( r ) poliomioare erroak r 1 =1, r =, r = dira. Beraz, bere faktorizazioa ( 1) ( + ) ( + ) da. r poliomio bate p ordeako erro aizkoitza bada, faktorizazioa ( r) p agertuko da. faktorea poliomioare erroak r 1 =1 (bikoitza), r = (bakua), r = (bakua) dira. Beraz, bere faktorizazioa ( 1) ( ) ( + ) da. Lehego guztiare arabera, bere erroak ezagutu gabe poliomio bat faktorizatu ahi badugu aldez aurretik haueek lor ditzakegu, Ruffii metodoaz esate baterako, eta gero erroak erabiliz azaldu berri de eraz faktorizatu. OHARRA: ohar bedi alderatzizko kasua, hau da, poliomio bat dagoeeko faktorizaturik badugu, bere erroak faktorizaziotik berehala atera ditzakegula. p ( ) = ( ) ( + 5)( ) poliomioare erroak, 5 eta dira (bakuak guztiak) p ( ) = ( + 1) ( ) ( 1) poliomioare erroak 1 eta 1 (bakuak) eta (hirukoitza) dira. Ohar bedi p() 5 mailako poliomioa dela, eta beraz 5 erro iza behar dituela, errepikatuak edo ez (hau da, erroe aizkoiztasue batura 5 iza behar da). 11

12 Oiarrizko Aljebra.- EKUAZIOAK (OROKORTASUNAK).1.- Haibat defiizio Aldagai edozei balio har (edo ordez) dezakee elemetua da. Aldagai batek har ditzakee balioak multzo batekoak iza daitezke (zebaki positiboak adibidez). Aldagaiak a, b, c, letrez izedatu ohi dira. Oro har, ezezagu ezagutze ez de oro da. Aljebra, ezezagu bat bere balioa zehazte ari gare aldagai zehaztugabe bat da. Ezezaguak,, z, letrez izedatu ohi dira. Ekuazio bi adierazpe aljebraikore berditza da, adierazpeei ekuazioare atalak deitze direlarik. Leheego atala berditza ikurrare ezker aldea dagoea da, eta bigarrea eskui aldea dagoea. Berditza ikurra agertu beharrea (>,, <,, ) ezberditza ikurrak agertze direea iekuazio hitza erabiltze da. = ezezagu bateko ekuazioa da. 5 = 5 bi ezezagueko ekuazioa da. + > 5 iekuazioa da. Ekuazio arrazioal oso (edo poliomiko) bi adierazpe arrazioal osore (edo poliomikore) arteko berditza da. Ekuazioare maila mailarik hadieeko gaiareari esate zaio. 1 mailako ekuazioak ekuazio lieal deitze dira. mailako ekuazioak ekuazio koadratiko deitze dira. + 5= 0 ezezagu bateko ekuazio lieala (edo 1 mailakoa) da. = 8 ezezagu biko ekuazio lieala (edo 1 mailakoa) da = ezezagu bateko ekuazio koadratikoa (edo mailakoa) da. + + = ezezagu biko ekuazio koadratikoa (edo mailakoa) da = 0 ezezagu biko ekuazio koadratikoa (edo mailakoa) da. Ezezague bat berretzailere batea agertze dire ekuazioa ekuazio espoetzial deitze da. 5= 9 ezezagu bateko ekuazio espoetziala da. Ezezague bat logaritmo bate barrua agertze dire ekuazioa ekuazio logaritmiko deitze da. log( ) = 0 ezezagu bateko ekuazio logaritmikoa da. 1

13 Oiarrizko Aljebra Ekuazioare ebazpe berditza betearazte due aldagaie balio multzoa da. Ekuazio batek ez du zerta ebazpeik iza behar. = = multzoa 4 = 1 ekuazioare ebazpea da, 4 = 1delako Bere ezezague edozei baliotarako betetze de ekuazioari idetitate deitze zaio. Idetitateak adierazteko, = ikurra erabili ordez ikurra erabiltze da. { } 4 ( + ) ( ) idetitatea da. 1,,,, ezezagueko m ekuazio multzoari ekuazio sistema esate zaio. Ekuazio motare arabera, sistemak liealak, koadratikoak, iza daitezke. + z = 5 z = + 4z = 8 ezezagueko eta ekuazioko sistema lieala da. Sistema homogeeo deitze da ekuazio guztietako gai askea zero deea; bestela heterogeeo deitze da. { 1,,,, } ekuazio guztiak adi berea betearazte ditue { } ezezagueko eta m ekuazioko sistemare ebazpe sistemako 1,,,, balio multzoa da. =1, =, z=0 1 ( ) 0= 1 41 ( ) + 0 = 6 1 ( ) 0 = 7 z = 1 multzoa 4 + z = 6 sistemare ebazpea da, z = 7 hiru balio horiek hiru ekuazioak betetze dituztelako. Ekuazio sistema batek ebazpeik iza dezake ala ez. Sistema batek ebazpeik ez dueea bateraezi deitze da; dueea, bateragarri. Bi ekuazio baliokideak direla esate da ebazpe berdiak dituzteea. = 6 eta = 0 ekuazio baliokideak dira. Ekuazio eta ekuazio sistemak ebazteko erabiltze dire metodo batzue futsa ekuazio edo ekuazio sistema bere baliokide bakuago batera trasformatzea da. Hau da ekuazio lieal sistemak ebazteko erabiltze de Gauss metodoare kasua, dagokio aljebra lieal ataleko gaia azalduko dea. Oharra: formula gertakari, arau edo pritzipio orokor bat adierazte due ekuazio bat da. 1

14 Oiarrizko Aljebra A = a b formula a eta b uitate eurtze dute aldeak ditue karratu bate azalera da. 4.- PROPOSATUTAKO ARIKETAK 1. Odoko adierazpe aljebraiko bakoitzerako odoko emaitzak eskatze dira: i) gai kopurua adieraztea eta adierazpea izedatzea (moomio, biomio, ); ii) gai bakoitzeko faktoreak idaztea; iii) gai bakoitzerako, zebakizko koefizietea ematea; iv) faktore bakoitzerako, koefiziete guztiak idaztea. a) z b) +. Hurrego gai haue artea, adieraz ezazu zeitzuk dire elkarre atzekoak: a) 1 b) 5 si( ) c) d) si( ) e) f) g). Adieraz ezazu odoko adierazpeak arrazioal osoak (hau da, poliomioak); baiezkoa, maila adieraz ezazu. 5 5 a) + z z b) + 4 z c) si( ) + z 4 d) e) + 4z z 4. Buru itzazu adierazpe aljebraiko arteko odoko eragiketak: a) i) ii) + z z gehi z gehi z 5 z iii) z + z ke z + z 4 1 b) i) + 1 bider ii) + + bider c) i) zati + 1 ii) + 1 zati Faktoriza itzazu odoko adierazpe aljebraikoak: a) b) c) + d)

15 Oiarrizko Aljebra e) f) + 6. Gara itzazu odoko adierazpe hauek Newtoe biomioaz: ( ) 1 a) ( a+ b) b) ( a+ b) c) ( a b) d) ( a b) e) a + b f) a + 7. Buru itzazu zatiki aljebraiko arteko odoko eragiketak: b a) i) 4 ii) 4 + b) i) + ( + ) ii) + + c) i) ( + ) ( ) + 1 ii) 4 ( + 1) ( + ) d) i) ( + ) 1 ( ) 1 ( ) ii) Adieraz ezazu odoko zatiki hauek baliokideak dire: a) z 6 z eta b) eta + 9. Adieraz itzazu p() eta q() poliomioak berdiak iza daiteze balditzak: a) b) p( ) = a + 4, q( ) = b + + c p( ) = + a + 4, q( ) = + + b 10. Adieraz ezazu zebat erro (ez dira kalkulatu behar) dituzte odoko poliomio hauek: a p b p c p ) ( ) = + 4, ) ( ) = +, ) ( ) = p Egiazta ezazu zebakia p ( ) = + 6poliomioare erro de. 1. Kalkula itzazu odoko poliomio haue erroak, bere aizkoiztasua adieraziz: 4 a) p ( ) = ++1, b) p ( ) = + 1, c) p ( ) =

16 Oiarrizko Aljebra d) p ( ) = ( + ) ( ), e) p ( ) = ( 1) 1. Zati ezazu p() poliomioa q() poliomioareki, hurrego kasu haueta: a) b) p q 4 ( ) = eta ( ) = ( + 1) p ( ) = eta q ( ) = ( ) Faktoriza itzazu 1 ariketako poliomioak. 15. Izeda itzazu odoko adierazpe hauek: a) 4= 7 b) < 8 c)( + 1) = Adieraz ezazu hurrego ekuazio sistemak homogeeoak ala heterogeeoak dire, eta egiazta ezazu emadako balioak bere ebazpe dire: L( ) = 5= 1 + = = 1 = a) ( = ) b) ( = 1, = ) 5.- PROPOSATUTAKO ARIKETEN EMAITZAK 1. a) gai (triomioa). Leheego gaia: Faktoreak:, Zebakizko koefizietea:. Koefizieteak: gaiare koefizietea da, eta gaiarea. Bigarre gaia: Faktoreak:, Zebakizko koefizietea:. Koefizieteak: gaiare koefizietea da, eta gaiarea. Hirugarre gaia: 1 Faktoreak: 1 Zebakizko koefizietea: 1 b) gai (biomioa) Leheego gaia: Faktoreak:,, Zebakizko koefizietea: Koefizieteak: gaiare koefizietea da, gaiarea, eta gaiarea. z Bigarre gaia: 1 Faktoreak: z, Zebakizko koefizietea: 1 1 Koefizieteak: gaiare koefizietea z da, eta z gaiarea 1 16

17 Oiarrizko Aljebra. a) gaia f)re atzekoa da; b) gaia d)re atzekoa; c) gaia e)re atzekoa; ez da g) gaiare atzekorik.. a) Bai. maila. b) Ez c) Ez d) Bai. 4 maila. e) Bai. maila. 4.) a) i) + z z ii) z + iii) 1 z z + 1+ b) i) + 5 ii) c) i) ii) a) ( ) b) ( + ) ( ) c) e) ( ) f) (+ ) ( ) d) ( ) ( + ) 6. a) b) c) d) ( a+ b) = a + ab+ b ( a+ b) = a + a b+ ab + b ( a b) = a ab+ b ( a b) = 8a 1a b+ 6ab b e) ( ) a + b = a + a b + ab+ b f) a + = a + a + a + b b b b a) i) 0 ii) b) i) ( ) ii) ( ) c) i) ( ) ii) ( + ) ( 1) d) i) ( ) ii) ( + ) 8. a) Bai b) Bai 9. a) a=-, b=0, c=-4 b) Ez da bi poliomioak berdiduko ditue parametro balio multzorik. 17

18 Oiarrizko Aljebra 10. a), b), c) p erro. 11. Bai, p()=0 delako. 1. a) r = 1 ( m= ) b) r1 = 1 ( m1 = ), r = 1 ( m= 1) c) r = 1 ( m = ), r = ( m= ) d) r = ( m = 1), r = ( m= ) e) r = 0 ( m = ), r = 1 ( m= ) a) c ( ) = + 4 b) c ( ) = a) p ( ) = ( + 1) b) p ( ) = ( 1) ( + 1) c) p ( ) = ( 1) ( + ) d) dagoeeko faktorizatua da e) dagoeeko faktorizatua da 15. a) Ekuazio b) Iekuazio c) Idetitate 16. a) Sistema heterogeeoa. = sistemare ebazpea da. b) Sistema heterogeeoa. =1, = ez da sistemare ebazpea. 18