SEGIDAK. Fibonacciren segidako ondoz ondoko bi gairen arteko zatiketa eginez gero, hau lortuko dugu:

Transcripción

1 SEGIDAK. orrialdea HAUSNARTU ETA EBATZI Zebat utxi bikote? Zebat utxi bikote sortuko dira urte batea, hasiera bikote bakar bat edukita, kotua hartuta hilabete bakoitzea bikote batek beste bikote bat edukitze duela, eta utxiok bigarre hilabetetik aurrera ugaltzeko gauza direla? Razoado del modo que se propoe, llegamos a que el úmero de parejas, mes a mes, es:,,,,, 8,,,,, 89, Así, el úmero total de parejas al fial del año es de (la que había al pricipio y otras uevas). Fiboaccire segida eta F zebakia Fiboaccire segidako odoz odoko bi gaire arteko zatiketa egiez gero, hau lortuko dugu: 8,,,,, Kalkulatu beste zatidura batzuk, eta egiaztatu hurbiltze dire zebaki hori urrezko zebakia dela. 89,7 ;,88 ;, Se aproxima al úmero áureo f +,80. uitatea. Segidak

2 Adierazpe grafiko bat Aztertu karratuak erabiliz egidako koposizio hau: -º -º -º -º -º -º 8-º 7-º Leheego eta bigarre karratue aldea da. Hirugarreetik aurrera, eratze de hurrego karratuetako bakoitzare aldea aurreko bi karratuetako aldee arteko batura da. Zebatekoa da 8.are aldea? Eta 9.area? Badakizu adierazte paper koadrikulatu hadi batea? Aztertu, horrez gai, hurreez hurre eratze dire laukizuzeak ere: 9-º : : : Eure eurrie arteko zatidurek aurreko atalea ladu dugu segida osatze dute. Beraz, F zebakira hurbiltze dira. Horrek esa ahi du laukizuze-ek urrezko laukizuzee gero eta atz hadiagoa dutela. Egiaztatu hoako lau laukizuze haue kasua: : 8 : : : El lado del 8.º cuadrado es y el lado del 9.º cuadrado es.,;,;,9 ;,7 8 8 : Se aproxima al úmero áureo f +,80. uitatea. Segidak

3 UNITATEA. orrialdea. Esa zer irizpidere arabera sortu dire hoako segida hauek, eta gehitu bi gai bakoitzea: a), 8,, 8,, b), 8, 7,,, c), 0, 00, 000, 0 000, d) 8; ; ; ; 0,; e),,, 7,, 8, f) 8,,,, 7, 9, g),,,,,, h) 0,,,, 8, a) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee sumádole al aterior: a 8, a 7. b) Cada térmio es el cubo del lugar que ocupa: b, b 7. c) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee multiplicado por 0 el aterior: c , c d) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee multiplicado por (dividiedo etre ) el aterior: d 0,, d 7 0,. e) Cada térmio, a partir del tercero, se obtiee sumado los dos ateriores: e 7 9, e 8 7. f) Cada térmio, a partir del tercero, se obtiee restado los dos ateriores: f 7, f 8. g) Cada térmio es el úmero del lugar que ocupa, co sigo positivo si es impar, y egativo si es par: g 7 7, g 8 8. h) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee restádole 7 al aterior: h, h 7.. orrialdea. Eratu segida errepikari bat,, datu haueki: a, a, +,,, 8,,,,,. Idatzi hoako gai orokor hauek dituzte segidetako leheego lau gaiak: + ( ) b ( ) c ( ) d ( )( ) e + ( ) a, a 8, a, a 8 b, b, b, b c, c, c 8, c d 0, d 0, d, d e 0, e 8, e 0, e 8. uitatea. Segidak

4 . Eraiki errepikape-legea + due segida bat. Si tomamos, por ejemplo, a, etoces quedaría: a +, a +, a + 0, a 0 +, a +, a ,. Ema errepikariak ez dire hoako segida hauetako gai orokorrak: a), 8,, 8,, b), 8, 7,,, c), 0, 00, 000, 0 000, d) 8,,,, e),,, 7,, 8, f) 8,,,, 7, 9, g),,,,,, h) 0,,,, 8, a) + ( ) b) b c) c 0 d) d 8 ( ) e) Es recurrete f) Es recurrete g) g ( ) h) h 0 7 ( ). orrialdea. Hoako segida hauetako zei dira progresio aritmetikoak? Esa horietako bakoitzea zei de diferetzia, eta gehitu gai bat: a), 7,,, 9, b),,, 9,, 8, c),,,, 8, 9, d) 0, 7,,,, e) 7,;,8;,;,; ; f) 8;,;,8;,7;,; a) Es ua progresió aritmética co d ; a, a 7 7. b) No es ua progresió aritmética. c) No es ua progresió aritmética. d) Es ua progresió aritmética co d ; d, d 7 8. e) Es ua progresió aritmética co d,; e 9,; e 7 7,8. f) Es ua progresió aritmética co d,9; f,; f 7 7,.. a) segida, kalkulatu a 0 gaia eta leheego 0 gaie arteko batura. a 0 a + 9 d (a S 0 + a 0 ) 0 ( + 79) uitatea. Segidak

5 UNITATEA. a) segida, kalkulatu d 0 gaia eta leheego 0 gaie arteko batura. d 0 d + 9 ( ) (d S 0 + d 0 ) 0 (0 07) a) segida, kalkulatu e 00 gaia eta leheego 00 gaie arteko batura. e 00 e + 99 (,) 7, 8, (e S 00 + e 00 ) 00 (7, ) a) segida, kalkulatu f 8, f 7 gaiak eta f 8 + f f + f 7. f 8 f + 7, , 8, f 7 f +, , 0, E la suma pedida hay 0 sumados. (f (8, + 0,) 0 S + f 7 ) 0,. orrialdea. Hoako segida hauetako zei dira progresio geometrikoak? Horietako bakoitzea, adierazi zei de arrazoia, eta gehitu beste gai bat: a),, 9, 7, 8, b) 00; 0; ;,; c),,,,, d),,,,,, e) 90, 0, 0, 0/, 0/9, a) Es ua progresió geométrica co r ; a, a b) Es ua progresió geométrica co r ; b,, b,. c) Es ua progresió geométrica co r ; c, c 7. d) Es ua progresió geométrica co r ; d 7, d e) Es ua progresió geométrica co r ; e, e Kalkulatu aurreko orrialdeko progresio geometrikoetako bakoitzare leheego 0 gaie arteko batura. a) a 0 a r a S 0 0 r a r. uitatea. Segidak

6 b) b 0 b r 9 00 ( ) 9 b 00 S 0 0 r b 8 99,80 r c) c 0 ; S d) d 0 ; S 0 0 e) e 0 e r 9 90 ( ) e S 0 0 r e 7,99 r 8. Aurreko ariketako progresio geometrikoetako zeieta kalkula dezakegu ifiitu gaie arteko batura? Kalkulatu. Podemos calcular la suma de sus ifiitos térmios e las progresioes geométricas co r < : b b) S r e e) S , r ( ) orrialdea 9. Kalkulatu: (0 + ) (0 + ) 0. Kalkulatu: ( ) ( ) Kalkulatu: uitatea. Segidak

7 UNITATEA. Kalkulatu: ( ) + ( ) + ( ) + + ( 0) ( ) orrialdea + 0. Adierazi segida, eta ezar iezaiozu balio bat horre limiteari. 0 8 a, a, a,; a,7; a,,, a 0,, ; a 00,0; ; a 000,00, lím 0. Adierazi b + segida eta ezarri balio bat horre limiteari. 8 b,; b 0; b 0,7; b ; b 0,7; b 0; b 7,; b 8 ; b 9,; b 0 8,, 0 b 00 0, lím b +@. uitatea. Segidak 7

8 9. orrialdea. Aztertu hoako segida haue jokabidea oso gai aurreratue kasua, eta adierazi eure limitea: a) b) b c) c d) d + a) a 0,8; a 00,8; a 000,8, lím +@ b) b 0,; b 00,87; b 000,987, lím b c) c 0 0; c 00,7 0, lím d) d 0,999; d 00,999999, lím d. Esa hoako segida hauetako zeiek dute limitea, arrazoituz: a) b) b ( ) c) c ( ) d) d ( ) + a) a 0 0,0; a 00 0,000; a 000 0,00000, lím 0. b) b 0 0,7; b 0,7; b 00 0,9; b 0 0,9, Los térmios pares so positivos y tiede a ; los térmios impares so egativos y tiede a. La sucesió o tiee límite. c) c, c, c, c , c 00 00, Los térmios impares so egativos y tiede los térmios pares so positivos y tiede a +@. La sucesió o tiee límite. d) d ; d 0,; ; d 00 0,000; d 0 0,0009, lím d 0.. orrialdea. Lortu segidare leheego zortzi gaiak (segidako gaiak), bai eta S -reak ere (batura par-tzialak) hoako progresio hauetako bakoitzea. Kalkulatu lim S kasu bakoitzea: a), 0, 0, b), 0, 0, c) 7, 7, 7, d) 7, 7, 7, e) 0; ;,; f) 0; ;,; a) a, a 0, a 0, a 8, a,; a,8; a 7 0,; 8 a 8 0, uitatea. Segidak

9 UNITATEA S ; S 7; S 9; S 0; S 0,; S 07,8; S 7 07,99; S 8 08,98. Como r 0, < ; lím S ) 08, r b) b ; b 0; b 0; b 8; b,; b,8; b 7 0,; b 8 0,08. S ; S 7; S 9; S 87; S 90,; S 88,9; S 7 89,; S 8 89,7. Como r 0, < ; lím S 89,8 r 7 + a c) c 7; c 7; c 7; c 7; c 7; c 7; c 7 7; c 8 7. S 7; S 0; S 7; S 0; S 7; S 0; S 7 7; S 8 0. b S o tiee límite. d) d 7; d 7; d 7; d 7; d 7; d 7; d 7 7; d 8 7. S 7; S ; S ; S 8; S 8; S 0; S 7 9; S 8. lím S +@. e) e 0; e ; e,; e 7,8; e 0,7; e,88; e 7 9,898; e 8,8808. S 0; S ; S,; S,8; S 7,; S 99,99; S 7 9,90; S 8,9908. Como r, > ; lím S +@. f) f 0; f ; f,; f 7,8; f 0,7; f,88; f 7 9,898; f 8,8808. S 0; S ; S,; S,88; S,8; S 9,07; S 7 0,8; S 8,9998. S o tiee límite.. uitatea. Segidak 9

10 . orrialdea PROPOSATUTAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK TREBATZEKO Segidak eratzeko irizpideak Deskribatu zer irizpidere arabera eratze dire segida hauek, eta gehitu hiru gai bakoitzea: a),,,,, b),,,,, c),, 0, 7,, d) 0,, 8,,, e),,, 0,, a) Cada térmio lo obteemos dividiedo etre el lugar que ocupa el térmio: a, a 7, a b) Cada térmio es la raíz cuadrada del lugar que ocupa: a, a 7 7, a 8 8 c) Cada térmio es el cuadrado del lugar que ocupa más uidad: a 7, a 7 0, a 8 d) Cada térmio es el cuadrado del lugar que ocupa meos uidad: a, a 7 8, a 8 e) Cada térmio, a partir del segudo, se obtiee sumádole al lugar que ocupa el térmio aterior: a, a 7 8, a 8 Idatzi hoako gai orokor hauek dituzte segidetako leheego bost gaiak: a) + b) b 0 c) c d) d + e) e f ) f ( ) a) a,; a,0; a,00; a,000; a, b) b 0; b ; b ; b ; b 7 c) c ; c ; c ; c ; c d) d ; d ; d ; d ; d 8 0. uitatea. Segidak

11 UNITATEA e) e ; e ; e ; e ; e 0 f) f ; f 0; f ; f 0; f Idatzi segida haue gai orokorrak: a),,,, b),,,, c) 0,,,,, d),;,0;,00;,000; 0 7 a) b) b ( ) c) c d) d Eraiki hoako errepikape-legeak dituzte bi segida: a) a 0 a b) a a + a) 0,,,,,,,, b),,,,,,,, 8 8 Bilatu hoako segida hauek defiitzeko errepikape-lege bat: a), 7,,, 7, b),,,,, a) a, a 7, par > b b) b, b, b par > b Progresio aritmetikoak Hoako segida hauetatik, esa zei dire progresio aritmetikoak, eta idatzi horie gai orokorra: a),;,;,;,8; ; b) ;,;,;,8;,; c),,, 7,, d),,, 8,, a) Es ua progresió aritmética co a, y d,., + ( ),,. b) Es ua progresió aritmética co b y d 0,. b + ( ) ( 0,) 0, +,. c) y d) o so progresioes aritméticas.. uitatea. Segidak

12 7 Hoako segida hauetatik, esa zei dire progresio aritmetikoak: a) b) b c) c d) d e) e + f) f a) ( ) + Es ua progresió aritmética co d. b) b b [( ) )] + + Es ua progresió aritmética co d. c) c, c, c, c, c c? c c. No es ua progresió aritmética. 8 8 ( ) d) d d Es ua progresió aritmética co d. Es ua progresió aritmética co d. f) f 0, f, f 8, f, 8 e) e e + ( + ) + +. f f? f f. No es ua progresió aritmética. 8 Kalkulatu hoako progresio aritmetiko haue a 0 eta a 00 gaiak: a),, 0,,, b),, 8,, 8, 7 c),,,,, a) a 0 a + 9d a 00 a + 99d b) a 0 a + 9d 9 a 00 a + 99d uitatea. Segidak

13 UNITATEA c) a 0 a +9d a 00 a + 99d Kalkulatu hoako progresio aritmetiko hauetako leheego gaie arteko batura: a),, 9,,, b) ;,9;,8;,7;,; c) c d) d a) a ; a a + d + 7 (a S + a ) ( + 7) 97 b) b ; b b + d 0,, (b S + b ) ( +,) 9 c) c ; c 98 (c S + c ) ( + 98) 0 9 d) d ; d ( 9 (d S ) + d ), Progresio geometrikoak 0 Hoako segida hauetatik, zei dira progresio geometrikoak? Idatzi hiru gai gehiago bakoitzea, bai eta eure gai orokorra ere. a),, 8,,, b) ; 0,; 0,0; 0,00; c),, 9,,, d),,,,, a) Es ua progresió geométrica co a y r. a, a 7, a 8 ; ( ) b) No es ua progresió geométrica; b, b 7 9, b 8, b.. uitatea. Segidak

14 c) Es ua progresió geométrica co c y r 0,. c 0,0000; c 7 0,00000; c 8 0,000000; c 0, 0, d) Es ua progresió geométrica co d y r. d 8; d 7 8 ; d 8 ; d ( ) ( ). Kalkulatu hoako progresio geometriko hauetako leheego gaie arteko batura, eta, posible de kasueta, kalkulatu ifiitu gaie arteko batura ere: a) a, r b) a 0, r c) a 0, r d) a, r a a S r r a a, r r ( ) a) S, r 0 ( ) b) S, 0 00, 9 r c) S , No se puede calcular porque r o es mayor que. ( ) ( ) ( ) a r d) S ( ) a a 0. orrialdea Berreture batura a) Egiaztatu hoako hau: ( ) b) Kalkulatu leheego 0 zebaki bikoitie berbidure arteko batura. c) Kalkulatu 00 baio txikiagoak dire zebaki bakoiti guztie berbidure arteko batura.. uitatea. Segidak

15 UNITATEA a) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) Egi hoako batuketa hau: ( ) ( ) Segida bate limitea Kalkulatu a 0, a 00 eta a 000, gaiak segida hauetako bakoitzea, eta esa zer limite due: a) b) c) d) 7 a) a ) ) ) 0 0, ; a 00 0, 0; a 000 0, 00 lím 0 b) a 0,; a 00,0; a 000,00 lím c) a 0 0,; a 00 0,9; a 000 0,99 lím d) a 0,7; a 00 97; a uitatea. Segidak

16 Kalkulatu hoako segida haue gai oso aurreratu batzuk, eta adierazi limitea zei due: a) 0 b) b 00 c) c d) d + a) a 0 0; a 00 90; a lím +@ b) b 0 90; b 00 0; b lím c) c 0 0,; c 00 0,90; c 000 0,99 lím c d) d 0 0,7; d 00 0,98; d 000 0,998 lím d 0, + Aztertu hoako segida haue jarrera oso gai aurreratueta, eta esa bakoitzare limitea zei de: a) 0 b) b c) c 0 + d) d ( ) e) e ( ) f) f ( + ) a) a 0 90; a ; a lím +@ b) b 0 70; b ; b lím c) c 0 0; c ; c lím c +@ d) d 0 ; d ; d lím d +@ e) e 0 ; e ; e lím f) f 0 ; f ; f lím uitatea. Segidak

17 UNITATEA 7 Aztertu hoako segida haue jarrera oso gai aurreratueta, eta adierazi bakoitzare limitea zei de: a) b) b c) c d) d + e) e f ) f g) g ( ) h) h a) a 0 0,0; ) a 00 0,00; ) a 000 0,000 ) lím 0 b) b 0 0,; b 00 0,0; b 000 0,007 lím b 0 c) c 0 0, 7; ) c 00 0, 097; ) ) c 000 0, lím c 0 d) d 0 0,97; d 00 0,09997; d 000 0, lím d 0 e) e 0 0,0; e 00 0,000; e 000 0,00000 lím e 0 f) f 0 ; f 00 0,0; f 000 0,000 lím f 0 g) g 0 ; g 0 ; g 000 ; g 0 00 La sucesió o tiee límite. h) h 0 0,0909; h 00 0,0099; h 000 0,000999; h 00 0, lím h ( ) + EBAZTEKO 8 Kalkulatu hoako progresio hoetako. gaia: ;,7;,;,; Es ua progresió aritmética co a y d 0,. Por tato, a a + d 0,,,.. uitatea. Segidak 7

18 9 Kalkulatu d eta a 0 00 ditue progresio aritmetiko bateko laugarre gaia. a 0 a + d 8 a a 0 d 00 0 Kalkulatu hiru zifrako zebaki bakoiti guztie arteko batura. Es la suma de los térmios de ua progresió aritmética e la que el primer térmio es 0, el último es 999, y hay 0 sumados: ( ) 0 S 7 00 Zebat da 7re leheego 00 multiploe arteko batura? Queremos calcular la suma de los 00 primeros térmios de ua progresió aritmética e la que a 7 y d 7. (a S 00 + a 00 ) 00 ( ) 00 0 Progresio aritmetiko batea badakigu d, eta S direla. Kalkulatu eta a. a +( ) d 8 a +( ) (a + ) (a + ) S 8 a + 8 a 7 (7 + ) 8 (7 ) ± ± 89 7 ± a a 0 / (o vale) 9 Hexagoo bate aldeak progresio aritmetikoa daude. Kalkula itzazu, jakida hadieak cm dituela eta perimetroa 8 cm-koa dela. Llamamos a los lados a, a, a, a, a y a. Sabemos que a cm y que S 8. Por tato: a a +d 8 a +d 8 a d (a + a ) S 8 8 ( d + ) 8 8 ( d) d 8 d 0 8 d 8 d a 0 8 a Los lados del hexágoo mide cm, cm, 7 cm, 9 cm, cm y cm. 8. uitatea. Segidak

19 UNITATEA Ziema batea, aulkie bigarre ilara patailatik 0 m-ra dago, eta zazpigarre ilara, m-ra. Zebatgarre ilara eseri behar du pataila 8 m-ra ikustea gustatze zaio pertsoa batek? a 7 8 a 7 a + d 0 + d 8 d, (La distacia etre las dos filas cosecutivas es de, metros). Buscamos para que 8 m: a +( ) d 8,8 + ( ), 8 8 8,8 +,, 8, 0, 8 7 La fila 7 está a 8 metros. Idatzi progresio aritmetiko bat, jakida tarteko gaiak a eta a 0 8 direla. a 0 a + 9d + 9d 8 8 d 9 9 Los térmios so: a, a, a, a, a, a, a 7, 0 7 a 8, a 9, a Kalkulatu 8 gai ditue progresio aritmetiko bateko erdiko bi gaiak, jakida S 8 00 eta a + a 8 8 direla. Teemos que calcular a y a. Sabemos que: (a + a 8 ) 8 S 8 (a + a 8 ) 00 8 a + a 8 a + a 8 8 Restado a la. a ecuació la. a, queda: a 8 8 a a 8 8 a a 8 a + 7d + 7d 8 d Por tato: a a + d + 9 a a + d + a a 7 Progresio geometriko batea, a 8 eta a 0, dira. Kalkualtu a eta - re adierazpea. a a r 8r 0, 8 r 0,0 8 r ± 0, ±. uitatea. Segidak 9

20 . er caso: r 0,. caso: r 0, a a r 0,0 a a r 8 ( ) 0,0 a r 8 ( ) 8 ( ) 8 Arrazoia r due progresio geometriko batea, badakigu S dela. Kalkulatu a eta a. a a S r r a a a 78a 79 a r r a 8 a a a r Lategi bateko makieriak bere balioare % 0 galtze du urtea. Jakida milioi euro kostatu zela, zebat balioko du laea 0 urte egi odore? Al cabo de año valdrá 8 ( 0 ) 0,8 Al cabo de años valdrá 8 ( 0 ) 0,8 Al cabo de 0 años valdrá 8 ( 0 ) 0, ,7 0 Urtarrilare ea 000 sartu ditugu gordailua kotu batea, urteko % a eta iterese ordaiketa hilekoa izaik. Zebat balioko du gure diruak hadik urtebetera? Urtea % ko iteresa hilea 0,% Hilero dirua,00eki biderkatze da. Al cabo de mes tedremos 8 000,00 Al cabo de meses tedremos 8 000,00 Al cabo de meses tedremos 8 000,00 08,9 0. uitatea. Segidak

21 UNITATEA. orrialdea Progresio geometriko bateko ifiitu gaie arteko batura da eta a da. Kalkulatu a eta arrazoia. a a r 8 a r a /r S 8 r r r r r r r ± r r 8 r 8 a 8 8 Egiaztatu, -ri oso balio hadiak emaez, hoako segida hauek zebaki bateratz jotze dutela eta adierazi zebaki hori zei de: a) b) b + c) c + d) d a) a 0,8; a 00,7; a 000,97 lím, b) b 0,970; b 00,9997; b 000, lím b + c) c 0,000977; c 0, lím c d) d 0 0,9; d 00 0,0999; d 000 0, lím d 0 Kalkulatu hoako segida haue limitea: a) ( ) + b) b + + c) c d) d + e) e ( + ) f ) f ( ) + a) a 0 0,78; a 00 0,9798; a 000 0,9980 lím. uitatea. Segidak

22 b) b 0 0,0; b 00 0,000; b 000 0,00000 lím b 0, c) c 0 9,80; c 00 0,; c 000 9,90 lím c + d) d 0,7; d 00,97; d 000,997 lím d e) e 0 0,797; e 00 07,78; e ,07 lím e + f) f 0 0,70; f 00 0,909; f 000 0,99 lím f Aztertu hoako segida hauek limiterik dute: a) ( ) b) b + ( ) c) c d) d + + ( ) + ( ) a) a 00,0; a 0,0099; a 000,00; a 00, Los térmios pares tiede a y los impares a. o tiee límite. b) b 0; b ; b 0; b, Los térmios impares so 0 y los pares so. b o tiee límite. c) c 0; c ; c 0; c 0,; ; c 00 0,0 Los térmios impares so cero y los pares tiede a cero. lím c 0. d) d 0; d,; d 0,7; d,; ; d 00,0; d 0 0,99 lím d.. uitatea. Segidak

23 UNITATEA eta b, segidak izada, aztertu hoako haue limitea: + a) + b b) b c) b a) A + b + + A 0 00,0099; A ,000 lím ( + b ) +@ b) B b + B 0 0,990; B 00 0,9999 lím ( b ) c) C ( + ) + ( + ) b C ; C a lím ( ) +@ b + Baku batea 000 sartu ditugu gordailua urtez, % a, iterese ordaiketa urtekoa izaik. a) Zebat diru bilakatu da gordailu bakoitza bosgarre urteare amaiera? b) Zebat diru pilatu dugu urte horieta? a) Al fial del º año: Los primeros 000 se covierte e 000,0, Los segudos 000 se covierte e 000,0 9,7 Los terceros 000 se covierte e 000,0 9,7 Los cuartos 000 se covierte e 000,0, Los quitos 000 se covierte e 000,0 080 b) Sumamos las catidades ateriores: 000, , , , ,0 000(,0 +,0 +,0 +,0 +,0) (*),0 000,0,9,0 (*) Suma de ua progresió geométrica co a,0 y r,0.. uitatea. Segidak

24 7 000 E-ko mailegua ema digute, urtea % 0eko iteresa ezarrita, eta urtea itzuli behar dugu, urte bakoitzea zor dugu zatiare iteresak gehi mailegatu digute kapitalare laurdea bueltatuz. Kalkulatu zebat ordaidu behar dugu urtea. a , 700 a , 0 a , 00 a , 0 8 Aurkitu:,,,,, segidare gai orokorra, eta aztertu horre limitea. / a ; a,; a,99; a,89; ; a 0,078 a 00,009; lím 9 + eta b, segida progresio aritmetikoa da? a) lím ( + b ) b) lím ( b ) c) lím ( b ) d) lím b a) A + b + + lím ( + b ) b) B b + ( ) B 0 ; B 00 0; B lím ( b ) +@ c) C b ( + ) ( ) + + C 0 0; C ; C lím ( b + d) D b D 0,; D 00,0; D 000,00 a lím b. uitatea. Segidak

25 UNITATEA 0 x x + ; x + ; x + x +, segida progresio aritmetikoa da? Horrela bada, kalkulatu bosgarre gaia eta leheego bost gaie arteko batura. Llamamos a x x + ; a x + ; a x + x +. Veamos si la diferecia etre cada dos térmios cosecutivos es la misma: a a x + (x x + ) x + x + x x a a x + x + (x + ) x + x + x x Por tato, sí es ua progresió aritmética co a x x + y diferecia d x. Así, teemos que: a a + d x x + + x x + x + (a (x S x + + x + a ) + x + ) (x + x + ) x + x + (x + x + ) Kalkulatu hoako batuketa hau: Llmamos S ( ) Por tato: S 7 ( ) 7 8 GALDERA TEORIKOAK progresio aritmetiko bat da, d > 0 izaik. Zei da limitea? Si d > 0, la sucesió se va haciedo cada vez mayor. Por tato, lím +@. progresio geometriko bat bada, r, izaik, zei izago da limitea? Al ir multiplicado por Es decir, lím 0. sucesivamete, los térmios se va aproximado a cero.. uitatea. Segidak

26 ,,,, segida progresio aritmetikotzat har dezakegu, baia baita progresio geometrikotzat ere. Zebat da diferetzia leheego kasua? Eta arrazoia bigarreea? Es ua progresió aritmética co d 0. Tambié es ua progresió geométrica co r. Progresio geometrikoeta, a, ar, ar, ar,, egiaztatu: a a a a a a a a 7 a a ere betetze da? Eutziatu aurreko emaitza horiek adieraziko ditue propietate bat. a a a (a r ) a r a a (a r) (a r ) a r a a (a r ) (a r ) a r So iguales a a 7 (a r ) (a r ) a r 8 a a (a r ) (a r ) a r 8 So iguales Propiedad: Si es ua progresió geométrica, se verifica que a p a q a m siempre que p + q m +. Hoako segida hoetako ifiitu gaie arteko batura,9 ) zebakia dela esa dezakegu: 9 9 9,,,, Kalkulatu batura eta aurkitu horre limitea. Arrazoizko deritzozu lortu duzu emaitzari? ) ,9 + 0,99 + 0,999 +, Si cosideramos la progresió geométrica,,, y sumamos todos sus térmios, queda: 9 9 a S 0 0 r Por tato: + ( ) +. uitatea. Segidak

27 UNITATEA 7 Asmatu limite ifiituko bi segida; bata besteareki zatitzea sortze de segidak ratz joko duela kotua hartuta. Por ejemplo: ; b + lím +@; lím b +@ a lím lím + b 7. orrialdea SAKONTZEKO 8 Marraztu cm-ko aldea due karratu bat, eta alde bakoitzare gaiea triagelu zuze isoszele bat; gero bi, gero lau, irudiek erakuste dute modua: a) Idatzi lortutako irudi horie perimetroe segida. Zei da horie limitea? b) Idatzi azalere segida ere. Zer limite dute?. er paso:.º paso:. er paso: / / / / / / Perímetro 8 cm Perímetro 8 cm Perímetro 8 cm Área + cm Área + cm Área + cm Perímetro 8 cm Paso -ésimo: Área + ( ) cm. uitatea. Segidak 7

28 a) 8, 8, 8, 8, ; P 8; lím P 8 b),,, ; A + ( ) ; lím A (que es el área del cuadrado de lado ). 9,,, 0, segidako gaiei zebaki triageluar esate zaie, hoela adieraz daitezkeelako: Kalkulatu a 0 eta. a ; a + ; a + + ; a ; ( + 0) 0 0 a ( + ) 0,,,, segidako gaiei zebaki petagoal esate diegu, hoela adieraz daitezkeelako: Kalkulatu a, a 0 eta. Zebaki horiek hoela idatz daitezke: ; + ; + + 7; ; a ; a + ; a ; a Observamos que vamos obteiedo las sumas de los térmios de ua progresió aritmética co a y d. E el paso -ésimo tedremos: ( + ( ) ) ( ) ( + ( )) ( + ) ( ) Por tato: a 7 ; a 0 8. uitatea. Segidak

29 UNITATEA Erabili progresioe propietateak hoako segida haue gai orokorrare adierazpea siplifikatzeko, eta limitea kalkulatzeko: ) a) b) b ( ( + ) + a) ( ) ( ) ( ) + Hallamos el límite: a 0 0,; a 00 0,0; a 000 0,00; lím 0, ( + ) + b) b ( ) ( ) ( ) + ( + ) + b 0 ; b 00 0; b ; lím b +@ + AUTOEBALUAZIOA. Kalkulatu hoako gai orokor hau due segidako a 7 gaia: a Kalkulatu hoela defiituriko segidako zortzigarre gaia: a, a 7, + + a 8 a a 7 a a 7 a a a a a a a a a a a a 7 a 7 a a 9 a 8 a a 7. uitatea. Segidak 9

30 . Idatzi hoako segida haue gai orokorra: a), 7,,, 9,, b),,, 0, 7,, a) Es ua progresió aritmética de diferecia d y primer térmio a. a + ( )d + ( ) b) El térmio geeral de la sucesió 0,,, 9,,, es ( ). Por tato,,,, 0, 7,, tiee por térmio geeral ( ) Kalkulatu zer errepikape-legeri jarraituz eraiki dire hoako segida hauek: a) 7, 8,,, 8,, b),,,,, 9, 7,, c) 0,,,,,, 0, 7,... a) Cada térmio, a partir del tercero, es la suma de los dos ateriores. Por tato: a 7 a 8 + b) Cada térmio, a partir del cuarto, es la suma de los tres ateriores. Por tato: a a a + + c) Cada térmio, a partir del cuarto, es la suma de los tres ateriores. Por tato: a 0 a a + +. Kalkulatu hoako batura hauek: a) b) , + 000, , c) d) e) a) Es la suma de los oce primeros térmios de ua progresió aritmética de primer térmio a y diferecia d. a a a S + a + b) Es la suma de los quice primeros térmios de ua progresió geométrica de primer térmio a 000 y razó r,. a 000, S r a S 77,8 r, 0. uitatea. Segidak

31 UNITATEA c) Es la suma de los ifiitos térmios de ua progresió geométrica de primer térmio a 80 y razó r /. a 80 0 r / d) ( + )( + ) ( ) ( ) e) ( + ) ( ) ( + ) 9 9. Progresio aritmetiko batea badakigu a eta a 8 8, direla. a) Kalkulatu a + a 00. b) Lortu a 0 -re balioa. a a + d a 8 a + 8d 8, a 0,, 8 8d d, 8 d 0, a) a + a 00 a + a 8 + 8, 8, pues (a y a 8 equidista de a y a 00 ). b) a 0 a + 9 d, + 9 0, 7. Aurkitu hoako segida haue limiteak: + b c + + a) a 0 0, a 00 0,0 a 000 0,00 8 lím 0 + b) b 0,8 b 00,0 b 000,00 8 lím + + c) c 0,0 c 00 0,00 c ,000 8 lím +@. uitatea. Segidak