Conductividad eléctrica

Transcripción

1 Propiedades eléctricas La conductividad eléctrica (σ) es una propiedad física intrínseca de los materiales que proporciona información sobre la cantidad de carga que se conduce a través de un conductor. Se relaciona directamente con la conductancia (S), la cual es una propiedad extensiva que describe la misma cantidad de transporte eléctrico. La relación entre la conductividad y la conductancia se presenta en la siguiente ecuación: l S A En esta expresión el cociente l/a se conoce como factor geométrico o constante de celda y se determina por la relación entre la longitud de separación de los electrodos con que se mide la diferencia de potencial entre el área transversal al paso de la corriente eléctrica. Cabe mencionar que la conductancia es conocida como el inverso de la resistencia eléctrica (S = 1/R) y por consiguiente mantiene una relación estrecha con la ley de Ohm (ΔV = IR). La conductividad eléctrica es un parámetro utilizado para definir el comportamiento eléctrico de los materiales; por ejemplo, un material conductor eléctrico se define cuando su conductividad eléctrica es superior a 10 4 S/m. Los siemens por metro (S/m) son la unidad del sistema internacional para describir la conductividad eléctrica. Para el caso de los semiconductores eléctricos, su conductividad está en el intervalo de 10-4 a 10 4 S/m y para los aislantes eléctricos, su conductividad debe ser menor a 10-4 S/m. Sin embargo, esta clasificación es un tanto ambigua y depende fuertemente de la temperatura a la que se determina la propiedad en cuestión. Es por ello por lo que los análisis de conductividad vs. temperatura son necesarios para determinar las propiedades de conducción de los materiales. Por ejemplo; un material se considera conductor electrónico de naturaleza metálica si su conductividad eléctrica decrece con la temperatura, de lo contrario se considera como un material conductor de naturaleza no metálica (v.g. semiconductores o conductores iónicos). En la figura 1 se muestra un esquema de este comportamiento.

2 Conductividad eléctrica Conductor metálico Conductor no metálico Figura 1. Comportamiento general de la conductividad eléctrica en función de la temperatura. La conductividad eléctrica, no solo puede expresarse en función de la resistencia eléctrica y la conductancia, sino también como una función de la concentración de las especies que se mueven en un conductor eléctrico (de ahora en adelante a estas especies las denominaremos portadores de carga), de esta forma la conductividad adquiere la siguiente forma matemática: Temperatura i z i Donde [i] representa la concentración del portador de carga en el sistema, z y μ representan la carga y movilidad de este. En un sistema real, la conductividad eléctrica total es la suma de las contribuciones individuales de la conductividad para cada portador de carga. A los sistemas donde la conductividad eléctrica es el resultado de la interacción de más de un portador de carga se les conoce como conductores mixtos. Para el caso de los conductores metálicos se considera que el único portador de carga presente en el sistema son los electrones de valencia. De acuerdo con el modelo de mar o gas de electrones, se considera que el número de electrones disponibles para la conducción eléctrica no cambia con la temperatura, entonces el único término que debe depender de la i

3 temperatura es la movilidad de los electrones (μe). De hecho, para sistemas conductores metálicos, se sabe que μe se expresa como: e e m * e Donde e es la carga del electrón, τ es el tiempo promedio que transcurre entre las colisiones del electrón con los elementos de la red cristalina y me* es la masa reducida del electrón considerando los efectos relativistas. Para la mayoría de los conductores metálicos, el tiempo promedio que transcurre entre las colisiones se relaciona con el inverso de la frecuencia de vibración de la red cristalina. En los modelos más conservadores de vibración en sólidos, se sabe que la frecuencia de vibración se asocia directamente con la temperatura del sistema, de tal manera que el tiempo promedio que transcurre entre las colisiones debe ser inversamente proporcional a la temperatura del sistema, lo que describe un aumento de la movilidad cuando las temperaturas son pequeñas. Al verse disminuida la movilidad por efecto de la temperatura, se justifica la disminución de la conductividad descrita en la Figura 1. Para el caso de los conductores no metálicos tenemos dos posibilidades; la primera de trata de un semiconductor electrónico. En estos sistemas (semiconductores) la movilidad de los electrones se considera como invariante con respecto a la temperatura, sin embargo, la cantidad de portadores de carga si se modifica en función de la temperatura del sistema. A diferencia de los conductores metálicos, los semiconductores se caracterizan por tener una energía prohibida (E g ) en su estructura de bandas (estructura electrónica); como los electrones son partículas que pertenecen a la familia de los fermiones, la función que describe su concentración en la banda de conducción es una distribución de Fermi-Dirac, cuya barrera energética es la energía prohibida como se muestra en la siguiente ecuación: e Eg exp 2kT B Considerando esta ecuación en la expresión general de la conductividad, es posible obtener la siguiente expresión:

4 Eg e eeexp 2kT B Esta expresión se puede linealizar usando el logaritmo natural obteniendo: Eg ln e ln A 2kT Donde A es una constante que rompe la proporcionalidad entre las expresiones anteriores. Al considerar esta ecuación, será posible obtener el valor de la energía prohibida de un semiconductor a partir de una serie de mediciones de conductividad eléctrica en función de la temperatura, como se esquematiza en la figura 2. B m = -E g /2k B Ln( Figura 2. Gráfico de Arrhenius de la conductividad y temperatura. De valor de la pendiente es posible conocer la energía prohibida de un semiconductor. El segundo caso asociado a un conductor no metálico se trata de un conductor iónico. Como su nombre lo indica, en este tipo de conductores los portadores de carga son iones, entonces el transporte de carga involucra, además, el transporte de masa. Para este tipo de compuestos es necesario tener una expresión que involucre entonces el transporte de masacarga y su evolución con la temperatura. Las expresiones más recurrentes para describir estos procesos se derivan de las leyes de Fick (difusión de un sistema estacionario) y la ecuación 1/T

5 Ln( de Nernst-Einstein, que describe la conductividad de un ion en función de la temperatura y difusión del mismo. Todo esto se resumen en la expresión: i D i z k T 2 0 a exp B E k B T Donde D0 es el coeficiente de difusión y Ea es la energía de activación para el transporte de masa en la red cristalina. Para linealizar esta expresión se debe recurrir primero al producto σt para eliminar la temperatura del factor pre-exponencial, obteniendo la siguiente expresión: ln E kt a T ln0 Donde σ0 es una constante que agrupa los datos de concentración, coeficiente de difusión y carga del portador de carga. Con la expresión anterior se puede obtener un gráfico tipo Arrhenius a partir del cual se puede calcular el valor de la energía de activación, el cual es un parámetro que es intrínseco al portador de carga y al ambiente químico que le rodea. Ver figure 3. B m = -E a /k B Figura 3. Gráfico tipo Arrhenius para la conductividad iónica. A partir del valor de la pendiente es posible calcular la energía de activación para el proceso de conducción eléctrica. 1/T

6 Se debe tener cuidado de no confundir los conceptos de energía prohibida y energía de activación. El primero hace referencia a la brecha energética en la estructura de bandas en un semiconductor, mientras que el segundo representa el máximo valor de energía potencial al que se somete un ion cuando está en un proceso de migración dentro de la red cristalina. Como se esquematiza en la figura 4. Figura 4. Perfil de la energía potencial de un ion durante el proceso de migración de un sitio cristalino a otro equivalente.