4 Electrocinética. M. Mudarra. Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 1/35

Transcripción

1 4 Electrocinética M. Mudarra Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 1/35

2 Objetivos Nuestro objetivo es el estudio del flujo de s estacionarias. Profundizaremos en el caso de s a través de medios conductores óhmicos. Estableceremos las magnitudes y procedimientos básicos para resolver circuitos de cc estacionarios. El tema puede parecer un tanto desconectado de lo anterior, pero es necesario introducir algunos de los conceptos, pues estas s estacionarias serán las fuentes del campo magnetostático. Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 2/35

3 Intensidad de Ejemplo velocidad de arrastre en el Cu intensidad, densidad de Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 3/35

4 Intensidad de Intensidad de Ejemplo velocidad de arrastre en el Cu Carga neta por unidad de tiempo que atraviesa una sección recta. q + + q I = lim t 0 t I = dq dt En el sistema internacional se mide en Amperios (A) 1A = C s La información que aporta la intensidad de la integra lo que ocurre en todos los puntos de la sección. Definiremos una nueva magnitud física que nos de información sobre el flujo de carga punto a punto ( localmente ) a través de la sección: la densidad volúmica de Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 4/35

5 Densidad volúmica de Intensidad de Ejemplo velocidad de arrastre en el Cu dq es la carga que atraviesa la sección elemental ds en el tiempo dt. dq = N(v dt ds cosθ)q donde : N son los portadores por unidad de volumen. v es la velocidad de los portadores. q es la carga de cada uno de los portadores. v dt ds cosθ es el volumen que los portadores que atraviesan la sección elemental llenan en un intervalo dt Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 5/35

6 Densidad volúmica de Intensidad de Ejemplo velocidad de arrastre en el Cu La carga que atraviesa el elemento de la sección por unidad de tiempo es. dq = N v ds cosθq dt Que se puede reescribir como dq dt = Nq v ds Si existen n especies de portadores diferentes, con concentraciones N i, velocidades v i y cargas q i, podemos generalizar el resultado a: dq n dt = dq dt = i=1 N i q i v i ds ( n ) N i q i v i ds i=1 Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 6/35

7 Densidad volúmica de Intensidad de Ejemplo velocidad de arrastre en el Cu Podemos definir pues una magnitud vectorial en cada punto que es: J = n N i q i v i i=1 la densidad volúmica de, que expresa en cada punto la carga por unidad de área y de tiempo que atraviesa la sección normal a la dirección de desplazamiento de los portadores. Sus unidades en el sistema internacional son Am 2. Así la que atraviesa cualquier superficie finita, se escribe: I = S J ds (Es el flujo de la densidad volúmica de ) OJO! Aunque en los metales, los portadores móviles son los electrones, el sentido de la es siempre el de los portadores positivos. En este caso: J = N( e) v J tiene sentido contrario a la velocidad v de los portadores. Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 7/35

8 Ejemplo velocidad de arrastre en el Cu Intensidad de Ejemplo velocidad de arrastre en el Cu Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 8/35

9 Ecuación de Ecuación de Ejemplo: lema de los nudos de Kirchhoff la carga: ecuación de Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 9/35

10 Ecuación de Ecuación de Ecuación de Ejemplo: lema de los nudos de Kirchhoff La carga neta en el interior de un sistema aislado es constante La carga interior del sistema cerrado por una superficie ha de variar si una fluye a través de la superficie. La carga encerrada en la superficie es Q int = V ρ dv La I = dq/dt es la tasa de variación de la carga contenida en el interior de la superficie cerrada. Así: J ds = d ρ dv dt S V Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 10/35

11 Ecuación de Ecuación de Ecuación de Ejemplo: lema de los nudos de Kirchhoff La forma integral, como hemos visto es: J ds = d ρ dv dt S Si la superficie no se deforma con el tiempo J ds = ρ t dv S Aplicado el teorema de la divergencia al primer miembro: J ds = J dv S Comparando los miembros de la derecha, resulta: J = ρ t o V V V J + ρ t = 0 Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 11/35

12 Ecuación de Ecuación de Ejemplo: lema de los nudos de Kirchhoff Ejemplo: lema de los nudos de Kirchhoff En el caso de s estacionarias:, por lo que ρ t = 0 J = 0 o en su forma integral: J ds = 0 S Que para s filiformes resulta n I i = 0 i=1 La suma algebraica de las s que confluyen en un nudo es nula Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 12/35

13 Ley de Ohm Resistencia eléctrica Asociación de resistencias Asociación de resistencias de Ohm. Resistencia Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 13/35

14 Ley de Ohm Ley de Ohm Resistencia eléctrica Asociación de resistencias Asociación de resistencias Experimentalmente se observa que en algunos medios conductores L.I.H. existe una relación lineal entre el campo eléctrico y la densidad de : J = σ E Tales materiales se llaman conductores óhmicos. Aunque no prestaremos atención a ellos, existen muchos materiales de interés tecnológico que no siguen esta ley (e.g. los semiconductores) siendo conductores no-óhmicos. σ es la conductividad eléctrica del material, que depende de su naturaleza, pero no del campo aplicado (aunque depende de la temperatura, presión, etc.) En el Sistema Internacional de unidades σ se mide en Ω 1m 1 o S/m (S de Siemens) Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 14/35

15 Resistencia eléctrica Ley de Ohm Resistencia eléctrica Asociación de resistencias Asociación de resistencias En un material de geometría sencilla, la aplicación la ley de Ohm conduce a la conocida expresión V = RI donde R es la resistencia eléctrica y ρ = 1 σ es la resistividad, que en el S.I. se mide en Ωm. La resistencia eléctrica, no sólo depende de la naturaleza del material, sino también de su geometría Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 15/35

16 Asociación de resistencias Serie Ley de Ohm Resistencia eléctrica Asociación de resistencias Asociación de resistencias Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 16/35

17 Asociación de resistencias Paralelo Ley de Ohm Resistencia eléctrica Asociación de resistencias Asociación de resistencias Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 17/35

18 Modelo de Drude-Lorentz Modelo de Drude-Lorentz Ejemplo: tiempo de redistribución de la carga Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 18/35

19 Modelo de Drude-Lorentz Modelo de Drude-Lorentz Ejemplo: tiempo de redistribución de la carga Modelo de Drude-Lorentz Conducción eléctrica en metales La acción del campo, provoca una aceleración a los portadores electrónicos: dv dt = F m = ee m donde e y m son la carga y la masa del electrón respectivamente. Si no actuase niguna otra fuerza, el movimiento sería uniformente acelerado con velocidad si el electrón parte del reposo. v = ee m t Es decir la velocidad podría crecer indefinidamente con el tiempo, en contra de nuestra apreciación de que la velocidad de arrastre es del orden de 10 4 m/s. En las colisiones con la red atómica en el metal se disipa energía, que asimilamos a una fuerza de rozamiento viscoso F r = γv = m τ v y dv dt = F m = 1 m (ee m τ v) Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 19/35

20 Modelo de Drude-Lorentz Modelo de Drude-Lorentz Modelo de Drude-Lorentz Ejemplo: tiempo de redistribución de la carga La fuerza es pues: dv dt = F m = 1 m (ee m τ v) Ante tal situación, se alcanza un régimen estacionario cuando la fuerza de rozamiento se iguala con la de interacción con el campo, a la velocidad límite v d (que corresponde a la de arrastre). A la que dv dt = 0 y ee = m τ v d v d = eeτ m y podemos definir la movilidad v d = µe Como J = Nev d tenemos µ = eτ m J = Nev d = Ne2 τ m E de donde podemos deducir el valor de la conductividad σ = Ne2 τ m Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 20/35

21 Ejemplo: tiempo de redistribución de la carga Modelo de Drude-Lorentz Modelo de Drude-Lorentz Ejemplo: tiempo de redistribución de la carga De la ecuación de J = ρ t y de la ley de Ohm J = σ E resulta: Pero D = ε E σ E = ρ t σ ε D = ρ t Como D = ρ, resulta σ ε ρ = ρ t La ecuación que rige la dinámica de la densidad de carga es: dρ ρ = σ ε dt Si la concentración inicial es ρ 0, resulta: ρ = ρ 0 e σ ε t En la que aparece el tiempo de relajación τ = ε/σ, que representa el tiempo que tarda en caer la densidad de carga en dicho volumen a un 36.7% del valor inicial: Aplicación: Cu Mica σ S / m ε ε 0 = F/m σ S / m ε 6ε 0 F/m τ s τ 15 horas Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 21/35

22 Ley de Joule Ley de Joule Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 22/35

23 Ley de Joule Hemos visto que el modelo de conducción de Drude-Lorentz, predice que los electrones mediante las colisiones se "termalizan": ceden su energía a la red buscando el equilibrio térmico con ella. El paso de una eléctrica por un conductor hace que se disipe energía eléctrica en forma de calor Evaluamos la potencia disipada por cada portador en base al modelo de D-L Ley de Joule Ley de Joule La velocidad de arrastre de un portador es v d = eeτ m luego la potencia que disipa el mismo: dw dt = F v d = ee eeτ m Como hay N portadores por unidad de volumen: dw dt = Ne2 E 2 τ m Usando el valor de la conductividad σ = Ne2 τ m Se establece la ley de Joule dw dt = σe2 o equivalentemente ( J = σ E) dw dt = J E Para la potencia disipada por la por unidad de volumen en el material. Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 23/35

24 Ley de Joule En un material de geometría sencilla, la aplicación la ley de de Joule conduce a la conocida expresión Ley de Joule Ley de Joule. Pot = dw dt = RI 2 = V 2 R = VI Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 24/35

25 Fuerza electromotriz Fuerza electromotriz Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 25/35

26 Fuerza electromotriz Debido al efecto Joule, para manterner el movimiento estacionario de los portadores es necesario que estos reciban energía al mismo ritmo que la disipan. El campo electrostático es conservativo, por lo que no puede desarrollar trabajo sobre los portadores que recorren un circuito cerrado Un campo electrostático no puede mantener una estacionaria Fuerza electromotriz Fuerza electromotriz Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 26/35

27 Fuerza electromotriz Necesitamos un elemento que suministre energía a los portadores, si queremos mantener una estacionaria Estos elementos son los generadores de fuerza electromotriz, estando caracterizados por su fuerza electromotriz (fem) ǫ. La fuerza electromotriz (fem) es el trabajo realizado sobre los portadores por unidad de carga al atravesar tales elementos. ǫ = dw dq dw = ǫ dq Fuerza electromotriz Fuerza electromotriz en el Sistema Internacional se mide en Voltios (V) La potencia desarrollada por tales elementos será Pot = dw dt = ǫ dq dt = ǫi En general, supondremos tales elementos ideales y reversibles. Lectura recomendada Plonus pp Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 27/35

28 Ecuación del circuito Ecuación del circuito Ejemplo: Descripción de un generador de fem Ejemplo: Descripción de un generador de fem Reglas de Kirchhoff Reglas de Kirchhoff Ejemplo Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 28/35

29 Ecuación del circuito Balance de energía Ecuación del circuito Ecuación del circuito Ejemplo: Descripción de un generador de fem Ejemplo: Descripción de un generador de fem Reglas de Kirchhoff Reglas de Kirchhoff Ejemplo Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 29/35

30 Ecuación del circuito Balance de energía Ecuación del circuito Ecuación del circuito Ejemplo: Descripción de un generador de fem Ejemplo: Descripción de un generador de fem Reglas de Kirchhoff Reglas de Kirchhoff Ejemplo Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 30/35

31 Ejemplo: Descripción de un generador de fem Descarga Ecuación del circuito Ecuación del circuito Ejemplo: Descripción de un generador de fem Ejemplo: Descripción de un generador de fem Reglas de Kirchhoff Reglas de Kirchhoff Ejemplo Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 31/35

32 Ejemplo: Descripción de un generador de fem Carga Ecuación del circuito Ecuación del circuito Ejemplo: Descripción de un generador de fem Ejemplo: Descripción de un generador de fem Reglas de Kirchhoff Reglas de Kirchhoff Ejemplo Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 32/35

33 Reglas de Kirchhoff Terminología de circuitos de CC CC ( continua) la que no cambia su sentido. Corriente estacionaria: no cambia el valor de la intensidad. Nudo: punto del circuito en el que confluyen tres o más conductores. Rama: tramo del circuito comprendido entre dos nudos. Malla: secuencia de ramas que forman un contorno cerrado sobre sí mismo. Ecuación del circuito Ecuación del circuito Ejemplo: Descripción de un generador de fem Ejemplo: Descripción de un generador de fem Reglas de Kirchhoff Reglas de Kirchhoff Ejemplo Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 33/35

34 Reglas de Kirchhoff La suma algebraica de las variaciones de potencial a lo largo de cualquier bucle o malla del circuito debe ser igual a cero (es una consecuencia del principio de conservación de la energía) En un punto o nudo de ramificación de un circuito, la suma algebraica de las s que confluyen debe ser igual a la suma de las s que salen del mismo (consecuencia del principio de conservación de la carga) Ecuación del circuito Ecuación del circuito Ejemplo: Descripción de un generador de fem Ejemplo: Descripción de un generador de fem Reglas de Kirchhoff Reglas de Kirchhoff Ejemplo Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 34/35

35 Ejemplo Determinar la en todas las ramas del siguiente circuito. Ecuación del circuito Ecuación del circuito Ejemplo: Descripción de un generador de fem Ejemplo: Descripción de un generador de fem Reglas de Kirchhoff Reglas de Kirchhoff Ejemplo Física III - M. Mudarra Enginyeria Aeroespacial - p. 35/35