(1) dt dq es la carga que pasa a través de la sección transversal

Transcripción

1 La corriente y la resisitencia Hasta ahora, se han estudiado muchos casos de la electrostática. Ahora se estudiará la corriente eléctrica que consiste en considerar a las cargas en movimiento. La corriente eléctrica A los electrones libres en un conductor metálico y aislado, se encuentran en movimiento aleatorio, como las moléculas de un gas en un contenedor, ver la figura 1a Figura 1: Al aplicar una diferencia de potencial a los extremos, se establece una dirección preferente de movimiento, ver la figura 1b. Si la batería mantiene una diferencia de potencial, V, constante, a través del conductor de longitud L se establece un campo eléctrico V /L, que da lugar al movimiento de los electrones en la dirección opuesta a E. Si una carga neta, dq, pasa a través de cualquier superficie (dentro del conductor) en un intervalo de tiempo dt, se dice que se ha establecido una corriente eléctrica i, donde i = dq (1) dt dq es la carga que pasa a través de la sección transversal en el tiempo dt. En el SI la unidad de medida de la corriente es el ampere (abreviación A). De (1) se tiene 1 ampere = 1 coulomb/segundo La carga neta que pasa a través de la superficie un cualquier intervalo de tiempo: q = i dt (2) y si i es constante en el tiempo, entonces i = q/t. (3) 1

2 Aquí se considera que la corriente eléctrica i es la misma para todas las secciones transversales de un conductor, aun cuando el área de la sección transversal pudiera ser diferente en puntos diferentes, y se indica mediante una flecha (que no es un vector). Aunque los portadores de carga pueden ser positivos o negativos la dirección de la corriente es la dirección que tendrían los portadores de carga positivos, aun cuando estos fuesen negativos. Si los portadores de carga son negativos, simplemente se mueven en la dirección contraria al de la flecha de la corriente, ver la figura 1b. La corriente eléctrica obedece sólo al álgebra convencional, como puede verse en la figura 2. La densidad de la corriente La corriente es una característica de cada conductor en particular. Existe una cantidad microscópica relacionada con la corriente, a saber, la densidad de corriente j: j = i/a. (4) el vector j tiene la misma dirección que la del movimiento de los portadores de carga positivos. En la figura 3, j es un vector constante que apunta hacia la izquierda, en tanto que los electrones se mueven hacia la derecha. En general Figura 3: Figura 2: i = j da, (5) A pesar de que están sometidos a una fuerza ejercida por E, los electrones se mueven con velocidad constante (velocidad de desplazamiento v d ), debido a las colisiones. 2

3 En la figura 3, el número de electrones de conducción en una longitud L del alambre es nal, donde n es el número de electrones de conducción por unidad de volumen y AL es el volumen en la longitud L del alambre. A través de este segmento del alambre pasa una carga q = (nal)e en un tiempo La corriente es, entonces, Y resolviendo para v d de donde t = L v d. i = q t = nale L/ v d = nae v d. v d = i nae = j ne. (6) j = nev d. (7) que, como se observa en la figura 3, ambos vectores tienen direcciones opuestas. Ejercicio 1. Un extremo de un alambre de aluminio cuyo diámetro es 2.5 mm está soldado a un extremo de un alambre de cobre cuyo diámetro es 1.8 mm. El alambre compuesto porta un acorriente estable i de 1.3 A. Cuál es la densidad de corriente en cada alambre? La densidad de corriente es j = i A La sección transversal de área A en el alambre de aluminio es A Al = 1 4 πd2 = (π/4)( m 2 = m 2 por lo que j Al = 1.3 A m 2 = A/m 2 = 26 A/cm 2. Para el Cu, la sección transversal es m 2, por lo que j Cu = 1.3 A m 2 = A/m 2 = 51 A/cm 2. Ejercicio 2. Cuál es la velocidad de desplazamiento de los electrones de conducción en el alambre de cobre del Ejercicio 1? La velocidad de desplazamiento está dada por v d = j ne 3

4 En el cobre, existe aproximadamente un electrón de conducción por átomo, en promedio. El número n de electrones por unidad de volumen es el mismo que el número de átomos por unidad de volumen y está dado por n N A = ρ m M o átomos/m3 átomos/mol = masa/m3 masa/mol. donde ρ m es la densidad de masa del cobre, N A es el número de Avogadro y M es la masa molar del cobre. Así que n = N Aρ m M n = ( electrones/mol)( kg/m 3 ) kg/mol Entonces n = electrones/m 3 v d = m/s = 14 cm/h. Ejercicio 3. Una placa de silicio, de anchura w=3.2 mm y espesor d = 250 µm, porta una corriente i = 190 ma. EL silicio es un semiconductor tipo n, que ha sido contaminado con una cantidad controlada de impurezas de fósforo. La contaminación tiene el efecto de incrementar mucho n, el número de portadores de carga (electrones, en este caso) por unidad de volumen, si se compara con el valor del silicio puro. En este caso, n = m 3. (a) Cuál es la densidad de corriente en la placa? (b) Cuál es la velocidad de desplazamiento? De la ecuación (4) se tiene j = i wd = A ( m)( m) y, de la ecuación (6) v d = j = A/m A/m 2 ( m 3 )( C) v d = 190 m/s. La resistencia, la resistividad y la conductividad Si se aplica la misma diferencia de potencial entre los extremos de barras de cobre y madera geométricamente similares, se obtienen corrientes muy diferentes. La característica que entra en juego es la resistencia, que se determina aplicando una diferencia de 4

5 potencial V entre dos puntos y midiendo la corriente i que resulte: R = V /i (8) V está en volt, i en ampere y R en ohm (Ω), por lo que 1 ohm = 1 volt/ampere. A un conductor cuya función en un circuito es proporcionar un aresistencia específica se le conoce como resistor. La resistividad, ρ está relacionada con la resistencia, que es una característica del material más que de un especimen en particular y se define por ρ = E j (9) con unidad de medida Ω m. Dado que E y j son vectores (ver la figura 3) E = ρj. (10) Las ecuaciones (9) y (10) son válidas sólo para materiales isotrópicos, cuyas propiedades eléctricas son las mismas en todas las direcciones. La Tabla 1 muestra la resistividad de algunos materiales. Figura 4: La resistividad tiene su inverso que es la conductividad, σ, definida como que se puede escribir también como σ = 1/ρ. (11) j = σe. (12) 5

6 La resistencia y la resistividad se relacionan como se describe a continuación. En la figura 4 se muestran las condiciones en las que se encuentra un cilindro conductor. Si el las secciones transversales del Figura 5: cilindro en los extremos son superficies equipotenciales, el campo eléctrico y la densidad de corriente son constantes para todos los puntos en el cilindro La resistividad es E = V L y j = i A. ρ = E j = V /L i/a. Pero V /i es la resistencia, por lo que R = ρ L A. (13) que se aplica sólo a conductores homogéneos, isotrópicos de sección transversal uniforme y sujetos a cmapos eléctricos uniformes. Ejercicio 4. Un bloque rectangular de hierro tiene dimensiones 1.2 cm 1.2 cm 15 cm. (a) Cuál es la resistencia del bloque si ésta se mide entre sus caras cuadradas? (b) Cuál es la resistencia entre dos caras rectangulares y opuestas? La resistividad del hierro a temperatura ambiente es Ω m. (a) De la ecuación (13) R = ρ L A = ( Ω m)(0.15 m) ( m)( = 100 µω m) (b) De nuevo, de la ecuación (13) R = ρ L A = ( Ω m)(0.012 m) ( m)(0.15 m) = 0.65 µω La ley de Ohm Un dispositivo conductor obedece a la ley de ohm si la resistencia entre cualquier par de puntos es independiente de la magnitud y polaridad de la diferencia de potencial aplicada. Un conductor obedece a la ley de Ohm si la gráfica V vs. i es lineal. El equivalente microscópico de la ley de Ohm es E=ρj. 6

7 La transferencia de energía en un circuito eléctrico La figura 6 muestra un circuito que consiste de una batería B conectada a una caja negra. Figura 6: A través del circuito circula una corriente estable i y a través de las terminales a y b hay una diferencia de potencial estable V ab. La terminal a tiene un potencial mayor que la terminal b. La energía potencial de una carga dq que se mueve a través de la caja desde a hast b decrece en V ab dq. El principio de conservación de la energía nos dice que esta energía se convierte en la caja de energía eléctrica en alguna otra forma, que depende de lo que haya dentro de la caja. En el tiempo dt la energía du transferida dentro de la caja es du = V ab dq = V ab i dt. Entonces la tasa de la energía transferida o potencia P es P = du = iv ab (14) dt Si el dispositivo dentro de la caja es un resistor, la energía aparece en el resistor en forma de energía interna. Para un resistor se tiene o P = i 2 R (15) P = V 2 R. (16) Ejercicio 5. Se tiene un trozo de alambre hecho de una aleacion de niquel-cromo-hierro que tiene una resistencia R de 72 Ω. Sus extremos están conectados a una diferencia de potencial de 120 V. En qué caso el alambre disipará más calor (a) considerando toda su longitud o (b) partiendo a la mitad el alambre y conectando los extremos de los dos trozos en paralelo a la diferencia de potencial? (a) La potencia disipada 7

8 por todo el alambre es P = V 2 R = (120V )2 72 Ω = 200 W. (b) La potencia para el par de mitades es P = V (120V )2 = R 36 Ω = 400 W. Pregunta 7. Se aplica una diferencia de potencial a un alambre de cobre de diámetro d y longitud L. Cuál es el efecto sobre la velocidad de desplazamiento de los electrones si (a) se duplica V, (b) se duplica L y (c) se duplica d? Responda cada pregunta por separado. 8