'HVFULHUHD &,3 D %LEOLRWHFLL 1DĠLRQDOH D $1'5(, *+(25*+( 3DUWHD SDUWHD

Transcripción

1

2

3 PARTEA ÎNTREAG [x] PARTEA FRACIONAR {x} X = [x] + {x} VOLUMUL II Editura Paralela 45

4 CUPRINS Enunuri Soluii Prefa... 7 Introducere... 9 Capitolul XIII Elemente de aritmetic Capitolul XIV Sume Capitolul XV Inegaliti Capitolul XVI iruri Capitolul XVII Funcii Capitolul XVIII Probleme diverse Capitolul XIX Paragrafe speciale Bibliografie

5 PREFA De-a lungul a aproape jumtate de secol, profesorii constneni Gheorghe Andrei i Constantin Caragea au lefuit matematic minile a mii de foti elevi, nu neaprat atunci avizi de matematic, dar azi intelectuali de vaz, unii dintre ei fcând cinste României pe multe continente. Alii sunt în prezent matematicieni renumii, ce duc mai departe faima colii româneti de matematic. Profesorii Andrei i Caragea sunt renumii azi i prin numrul însemnat de culegeri de probleme aprute în ultimii patruzeci de ani, dar i prin problemele propuse la toate etapele olimpiadelor româneti. Culegerea de fa este dedicat unui subiect important în toate domeniile matematicii: partea întreag i partea fracionar a unui numr. De aceast noiune sunt legate importante probleme, unele înc deschise, din teoria numerelor, algebr, analiz matematic. De exemplu, chestiunile legate de ordinul de aproximare a unui numr iraional cu un numr raional conin înc multe probleme deschise. Cele nousprezece capitole ale crii fac o trecere prin toate domeniile matematicii unde apare noiunea de parte întreag sau parte fracionar. Acestea conin peste 1700 de probleme, prezentate gradat i având, în fiecare capitol, un preambul teoretic complet. O recomand cu mare cldur elevilor care nu neglijeaz matematica, dar, în primul rând, profesorilor de matematic din gimnaziu i liceu. Vor gsi suficient material spre a delecta minile deschise ale copiilor. Radu Gologan

6 INTRODUCERE Cartea este o adevrat megaculegere de probleme care se adreseaz elevilor i profesorilor pasionai de matematic, în dorina de a obine performane sporite. Ea are rolul de a uura activitatea de cutare i selectare a problemelor cu partea întreag i partea fracionar din diferite culegeri i publicaii de matematic, întrucât aceast megaculegere este destul de cuprinztoare. Ea reprezint un izvor i un stimulator de abordare creatoare a altor probleme pe aceast tem. Cu aceast ocazie aducem mulumiri i felicitri tuturor autorilor multor probleme deosebite i fr de care cartea ar fi fost mai srac i incomplet. Au fost multe situaii care ne-au pus probleme în gsirea soluiilor, dar au fost i probleme asemntoare propuse îns de autori diferii. (Ne cerem anticipat scuze dac am omis unii autori de probleme.) Aceast carte este centrat pe un singur capitol de matematic: Partea întreag i partea fracionar, tem aproape inexistent acum de ani i mult mai frecvent în ultimii de ani, atât în manuale, culegeri de probleme, reviste de specialitate, cât i în concursurile colare. Prin cantitatea i varietatea problemelor i mai ales prin abordarea difereniat a temelor cuprinse în cele 19 capitole, cartea reprezint o adevrat enciclopedie a acestei teme. Lucrarea acoper un gol bibliografic, deoarece pân acum elevii i profesorii nu aveau la îndemân un astfel de vast material de studiu. Prima carte pe aceast tem a aprut la noi în ar în anul 1996, la Editura GIL, autori fiind Gheorghe Andrei, Ion Cucurezeanu i Constantin Caragea, i anume, Probleme de algebr gimnaziu i liceu. Funciile partea întreag i partea fracionar, urmat fiind de cartea regretatului profesor Mihai Onucu Drîmbe, 200 de identiti i inegaliti cu partea întreag, Editura GIL, Prin multele probleme de nivel ridicat, prezenta culegere poate sta la baza formrii competenelor sporite în acest domeniu. Ea ar trebui s se afle la oricare centru de excelen, în orice coal unde se pregtesc olimpici i chiar în posesia oricrui elev capabil i doritor de performan. În fiecare capitol exist o ierarhizare a problemelor, în funcie de gradul de dificultate, i anume: probleme elementare, nemarcate, probleme

7 mai dificile, cu o stelu, iar cele foarte dificile, cu dou sau trei stelue. Desigur, problemele de nivel standard, nemarcate, pot fi considerate ca repere necesare abordrii celor mai dificile dintre ele. Chiar dac unele probleme sunt asemntoare sau îmbrac o hain mai veche, ele au fost totui puse cu respectul cuvenit istoriei lor i care confirm progresul abordrilor pe aceast tem în ultimii de ani. Sunt destule probleme care apar în unul sau dou capitole, deoarece ele pot fi încadrate tematic în aceste capitole. În cadrul aceleiai teme, megaculegerea cuprinde 19 capitole difereniate pe anumite subteme. Vom enumera câteva: Cap. I Proprieti, Cap. II Aplicaii de baz, completat cu Cap. V Partea întreag i partea fracionar a unor expresii cu radicali i Cap. VI Egaliti i identiti, Cap. XV Inegaliti, Cap. VIII, IX, X Ecuaii, ecuaii cu parametri, respectiv ecuaii cu mai multe necunoscute, Cap. XII Sisteme, Cap. XIII Elemente de aritmetic, Cap. XIV Sume, Cap. XVI i XVII iruri, respectiv funcii, care conin probleme ce aduc o completare a capitolelor respective din clasele a IX-a, a X-a i a XI-a. Capitolul XIX Paragrafe speciale cuprinde chiar câteva paragrafe speciale care pun în eviden o gam larg de aplicabilitate a funciei partea întreag i partea fracionar : funcia de rotunjire, funcia lui Legendre cu aplicaii, funciile (cu notaiile consacrate), spectrul unui numr, puncte laticiale etc. Megaculegerea conine peste 1700 de probleme i proprieti importante cu aplicativitate imediat la alte probleme. Pentru ca aceast carte s fie accesibil unui numr mai mare de elevi i profesori, soluiile sunt destul de detaliate, iar multe dintre probleme au câte dou sau trei soluii. Pentru alctuirea acestei culegeri de probleme, s-a depus o munc susinut pe parcursul mai multor ani, consultându-se un uria material bibliografic, iar ca urmare, autorii înii i-au sporit competenele în acest domeniu. Ateptm soluii deosebite sau abordri interesante, precum i noi probleme pe aceast tem, ce vor fi cuprinse într-o viitoare ediie ( profandreigheorghe@gmail.com). Autorii

8 Elemente de aritmetic n n n n

9 12 PARTEA ÎNTREAG [x]. PARTEA FRACIONAR {x}. VOLUMUL II n a. p d

10 1. Exerciii diverse Funcii f f f f f 9.

11 224 PARTEA ÎNTREAG [x]. PARTEA FRACIONAR {x}. VOLUMUL II f f f