Apuntes de Matemática Discreta 13. Clases de Restos Módulo m

Transcripción

1 Apuntes de Matemática Discreta 13. Clases de Restos Módulo m Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004

2 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii

3 Lección 13 Clases de restos módulo m Contenido 13.1 Conceptos Básicos Definición Teorema Propiedades Teorema Teorema Corolario Conjunto de las Clases de Restos Módulo m Relación de Equivalencia Clases de Equivalencia Conjunto Cociente Aritmética en Z m Suma Bien Definida Elemento Neutro para la Suma Elemento Opuesto Producto Bien Definido Elemento Neutro para el Producto Elemento Inverso Euler, Fermat Wilson Función φ de Euler Teorema de Euler Corolario (Fermat) Teorema de Wilson Teorema Chino del Resto Teorema En su obra Disquisitiones Arithmeticae, publicada en 1801, Gauss introdujo en las Matemáticas el concepto de congruencia. Dada la analogía que existía entre ella la igualdad algebraica, Gauss adopto el símbolo, notación que aún se utiliza para la congruencia. la relación de congruencia ha proporcionado las herramientas con las cuales se han demostrado importantes hechos en la Teoría de Números, de hecho ha sido un instrumento de vital importancia para el estudio de la divisibilidad en Z. 355

4 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Muchos problemas de Cálculo con enteros mu grandes pueden reducirse a problemas equivalentes usando enteros pequeños mediante el uso de las congruencias Conceptos Básicos Comenzamos definiendo el concepto central de la lección analizando con detenimiento sus propiedades. Distintos ejemplos aclararán los conceptos que se definen permitirán una aplicación directa de las propiedades Definición Sea m un entero positivo a, b dos números enteros. Diremos que a b son congruentes módulo m si m divide a a b. Utilizaremos la notación a b(mód m), es decir, Ejemplo 13.1 a b(mód m) m a b 80 20(mód 15), a que (mód 4), a que (mód 10), a que (mód 5), a que 5 15 Ejemplo 13.2 Encontrar cinco número enteros distintos, cada uno los cuales sea congruente con 13 módulo 11. Sea a cualquiera de los números buscados. Entonces, a 13(mód 11) a = q, con q Z. Si ahora tomamos, por ejemplo, q = 2, 1, 0, 1 ó 2, tendremos los cinco números buscados: a = ( 2) = 9 a = ( 1) = 2 a = = 13 a = = 24 a = = Teorema Sea m cualquier número entero positivo. Entonces, (a) Cualquier número entero es congruente módulo m exactamente con uno de los enteros 0, 1,......, m 1. (b) Dos números enteros son congruentes entre sí módulo m si, sólo si ambos dan el mismo resto al dividirlos por m. 356

5 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Demostración (a) Probaremos que si a es un número entero cualquiera, entonces es congruente módulo m exactamente con uno de los enteros 0, 1,......, m 1. En efecto, a Z m Z + = Existen q r, enteros únicos : a = mq + r, con 0 r < m {(??) a r = mq, con 0 r < m m a r, con 0 r < m a r(mód m), con 0 r < m a 0(mód m) ó a 1(mód m) ó a 2(mód m).. ó a m 1(mód m) A este número r, único, lo llamaremos menor residuo de a, módulo m. (b) En efecto, sean a b dos enteros cualesquiera. Sólo si. Si a b(mód m), entonces a b = mq, con q Z. Por otra parte, por el teorema de existencia unicidad de cociente resto (??), pueden encontrarse q 1, q 2, r 1 r 2 enteros, tales que de aquí que Tenemos pues que a = mq 1 + r 1 a = mq 2 + r 2 a b = m(q 1 q 2 ) + r 1 r 2. a b = mq a b = m(q 1 q 2 ) + r 1 r 2 como el resto de dividir a b entre m es único, luego, r 1 r 2 = 0 r 1 = r 2 es decir, a b dan, ambos, el mismo resto al dividirlos por m. Si. Recíprocamente, supongamos que ambos, a b, dan el mismo resto al dividirlos por m, es decir, existen q 1, q 2 r, enteros, tales que a = mq 1 + r b = mq 2 + r. Pues bien, restando miembro a miembro, tendremos que a b = m(q 1 q 2 ) m a b a b(mód m) 357

6 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Ejemplo 13.3 Demuéstrese que todo número primo maor o igual que 5 es congruente con 1 ó con 5, módulo 6. Probaremos que si p es primo p 5, entonces p 1(mód 6) ó p 5(mód 6). En efecto, supongamos que la proposición es falsa, es decir, p es primo p 5, sin embargo, p / 1(mód 6) p / 5(mód 6). Entonces, por (a) del teorema anterior, p 0(mód 6) ó p 2(mód 6) ó p 3(mód 6) ó p 4(mód 6). Pues bien, Si p 0(mód 6), entonces 6 p lo cual es imposible a que p es primo. Si p 2(mód 6), entonces 6 p esto contradice el que p sea primo. Si p 3(mód 6), entonces 6 p esto contradice el que p sea primo. Si p 4(mód 6), entonces 6 p esto contradice el que p sea primo. = 2 p = 3 p = 2 p = 2 p = 2 p = 3 p = 3 p = 2 p = 2 p Hemos llegado, por tanto, a una contradicción la proposición propuesta es cierta, es decir, p ha de ser congruente módulo 6 con 1 ó con 5. Ejemplo 13.4 Demuéstrese que si d m a b(mód m), entonces a b(mód d). Directamente de la transitividad de la relación de divisibilidad, d m = d a b a b(mód d) a b(mód m) m a b 358

7 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez 13.2 Propiedades Veremos a continuación algunas propiedades de las congruencias que son, con frecuencia, bastante útiles Teorema Sean a, b, c m son tres enteros con m > 0. Se verifica: (a) a a(mód m). (b) Si a b(mód m), entonces b a(mód m) (c) Si a b(mód m) b c(mód m), entonces a c(mód m) Demostración Utilizaremos las propiedades de la divisibilidad (??). (a) a a(mód m) Teniendo en cuenta que m 0, m 0 m a a a a(mód m) (b) Si a b(mód m), entonces b a(mód m). En efecto, a b(mód m) m a b m ( 1)(a b) = m b a b a(mód m) (c) Si a b(mód m) b c(mód m), entonces a c(mód m). En efecto, a b(mód m) m a b = m (a b) + (b c) = m a c = a c(mód m) b c(mód m) m b c Teorema Sean a, b, c, d, p m, enteros con p 0 m > 0. Se verifica: (a) si a b(mód m) c d(mód m), entonces a + c b + d(mód m) ac bd(mód m). (b) Si a b(mód m), entonces pa pb(mód m). (c) Si p a, p b, m.c.d.(p, m) = 1 a b(mód m), entonces a p b (mód m). p Demostración Utilizaremos, al igual que en el teorema anterior, las propiedades de la divisibilidad (??) (a) si a b(mód m) b c(mód m), entonces a + c b + d(mód m) ac bd(mód m). En efecto, a b(mód m) m a b = m (a b) + (c d) = m (a + c) (b + d) c d(mód m) m c d 359

8 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas luego, a + c b + d(módm). Análogamente, a b(mód m) m a b = m ac bc = m (ac bc) + (bc bd) = m ac bd c d(mód m) m c d = m bc bd por lo tanto, ac bd(módm). (b) Si a b(mód m), entonces pa pb(mód m). En efecto, a b(mód m) m a b = m p(a b) = m pa pb pa pb(mód m) (c) Si p a, p b, m.c.d.(p, m) = 1 a b(mód m), entonces a p b (mód m). p En efecto, p a = p a b p b a b(mód m) m a b q 1 Z : a b = mq 1 = p mq 1 Pues bien, si p mq 1, como m.c.d.(p, m) = 1, tendremos que p q 1, es decir, q 1 = pq con q entero. Entonces, a b = mq 1 = a b = mpq = a q 1 = pq p b p = mq m a p b p Consecuentemente, a p b (mód m) p Ejemplo 13.5 con 1 módulo 3. Demostrar que el cuadrado de cualquier número entero es divisible por 3 o es congruente Sea a un número entero arbitrario. Por el teorema a es congruente módulo 3 con 0, 1 ó 2. Pues 360

9 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez bien, a 0(mód 3) = a 2 0(mód 3) {( (a)) 3 a 2 a 2 es divisible por 3 ó a 1(mód 3) = a 2 1(mód 3) {( (a)) ó a 2(mód 3) = a 2 4(mód 3) {( (a)) 3 a 2 4 a 2 4 = 3q a 2 = 3q + 4 a 2 = 3(q + 1) a 2 1 a 2 1(mód 3) luego a 2 es divisible por 3 o es congruente con 1 módulo 3. Veamos ahora un corolario que generaliza algunos apartados del teorema anterior Corolario Si a i b i (mód m) para 1 i n, entonces (i) (ii) n n a i b i (mód m) i=1 i=1 n n a i b i (mód m) i=1 i=1 Demostración Procederemos, en ambos casos, por inducción. (i) n n a i b i (mód m) i=1 i=1 Paso básico. Veamos que es cierto para n = 2. En efecto, por el teorema anterior, a 1 b 1 (mód m) = a 1 + a 2 b 1 + b 2 (mód m) a 2 b 2 (mód m) Paso inductivo. Supongamos que la proposición es cierta para n = p, es decir, si a i b i (mód m), i = 1, 2,..., p, entonces p p a i b i (mód m) i=1 i=1 Veamos que también se cumple para n = p + 1. En efecto, si a i b i (mód m), i = 1, 2,..., p, p

10 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas entonces por la hipótesis de inducción por ser cierta la propiedad para i = 2, tendremos que p p a i b i (mód m) p p p+1 p+1 i=1 i=1 = a i + a p+1 b i + b p+1 (mód m) = a i b i (mód m) i=1 i=1 i=1 i=1 a p+1 b p+1 (mód m) (ii), consecuentemente, la proposición será cierta para todo n. n n a i b i (mód m) i=1 i=1 Basta aplicar el apartado (a) del teorema anterior la igualdad p+1 p a i = a i a p+1 i=1 i=1 para llegar, al igual que en el apartado anterior, al resultado. Ejemplo 13.6 Demostrar que si el último dígito de un número n es t, entonces n 2 t 2 (mód 10) En efecto, si n = a k 10 k + a k 1 10 k a a 0 es la descomposición polinómica de n, entonces a 0 = t, luego n = de aquí que k a i 10 i + t i=1 n t = k a i 10 i Ahora bien, 10 0(mód 10) luego 10 i 0(mód 10), 1 i k también a i 10 i 0(mód 10), 1 i k de aquí que por el corolario anterior, i=1 Consecuentemente,, por lo tanto, de donde resulta que k a i 10 i 0(mód 10). i=1 n t 0(mód 10) n t(mód 10) n 2 t 2 (mód 10) 362

11 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Ejemplo 13.7 Demostrar que el resto de dividir entre 7 es 1. En efecto, 21 0(mód 7) 1 1(mód 7) = 20 1(mód 7) = ( 1) 4572 (mód 7) = (mód 7) es decir el resto es 1. Ejemplo 13.8 Demostrar: (a) Si a b(mód m), entonces m.c.d.(a, m) = m.c.d.(b, m). (b) Si a b(mód m), entonces a n b n (mód m) para cualquier entero positivo n. (c) Si a + b c(mód m), entonces a c b(mód m). (d) Si a b(mód m) d a d m, entonces d b. (a) Si a b(mód m), entonces m.c.d.(a, m) = m.c.d.(b, m). En efecto, a b(mód m) m a b q Z : a b = mq Pues bien, sea d 1 = m.c.d(a, m) d 2 = m.c.d(b, m). Entonces, d 1 a d 1 = m.c.d(a, m) = = d 1 a (a b) = d 1 b d 1 m = d 1 mq = d 1 a b Es decir, d 1 divide a b a m, por tanto dividirá al máximo común divisor de ambos, luego d 1 d 2 Análogamente, d 2 b d 2 = m.c.d(b, m) = = d 2 a b + b = d 2 a d 2 m = d 2 mq = d 2 a b O sea, d 2 divide a a a m, luego dividirá al máximo común divisor de ambos, de aquí que d 2 d 1 Finalmente, como d 1 d 2 son enteros positivos, por la antisimetría de la relación de divisibilidad en Z +, d 1 será igual a d 2, es decir, m.c.d.(a, m) = m.c.d.(b, m) (b) Si a b(mód m), entonces a n b n (mód m) para cualquier entero positivo n. Basta aplicar el apartado (ii) del corolario anterior para a i = a, 1 i n b i = b, 1 i n (c) Si a + b c(mód m), entonces a c b(mód m). En efecto, a + b c(mód m) m a + b c m a (c b) a c b(mód m) 363

12 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (d) Si a b(mód m) d a d m, entonces d b. En efecto, a b(mód m) m a b como d m, por la transitividad de la relación de divisibilidad, d a b. Así pues, d a = d a (a b) = d b d a b Ejemplo 13.9 por 17. Demostrar que para cualquier entero positivo n, el número 3 5 2n n+1 es divisible Observemos lo siguiente: 3 5 2n+1 = 3 (5 2 ) n 5 = n 2 3n+1 = (2 3 ) n 2 = 2 8 n Por otra parte, 15 2(mód 17) = n 2 8 n (mód 17) 25 8(mód 17) = 25 n 8 n (mód 17) luego, n n 0(mód 17) es decir, 3 5 2n n+1 0(mód 17) por lo tanto, el número dado es divisible por 17. Ejemplo Demostrar por inducción que el número 7 2n 48n 1 es divisible por 2304 para cualquier entero positivo n. Probaremos que o lo que es igual, es decir, o sea, Procederemos por inducción. 7 2n 48n 1 0(mód 2304) (7 2 ) n 48n + 1(mód 2304) 49 n 48n + 1(mód 2304) (48 + 1) n 48n + 1(mód 2304) Para n = 1 es cierto claramente. Veamos si es cierto para n = 2. En efecto, (48 + 1) 2 = (48 + 1) 2 = (48 + 1) 2 ( ) = 2304 (48 + 1) (mód 2304) 364

13 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Supongamos que es cierto para n = p, es decir, (48 + 1) p 48p + 1(mód 2304) Veamos que es cierto para n = p + 1. En efecto, (mód 2304) {Por ser cierto para n = 1 (48 + 1) p 48p + 1(mód 2304) {Por la hipótesis de inducción luego, (48 + 1) p (48 + 1) (48p + 1)(48 + 1)(mód 2304). Por otra parte, (48p + 1)(48 + 1) = 2304p p + 1 es decir, (48p + 1)(48 + 1) [48(p + 1) + 1] = 2304p de aquí que (48p + 1)(48 + 1) 48(p + 1) + 1(mód 2304). Finalmente, por la transitividad de la relación de congruencia, de (48 + 1) p (48 + 1) (48p + 1)(48 + 1)(mód 2304) (48p + 1)(48 + 1) 48(p + 1) + 1(mód 2304) se sigue que (48 + 1) p+1 48(p + 1) + 1(mód 2304). Consecuentemente, la congruencia es cierta para cada entero positivo n, o sea, (48 + 1) n 48n + 1(mód 2304), consecuentemente, 7 2n 48n + 1 es divisible por 2304 para cualquier entero positivo n. Ejemplo Calcular el resto de dividir 9 6n n n 10 por 730. Observemos lo siguiente: 9 6n n n 10 = (9 3 ) 2n 9 + (3 487) 2n 3 10 = 729 2n n 3 10 Pues bien, Por otra parte, 729 1(mód 730) = 729 2n ( 1) 2n (mód 730) = 729 2n 1(mód 730) = 729 2n 9 9(mód 730) 9 6n+1 9(mód 730) (mód 730) = n 1 2n (mód 730) = n 1(mód 730) = n 3 3(mód 730) 3 2n n 3(mód 730) 365

14 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas de aquí que es decir, 9 6n n n 12(mód 730) 9 6n n n 10 2(mód 730), consecuentemente, el resto de dividir el número dado entre 730 es 2. Ejemplo por 9. Demostrar que para cualquier entero positivo n, el número 10 n (9n 1) + 1 es divisible En efecto, luego, por lo tanto, 10 1(mód 9) = 10 n 1(mód 9) 9n 0(mód 9) 9n 1 1(mód 9) 9n 1 1(mód 9) 10 n (9n 1) 1(mód 9) 10 n (9n 1) + 1 0(mód 9), consecuentemente, el resto de dividir el número dado entre 9 es cero Conjunto de las Clases de Restos Módulo m En este apartado veremos que la relación de congruencia es de equivalencia calcularemos el conjunto cociente, al cual llamaremos Z m. Este conjunto será {[0], [1],..., [m 1], donde así sucesivamente. [0] = {..., 2m, m, 0, m, 2m,... [1] = {..., 2m + 1, m + 1, 1, m + 1, 2m + 1,... Con esta interpretación, cada elemento de Z m es considerado como el conjunto de todos los enteros congruentes con un entero i tal que 0 i m 1. Esta es la razón de que la propiedad cíclica de las congruencias sea tan importante. Si contamos desde 0 a 10 en base decimal, originamos un ciclo desde 0 a 9 volvemos al 0. Por ejemplo, el cuentakilómetros de un coche es una instrumentación física de esta propiedad. Los dígitos desde el 0 hasta el 9 se sitúan en un círculo, cuando éste gira, tiene lugar la cuenta. Cuando un círculo pasa desde el 9 hasta el 0, el siguiente círculo a su izquierda se incrementa en 1. El cuentakilómetros vuelve a 0 de nuevo cuando el coche recorre kms. Así pues, el cuentakilómetros es una instrumentación de Z cada una de las ruedas de dígitos son instrumentaciones de Z 10. La informática también es bastante dependiente de esta propiedad. Por ejemplo, un bte es un número de ocho bits que varía desde hasta ; si añadimos 1 a volvemos de nuevo a Esta transición se registra normalmente como un desbordamiento. El hecho de contar en un ordenador, supone exactamente el mismo principio que el utilizado en el cuentakilómetros. Además, no importa lo potente que sea el mismo, siempre será una máquina finita. Así que cada esfuerzo para tratar con los números enteros es, básicamente, una aproximación de los enteros por Z m para algún m lo suficientemente grande. Este hecho, combinado con la naturaleza cíclica de Z m, es la base para algoritmos utilizados en la generación de números aleatorios. 366

15 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Relación de Equivalencia Dado un entero m > 0, la relación de congruencia módulo m es una relación de equivalencia en el conjunto de los números enteros. Demostración Se sigue directamente del teorema Clases de Equivalencia Dado un número entero cualquiera a, su clase de equivalencia es el conjunto formado por todos los enteros que dan el mismo resto que a al dividirlos entre m. Demostración Recordemos que la clase de equivalencia de un elemento es el conjunto formado por todos los elementos relacionados con él. Pues bien, sea a es un número entero cualquiera. Entonces, [a] = {x Z : x a(mód m) Por otra parte, el teorema de existencia unicidad de cociente resto, asegura que existen q r, enteros únicos tales que a = mq + r, con 0 r < m si tenemos en cuenta el apartado (b) del teorema , tendremos que [a] estará formada por todos los enteros que den resto r al dividirlos entre m, es decir, [a] = {x Z : x = mq + r, con q Z Ejemplo En el conjunto de los números enteros se considera la clase de equivalencia módulo 5. Hallar las clases de equivalencia del 22, 6, 0, 3, 5, 7, El resto dividir 22 entre 5 es 3, luego [ 22] = {5q + 3 : q Z = {..., 17, 12, 7, 2, 3, 8, 13, 18, 23,... El resto de dividir 6 entre 5 es 4, luego [3] = {5q + 4 : q Z = {..., 16, 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19, 24,... El resto de dividir 0 entre 5 es 0, luego, [0] = {5q : q Z = {..., 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20,... El resto de dividir 3 entre 5 es 3, luego El resto de dividir 5 entre 5 es 0, luego [5] = [3] [5] = [0] 367

16 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas El resto de dividir 7 entre 5 es 2, luego [7] = {5q + 2 : q Z = {..., 18, 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17, 22,... El resto de dividir 18 entre 5 es 3, luego [18] = [3] El resto de dividir 20 entre 5 es 0, luego [20] = [0] Conjunto Cociente Al conjunto formado por las clases de equivalencia, es decir al conjunto cociente, lo llamaremos conjunto de las clases de restos módulo m, lo notaremos por Z m es Demostración Sean a b dos enteros cualesquiera. Entonces, de donde se sigue que Z m = {[0], [1],..., [m 1] [a] = [b] en Z m a b dan el mismo resto al dividirlos por m en Z a b(mód m) en Z { (b) [a] [b] en Z m a b dan distinto resto al dividirlos por m en Z a / b(mód m) en Z Como al dividir cualquier número entero por m pueden aparecer m restos distintos (0, 1,, m 1), querrá esto decir que habrá únicamente m clases distintas. Si tomamos el resto como representante de cada clase, es decir, [r] = {x Z : x = mq + r, con q Z el conjunto cociente será Z m = {[0], [1],, [m 1] Nota 13.1 Obsérvese que cualquier conjunto de m enteros que no sean congruentes entre sí módulo m daría lugar al mismo conjunto cociente. En efecto, sean m números enteros a 0, a 1,, a m 1 que no sean congruentes entre sí dos a dos. Entonces, según hemos visto en el apartado anterior, con 0 i, j m 1 e i j. Entonces, a i / a j (mód m) en Z [a i ] [a j ] en Z m Z m = {[a 0 ], [a 1 ],, [a m 1 ] si suponemos, sin pérdida de generalidad, que i es el resto de dividir a i entre m, tendremos que [a i ] = [i], 1 i m 1 368

17 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Ejemplo En el conjunto de los números enteros se considera la relación de equivalencia módulo 5. Hallar el conjunto cociente. Según hemos visto, Z 5 = {[0], [1], [2], [3], [4] donde, [0] = {..., 20 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, [1] = {..., 19, 14, 9, 4, 1, 6, 11, 16, [2] = {..., 18, 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17, [3] = {..., 17, 12, 7, 2, 3, 8, 13, 18, [4] = {..., 16, 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19, Veamos ahora que el conjunto de enteros {10, 9, 12, 8, 19 origina el mismo conjunto cociente. En efecto, 10 / 9(mód 5) en Z [10] [ 9] en Z 5 10 / 12(mód 5) en Z [10] [12] en Z 5 10 / 8(mód 5) en Z [10] [8] en Z 5 10 / 19(mód 5) en Z [10] [19] en Z 5 9 / 12(mód 5) en Z [ 9] [12] en Z 5 9 / 8(mód 5) en Z [ 9] [8] en Z 5 9 / 19(mód 5) en Z [ 9] [19] en Z 5 12 / 8(mód 5) en Z [12] [8] en Z 5 12 / 19(mód 5) en Z [12] [19] en Z 5 8 / 19(mód 5) en Z [8] [19] en Z 5 luego,, naturalmente, Z 5 = {[10], [ 9], [12], [8], [19] [10] = [0] [ 9] = [1] [12] = [2] [8] = [3] [19] = [4] 13.4 Aritmética en Z m Suma Dados dos enteros cualesquiera a b, definimos la suma en Z m en la forma siguiente: [a] + [b] = [a + b] Ejemplo Sumar en el conjunto de las clases de restos módulo 5, Z 5, las clases [31] [58]. 369

18 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Según la definición que acabamos de ver, [31] + [58] = [89] = {x Z : x = 5q + 4, con q Z = {..., 16, 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19, = [4] Nota 13.2 Obsérvese que en Z 5 las clases [16] [63] son iguales, respectivamente, a las clases [31] [58], por lo tanto su suma ha de ser igual a la calculada en el ejemplo anterior. En efecto, [16] + [63] = [79] = {x Z : x = 5q + 4, con q Z = {..., 16, 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19, = [4] Bien Definida La suma está bien definida, es decir, no depende de los representantes que se elijan en cada clase, en el sentido de que si [a] = [a ] [b] = [b ], entonces [a] + [b] = [a ] + [b ]. Demostración En efecto, [a] = [a ] a a (módm) = a+b a +b (módm) = [a+b] = [a +b ] [a]+[b] = [a ]+[b ] [b] = [b ] b b (módm) La suma en Z m es asociativa conmutativa. Veamos, a continuación, cuál es su elemento neutro Elemento Neutro para la Suma El elemento neutro para la suma en Z m es la clase [0]. Demostración Sea [a] cualquiera de Z m sea [e] el neutro para la suma. Entonces, [e] + [a] = [a] [e + a] = [a] e + a a(mód m) e a a(mód m) e 0(mód m) [e] = [0] Elemento Opuesto Si [a] es cualquiera de Z m, entonces su opuesto es [ a] Demostración 370

19 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez En efecto, sea [a ] el opuesto de [a]. Entonces, [a] + [a ] = [0] [a + a ] = [0] a + a 0(mód m) a a(mód m) [a ] = [ a] Producto Dados dos enteros cualesquiera a b, definimos el producto en Z m en la forma siguiente: [a] [b] = [a b] Bien Definido El producto está bien definido, es decir, no depende de los representantes que se elijan en cada clase, en el sentido de que si [a] = [a ] [b] = [b ], entonces [a] [b] = [a ] [b ]. Demostración En efecto, [a] = [a ] a a (módm) = a b a b (módm) = [a b] = [a b ] [a] [b] = [a ] [b ] [b] = [b ] b b (módm) El producto en Z m es asociativo conmutativo Elemento Neutro para el Producto El elemento neutro para la multiplicación en Z m es la clase [1]. Demostración En efecto, para cada [a] de Z m, se verifica que [1] [a] = [1 a] = [a] Elemento Inverso Un elemento [a] de Z m admite inverso si, sólo si, a m son primos entre si. Demostración 371

20 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas En efecto, sea [a ] el inverso de [a] en Z m. Entonces, [a ] [a] = [1] [a a] = [1] a a 1(mód m) a a = 1 + mq, con q Z aa mq = 1 esta ecuación lineal con coeficientes enteros tiene solución si, sólo si m.c.d.(a, m) = 1 es decir, si a m son primos entre si. Nota 13.3 Observemos lo siguiente: [a] Z m 0 a m 1 por lo tanto, Si m es primo, entonces m.c.d.(a, m) = 1 para todo a distinto de cero, luego todos los elementos de Z m, excepto el cero, poseen inverso. Si m no es primo, sólo tendrán inverso aquellos que sean primos con a. Podemos concluir que una condición necesaria suficiente para que todos los elementos de Z m posean inverso es que m sea primo. Nota 13.4 De aquí en adelante, siempre que no haa peligro de confusión, escribiremos a en vez de [a] para notar la clase de equivalencia de a en el conjunto Z m. Ejemplo Hallar los inversos de (a) 2 en Z 11 (b) 7 en Z 15 (c) 7 en Z 16 (d) 5 en Z 13 (a) Inverso de 2 en Z 11. Como 11 es primo, todos los elementos de Z 11, excepto el cero, tienen inverso. Sea, pues, x el inverso de 2 en Z 11. Entonces, x es el inverso de 2 en Z 11 2x = 1 en Z 11 2x 1(mód 11) en Z 11 2x 1 en Z Z : 2x 11 = 1 Obtendremos la solución general de esta ecuación diofántica utilizando el algoritmo de Euclides,

21 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez luego m.c.d.(2, 11) = 1. Además, 1 = = ( 5) 2 + ( 1)( 11) de aquí que x = 1( 5) 1 = 5 11k + k ( 11), con k Z 1 = k = 11( 1 k) + 6 = 11q + 6, tomando q = 1 k es decir, x = 6 en Z 11 luego el inverso de 2 en Z 11 es 6. (b) Inverso de 7 en Z 15. Como 7 15 son primos entre sí, 7 tendrá inverso en Z 15. Pues bien, x es el inverso de 7 en Z 15 7x = 1 en Z 15 7x 1(mód 15) en Z 15 7x 1 en Z x Z : 7x 15 = 1 Utilizaremos el algoritmo de Euclides para obtener una solución general de esta ecuación diofántica. luego m.c.d.(7, 15) = 1 de aquí que x = 1( 2) = = ( 2) 7 + ( 1)( 15) + k ( 15), con k Z 1 x = 2 15k, con k Z x = k x = 15( 1 k) + 13 x = 15q + 13, con q Z x = 13, en Z 15 luego el inverso de 7 en Z 15 es 13. (c) Inverso de 7 en Z 16. Como 7 16 son primos entre sí, 7 tendrá inverso en Z 16. Pues bien, x es el inverso de 7 en Z 16 7x = 1 en Z 16 7x 1(mód 16) en Z 16 7x 1 en Z x Z : 7x 16 = 1 Utilizaremos el algoritmo de Euclides para obtener una solución general de esta ecuación diofántica. 373

22 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas luego m.c.d.(7, 16) = 1 1 = = de aquí que = 1 = 7 3(16 2 7) = 1 = ( 16) x = k ( 16) =, con k Z 1 x = 7 16k, con k Z x = 16q + 7, (q = k), con q Z luego el inverso de 7 en Z 16 es 7. (d) Inverso de 5 en Z 13. x = 7, en Z 16 Como 13 es primo, todos los elementos de Z 13, excepto el cero, tienen inverso. Lo calcularemos utilizando un procedimiento análogo al utilizado en los apartados anteriores. x es el inverso de 5 en Z 13 5x = 1 en Z 13 5x 1(mód 13) en Z 13 5x 1 en Z x Z : 5x 13 = 1 Utilizaremos el algoritmo de Euclides para obtener una solución general de esta ecuación diofántica luego, 1 = = = 1 = 3 1(5 1 3) = ( 1) = ( 1) = = 1 = ( 1) 5 + 2(13 2 5) = ( 5) luego, de aquí que 1 = ( 5) 5 + ( 2)( 13) x = 1( 5) 1 + k ( 13) 1 =, con k Z x = 5 13k, con k Z x = k, con k Z x = 13( 1 k) + 8, con k Z x = 13q + 8, (q = 1 k), con q Z x = 8, en Z 13 luego el inverso de 5 en Z 13 es

23 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Ejemplo Escribir las tablas de sumar multiplicar en Z 5 Z 6. Z 5 = {[0], [1], [2], [3], [4] Opuestos. El opuesto de [0] es, obviamente, [0]. El opuesto de [1] es, [5 1] = [4]. El opuesto de [2] es, [5 2] = [3]. El opuesto de [3] es, [5 3] = [2]. El opuesto de [4] es, [5 4] = [1]. Inversos. Como el 5 es primo, todos los elementos de Z 5, excepto el [0] poseen inverso. El inverso de [1] es [1]. El inverso de [2] es [3]. El inverso de [3] es [2]. El inverso de [4] es [4]. Tabla de sumar. Tabla de multiplicar. Z 6 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5] Opuestos. El opuesto de [0] es [0]. El opuesto de [1] es [5]. El opuesto de [2] es [4]. El opuesto de [3] es [3]. El opuesto de [4] es [2]. El opuesto de [5] es [1]. + [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [1] [1] [2] [3] [4] [0] [2] [2] [3] [4] [0] [1] [3] [3] [4] [0] [1] [2] [4] [4] [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [2] [0] [2] [4] [1] [3] [3] [0] [3] [1] [4] [2] [4] [0] [4] [3] [2] [1] Inversos. Como el [6] no es primo, no todos los elementos de Z 6 tienen inverso. m.c.d.(1, 6) = 1, luego [1] tiene inverso, el [1]. m.c.d.(2, 6) = 2, luego [2] no tiene inverso. m.c.d.(3, 6) = 3, luego [3] no tiene inverso. m.c.d.(4, 6) = 2, luego [4] no tiene inverso. 375

24 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas m.c.d.(5, 6) = 1, luego [5] tiene inverso, el [5]. Tabla de sumar. + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [2] [2] [3] [4] [5] [0] [1] [3] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [4] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [5] [5] [0] [1] [2] [3] [4] Tabla de multiplicar. [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [0] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [0] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [0] [4] [2] [0] [1] [2] [5] [0] [5] [4] [3] [2] [1] Nota 13.5 En Z se verifica la le de cancelación, es decir, si a, b c son tres números enteros con a 0, se verifica que ab = ac = b = c En Z m esta le, en general, no se verifica, es decir pueden encontrarse a 0, b c tales que ab = ac, sin embargo, b c Por ejemplo, en Z = 2 3, sin embargo, 1 3 Obsérvese, también, que en Z no existen divisores de cero, es decir, para cualquier par de enteros a b se verifica ab = 0 = a = 0 ó b = 0 En Z m si existen divisores de cero, es decir pueden encontrarse a b tales que Por ejemplo en Z 6 se tiene que ab = 0, sin embargo, a 0 b = 0, sin embargo, Ejemplo Resolver el siguiente sistema de ecuaciones en Z 7. x + 2 = 4 4x + 3 = 4 Lo resolvemos por los tres métodos tradicionales de la matemática elemental. 376

25 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Sustitución. Despejamos x en la primera ecuación sustituimos en la segunda. Entonces, x + 2 = 4 = x = = x = x = x + 3 = 4 = 4 (4 + 5) + 3 = 4 = = 4 = = 4 = 2 = = 2 = 2 como 7 es primo, todos los elementos de Z 7 tienen inverso, luego multiplicando ambos miembros por el inverso de 2 se sigue que = 1 Pues bien, Igualación. x = = 1 Despejamos x en ambas ecuaciones. = x = = x = 2 x + 2 = 4 = x = = x = x + 3 = 4 = 2 4x = 2 4 = x + 6 = 1 = x = = x = Igualando ambos resultados, = = = = 3 = 3 = = 1 Consecuentemente, x = = x = = x = 2 = 1 Reducción. Multiplicamos la primera ecuación por 3, la segunda por 1 las sumamos. x + 2 = 4 3x + 6 = 5 = = 2 = 2 = = 1 4x + 3 = 4 4x + 3 = 4 Análogamente, multiplicando la primera por 2, la segunda por 1 sumándolas posteriormente, x + 2 = 4 2x + 4 = 1 = 4x + 3 = 4 4x + 3 = 4 = 6 = 5 = 6 1x = 6 5 = x = 2 377

26 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Ejemplo Resolver la ecuación x 2 + 3x + 4 = 0 en Z 11. x = 3 ± (3) = 3 ± = 8 ± = 8 ± 7 2 = 8 ± 4 2 = 8 ± = 8 ± 2 2 = = = = {El inverso de 2 es 6 { { 60 { Ejemplo Demostrar que en Z p, con p primo, se verifica la igualdad (x + ) p = x p + p. Por el Teorema del Binomio, tendremos p 1 ( (x + ) p = x p p + k Pues bien, ( p k ) = p! k!(p k)! k=1 ( p = k! k ( p = k! k ) x p k k + p (13.1) ) = p! (p k)! ) = p(p 1) (p k + 1) ( = p p k! k ) 378

27 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Por otra parte, como p es primo, p k serán primos entre sí para 1 < k < p, es decir, m.c.d.(p, k) = 1, 1 < k < p aplicando reiteradamente el ejemplo 13.??, tendremos que m.c.d. (p, k!) = 1 Así pues, ( p p k! k ) m.c.d. (p, k!) = 1 luego por el Lema de Euclides, es decir, o lo que es igual, para 1 < k < p en Z p. Por lo tanto, ( p k p 1 ( p k k=1 Sustituimos este resultado en (13.1) ( ) p p k ) 0(mód p) para 1 < k < p ( p k ) = 0 ) p 1 x p k k = 0x p k k = 0. k=1 (x + ) p = x p + p Ejemplo Demostrar que para p, primo, 3 p + ( 2) p + ( 1) p es divisible por p. Observemos lo siguiente: 3 p + ( 2) p + ( 1) p será divisible por p, si da resto cero al dividirlo por p, es decir, si 3 p + ( 2) p + ( 1) p 0(mód p) en Z lo cual es lo mismo que decir que 3 p + ( 2) p + ( 1) p = 0 en Z p. Así pues, si probamos esto último, tendremos resuelta la demostración. Pues bien, 3 p + ( 2) p + ( 1) p = (3 + ( 2)) p + ( 1) p {Ejemplo anterior = 1 p + ( 1) p = (1 + ( 1)) p {Ejemplo anterior = 0 p = 0, consecuentemente, el número propuesto es divisible por p. Ejemplo En el conjunto Z 5 de las clases de restos módulo 5, se pide: (a) Divisores de cero. 379

28 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas (b) Elementos invertibles. (c) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. 2x + = 2 3x + 4 = 3 (a) Veamos si Z 5 tiene divisores de cero. Recordemos que Z 5 no tiene divisores de cero a, b Z 5 : ab = 0 = a = 0 ó b = 0 por lo tanto, Z 5 tiene divisores de cero a, b Z 5 : ab = 0 a 0 b 0 Pues bien, sean a b cualesquiera de Z 5. Entonces, ab = 0 en Z 5 ab 0(mód 5) en Z 5 ab en Z 5 a ó 5 b en Z {Corolario?? a 0(mód 5) ó a 0(mód 5) en Z a = 0 ó b = 0 en Z 5 Por lo tanto, Z 5 no tiene divisores de cero. (b) Elementos invertibles. Como 5 es primo todos los elementos de Z 5, excepto el 0, son invertibles. (c) Resolvamos el sistema de ecuaciones propuesto. 2x + = 2 3x + 4 = 3 Obsérvese que la segunda ecuación es igual a la primera multiplicada por 4, luego ambas ecuaciones son equivalentes en Z 5, entonces, las soluciones serían: Para x = 0, = 2 Para x = 1, = 0 Para x = 2, = 3 Para x = 3, = 1 Para x = 4, = 4 2x + = 2 3x + 2x + = 2 + 3x = 2 + 3x : x Z 5 Ejemplo Resolver las siguientes ecuaciones en los conjuntos de clases de restos que se indican. (a) 5x = 8 en Z 6. (b) 15x = 6 en Z

29 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (c) 3x = 27 en Z 6. (d) 3x = 8 en Z 6. (e) 12x = 45 en Z 3. (a) 5x = 8 en Z 6. Como 5 6 son primos entre sí, 5 tendrá inverso en Z 6. Sea a dicho inverso. Entonces, a es el inverso de 5 en Z 6 5a = 1 en Z 6 5a 1(mód 6) en Z 6 5a 1 en Z 6 Z : 5a 6 = 1 Utilizaremos el algoritmo de Euclides para obtener la solución general de esta ecuación diofántica luego m.c.d.(5, 6) = 1 1 = = ( 1)5 + ( 1)( 6) por lo tanto, a = 1( 1) 1 + k 6, con k Z 1 a = 1 6k, con k Z a = 5 6 6k, con k Z a = 6( 1 k) + 5, con k Z a = 6q + 5, (q = 1 k) con q Z a = 5 en Z 6 Pues bien, 5x = 8 5 es el inverso de 5 = 5 5x = 5 8 = 1 x = 40 = x = 4 en Z 6 (b) 15x = 6 en Z 21. Como no son primos entre sí, 15 no tendrá inverso en Z 21. Utilizaremos, pues, un método distinto al del apartado anterior para resolver esta ecuación. 15x = 6 en Z 21 15x 6(mód 21) en Z 21 15x 6 en Z Z : 15x 21 = 6 Z : 5x 7 = 2 Utilizaremos el algoritmo de Euclides para obtener la solución general de esta ecuación diofántica

30 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas luego m.c.d.(5, 7) = 1 por lo tanto, 1 = = = 1 = 5 2(7 5 1) = 1 = ( 7) x = k 7, con k Z 1 x = 7( k) + 6, con k Z x = 7k 1 + 6, (k 1 = k) con k 1 Z Ahora bien, por el teorema de existencia unicidad del cociente el resto, para cada k 1 entero, existirán q r enteros únicos tales que es decir, luego, k 1 = 3q + r, con 0 r < 3 k 1 = 3q, ó k 1 = 3q + 1, ó k 1 = 3q + 2 x = 7 3q + 6 = x = 21q + 6 x = 7k = x = 7(3q + 1) + 6 = x = 21q + 13 x = 7(3q + 2) + 6 = x = 21q + 20 Consecuentemente, las soluciones en Z 20 son x = 6, ó x = 13, ó x = 20 (c) 3x = 27 en Z 6. Como 3 6 no son primos entre sí, 3 no tiene inverso en Z 6. Procederemos, pues, igual que en el apartado anterior. 3x = 27 en Z 6 3x = 3 en Z 6 3x 3(mód 6) en Z 6 3x 3 en Z Z : 3x 6 = 3 x = 2 + 1, con Z x = 2(3q + r) + 1, q Z 0 r < 3 (??) x = 6q + 1, q Z ó x = 6q + 3, q Z ó x = 6q + 5, q Z x = 1, en Z 6 ó x = 3, en Z 6 ó x = 5, en Z 6 (d) 3x = 8 en Z 6. Dado que 3 6 no son primos entre sí, 3 no tiene inverso en Z 6. Procederemos, pues, igual que en el apartado anterior. 3x = 8 en Z 6 3x 8(mód 6) en Z 8 3x 8 en Z Z : 3x 6 = 8 Pero el máximo común divisor de 3 6 no divide a 8, luego la ecuación anterior no tiene solución en Z, consecuentemente, la ecuación propuesta tampoco la tiene en Z

31 Matemática Discreta (e) 12x = 45 en Z 3. Obsérvese que luego, 12 = 0 en Z 3 45 = 0 en Z 3 12x = 45 en Z 3 0 x = 0 en Z 3 Francisco José González Gutiérrez x es cualquiera de Z 3 x = 0 ó x = 1 ó x = Euler, Fermat Wilson Estudiaremos en este apartado tres importantes teoremas sobres congruencias. Introduremos previamente la función de Euler 1 que nos permitirá demostrar con facilidad tales teoremas Función φ de Euler Dado un número entero positivo m, definimos la función φ(m) como el número de enteros positivos primos con m que sean menores o iguales que m. Su expresión es φ(m) = 1 0<rm siendo m.c.d.(r, m) = 1. A φ(m) la llamaremos función de Euler del número m. Ejemplo Por ejemplo, φ(1) = 1 φ(2) = 1 φ(3) = 2 φ(4) = 2 φ(5) = 4 φ(6) = 2 φ(7) = 6 1 Leonhard Euler (Basilea 1707-San Petesburgo 1783), aprendió matemáticas de su padre que había estudiado con Jacques I Bernouilli. Fue enviado a estudiar teología a Basilea, donde siguió el curso de Jacques I Bernouilli, con cuos hijos le unió una gran amistad. Cuando éstos fueron llamados a San Petesburgo por Catalina I, Euler los siguió en 1732, allí sucedió a Daniel Bernouilli en la cátedra de matemáticas. Desgraciadamente, en 1735, una congestión cerebral le hizo perder el ojo derecho, una ceguera progresiva le afligió durante buena parte de su existencia. En 1736 publicó un tratado completo de mecánica, en el cual aplicó el análisis matemático a la ciencia del movimiento. En 1741 fue invitado a Berlín por Federico II, que en 1744 le nombró director de la clase de matemáticas de la Academia de Berlín. En esta época construó su Teoría de los isoperímetros, que permite determinar las curvas o las superficies para las cuales ciertas funciones indefinidas son maores o menores que para todas las otras. Este problema sólo había recibido antes soluciones parciales. Euler desarrolló el método contenido en estas soluciones parciales lo definió en fórmula general. También publicó Teoría del movimiento de los planetas de los cometas Teoría de la imantación, resolvió para el re de Prusia los principales problemas de balística. Con todo, sus dos grandes obras de análisis son Introducción al análisis de los infinitésimos (1748) e Instituciones del cálculo diferencial (1755), que han sido clásicas durante mucho tiempo. Regresó a San Petesburgo en 1766, perdió el ojo que le quedaba, a pesar de lo cual siguió trabajando. De 1768 a 1770 aparecieron sus Instituciones del cálculo integral. Aunque una operación de cataratas le devolvió parcialmente al vista, su curación no fue completa. Murió de un ataque de apoplejía. 383

32 Universidad de Cádiz φ(8) = 4 Departamento de Matemáticas Nota 13.6 Obsérvese que si p es un número primo, entonces todos los enteros positivos menores que p son primos con p, luego φ(p) = p Teorema de Euler Si a es invertible en Z m, entonces a φ(m) = 1 en Z m. Demostración Supongamos que en Z m ha k elementos invertibles r 1, r 2,, r k. Entonces, m.c.d.(r i, m) = 1, 1 i k luego φ(m) = k. Veremos que ar 1, ar 2,, ar k son también k elementos invertibles en Z m. En efecto, ar i es invertible en Z m para 1 i k (supondremos a 1 en Z m para evitar el caso trivial). En efecto, a es invertible en Z m = m.c.d.(a, m) = 1 r i es invertible en Z m = m.c.d.(r i, m) = 1 (??) = m.c.d.(ar i, m) = 1 = ar i es invertible en Z m Probaremos ahora que los ar i, 1 i k son distintos dos a dos, es decir también ha k elementos invertibles de la forma ar i. En efecto, si i j, sin embargo, ar i = ar j, entonces si a 1 es el inverso de a, tendremos lo cual es imposible a que r i r j. ar i = ar j = a 1 ar i = a 1 ar j = r i = r j Veamos ahora que ar i = r j con i j en Z m. En efecto, por el teorema de existencia unicidad del cociente resto, existen enteros q i r, únicos, tales que ar i = mq i + r : 0 < r < m. Pues bien, sea d = m.c.d.(m, r). Entonces d r d m = d mq i = d mq i m + r = d ar i luego d m d ar i = d m.c.d.(m, ar i) = d 1 = d = 1 = m.c.d.(m, r) = 1 = r es invertible en Z m = r = r j, con j i 384

33 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Si ahora multiplicamos miembro a miembro ar i = r k, 1 i, j k reordenamos, ar 1 ar 2 ar k = r 1 r 2 r k en Z m o sea, a k r 1 r 2 r k = r 1 r 2 r k en Z m como m.c.d.(r 1 r 2 r k, m) = 1 (??) resulta que r 1 r 2 r k es invertible. Bastaría multiplicar ambos miembros por su inverso para obtener a k = 1 en Z m es decir, a φ(m) = 1 en Z m El segundo de los teoremas es, en realidad, un corolario al teorema de Euler se debe a Fermat Corolario (Fermat) Si a es invertible en Z p con p primo, entonces a p 1 = 1 en Z p Demostración En efecto, al ser p primo, será φ(p) = p 1. Aplicamos el teorema de Euler para m = p, a p 1 = 1 en Z p Ejemplo Encontrar el resto que se obtiene al dividir entre 7. Por el teorema de existencia unicidad de cociente resto, existirán q r, enteros únicos tales que = 7q + r, 0 r < 7 luego, Bastará, pues, con resolver esta ecuación = r en Z 7. Como m.c.d.(23, 7) = 1, 23 es invertible en Z 7, además 7 es primo luego por el teorema de Fermat, 23 6 = 1 en Z 7. 2 Pierre de Fermat, matemático francés (Beaumont-de-Lomagne 1601-Castres 1665). Fue consejero del parlamento de Tolouse (1631). Pascal le llamó el primer hombre del mundo on siempre pudo seguirle en sus investigaciones. Fermat que rara vez publicaba sus descubrimientos, e incluso olvidaba anotar las demostraciones matemáticas que iba encontrando, por lo que gran número de sus trabajos se han perdido. D Alambert, Lagrange Laplace le concedieron el honor de haber tenido la primera idea sobre el cálculo diferencial. Desde 1636, las cartas de Fermat prueban que a representaba las curvas mediante ecuaciones, antes de la publicación de la geometría de Descartes. Asimismo, es opinión de Laplace que Fermat debía compartir con Pascal el honor de haber inventado el cálculo de probabilidades. Sus principales escritos fueron publicados por su hijo Samuel (1679), con el título de Varia opera mathematica. En ellos se encuentran enunciados varios principios teoremas que en la actualidad son conocidos estudiados. 385

34 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas Por otra parte, 2587 = luego, = ( 23 6) Entonces, 23 6 = 1 en Z 7 = ( 23 6) 431 = 1 en Z7 = ( 23 6) = 2 en Z7 = = 2 en Z 7 23 = 2 en Z 7 es decir el resto buscado es 2. Ejemplo Calcular el resto de dividir 3 47 entre 23. Al igual que en el ejercicio anterior, el teorema de existencia unicidad de cociente resto asegura la existencia de dos enteros, q r, únicos tales que esto es lo mismo que decir que 3 47 = 23q + r, 0 r < = r en Z 23. Pues bien, como 3 23 son primos entre sí, 3 es invertible además 23 es primo, luego por el teorema de Fermat, 3 22 = 1 en Z 23. Por otra parte, luego 3 22 = 1 en Z 23 = ( 3 22) 2 = 1 en Z = 4 en Z = = ( 3 22) 3 3 = ( 3 22) = 1 4 en Z 23 = 3 47 = 4 en Z 23, consecuentemente, el resto pedido es 4 Ejemplo Demostrar que el número ( 27 4) 9 ( 25 3 ) 6 es divisible por 37. Probaremos que En efecto, ( 27 4 ) 9 ( 25 3 ) 6 = 0 en Z37 ( 27 4 ) 9 ( 25 3 ) 6 = al ser 37 un número primo, 27 5 serán primos con él, luego ambos son invertibles en Z 37. Aplicando el teorema de Fermat, = 1 en Z 37 = = 0 en Z 37 = ( 27 4) 9 ( 25 3 ) 6 = 0 en Z = 1 en Z 37 es decir el número propuesto es divisible por 37 Ejemplo Demostrar: (a) Si a = b en Z mi 1 i k, entonces a = b en Zm.c.m.(m 1,m 2,...,m k ) 386

35 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez (b) es divisible por (a) Si a = b en Z mi 1 i k, entonces a = b en Zm.c.m.(m 1,m 2,...,m k ) En efecto, a = b en Z mi, i = 1, 2,..., k a b = 0 en Z mi, i = 1, 2,..., k m i a b, i = 1, 2,..., k = m.c.m. (m 1, m 2,..., m k ) a b a b = 0 en Zm.c.m.(m 1,m 2,...,m k ) a = b en Zm.c.m.(m 1,m 2,...,m k ) (b) es divisible por Probaremos que = 0 en Z En efecto, como 3, son primos, 2 es invertible en Z 3, Z 13 Z 23, luego por el teorema de Fermat, Aplicando el apartado (a) 2 2 = 1 en Z = 1 en Z = 1 en Z = 1 en Z 3 = ( 2 2) 66 = 1 en Z3 = = 1 en Z = 1 en Z 13 = ( 2 12) 11 = 1 en Z13 = = 1 en Z = 1 en Z 23 = ( 2 22) 6 = 1 en Z23 = = 1 en Z 23 como m.c.m. (3, 13, 23) = , resulta = 1 en Zm.c.m.(3,13,23) = 1 en Z es decir, = 0 en Z , consecuentemente, es divisible por Ejemplo Demostrar que para cualquier entero positivo n, siempre se verifica que n 37 n es divisible por (Sugerencia: = ). Sea n cualquiera de Z +. Por el teorema de existencia unicidad del cociente resto, existirán q 1, q 2, q 3, 387

36 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas q 4, q 5, q 6 r 1, r 2, r 3, r 4, r 5, r 6, enteros únicos tales que n = 37q 1 + r 1, 0 r 1 < 37 n = 19q 2 + r 2, 0 r 2 < 19 n = 13q 3 + r 3, 0 r 3 < 13 n = 7q 4 + r 4, 0 r 4 < 7 n = 3q 5 + r 5, 0 r 5 < 3 n = 2q 1 + r 6, 0 r 6 < 2 es decir, tales que Ahora bien, 37, 19, 13, 7, 3 2 son primos, luego n = r 1 en Z 37 n = r 2 en Z 19 n = r 3 en Z 13 n = r 4 en Z 7 n = r 5 en Z 3 n = r 6 en Z 2 m.c.d.(r 1, 37) = 1 m.c.d.(r 2, 19) = 1 m.c.d.(r 3, 13) = 1 m.c.d.(r 4, 7) = 1 m.c.d.(r 5, 3) = 1 m.c.d.(r 6, 2) = 1 es decir, r 1, r 2, r 3, r 4, r 5 r 6 son invertibles en Z 37, Z 19, Z 13, Z 7, Z 3 Z 2, respectivamente. Aplicamos el teorema de Fermat, r 36 1 = 1 en Z 37 r 18 2 = 1 en Z 19 = r 36 2 = 1 en Z 19 r 12 3 = 1 en Z 13 = r 36 3 = 1 en Z 13 r 6 4 = 1 en Z 7 = r 36 4 = 1 en Z 7 r 2 5 = 1 en Z 3 = r 36 5 = 1 en Z 3 r 6 = 1 en Z 2 = r 36 6 = 1 en Z 2 n = r 1 en Z 37 = n = r 1 en Z 37 n = r 2 en Z 19 = n 36 = r 36 2 en Z 19 n = r 3 en Z 13 = n 36 = r 36 3 en Z 13 n = r 4 en Z 7 = n 36 = r 36 4 en Z 7 n = r 5 en Z 3 = n 36 = r 36 5 en Z 3 n = r 6 en Z 2 = n 36 = r 36 6 en Z 2 388

37 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez por lo tanto, n 36 = 1 en Z 37 n 36 = 1 en Z 19 n 36 = 1 en Z 13 n 36 = 1 en Z 7 n 36 = 1 en Z 3 de aquí que por el ejercicio anterior, n 36 = 1 en Z 2 es decir, o sea, como tendremos que, consecuentemente, o lo que es igual n 36 = 1 en Zm.c.m.(37,19,13,7,3,2) n 36 = 1 en Z n 36 = 1 en Z n = n en Z n 37 = n en Z n 37 n = 0 en Z n 37 n es divisible por En 1770, el matemático inglés Edward Waring publicó en Meditationes Algebraicae varios teoremas nuevos. Uno de ellos refleja una importante propiedad de los números primos. Lleva el nombre de John Wilson, alumno de Waring Teorema de Wilson Si p es un número primo, entonces (p 1)! = 1 en Z p. Demostración Como p es primo, todos los elementos de Z p, excepto el 0, son invertibles. Además, los únicos elementos de Z p que coinciden con sus inversos son 1 p 1. En efecto, sea r cualquiera de Z p sea x su inverso. Entonces, x = r r r = 1 en Z p r 2 1 = 0 en Z p (r + 1)(r 1) = 0 en Z p p (r + 1)(r 1) p r + 1 ó p r 1 {p es primo r + 1 = 0 ó r 1 = 0 en Z p r = 1 ó r = 1 en Z p r = p 1 ó r = 1 en Z p 389

38 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas por lo tanto, x r r 1 r p 1 en Z p es decir, r {2, 3,..., p 2 x {2, 3,..., p 2 luego el producto de todos ellos es 1 en Z p, o sea, 2 3 (p 2) = 1 en Z p como p 1 = 1 en Z p multiplicando ambas igualdades miembro a miembro, 2 3 (p 2)(p 1) = 1( 1) en Z p, consecuentemente, (p 1)! = 1 en Z p Ejemplo Demostrar que 138! es divisible por 139. Probaremos que 138! = 0 en Z 139. En efecto, 139 es primo, luego por el teorema de Wilson, (139 1)! = 1 en Z 139 es decir, 138! = 1 en Z 139 Por otra parte, son primos entre sí, luego por el teorema de Fermat, = 1 en Z 139 o sea, en Z 139 sumando ambos resultados, 138! = 0 en Z 139 Consecuentemente, 138! es divisible por Teorema Chino del Resto En este apartado, estableceremos el Teorema Chino del resto, resultado que aparece en los más importantes manuscritos chinos de la antigüedad, como en los trabajos de Sun Tsu en el siglo I. También, en esa misma época, es conocido por el neopitagórico Nicómaco. 3 3 Vivió cerca de Jerusalén alrededor del año 100. Parece ser que tenía ascendencia siria, pero lo cierto es que en su obra predominan las tendencias filosóficas griegas. Es autor de la Introductio Aritmeticae de la que nos han llegado sólo dos libros, pero es posible que ésta sea solamente una versión abreviada de un tratado originalmente más extenso. Esta obra comienza con la a veterana clasificación pitagórica de los números pares e impares, siguen las definiciones de los números primos, compuestos perfectos, incluendo una descripción de la criba de Eratóstenes una lista de los cuatro primeros números perfectos (6,28, ). La obra inclue también una clasificación de las razones de las combinaciones de razones (puesto que las razones entre enteros son esenciales para la teoría pitagórica de los intervalos musicales), un amplio tratamiento del tema favorito de la aritmética pitagórica, los números figurados en dos tres dimensiones, una exposición exhaustiva de los diversos tipos de medias (de nuevo un tema favorito de la matemática de la filosofía pitagóricas). Como tantos otros escritores, Nicómaco considera al 3 como el primer número en el estricto sentido de la palabra, a que 1 2 no eran en realidad números, sino sólo los generadores de la sucesión numérica, además, para Nicómaco los números estaban dotados de cualidades tales como mejor o peor, más joven o más viejo, etc..., podían transmitir estos caracteres, como los padres a sus hijos. La Introductio no tenía la intención de ser un tratado de cálculo ni de álgebra, sino un manual conteniendo aquellos elementos de la matemática que resultaban esenciales para entender la filosofía pitagórica platónica, en este sentido sirvió como modelo para muchos imitadores comentadores posteriores. 390

39 Matemática Discreta Francisco José González Gutiérrez Teorema Si m 1, m 2,, m k son enteros positivos primos entre sí dos a dos, entonces el sistema de ecuaciones, tiene solución única en Z m1 m 2 m k. Demostración x = a 1 en Z m1 x = a 2 en Z m x = a k en Z mk Primero obtendremos una solución, probando así su existencia, luego demostraremos que es única. En efecto, sea x una combinación lineal con coeficientes enteros de las soluciones a i en Z mi para cada i = 1, 2,, k, es decir, x = c 1 a 1 + c 2 a c k a k (13.2) Si ahora elegimos los coeficientes c i (1 i k) de tal manera que c i = 1 en Z mi c i = 0 en Z mj, para j i tendremos que c 1 = 1 en Z m1 c 1 = 0 en Z mj, para j 1 c 2 = 1 en Z m2 c 2 = 0 en Z mj, para j 2 = x = a 1 en Z m1 = x = a 2 en Z m c k = 1 en Z mk c k = 0 en Z mj, para j k = x = a k en Z mk luego la x dada por la expresión (13.2) sería solución simultánea de todas las ecuaciones propuestas. Centremos, pues, nuestra atención en obtener estos coeficientes. Empecemos por c 1. Por hipótesis los m i son primos entre sí dos a dos, es decir, m.c.d.(m i, m j ) = 1, i j, 1 i, j k Entonces, aplicando reiteradamente el ejercicio?? m.c.d.(m 2, m 1 ) = 1 m.c.d.(m 3, m 1 ) = 1 = m.c.d.(m 2 m 3, m 1 ) = 1 m.c.d.(m 2 m 3, m 1 ) = 1 m.c.d.(m 4, m 1 ) = 1 así sucesivamente, llegaríamos a que = m.c.d.(m 2 m 3 m 4, m 1 ) = 1 m.c.d.(m 2 m 3 m k, m 1 ) = 1 391