Matemática Discreta. Clase 2. Reglas de la suma y del producto Permutaciones

Transcripción

1 Matemática Discreta Clase 2 Reglas de la suma y del producto Permutaciones 1

2 Combinatoria Enumerativa o El Arte de Saber Contar. o, mejor dicho, El Arte de Contar sin Contar. (Nos interesa saber cuántas patentes pueden ser formadas con dos letras y cuatro dígitos, pero no tenemos ninguna gana de escribirlas todas y después contarlas... ) 2

3 Para saber y contar... Es necesario tener la cabeza despejada. Es mejor saber unos pocos principios básicos y estar dispuesto(a) a pensar cómo aplicarlos, que saberse cien fórmulas distintas y ponerse a pensar cuál de todas se aplica en un caso dado. (Si el problema es realmente interesante/difícil, lo más probable es que ninguna sirva). A continuación estudiaremos algunos de esos principios básicos. 3

4 Ejemplos En la biblioteca del Campus San Joaquín hay 10 libros de matemática discreta en inglés y hay otros 25 en castellano. Un estudiante desea escoger un libro para estudiar. De cuántas maneras puede escoger un libro? En un multicine se exhiben 3 películas de terror, 4 de ciencia ficción y 2 cómicas. De cuántas maneras puede escogerse una película de este multicine? 4

5 La regla de la suma Si una tarea puede realizarse de m maneras distintas y otra puede realizarse de n maneras distintas, entonces la cantidad de maneras de llevar a cabo exactamente una de ellas es m + n. 5

6 Regla generalizada de la suma Si una tarea puede realizarse de n 1 maneras distintas, otra de n 2 maneras distintas, y así sucesivamente hasta llegar a una k-ésima tarea que puede ser realizada de n k maneras distintas, entonces la cantidad de maneras de llevar a cabo exactamente una de ellas es n 1 + n n k. 6

7 Más ejemplos En un restaurant sirven 5 platos distintos y 4 postres distintos. De cuántas maneras puede elegirse un almuerzo que conste de un plato y un postre? En la confección de las patentes se usan 26 letras y 10 dígitos. Cuántas patentes distintas pueden hacerse? 7

8 La regla del producto Si una tarea puede realizarse de m maneras distintas y otra puede realizarse de n maneras distintas, entonces la cantidad de maneras de llevar a cabo la primera tarea seguida de la segunda es m n. 8

9 Regla generalizada del producto Si una tarea puede realizarse de n 1 maneras distintas, otra de n 2 maneras distintas, y así sucesivamente hasta llegar a una k-ésima tarea que puede ser realizada de n k maneras distintas, entonces la cantidad de maneras de llevar a cabo exactamente una de ellas es n 1 n 2... n k. 9

10 Aplicación: Permutaciones Los 11 jugadores titulares de la Copa Libertadores de América quieren posar para una foto. Si se desea que en la foto aparezcan dos filas de jugadores, una más atrás con seis jugadores de pie y otra más adelante con cinco jugadores de rodillas, De cuántas maneras pueden aparecer los jugadores en la foto? Cuántas fotos distintas pueden sacarse si en lugar de ordenar a los jugadores de la manera mencionada se desea que aparezcan sólo cuatro jugadores, uno al lado del otro? 10

11 Una primera fórmula La manera de ordenar linealmente r elementos elegidos de entre n es P (n, r) = n (n 1) (n 2)... (n r + 2) (n r + 1) = = n (n 1) (n 2) (n r) (n r 1) (n r 2) n! (n r)!. En particular, el número de permutaciones de n elementos es P (n, n) = n!. 11

12 Permutaciones con elementos repetidos Cuántas palabras (secuencias de letras) se pueden obtener reordenando todas las letras de la palabra PELO? R. 4!. Y cuántas palabras se pueden obtener reordenando todas las letras de la palabra POLO?...? 12

13 Interludio: dos técnicas útiles Dos conceptos que nos pueden ayudar a contar más efectivamente son: Contar de más Ejemplo: cómo contar un rebaño de jirafas en el Serengueti. Contar de dos maneras distintas Ejemplo: demostrar que en una reunión social, el número de personas que estrechó la mano de un número impar de personas es par. 13

14 Permutaciones con repeticiones (cont.) En lugar de contar de cuántas maneras se pueden reordenar las letras de la palabra POLO, pensemos de cuántas maneras se pueden reordenar las letras de PO 1 LO 2. Éstas son 4! = 24. Notamos que a cada ordenación de letras de POLO le corresponden dos órdenes de letras de PO 1 LO 2. Por lo tanto, la cantidad de maneras de reordenar las letras de POLO es 4!/2 = 24/2 =

15 Otros tipos de permutaciones 15