Estrategia evolutiva para el problema de la supersecuencia común más corta

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1 Estrategia evolutiva para el problema de la supersecuencia común más corta Marcela Rivera Martínez Facultad de Ciencias de la Computación, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Luis René Marcial Castillo Facultad de Ciencias de la Computación, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla María de Lourdes Sandoval Solís Facultad de Ciencias de la Computación, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Sira Allende Alonso Facultad de Matemática y Computación, Universidad de la Habana sira@matcom.uh.cu Resumen El problema de la supersecuencia común más corta es un problema NP y tiene aplicaciones en compresión de datos, ingeniería mecánica, biología molecular y planeación entre otros. Este problema ha sido abordado de diversas formas, en este trabajo se propone modelar el problema de la supersecuencia común más corta con una estrategia evolutiva. Se presentan varios experimentos usando problemas prueba reportados en la literatura y se comparan los resultados con los obtenidos en otros trabajos. Palabras clave: supersecuencia común más corta; estrategia evolutiva; job shop. 1 Introducción El problema de la supersecuencia común más corta (shortest common supersequence, SCS) es un problema NP-duro bajo ciertas restricciones concernientes al tamaño del alfabeto y la longitud de las cadenas [10, 20]. El problema de la SCS tiene aplicaciones en compresión de datos, ingeniería mecánica, planeación y biología molecular entre otros [12]. El problema de la supersecuencia común más corta está dado de la siguiente forma: Dado un lenguaje L sobre un alfabeto, se desea encontrar una de las cadenas w de menor longitud que sea una supersecuencia de L. Se dice que S es una supersecuencia de una cadena T, si S se puede obtener desde T mediante la inserción de cero o más símbolos de la misma cadena. Ejemplo: Dado = {a, b} y L = {ab, ba}; las siguientes cadenas son supersecuencias de L: abba, aabba, aba, bab. No son las únicas, existen muchas más, se dice que todas ellas son supersecuencias porque cada una de ellas contiene a todas las cadenas de L (aún cuando no las contengan de manera contigüa). Ahora bien, las supersecuencias

2 comunes más cortas son dos y son: S = aba y S = bab. Ambas son supersecuencias de L y son las más cortas porque ambas son de longitud 3, se denota: S = 3, es decir, la supersecuencia puede no ser única. Existen diferentes formas de resolver el problema de la SCS, entre ellas se tienen: Algoritmos secuencia por secuencia. Este tipo de algoritmos construyen la supersecuencia tomando pares de cadenas, la forma de elegir esos pares de cadenas varía dependiendo del algoritmo, entre ellos tenemos el algoritmo de programación dinámica [6], el algoritmo de torneo, etc. Algoritmos de reducción y/o expansión. Inician con alguna supersecuencia común del lenguaje L y van eliminando (y/o expandiendo) dicha supersecuencia, entre ellos están el algoritmo de reducciónexpansión [11], el algoritmo de Hubbell-Morris-Winkler [7], etc. Algoritmos símbolo por símbolo. La supersecuencia se construye símbolo a símbolo considerando algún factor que involucra a todas las cadenas del Lenguaje, Majority Merge [3], H1, H2, H3 [2, 16] son algoritmos de éste tipo. Debido a la complejidad del problema, se han abordado varias formas de resolver el problema, algunas de ellas combinan heurísticas específicas del problema con alguna heurística clásica. En este trabajo se modela el problema proponiendo una estrategia evolutiva, para ello se considera la función de aptitud como la longitud de la suepersecuencia común, en donde se utilizan dos reducciones distintas, se propone una representación del espacio de soluciones y se llevan a cabo dos diferentes tipos de mutaciones con el fin de resolver el problema de la SCS. En la siguiente sección se dará un bosquejo general de las estrategias evolutivas, para posteriormente presentar el algoritmo que resuelve el problema de la SCS y explicar en la siguiente subsección cada uno de los puntos del algoritmo; la sección 3 muestra los experimentos que se llevaron a cabo en este trabajo así como los resultados obtenidos; las conclusiones se exponen en la sección 4 y finalmente se listan las referencias consultadas para el desarrollo de éste trabajo. 2. Estrategia evolutiva Esta técnica de optimización basada en el principio de evolución de Darwin, fue originalmente desarrollada por Rechenberg [14, 15] y llevada a su forma actual por Schwefel [17, 18]. Imitan principios de la evolución natural, asociando el concepto de individuo o miembro a una solución factible del problema, y el de población a un conjunto de individuos (soluciones factibles). Los individuos se evalúan a través de una función de aptitud (fitness) que corresponde a una medida de la calidad del individuo como solución del problema [9]. La recombinación de los individuos permite la evolución de una población de generación en generación Algoritmo A continuación se presenta el algoritmo utilizado en la solución del problema de la supersecuencia común más corta. Entrada: Lenguaje L y alfabeto 1. Generar la población inicial 2. Desde 1 hasta la cantidad de generaciones hacer 2.1 Evaluar la población de forma colectiva 2.2 Seleccionar la población a mutar 2.3 Desde 1 hasta la cantidad de cadenas a mutar Aplicar mutación Evaluar individualmente Seleccionar la nueva población

3 2.4 Fin de Fin de 2 SALIDA: Supersecuencia común de L bajo el alfabeto así como la longitud de dicha supersecuencia Modelación del problema El problema de la supersecuencia común más corta, está conformado por un conjunto k de cadenas c i cada una de ellas de tamaño n i. El cromosoma se representa con valores enteros de tamaño n 1 +n 2 + n k, y cada valor entero entre 1 y k, de esta forma la población inicial se genera concatenando aleatoriamente todas las cadenas en L, esto garantiza que toda la población inicial sea factible. En este algoritmo se presentan dos evaluaciones una colectiva y otra individual que aparece en la parte de mutación. La evaluación de forma colectiva, se refiere a que todos los individuos de la población serán evaluados de acuerdo a una función de aptitud. La función de aptitud está dada por la longitud de la supersecuencia común más pequeña obtenida al aplicarle dos reducciones: R1 seguida de R2 y viceversa [13]. La primera reducción (R1) consiste en dada la supersecuencia común de L (S ), es decir, un individuo de la población inicial, de tamaño p considerando S de izquierda a derecha, ir marcando en una matriz M kxp aquellos caracteres que correspondan a la cadena k de L, hacer esto para cada cadena que está en L, posteriormente, eliminar de S aquellos caracteres que correspondan a las columnas cuya suma al final de revisar todas las cadenas de L sea cero, lo cual significa que el símbolo no se utiliza. Ejemplo: Dado = {a, b} y L = {ab, ba} y la cadena w = abba, se aplica R1. Se construye una matriz M 2x4, se verifica para la primera cadena de L (ab) y se marcan en la matriz de izquierda a derecha la posición cuyo carácter coincida con el símbolo de la cadena del lenguaje, lo mismo se hace para la cadena restante de L y al final se suman la cantidad de columnas marcadas, se obtiene lo siguiente: a b b a X X M X X Como se puede observar la tercera columna tiene un valor de cero, lo cual significa que se puede prescindir de ésta. En la segunda reducción (R2) se realiza el mismo procedimiento pero se hace considerando S de derecha a izquierda. Ejemplo: Dado = {a, b} y L = {ab, ba} y la cadena w = abba, se aplica R2. Se construye una matriz M 2x4, se verifica para la primera cadena de L (ab) y se marcan en la matriz de derecha a izquierda la posición cuyo carácter coincida con el símbolo de la cadena del lenguaje, lo mismo se hace para la cadena restante de L y al final se suman la cantidad de columnas marcadas, se obtiene lo siguiente: a b b a X X M X X Como se puede observar la segunda columna tiene un valor de cero, lo cual significa que se puede prescindir de ésta, es decir, se puede eliminar el símbolo correspondiente a la columna y seguir siendo una supersecuencia común. La selección de los individuos a mutar, se realiza de manera elitista considerando a aquellos que tengan una mejor evaluación, dado que el problema es de minimización, serán aquellos que tengan una menor evaluación en la función de aptitud.

4 Para el problema de la supersecuencia común más corta, se aplican dos tipos de mutación: la mutación por inversión y la mutación por desplazamiento. En la mutación por inversión, se generan dos números diferentes aleatorios entre 1 y p-1 posteriormente se invierte la subcadena correspondiente. Ejemplo: Sea el individuo , si los valores de las posiciones generados aleatoriamente son el 2 y el 5, lo cual correspondería las subcadena cuyos elementos son , y la inversión de dicha subcadena resulta ser , por lo tanto el individuo mutado es: La mutación por desplazamiento, realiza un corrimiento hacia la derecha, esto es, todos los alelos se recorren una posición hacia la derecha, en el caso del primer elemento, se hace de forma circular, pasando a ser ahora el último elemento. Ejemplo: Dado el individuo , el nuevo individuo mutado es: Posteriormente a esto, se evalúa de manera individual, esta evaluación, se aplica a los individuos mutados, para ello se forma una nueva función de aptitud la cual consiste de una reducción símbolo por símbolo seguida de una reducción por intercambio de izquierda a derecha y se finaliza con una reducción por intercambio de derecha a izquierda [4]. A continuación se describen cada una de éstas reducciones. La reducción símbolo por símbolo consiste en ir eliminado un símbolo cada vez, en orden consecutivo, desde 1 hasta p (longitud de S ), donde S es el tamaño de la concatenación aleatoria de las cadenas de L, seguido de esto se verifica que la nueva cadena encontrada w, sea una supersecuencia común de L bajo el alfabeto, si la cadena cumple con lo anterior es considerada, en caso contrario no se considera. En la reducción por intercambio de izquierda a derecha se realizan permutaciones de los símbolos en las posiciones j y j+1 desde 1 hasta p-1, verificándose posterior a esto que la cadena obtenida sea una supersecuencia común de L bajo, si la cadena cumple con lo anterior es considerada, en caso contrario no se considera. La reducción por intercambio de derecha a izquierda es similar, salvo que ahora se intercambian los símbolos desde p hasta 2. A continuación se selecciona la nueva población de manera elitista. 3 Experimentos y resultados El problema de transformar un job shop en un flow shop puede verse como el problema de la supersecuencia común más corta, cuando se desea minimizar la cantidad de máquinas donde todos los trabajos se ejecuten en un orden específico, la analogía que se utiliza es la siguiente: el alfabeto estará constituido por las máquinas y el lenguaje contendrá las secuencias [5]. Se utilizaron cuarenta problemas prueba correspondientes a instancias de job shop: la01-la20 [8], orb01-orb10 [1] y swv01-swv10 [19]. Las pruebas se realizaron en una máquina Intel Core i7, 2.2 Ghz, 8 Gb RAM. Se utilizaron 15 generaciones, un porcentaje de mutación del 10% y una población inicial de 18*m individuos, donde m es la cantidad de cadenas. Los resultados se presentan a continuación, en una tabla, la cual tiene la siguiente estructura: la primera columna nos indica el nombre del archivo de prueba (la, orb, swv), la segunda columna proporciona la cantidad de trabajos (n), la cantidad de máquinas (m) se reporta en la tercera columna, la cuarta columna es el resultado reportado en [4] en donde se resuelve el problema utilizando un algoritmo de búsqueda tabú, el valor que se presenta en la quinta columna corresponde a los resultados reportados en [13] aquí se utiliza una colonia de hormigas para resolver el problema, los resultados reportados tanto en [4] como en [13] son los mejores resultados reportados en la literatura para este problema, la columna seis muestra los resultados obtenidos en ése trabajo.

5 Tabla1: Resultados para los problemas la s NOMBRE n m FRAMIÑAN ACO EE la la la la la la la la la la la la la la la la la la la la Como puede observarse en la tabla 1, en donde se encuentran subrayados loe mejores valores encontrados, de los veinte problemas prueba, en 16 el resultado obtenido por la estrategia evolutiva logra igualar al mejor encontrado y reportado por Framiñan y/o Rajendran, en cuatro problemas, no encuetra el mejor reportado y en un problema mejora al mejor reportado en [4] y [13]. En la tabla 2 se observa que la estrategia evolutiva llega al mismo resultado que el mejor reportado en 9 ocasiones de 20 problemas prueba, no logra igual el mejor resultado reportado en 9 de veinte (valores en cursiva) y la estrategia evolutiva mejora el resultado en 1 problema. Por lo tanto, de los cuarenta problemas prueba, se tiene que la estrategia evolutiva mejora los resultados en un 5%, se iguala en un 62.5% y en un 30% no llega al resultado reportado en [4] y/o 13.

6 Tabla 2: Resultados para los problemas orb s y swv s NOMBRE n m FRAMIÑAN ACO EE orb orb orb orb orb orb orb orb orb orb swv swv swv swv swv swv swv swv swv swv Conclusiones Se presenta una nueva forma de solucionar el problema de la supersecuencia común más corta. Se verifica la propuesta con problemas prueba de la literatura y al compararse con resultados de otras técnicas se obtienen buenos resultados. Como trabajo futuro, se implementarán otras variantes de la estrategia evolutiva. Referencias 1. D. Applegate, W. Cook. A computational study of the job-shop problem. ORSA Journal of Computing, 3, , J. Branke, M Middendorf, F. Schneider. Improved heuristic and a genetic algorithm for finding short supersequences. OR Spektrum. Vol. 20, 39 45, D. Foulser, M. Li, Q. Yang. Theory and algorithms for plan merging, Artificial Intelligence. vol. 5, , J. M. Framiñan. Efficient heuristic approaches to transform job shops into flow shops. IIE Transactions, 37, , 2005.

7 5. J. M. Framiñan and R. Ruiz-Usano. On transforming job-shops into flow-shop, Production Planning and Control, 13, , C. B. Fraser, R. W. Irving. Approximation algorithms for the shortest common supersequence. Nordic Journal of Computing. Vol. 2, , E. A. Hubbell, M. S. Morris, and J. L. Winkler. Computeraided engineering system for design of sequence arrays and lithographic masks. US Patent , S. Lawrence. Resource constrained project scheduling: an experimental investigation of heuristic scheduling techniques, Technical report, Carnegic-Mellon University, Pittsburgh, PA, Z. Michalewicz. Genetic Algorithms+Data Structures=Evolution Programs, 3a ed., Springer, M. Middendorf. More on the complexity of common superstring and supersequence problems. Theoretical Computer Science. Vol. 125, , K. Ning and Hon Wai L. Towards a better solution to the shortest common supersequence problem: the deposition and reduction algorithm. BMC Bioinformatics. 7(4):S12, S. Rahmann. The shortest common supersequence problem in a microarray production setting Approximation algorithms for the shortest common supersequence. Bioinformatics, Vol. 19, , S. Rajendran, C. Rajendran and H. Ziegler. An Ant-Colony Algorithm to Transform Jobshops into Flowshops: A Case of Shortest-Common-Supersequence Stringology Problem. Bio-Inspired Models of Network, Information, and Computing Systems Lecture Notes of the Institute for Computer Science, Social Informatics and Telecomunications Engineering. Vol. 87, , I. Rechenberg. Evolutions strategie 94, Frommann-Holzboog Verlag, I. Rechenberg. Evolutions strategie: Optimierung Technischer Systeme Nach Prinzipien Der Biologischen Evolution, Frommann-Holzboog, Verlag, Stuttgart, M. Rivera, L. R. Marcial, L Sandoval. Heurísticas para resolver el problema de la Supersecuencia Común más corta. Research in Computing Science, 60, 55-64, H. P. Schwefel. Evolution and Optimum Seeking, Wiley, H. P. Schwefel. Evolution Strategies: A Family of Non Linear Optimization Techniques Based on Imitating Some Principles of Organic Evolution. Annals of Operations Research, volumen 1, , R. H. Storer, S. D. Wu, R. Vaccari. New search spaces for sequencing problems with application to job shop scheduling. Management Science, 38, , V. G. Timkovsky. Complexity of common subsequence and supersequence problems and related problems. Cybernetics and Systems Analysis. Vol. 25, , 1990.